華師版第28章-圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與練習(xí)題

1、第28章圓知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)與練習(xí)題一、圓的概念集合形式的概念：i、圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；2、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合軌跡形式的概念：1、圓：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓；（補(bǔ)充）2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線；4、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長(zhǎng)的兩條直線;5、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是:二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1、點(diǎn)

2、在圓內(nèi)dr點(diǎn)C在圓內(nèi)；2、點(diǎn)在圓上dr點(diǎn)B在圓上；3、點(diǎn)在圓外dr點(diǎn)A在圓外；三、直線與圓的位置關(guān)系平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。A,I C2、直線與圓相切有一個(gè)交點(diǎn);3、直線與圓相交有兩個(gè)交點(diǎn);-可編輯修改-四、圓與圓的位置關(guān)系外離（圖1）無(wú)交點(diǎn)外切（圖2）有一個(gè)交點(diǎn)相交（圖3）有兩個(gè)交點(diǎn)R r；內(nèi)切（圖4）有一個(gè)交點(diǎn)內(nèi)含（圖5）無(wú)交點(diǎn)五、垂徑定理 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。推論1： （1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；（2）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。唬?）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且

3、平分弦所對(duì)的另一條弧3個(gè)結(jié)論，即:以上共4個(gè)定理，簡(jiǎn)稱2推3定理：此定理中共 5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中 2個(gè)即可推出其它AB是直徑AB CD CEDE 弧BC 弧BD 弧AC 弧AD中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在。中，AB /CDB-'MAC 弧 BD六、圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弧相等，弦心距相等。 此定理也稱1推3定理，即上述四個(gè)結(jié)論中，只要知道其中的1個(gè)相等，則可以推出其它的 3個(gè)結(jié)論，即： AOB DOE ; AB DE ;OC OF ;弧BA 弧BD七、圓周角定理1、圓周角定理：同弧所對(duì)的圓

4、周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半。即：: AOB和 ACB是弧AB所對(duì)的圓心角和圓周角 AOB 2 ACB2、圓周角定理的推論：推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧是等?。患矗涸?。中，C、D都是所對(duì)的圓周角C D推論2：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；圓周角是直角所對(duì)的弧是半圓，所對(duì)的弦是直徑。即：在。中，.AB是直徑或C 90C 90，AB是直徑推論3:若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。即：在 ABC 中，.OC OA OB. MBC是直角三角形或 C 90注：此推論實(shí)是八年級(jí)幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一

5、半的逆定理。八、圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。即：在。中，C BAD 180B D 180四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形DAE C九、切線的性質(zhì)與判定定理(1)切線的判定定理：過(guò)半徑外端且垂直于半徑的直線是切線;兩個(gè)條件：過(guò)半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：: MN OA且MN過(guò)半徑OA外端.MN是。O的切線(2)性質(zhì)定理：切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑(如上圖)推論1 ：過(guò)圓心垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)。推論2 :過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必過(guò)圓心。以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理：即：過(guò)圓心；過(guò)切點(diǎn)；垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。十、

6、切線長(zhǎng)定理切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：.PA、PB是的兩條切線PA PBPO平分 BPA、圓騫定理(1)相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。即：在。中，弦AB、CD相交于點(diǎn)P, .PA PB PC PD(2)推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。即：在。中，直徑AB CD ,2. CE AE BE(3)切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割 線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。即：在。中，PA是切線，PB是割線PA2 PC PB(4)割線定理：從圓外一點(diǎn)

7、引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等(如上圖)即：在。中，PB、PE是割線. PC PB PD PE十二、兩圓公共弦定理 圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個(gè)圓的的公共弦。如圖：O1O2垂直平分 AB o即：O1、O 02相交于A、B兩點(diǎn).0102垂直平分AB十三、圓的公切線兩圓公切線長(zhǎng)的計(jì)算公式：(1)公切線長(zhǎng)： Rt 0102c 中，AB2 CO12 go22 CO22 ;(2)外公切線長(zhǎng)： CO2是半徑之差； 內(nèi)公切線長(zhǎng)：CO2是半徑之和-可編輯修改-十四、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算(1)正三角形在O O中4 ABC是正三角形，有關(guān)計(jì)算在Rt BOD中進(jìn)行：O

8、D:BD:OB 1:62；(2)正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在 Rt OAE中進(jìn)行，OE:AE:OA 1:1: 22 :(3)正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在Rt OAB 中進(jìn)行，AB:OB:OA 1: 73:2.卜五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式n R1、扇形：(1)弧長(zhǎng)公式：l ；180n R2(2)扇形面積公式：S 36011R 2n ：圓心角 R：扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑l ：扇形弧長(zhǎng)S :扇形面積D1母線長(zhǎng)C12、圓柱：(1)圓柱側(cè)面展開(kāi)圖S表 S側(cè) 2s底=2 rh 2 r2(2)圓柱的體積：V r h3 .圓錐：(1)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖Si S側(cè)S底=Rr/12,(2)圓錐的體積：V

9、 r h3十六、內(nèi)切圓及有關(guān)計(jì)算(1)三角形內(nèi)切圓的圓心是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它到三邊的距離相等。（2）祥BC中， C 90,AC b,BC a,AB c,則內(nèi)切圓的半徑r-1 ，（3） Svabc 2r（a b c）,其中a, b, c是邊長(zhǎng)，r是內(nèi)切圓的半徑。（4）弦切角：角的頂點(diǎn)在圓周上，角的一邊是圓的切線，另一邊是圓的弦。如圖，BC切。O于點(diǎn)B, AB為弦，/ABC叫弦切角，/ ABC= /D。C練習(xí)題一、選擇題1 .（北京市西城區(qū)）如圖，BC是。O的直徑，P是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),于點(diǎn)A,如果PA=由，PB=1 ,那么/APC等于（）（A） 15（B） 30（C） 45（D） 60PA

10、 切。O2.（北京市西城區(qū)）“圓材埋壁”是我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)菱九章算術(shù)中的一個(gè)問(wèn)題，“今在圓材，埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？”用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述是：“如圖，CD為。的直徑，弦 ABXCD,垂足為E, CE= 1寸，AB =寸，求直徑CD的長(zhǎng)”.依題意，CD長(zhǎng)為 （）（A） 一寸（B） 13 寸（C） 25 寸（D） 26 寸23.（北京市朝陽(yáng)區(qū)） 已知：如圖，。半徑為5, PC切。O于點(diǎn)C, PO交。O于點(diǎn)A,PA=4,那么PC的長(zhǎng)等于 （）（A） 6（B） 2 V5（C） 2 v,10（D） 2 v144.（北京市朝陽(yáng)區(qū)）如果圓錐的側(cè)面積為20兀平方厘米，它

11、的母線長(zhǎng)為 5厘米，那么此圓錐的底面半徑的長(zhǎng)等于(A) 2厘米（B） 2、5厘米（C）4厘米（D）8厘米5.（重慶市）如圖，。為MBC的內(nèi)切圓，ZC=90 , AO的延長(zhǎng)線交 BC于點(diǎn)D,AC = 4, DC=1 ,則。O的半徑等于（）5(B)45(D)-66 .（重慶市）一居民小區(qū)有一正多邊形的活動(dòng)場(chǎng).為迎接“AAPP”會(huì)議在重慶市的召開(kāi)，小區(qū)管委會(huì)決定在這個(gè)多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處修建一個(gè)半徑為2米的扇形花臺(tái),花臺(tái)都以多邊形的頂點(diǎn)為圓心,比多邊形的內(nèi)角為圓心角，花臺(tái)占地面積共為12兀平方米.若每個(gè)花臺(tái)的造價(jià)為400 元,則建造這些花臺(tái)共需資(A) 2400 元(B) 2800 元(C) 3200

12、 元(D) 3600 元AB7.（成都市）如圖，已知AB是。O的直徑,弦CDLAB于點(diǎn)P,CD=10 厘米，AP : PB=1 ： 5,那么。O的半徑是(A) 6厘米(C) 8厘米(D) 5J3厘米8.(成都市)在 RtZABC 中，已知 AB=6, AC=8, /A= 90AC旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐， 其表面積為S1；把RtAABC繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周得到另一個(gè)圓錐，其表面積為S2 ,那么S1 ： S2等于(A) 2：3(B) 3 ： 4(C) 4 ： 9(D) 5 ： 129.（蘇州市）如圖,O的弦AB=8厘米，弦CD平分AB于點(diǎn)E.若CE=2厘米.ED長(zhǎng)(A) 8厘米(B) 6厘米(C)4厘

13、米(D) 2厘米.如果把RtZABC繞直線10.（廣東?。┤鐖D，若四邊形 ABCD是半徑為1和。O的內(nèi)接正方形，則圖中四個(gè)弓形（即四個(gè)陰影部分）的面積和為（A） （2兀一2）厘米（B） （2兀一1）厘米（C）（兀一2）厘米（D）（兀一 1）厘米11 .（武漢市）如圖，已知圓心角/ BOC= 100 ,則圓周角/ BAC的度數(shù)是(A) 50(B) 100(C) 130(D) 20012 .（武漢市）已知：如圖,E是相交兩圓。M和。O的一個(gè)交點(diǎn)，且 MEXNE,2.（重慶市）如圖,AB是。O的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,c c cBC CD AD比為3 ： 2 ： 4, MN是。O的切線，C是

14、切點(diǎn)，則/ BCM的度數(shù)為的度數(shù)AB為外公切線，切點(diǎn)分別為 A、B,連結(jié)AE、BE.則/AEB的度數(shù)為(A) 145(B) 140 °(C) 135 °( D) 130二、填空題1.（北京市東城區(qū)）如圖，AB、AC是。O的兩條切線，切點(diǎn)分別為是優(yōu)弧 砧上的一點(diǎn)，已知/ BAC= 80 ,那么/BDC =度.4.（重慶市）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O, AD /BC,BC=6,則四邊形 ABCD的面積為A3+CD =AD + B。，若 ad = 43.（重慶市）如圖， P是O O的直徑AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PC切。O于點(diǎn)C, PC= 6,BC : AC= 1 ：2,則 AB 的

15、長(zhǎng)為5 .（哈爾濱市）如圖，圓內(nèi)接正六邊形 ABCDEF中，AC、BF交于點(diǎn)M .則SzxabmSA AFM6 .（南京市）如圖， AB是。的直徑，弦 CDLAB,垂足是 G, F是CG的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AF 交。于 E, CF= 2, AF=3,則 EF 的長(zhǎng)是7 .（福州市）在。O中，直徑 AB = 4厘米，弦 CDLAB于E, OE= J3 ,則弦CD的長(zhǎng)為厘米.8 .（河南?。┤鐖D，AB為。的直徑，P點(diǎn)在AB的延長(zhǎng)線上，PM切。于M點(diǎn).若OA = a, PM= J3a,那么PMB的周長(zhǎng)的9 .（四川省）扇形的圓心角為120 ,弧長(zhǎng)為6兀厘米，那么這個(gè)扇形的面積為 10.（貴陽(yáng)市）某種商品的商

16、標(biāo)圖案如圖所求（陰影部分），已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,ZA= 60 , BD是以a為圓心，ab長(zhǎng)為半徑的弧，CD是以B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑的弧， 則該商標(biāo)圖案的面積為 11 .（成都市）如圖，PA、PB與。O分別相切于點(diǎn) A、點(diǎn)B, AC是。的直徑,PC交。O于點(diǎn)D,已知/APB=60 , AC = 2,那么CD的長(zhǎng)為12 .（溫州市）如圖，扇形 OAB中，Z AOB = 90 ,半徑OA = 1 , C是線段AB的中點(diǎn),OA,交黜于點(diǎn)D,則CD =13 .（常州市）已知扇形的圓心角為 150 ，它所對(duì)的弧長(zhǎng)為20兀厘米，則扇形的半徑是厘米，扇形的面積是 乎方厘米.14 .（常州市）如圖，D

17、E是。O直徑，弦ABIDE,垂足為C,若AB = 6,CE=1，則CD =OC =三.簡(jiǎn)答題：1 .如圖，MN 是半徑為1的。O的直徑，點(diǎn) A在OO上，/AMN=30 ° , B為AN弧的中點(diǎn)，點(diǎn) P是直徑 MN上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則求 PA+PB的最小值2.如圖，AB是。O的直徑，點(diǎn) D在AB的延長(zhǎng)線上，且 BD OB,點(diǎn)C在O O上，/CAB=30 ° ,求證：DC是。O的切線.3.如圖,AB既是。C的切線也是。D的切線，O C與O D相外切，O C的半徑r=2 , O D的半徑R=6 ,求四邊形 ABCD的面積。4 .如圖，BC是O O的直徑，A是弦BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，切線 D

18、E平分AC于E,求證:AC 是。O的切線.（2）若AD : DB=3 : 2, AC=15 ,求。O的直徑.5 .如圖，AB是。O的直徑，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，弦 CD ±AB,垂足為E,且PC2 PE ? PO . （1）求證:PC是。的切線；（2）若OE：EA=1 ：2, PA=6 ,求。的半徑；（3）求Sn PCA的值.（12分）6 .如圖，O O的兩條割線 AB、AC分別交圓。于D、B、E、C,弦DF/AC 交BC于C.（1）求證：AC FG BC CG；（2）若CF=AE.求證：4ABC為等腰三角形.-可編輯修改-7 1 “ 吆 7 .如圖，AB是。的直徑，弦 CD，AB與點(diǎn)E,點(diǎn)P在O O上，/1=/C,（1）求證：CB /PD ;3(2)右 BC 3, Sin P ,求。O 的直徑。5-可編輯修改-8 .如圖，4ABC內(nèi)接于。O, AB是。O的直徑，PA是過(guò)A點(diǎn)的直線，/ PAC=