一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何9.8.2圓錐曲線的最值問題練習(xí)

1、982圓錐曲線的最值問題核心考點(diǎn)精準(zhǔn)研析14K考點(diǎn)一幾何法求最值*題組練透*疋21.設(shè)P是橢圓 一+=1上一點(diǎn),M,N 分別是兩圓:(x+4)2£92 2 2 2+y =1和（X-4） +y =1上的點(diǎn),則|PM|+|PN|的最小值、最大值分別為(A.9,12B.8,11C.8,12D.10,122.已知點(diǎn)A是拋物線C:y2=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A到直線x-y+3=0的距離為di,到直線x=-2的距離為d2,則d1+d2的最小值為()V2A.+23B.2甘 2cV+3D.2和2+1A,B,由橢圓定【解析】1.選C.如圖，由橢圓及圓的方程可知兩圓圓心分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn) 義知|PA|+

2、|PB|=2a=10,連接PA,PB分別與圓相交于兩點(diǎn)， 此時(shí)|PM|+|PN|最小，最小值為|PA|+|PB|-2R=8;連接PA,PB并延長，分別與圓相交于兩點(diǎn)，此時(shí)|PM|+|PN|最大，最大值為|PA|+|PB|+2R=12,即最小值和最大值分別為8,12.2.選D.拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),則 d2=|AF|+1.故 d1+d2=|AF|+d 1+1.顯然，當(dāng)點(diǎn)A為點(diǎn)F到直線x-y+3=0的垂線段與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，|AF|+d 1取到最小值I L-0+3 Id=22.故d1+d2的最小值為22 +1.幾何方法求解圓錐曲線中的最值問題，即通過圓錐曲線的定義、 幾何性質(zhì)將最值轉(zhuǎn)化，利用

3、平面幾何中的定理、性質(zhì)，結(jié)合圖形的直觀性求解最值問題.常用的結(jié)論有： (1)兩點(diǎn)間線段最短； (2)點(diǎn)到直線的垂線段最短考點(diǎn)二代數(shù)法求最值問題!考什么：(1)考查圓錐曲線中相關(guān)最值問題的求解! (2)考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算以及邏輯推理的核心素養(yǎng)以及函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù):學(xué)思想方法.!怎么考：(1)涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題! (2)求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)確定與之有關(guān)的一些問!題.新趨勢：最值問題與函數(shù)、不等式等其他知識(shí)相結(jié)合=1.代數(shù)法求解最值問題的解題思路S首先需要根據(jù)題目的條件和結(jié)論找出明確的函數(shù)關(guān)系,建立起目標(biāo)函數(shù)，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)I的

4、最值求解，最值常用基本不等式法、配方法、函數(shù)單調(diào)性法等求解I 2.交匯問題'求解函數(shù)最值，要根據(jù)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征靈活變形，采用相應(yīng)的方法求解-命題角度“利用基本不等式求最值【典例】已知橢圓號(hào)+嶺=1(a>b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為它的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，已知/RPH=60°,$AFiP馬(，且橢圓的離心率為2(1)求橢圓方程. 已知T(-4,0),過T的直線與橢圓交于M,N兩點(diǎn)，求 MNF面積的最大值.【解題導(dǎo)思】序號(hào)題目拆解(1)求參數(shù)a,b利用橢圓的定義和幾何性質(zhì)，轉(zhuǎn)化已知，建立方程組求解.(2)求M,N兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系設(shè)直線方程，直線方程和橢圓方程聯(lián)立

5、方程組，消兀后利 用根與系數(shù)的關(guān)系建立坐標(biāo)的關(guān)系式求 MNF的面積利用點(diǎn)Fi,把所求三角形的面積用兩個(gè)三角形面積之差 表示,從而進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算，建立面積模型求面積的最值根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征,通過化簡構(gòu)造基本不等式求解最 值【解析】 由已知，得|PFi|+|PF 2|=2a,2 2 2|PFi| +|PF2| -2|PFi|PF 2|cos 60° =4c ,2 2 2即|PFi| +|PF2| -|PF i|PF 2|=4c ,1-|PFi|PF 2|sin聯(lián)立解得a2-c2=3.又三2口 260° =/3 ,即 |PFi|PF 2|=4,所以 c2=1,a2=4,b2=a2-

6、c2=3,橢圓方程為藝X=i.4.3(2)根據(jù)題意可知直線 MN的斜率存在，且不為0.設(shè) M(xi,y i),N(x 2,y 2),直線 MN的方程為 x=my-4,代入橢圓方程整理得(3m2+4)y 2-24my+36=0,則 =(-24m)2-4X 36X (3m2+4)>O,所以 m>4.24e36yi+y2=7,y iy2wTr,則 MNF的面積弘血Fj =|S価'Fl -SAMTFi |2|TFi| |y i-y2|弓 J(yi + 兀)2-4旳兀 r24?n144臚7一一=1 h3?71 + 4 此+3 啊ZL=6宀芒=6XLfIfi16 3v3f T J V1

7、=wp.當(dāng)且僅當(dāng)J臚-4=728即m牙時(shí)（此時(shí)適合 >0的條件）取得等號(hào).3'3故 MNF面積的最大值為4-命角度2$利用函數(shù)單調(diào)性求最值【典例】已知橢圓C帀肓b。）的離心率為-,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,A為橢圓Cv6 上一點(diǎn)，AFi 與 y 軸交于點(diǎn) B,|AB|=|F 2B|,|0B|= £求橢圓C的方程. 過右焦點(diǎn)F2的直線y=k（x-2）（k工0）交橢圓于P、Q兩點(diǎn),若PQ的中點(diǎn)為N,0為原點(diǎn),直線ON交直線x=3于點(diǎn)M.求怦的最大值.I M旳I【解題導(dǎo)思】序號(hào)題目拆解（1）求參數(shù)a,b利用橢圓的幾何性質(zhì)，轉(zhuǎn)化已知，建立方程組 求解(2)求N點(diǎn)坐標(biāo)直線和橢圓

8、方程聯(lián)立方程組，消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系求N點(diǎn)坐標(biāo)求M點(diǎn)坐標(biāo)求直線ON方程,與直線x=3聯(lián)立,即可求得M點(diǎn)坐標(biāo)|pqI求戶片" I M旳I利用坐標(biāo)分別表示出兩條線段的長度，構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)求最值根據(jù)目標(biāo)函數(shù)結(jié)構(gòu)特征，通過換兀轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題求解【解析】連接AF2,由題意得|AB|=|F 2B|=|F iB|,所以F1AF2的中位線,又因?yàn)锽CL F1F2,C所以 AFa丄 F1F2,且 |AF2|=2|BO|=a 31 222 一 2 2,又 eh ,a =b +c ,得 a =6,b =2, a 3故所求橢圓方程為二疋=1. 2=1聯(lián)立-&2QQQQ可得(3k +1)x

9、 -12k x+12k -6=0.設(shè) P(xi,y i),Q(x 2,y 2),I2k-G則 X1+X2,x 1x2= ；,-4k所以 y1+y2=k(X 1+x2)-4k=-2"所以PQ的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為3咚+1/盲珅1 PQF"+/1因此直線ON的方程為y=-?jF,從而點(diǎn),|MF2|=Ji +古,IPqF 24以 OJD 設(shè)匸山地廣/尸，令U=3k2+1,則I=8心也上(一3 VtjZ 2 嚏 21632 g16所以|QM|=Jp(?r-嚴(yán)-i=j 對(duì) +(坯_仿2_嚴(yán)_1因此當(dāng)U=4,即k=±若-4t < -2，即t迄時(shí)燈知得最大值它包.*題組通關(guān)當(dāng)y

10、o=-2時(shí),|QM|取得最大值,|QM|ma&牡+ 3壬,解得23 1t=<(舍去).6 2若-4t>-2,即 0<t<,2r- 丁'E當(dāng) y0=-4t 時(shí),|QM| 取最大值,且 |QM|ma>=p4 +4£二一,解得 t.5陰巨綜上可知,當(dāng)匸_時(shí),|QM|的最大值為2.已知點(diǎn)C是圓F:(x-1)2+y2=16上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F'與圓心F關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.線段CF的中垂線與CF交于P點(diǎn).(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程E.設(shè)點(diǎn)A(4,0),若直線PQI x軸且與曲線E交于另一點(diǎn)Q,直線AQ與直線PF交于點(diǎn)B,證明：點(diǎn)B恒在曲線E上,并求 PA

11、B面積的最大值.【解析】 由題意得，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),F ( -1,0),因?yàn)镻為CF'中垂線上的點(diǎn)，所以|PF 1=1 PC|.又|PC|+|PF|=4,所以 |PF 1+1 PF|=4>|FF T=2,由橢圓的定義知，2a=4,c=1, 所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程E為蘭+ 吐1.43設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m,n)(n豐0),則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,-n),且3m+4n2=12,31所以直線QA:y= (x-4),4-771即 nx-(4-m)y-4n=0,直線 PF:y=(x-1),即 nx-(m-1)y-n=0.rrt-13-nX,y 氓 -,2 巾5piz- (4-m) y-4n =

12、0,聯(lián)立方程組)解得Injr- Cm-1 j 0,則哇童心);s"43 4t2m-5> 3(2771-5)3 5m-eOTn+6i+L2n ISm-SOm+lOO =n= 1,所以點(diǎn)B恒在橢圓E上.設(shè)直線 PF:x=ty+1, P(x 1,y1),B(x 2,y 2),則由仁X；消去X整理得+ 4于-12,2 2(3t +4)y +6ty-9=0,6t9所以 y1+y2=7i,y 唇注：,所以 |y 1-y 2|= J+必)'一4兒_118廿+1 lsvPTT從而 $ PA書|FA|y t-y 2|=7L8111）,貝y函數(shù)g（卩）=3 + -在1,+ g）上單調(diào)遞增，

13、fi故 g(卩)min=g(1)=4.18 9所以&曲丁亍即當(dāng)t=0時(shí), PAB的面積取得最大值,9且最大值為孑塚合創(chuàng)新*條1.（2019 荷澤模擬)拋物線 E:x2=2py(O<p<2)的焦點(diǎn)為 F,圓 C:x2+(y-1) 2=1,點(diǎn) P(Xo,yo)為拋Sp1物線上一動(dòng)點(diǎn).已知當(dāng)|PF|=二廠時(shí)， PFC的面積為一.33(1)求拋物線方程.若yo>,過P作圓C的兩條切線分別交y軸于M,N兩點(diǎn)，求 PMN面積的最小值，并求出此2時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo).【解析】(1)由題意知,F(a |),C(0,1),因?yàn)?o<p<2,所以 |FC|=1- I5P S又|PF|=

14、 -p,所以 yo+= p,22 2所以 yo=2P，所以 |x o|=2p.所以Sa戸尸號(hào)(1-彳)2p舟，所以p=1, 所以拋物線方程為 x2=2y. 由題意，設(shè)過點(diǎn)P且與圓C相切的直線的方程為 y-y o=k(x-x o).令x=0,得y=yo-kx o,所以切線與y軸的交點(diǎn)為(0,y o-kxo),而圓心到切線的距離 d-bt 竽丄1,整理得(尢£l)k +2xo(1-y o)k+y7-2y o=o.A2因?yàn)閥o虧,所以>1,設(shè)兩切線斜率為ki,k2,2則 kl+k2/ZZ所以 SaPMN|(y o-k ixo)-(y o-k 2xo)|x o|=|k i-k 2| 尤

15、q ,2 2因?yàn)?|k 1-k2| 2=(k1 + k2)2-4k1k2爲(wèi)伽f 2 '(用7兀)i所以|k 1-k 2|=孕魚，則$ PM='用，畸一1 20-1令 2y0-1=t(t>0),則0=32（竽£ 1所以&辭仲 上戸坯+1,t 1 ft 1而一+1 > 2* +1=2,2 2*7 2 2tt 1當(dāng)且僅當(dāng)乙?即t=1時(shí),“=”成立.所以S"MN的最小值為2,此時(shí)P（ ± 返,1）.右焦點(diǎn)為Fi,F2,長軸端點(diǎn)為 A,B,0C交于不同的兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)在x軸上2.（2020 濟(jì)南模擬）已知橢圓C_=1（a>b>0

16、）的左、* if空為橢圓中心，百Fg=1,斜率為丁的直線I與橢圓的射影恰好是橢圓 C的兩個(gè)焦點(diǎn).（1）求橢圓C的方程. 若拋物線y2=4x上存在兩個(gè)點(diǎn) M,N,橢圓C上存在兩個(gè)點(diǎn)P,Q,滿足M,N,F2三點(diǎn)共線,P,Q,F 2三點(diǎn)共線,且PQIMN求四邊形PMQf面積的最小值.【解析】（1）已知橢圓方程為：;7切=1（a>b>0）,r r利用數(shù)量積運(yùn)算月尸2 C B=1,可得a2-c2=1,直線I的方程為yMx,當(dāng)x=c時(shí),y=父三C,2 2代入橢圓方程可得2-21x4=宀龍ipqfJi + 存 J 必 +尤3 * 為-比七，所以四邊形PMQN 勺面0聯(lián)立解得a2=2,c 2=i,

17、橢圓方程為 一+y2=i.2(2)當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí),直線PQ的斜率為0,得到 |MN|=4,|PQ|=2 邁,S 四邊形PMQ= 樁.當(dāng)直線 MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 MN方程為y=k(x-i)(k豐0),與拋物線 y2=4x聯(lián)立得2 2 2 2k x -(2k +4)x+k =0.4設(shè) M(xi,y i),N(x 2,y 2),則 xi+X2+2,x i - X2=1,|MN|=V1 + 啓 J % +-4/1 * 后事+4,1因?yàn)閜Ql皿“所以直線PQ的方程為y我(x-i)(k M 0),將直線PQ與橢圓方程聯(lián)立,得 (k2+2)x2-4x+2-2k =0,4設(shè)P(X3,y 3),Q(x 4,y 4),貝yX3+X4=泮,x 3令 1+k2=t(t>1),則 S 四邊形 PMQ=(鶯;:嚴(yán)(1 +綜上,S四邊形pmq4 4p 2 , 其最小值為4和"2 .變式鞏固*1.已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為Fi(-1,0),F 2(1,0),且F2到直線X-M舌y-9=0的距離等于橢圓的短軸長.求橢圓C的方程. 若圓P