一元二次不等式恒成立題型

1、元二次不等式恒成立專題例題：設(shè)函數(shù)f (x) = mx mx- 1.(1)若對(duì)于一切實(shí)數(shù)x, f(x)<0恒成立，求m的取值范圍； 對(duì)于x 1,3 ，f(x)< RH 5恒成立，求m的取值范圍. 對(duì)于任意me 1,3 ，f(x)< rH 5恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍. 解： (1)要使mx mx- 1<0恒成立，若m= 0，顯然1<0,滿足題意；rn<0,若 m 0,貝U 52即一4<n<0. . 4<mc 0.lA = mH 4n<0, 方法一 要使f(x)v RH 5在x 1,3上恒成立,f 1 3就要使Rx 2J + 4m-6&

2、lt;0在x 1,3上恒成立.6令 g(x) = mx6, x 1,3.當(dāng)m>0時(shí)，g( x)在1,3上是增函數(shù),6g( x) max= g(3) = 7m- 6<0, 0<n<7；當(dāng)m= 0時(shí)，6<0恒成立;當(dāng)n<0時(shí)，g(x)在1,3上是減函數(shù)， g( x) max= g(1) = m- 6<0, 得 n<6, n<0.r 6、I，7丿綜上所述，m的取值范圍是方法即當(dāng) x 1,3當(dāng) x 1,3時(shí)，f(x)< RH 5 恒成立, 時(shí)，Rx2 x + 1) 6<0恒成立. f 1)3 C 卜-+ 4>0，又 Rx2 x +

3、 1) 6<0,a n<x2： + 6 6函數(shù)y=x2x+1 = 譏3在1,3上的最小值為卜-1丿+36 66，.只需n<7即可.綜上所述，m的取值范圍是( 6、I，7丿(3) 解 f(x)< m+ 5,即卩 mX mx- 1< m+ 5,2r(x x+ 1) 6<0.設(shè) g(m = Rx2 X + 1) 6.則g( r)是關(guān)于m的一次函數(shù)且斜率2<13X X + 1= X-丨+；>0.I 2丿4二g(m在1,3上為增函數(shù)，要使g(R)<0在1,3上恒成立，只需g(mmax= g(3)<0 ,2 2 即 3(x X + 1) 6<

4、;0, X X 1<0,方程 X2 X 1 = 0的兩根為 X1=1 護(hù),X2=2, X2 X 1<0的解集為 即x的取值范圍為 練習(xí)：1.當(dāng)X (1,2)時(shí)，不等式X2+ m)+ 4<0恒成立，則m的取值范圍是 解析：構(gòu)造函數(shù) f(X)= X2 + m)+ 4，x 1,2，則f(X)在1,2上的最大值為f(1)或f(2).由于當(dāng)X (1,2)時(shí)，不等式X2+ m)+ 4<0恒成立.則有；1:0,f 2 W0,即+ rhaw 0,4 + 2m+ 4< 0,可得彳me 5,.me 4,所以 5.2.若不等式X2+ mx+ 1> 0的解集為R,則實(shí)數(shù)m的取值范圍

5、是()A.m> 2B.me 2C.mc 2 或2 D. 2< me 2 答案 D 解析 由題意，得= m4<0,.一2<me 2.3. 當(dāng)不等式X2+x + k>0恒成立時(shí)，k的取值范圍為答案 解析由題意知 <0,即1 4k<0, 得 k>1，即 k(4，+3.若關(guān)于x的不等式4V丿X2 4X m>0對(duì)任意x (0,1恒成立，則 m的最大值為A.1B. 1C. 3D.3答案由已知可得mK2解析X 4X對(duì)一切X (0,1恒成立, 又f(x) = X2 4X在(0,1上為減函數(shù)， 二 f(X)min= f(1) = 3 ,-itK 3, m的最

6、大值為一3.4. 對(duì)任意a 1,1,函數(shù)f (X) = X2 + (a 4)x + 4 2a的值恒大于零，則x的取值范圍是(A.1<x<3B.XV1 或 x>3C.1<x<2D.x<1 或 x>2答案 B 解析 設(shè) g(a) = (x 2)a +(X2 4x + 4), g(a) >0恒成立且 a 1,1產(chǎn)2jg 1 _x 3x + 2>0,? .g H二 X2 5x + 6>0x<1 或 x>2,? ix<2或x>3?X<1 或 X>3.5. 對(duì)于任意實(shí)數(shù)X,不等式(a 2)x2 2(a 2)x

7、4<0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.( x, 2) B.(x, 2C.( - 2,2)D.( - 2,2答案 D 解析當(dāng)a- 2工0時(shí),即<2;La<4,a 2<0,4 a 2 2 4 a 2(-4 <0, 解得2<a<2.當(dāng)a 2= 0時(shí)，4<0恒成立, 綜上所述，2<a< 2.6. 若不等式(a 1)x (a 1)x 1<0的解集為R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是答案35, 1解析當(dāng)a2 1 = 0時(shí),a= 1 或 a= 1.若a= 1,則原不等式為1<0,恒成立,若a= 1，則原不等式為2x 1<0,1即XV2,

8、不合題意，舍去.當(dāng)a2 1工0,即aM± 1時(shí),原不等式的解集為R的條件是fa21<0,L 22LA = U a 1 + 4 a 1<0,3 解得-3<a<1.綜上，a的取值范圍是(1) 2已知函數(shù)f(x) = x+ax+ 3.當(dāng)x R時(shí)，f (x) A a恒成立，求a的取值范圍;當(dāng)x 2,2時(shí)，f(x) > a恒成立，求a的取值范圍.(1) f (x) A a恒成立，即 x + ax+ 3 a0恒成立，必須且只需 = a 4(3 a) w 0，即解2a + 4a 12< 0, 6< aw 2,.a的取值范圍為6,2.2fa、 a(2) f(x) = x2