圓的方程最新修正版

1、最新修正版第四章圓與方程本章教材分析上一章,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與方程 ，知道在直角坐標(biāo)系中，直線可以用方程表示，通過方程，可以研究直 線間的位置關(guān)系、直線與直線的交點坐標(biāo)、點到直線的距離等問題，對數(shù)形結(jié)合的思想方法有了初步體驗.本章將在上章學(xué)習(xí)了直線與方程的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)在平面直角坐標(biāo)系中建立圓的代數(shù)方程，運用代數(shù)方法研究點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，了解空間直角坐標(biāo)系，以便為今后的坐標(biāo)法研究空間的幾何對象奠定基礎(chǔ)，這些知識是進一步學(xué)習(xí)圓錐曲線方程、導(dǎo)數(shù)和微積分的基礎(chǔ)，在這個過程中進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想，形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力.通過方程，研究直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系是本章的重

2、點內(nèi)容之一，坐標(biāo)法不僅是研究幾何問題的重要方法，而且是一種廣泛應(yīng)用于其他領(lǐng)域的重要數(shù)學(xué)方法，通過坐標(biāo)系把點和坐標(biāo)、曲線和方程聯(lián)系起來，實現(xiàn)了形和數(shù)的統(tǒng)一，因此在教學(xué)過程中，要始終貫穿坐標(biāo)法這一重要思想，不怕反復(fù).用坐標(biāo)法解決幾何問題 時，先用坐標(biāo)和方程表示相應(yīng)的幾何元素：點、直線、圓;然后對坐標(biāo)和方程進行代數(shù)運算 ；最后把運算結(jié)果 翻譯”成相應(yīng)的幾何結(jié)論.這就是坐標(biāo)法解決幾何問題的三步曲.坐標(biāo)法還可以與平面幾何中的綜合方法、向量 方法建立聯(lián)系，同時可以推廣到空間，解決立體幾何問題.本章教學(xué)時間約需 9課時,具體分配如下（僅供參考）:4.1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1課時4.1.2圓的一般方程1課時4.2

3、.1直線與圓的位置關(guān)系2課時4.2.2圓與圓的位置關(guān)系2課時4.3.1空間直角坐標(biāo)系1課時4.3.2空間兩點間的距離公式1課時本章復(fù)習(xí)1課時§ 4.1圓的方程§ 4.1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程一、教材分析在初中曾經(jīng)學(xué)習(xí)過圓的有關(guān)知識 ，本節(jié)內(nèi)容是在初中所學(xué)知識及前幾節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，進一步運用解析法研究圓的方程，它與其他圖形的位置關(guān)系及其應(yīng)用同時，由于圓也是特殊的圓錐曲線 ，因此,學(xué)習(xí)了圓的方程，就為后面學(xué)習(xí)其他圓錐曲線的方程奠定了基礎(chǔ).也就是說，本節(jié)內(nèi)容在教材體系中起到承上啟下的作用 ,具有重要的地位，在許多實際問題中也有著廣泛的應(yīng)用.由于圓的方程”一節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)性和應(yīng)用的廣泛性

4、,對圓的標(biāo)準(zhǔn)方程要求層次是掌握”為了激發(fā)學(xué)生的主體意識，教學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)和學(xué)會創(chuàng)造，同時培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，本節(jié)內(nèi)容可采用 引導(dǎo)探究”型教學(xué)模式進行教學(xué)設(shè)計，所謂 引導(dǎo)探究”是教師把教學(xué)內(nèi)容設(shè)計為 若干問題，從而引導(dǎo)學(xué)生進行探究的課堂教學(xué)模式，教師在教學(xué)過程中，主要著眼于 引”啟發(fā)學(xué)生 探”把引”和探”有機的結(jié)合起來.教師的每項教學(xué)措施，都是給學(xué)生創(chuàng)造一種思維情境 ，一種動腦、動手、動口并 主動參與的學(xué)習(xí)機會，激發(fā)學(xué)生的求知欲，促使學(xué)生解決問題.二、教學(xué)目標(biāo)1 .知識與技能_(1) 掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能根據(jù)圓心、半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2) 會用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程._2 .過程與方法_進一

5、步培養(yǎng)學(xué)生能用解析法研究幾何問題的能力，滲透數(shù)形結(jié)合思想，通過圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決實際問 題的學(xué)習(xí)，注意培養(yǎng)學(xué)生觀察問題發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力._3 .情感態(tài)度與價值觀.通過運用圓的知識解決實際問題的學(xué)習(xí)，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和興趣.三、教學(xué)重點與難點教學(xué)重點：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程特點的明確.教學(xué)難點：會根據(jù)不同的已知條件，利用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 .四、課時安排1課時五、教學(xué)設(shè)計(一)導(dǎo)入新課思路1.課前準(zhǔn)備：(用淀粉在一張白紙上畫上海和山 )說明：在白紙上要表演的是一個小魔術(shù) ，名稱是日出，所以還缺少一個太陽，請學(xué)生幫助在白紙上畫出 太陽.要求其他學(xué)生在自己的腦海里

6、也構(gòu)畫出自己的太陽.課堂估計：一種是非尺規(guī)作圖(指出數(shù)學(xué)作圖的嚴(yán)謹(jǐn)性)；一種作出后有同學(xué)覺得不夠美 (點評:其實每個 人心中都有一個自己的太陽，每個人都有自己的審美觀點).然后上升到數(shù)學(xué)層次：不同的圓心和半徑對應(yīng)著不同的圓 ，進而對應(yīng)著不同的圓的方程 .從用圓規(guī)作圖復(fù)習(xí)初中所學(xué)圓的定義：到定點的距離等于定長的點的軌跡.那么在給定圓心和半徑的基礎(chǔ)上，結(jié)合我們前面所學(xué)的直線方程的求解，應(yīng)該如何建立圓的方程？教師板書本節(jié)課題：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.思路2.同學(xué)們，我們知道直線可以用一個方程表示 ，那么,圓可以用一個方程表示嗎？圓的方程怎樣來求 呢？這就是本堂課的主要內(nèi)容 ，教師板書本節(jié)課題：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(

7、二) 推進新課、新知探究、提出問題 已知兩點A(2,-5),B(6,9),如何求它們之間的距離？若已知C(3,-8),D(x,y),又如何求它們之間的距離 具有什么性質(zhì)的點的軌跡稱為圓？ 圖1中哪個點是定點？哪個點是動點？動點具有什么性質(zhì)？圓心和半徑都反映了圓的什么特點?圖1，那么，決定圓的條件是 我們知道，在平面直角坐標(biāo)系中，確定一條直線的條件是兩點或一點和傾斜角 什么？ 如果已知圓心坐標(biāo)為C(a，b)，圓的半徑為r，我們?nèi)绾螌懗鰣A的方程？ 圓的方程形式有什么特點？當(dāng)圓心在原點時，圓的方程是什么？討論結(jié)果：根據(jù)兩點之間的距離公式 Jx -X2)2 +(yi -y2)2，得|AB|=寸：(2-

8、6)2 +(9+5)2 =7212,|CD|= J(x-3)2 +(y+8)2 . 平面內(nèi)與一定點距離等于定長的點的軌跡稱為圓，定點是圓心，定長是半徑(教師在黑板上畫一個圓). 圓心C是定點，圓周上的點M是動點，它們到圓心距離等于定長 |MC|=r,圓心和半徑分別確定了圓的位 置和大小. 確定圓的條件是圓心和半徑，只要圓心和半徑確定了，那么圓的位置和大小就確定了. 確定圓的基本條件是圓心和半徑，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為C(a,b),半徑為r(其中a、b、r都是常數(shù),r>0).設(shè)M(x,y)為這個圓上任意一點，那么點M滿足的條件是(引導(dǎo)學(xué)生自己列出)P=M|MA|=r,由兩點間的距離公式讓學(xué)生寫出

9、點 M適合的條件 J(x-a)2 +(y-b)2 =r.將上式兩邊平方得(x-a)2+(y-b) 2=r2.化簡可得(x-a)2+(y-b) 2=r2.若點M(x,y)在圓上，由上述討論可知，點M的坐標(biāo)滿足方程，反之若點M的坐標(biāo)滿足方程，這就說明 點M與圓心C的距離為r,即點M在圓心為C的圓上.方程就是圓心為 C(a,b)，半徑長為r的圓的方程，我們 把它叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 這是二元二次方程，展開后沒有xy項，括號內(nèi)變數(shù)x,y的系數(shù)都是1.點(a,b)、r分別表示圓心的坐標(biāo)和 圓的半徑.當(dāng)圓心在原點即C(0,0)時,方程為x2+y2=r2.提出問題 根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程說明確定圓的方程的條件是什么

10、？ 確定圓的方程的方法和步驟是什么？ 坐標(biāo)平面內(nèi)的點與圓有什么位置關(guān)系？如何判斷？a、b、r且r >0,這時，半徑是圓的定形條討論結(jié)果：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(X a)2 + (y b)2=r2中,有三個參數(shù)a、b、r,只要求出 圓的方程就被確定，因此確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ，需三個獨立條件，其中圓心是圓的定位條件 件.r或直接求出圓心(a,b) 確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法，即列出關(guān)于a、b、r的方程組,求a、b、和半徑r,一般步驟為：仁根據(jù)題意，設(shè)所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(X a)2 + (y b)2=r2;2。 根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a、b、r的方程組；3。 解方程組，求出a、b、r的值，并把它們代

11、入所設(shè)的方程中去，就得到所求圓的方程. 點M(x 0,y0)與圓(x-a)2+(y-b) 2=r2的關(guān)系的判斷方法：當(dāng)點 M(X0,y0)在圓(x-a)2+(y-b) 2=r2上時，點 M 的坐標(biāo)滿足方程(x-a)2+(y-b) 2=r2.當(dāng)點M(X0,y0)不在圓(x-a)2+(y-b) 2=r2上時，點 M的坐標(biāo)不滿足方程(x-a)2+(y-b) 2=r2. 用點到圓心的距離和半徑的大小來說明應(yīng)為：2 2 2(xo-a) +(yo-b) > r，點在圓外；22 2(X0-a) +(y 0-b) =r，點在圓上；o99(X0-a) +(y0-b) < r ,點在圓內(nèi).，點在圓外二

12、，點在圓上二，點在圓內(nèi)呂仁點到圓心的距離大于半徑2。點到圓心的距離等于半徑3。點到圓心的距離小于半徑(三) 應(yīng)用示例思路1例1寫出下列各圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)圓心在原點，半徑是3；圓心在點C(3,4),半徑是45 ；C(8,-3);經(jīng)過點P(5,1),圓心在點圓心在點C(1,3),并且和直線3x-4y-7=0相切.解:(1)由于圓心在原點，半徑是3,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-0)2+(y-0)2=32，即卩x2+y2=9.由于圓心在點 C(3,4),半徑是5,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-3) 2+(y-4) 2=(5)2，即(x-3)2+(y-4) 2=5.(3) 方法一：圓的半徑r=|CP|= J(

13、58)2 +(1+3)2 = J25=5,因此所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-8)2+(y+3) 2=25.方法二：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-8)2+(y+3) 2=r2，因為圓經(jīng)過點P(5,1),所以(5-8)2+(1+3) 2=r2,r2=25，因此所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-8)2+(y+3)2=25.，方法二是間接法，它需要確定有關(guān)參數(shù)來確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，兩種方法都可，要視這里方法一是直接法問題的方便而定.(4)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-3)2=r2，由圓心到直線的距離等于圓的半徑，所以r= “-土7匚 窪 .J25725因此所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為22 256(x-1)2+(y-3) 2=.25

14、點評：要求能夠用圓心坐標(biāo)、半徑長熟練地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2寫出圓心為A(2,-3),半徑長等于5的圓的方程，并判斷點Mi(5,-7),M2(-U5 ,-1)是否在這個圓上.解:圓心為A( 2,-3),半徑長等于5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是2 2(x-2) +(y+3) =2 5,把點 M 1(5,-7),M 2(-75 ,-1)分別代入方程(x-2)2+(y+3) 2=25,則M1的坐標(biāo)滿足方程，M1在圓上.M2的坐標(biāo)不滿足方程，M2不在圓上.點評：本題要求首先根據(jù)坐標(biāo)與半徑大小寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后給一個點，判斷該點與圓的關(guān)系，這里體現(xiàn)了坐標(biāo)法的思想，根據(jù)圓的坐標(biāo)及半徑寫方程一一從幾何到代數(shù)；根據(jù)坐標(biāo)

15、滿足方程來看在不在圓上 從代數(shù)到幾何.例3 ABC的三個頂點的坐標(biāo)是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圓的方程.活動：教師引導(dǎo)學(xué)生從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2入手,要確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可用待定系數(shù)法確定a、b、r三個參數(shù).另外可利用直線 AB與AC的交點確定圓心，從而得半徑，圓的方程可求，師生總結(jié)、歸納、提 煉方法.解法一：設(shè)所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a) 2+(y-b) 2=r2，因為A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圓上，它們的坐標(biāo)都滿足方程(x-a)2+(y-b) 2=r2,于是(1)(3)2=r=r2.6_a)2 +(1 -b)2

16、=r2 *(7-a)2 +(J-b)2a =2,解此方程組得r =5.(2-a)2 +(丄-b)2所以 ABC的外接圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=25.1解法二：線段AB的中點坐標(biāo)為(6,-1),斜率為-2,所以線段AB的垂直平分線的方程為y+1=-(x-6).2同理線段AC的中點坐標(biāo)為(3.5,-3.5),斜率為3,所以線段AC的垂直平分線的方程為y+3.5=3(x-3.5).解由組成的方程組得x=2,y=-3,所以圓心坐標(biāo)為(2,-3),半徑r= J(5 -2)2 + (1 + 3)2 =5,所以 ABC的外接圓的方程為(x-2) 2+(y+3) 2=25.點評： ABC外接圓的圓

17、心是 ABC的外心，它是 ABC三邊的垂直平分線的交點，它到三頂點的距離 相等,就是圓的半徑，利用這些幾何知識，可豐富解題思路.思路2例1圖2是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖，該圓拱跨度AB=20 m,拱高0P=4 m,在建造時每隔4 m需用一個支柱支撐，求支柱A2P2的長度(精確到0.01 m).解:建立坐標(biāo)系如圖，圓心在y軸上，由題意得P(0,4),B(10,0).設(shè)圓的方程為x2+(y-b) 2=r2,因為點P(0,4)和B(10,0)在圓上，02 +(4 -b)2 =r2, b = -10.5,所以解得< 221102 +(0-b)2 =r2.ir=14.5 ,所以這個圓的方程是x2

18、+(y+10.5) 2=14.52.設(shè)點 P2(-2,y0),由題意 y0> 0,代入圓方程得(-2)2+(y0+10.5)2=14.52,解得 yo= 714522-10.5 14.3®0.5=3.86(m).答：支柱A2P2的長度約為3.86 m.例2 求與圓x2+y2-2x=0外切，且與直線X+ J3 y=0相切于點(3,- J3 )的圓的方程.活動:學(xué)生審題，注意題目的特點，教師引導(dǎo)學(xué)生利用本節(jié)知識和初中學(xué)過的幾何知識解題.首先利用配方法，把已知圓的方程寫成標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用兩圓外切及直線與圓相切建立方程組，求出參數(shù)，得到所求的圓的方程.解:設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+

19、(y-b)2=r2.圓x2+y2-2x=0的圓心為(1,0),半徑為1.因為兩圓外切，所以圓心距 等于兩圓半徑之和，即J(a -1)2 +(b-O)2 =r+1,b+V3 ( 1、1L a 3J 3由圓與直線X+ J3 y=0相切于點(3,- J3 ),得4L/W)2解得 a=4,b=0,r=2 或 a=0,b=-4 3 ,r=6.故所求圓的方程為(x-4)2+y2=4或x2+(y+4)2=36.點評：一般情況下，如果已知圓心(或易于求出)或圓心到某一直線的距離(或易于求出)，可用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來求解用待定系數(shù)法，求出圓心坐標(biāo)和半徑.變式訓(xùn)練一圓過原點 0和點P(1,3),圓心在直線y=x+2上

20、,求此圓的方程.解法一：因為圓心在直線y=x+2 上,所以設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,a+2).則圓的方程為(x-a)2+(y-a-2) 2=r2.因為點0(0,0)和P(1,3)在圓上，所以("(。- -2)：1(1-a) +(3 a-2)2=rI2'解得=r ,所以所求的圓的方程為(xV)2+(宀需1 3解法二：由題意：圓的弦 0P的斜率為3,中點坐標(biāo)為(-,3),2 2311所以弦OP的垂直平分線方程為y- 3 =-1 (x-1),即x+3y-5=0.232因為圓心在直線 y=x+2上，且圓心在弦OP的垂直平分線上，y = X + 2所以由/' 解得lx+3y-5 =0,

21、1xj，即圓心坐標(biāo)為7y蔦，1 7C(-；，4).又因為圓的半徑r=|OC|= k-1)2 +(7)2 =(空V 44 8所以所求的圓的方程為(x+ 1)2+(y- 7)2= .448點評:(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中有a、b、r三個量，要求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即要求a、b、r三個量，有時可用待定系數(shù)法.(2)要重視平面幾何中的有關(guān)知識在解題中的運用.例3求下列圓的方程：(1) 圓心在直線y=-2x上且與直線y=1-x相切于點(2,-1).(2) 圓心在點(2,-1),且截直線y=x-1所得弦長為22.解：(1)設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,-2a),由題意知圓與直線 y=1-x 相切于點(2,-1),所以，教師提示引導(dǎo)

22、，求圓的方程，無非就是確定圓的圓心和半徑，師生共同探討解題方法解:首先兩平行線的距離C1 -C2”啟=2,所以半徑為號1.方法一：設(shè)與兩直線3x+4y-7=0和3x+4y+3=0的距離相等的直線方程為3x+4y+k=0,由平行線間的距離IG -C2 |k+7|公式 d；12 ,得 Ja2 +b2J32 +42=I k 3 ，即 k=-2,所以直線方程為 3x+4y-2=0.解 3x+4y-2=0 與 y=2x 組 V42 +32成的方程組3x+4y-2=0,得 y = 2x,于 I22 4'',因此圓心坐標(biāo)為(一，一).又半徑為r=1,所以所求圓的方程為411 11(x- fr

23、+y11)2=1.11| a 2 a 1122-坐標(biāo)為(1,-2),半徑'2丨=J(a2)2 +(_2a+1)2,解得 a=1.所以所求圓心<12 +12r= J(1 -2)2 +(2+1)2 =.所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y+2) 2=2. 2 2 2 .設(shè)圓的方程為(x-2) +(y+1) =r (r>0),由題意知圓心到直線 y=x-1的距離為線y=x-1被圓截得弦長為2罷，所以由弦長公式得r2-d2=2,即r=2.所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2) 2+(y+1)2=4.點評:本題的兩個題目所給條件均與圓心和半徑有關(guān) ，故都利用了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解 ，此外平

24、面幾何的性 質(zhì)的應(yīng)用，使得解法簡便了許多，所以類似問題一定要注意圓的相關(guān)幾何性質(zhì)的應(yīng)用 ，從確定圓的圓心和半徑 入手來解決.(四) 知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)1、2.(一)拓展提升1. 求圓心在直線 y=2x上且與兩直線 3x+4y-7=0和3x+4y+3=0都相切的圓的方程. 活動:學(xué)生思考交流_ 14117116和«11因此圓心坐標(biāo)為3X = 一.11方法二：解方程組 戸+4八77與戸+4廠3 = 0,iy=2x,iy=2x,(,4).又半徑r=1,所以所求圓的方程為(x- )2+(y- 4)2=1.11 11 11 11點評:要充分考慮各幾何元素間的位置關(guān)系，把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來處理

25、(六)課堂小結(jié) 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 點與圓的位置關(guān)系的判斷方法 根據(jù)已知條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法. 利用圓的平面幾何的知識構(gòu)建方程. 直徑端點是 A(xi,yi)、B(X2,y2)的圓的方程是(x-xi)(x-X2)+(y-y i)(y-y2)=0.(七)作業(yè)1. 復(fù)習(xí)初中有關(guān)點與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系有關(guān)內(nèi)容2. 預(yù)習(xí)有關(guān)圓的切線方程的求法.3. 課本習(xí)題4.1 A組第2、3題.§ 4.1.2圓的一般方程DF22教材通過將二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后化為(x+)2+(y+)2=_二4后只需討論22、教材分析422222222D ED +E

26、 -4F>0、D +E -4F=0、D +E -4Fv 0與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程比較可知D +E -4F > 0時,表示以（- ,-）為圓2 2X=-2,y=-i,即只表示一個點2 21 ,心，一Jd2 + E2 -4F為半徑的圓；當(dāng)D2+E2-4F=O時，方程只有實數(shù)解2 D E 22(-,-)；當(dāng)D2+E2-4F< 0時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形2 2從而得出圓的一般方程的特點：(1)x2和y2的系數(shù)相同，不等于0；(2)沒有X y這樣的二次項；(3)D2+e2-4F >0其中(1)和是二元一次方程 Ax2+ Bxy + Cy2 + Dx + Ey+ F=0表示

27、圓的必要條件，但不是充分條件，只有 三條同時滿足才是充要條件 同圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(X a)2 + (y b)2=r2含有三個待定系數(shù) a、b、r 一樣,圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 中也含有三個待定系數(shù)D、E、F因此必須具備三個獨立條件才能確定一個圓同樣可以用待定系數(shù)法求得圓的一般方程在實際問題中，究竟使用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程還是使用圓的一般方程更好呢？應(yīng)根據(jù)具體問題確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點是明確指出了圓心的坐標(biāo)和圓的半徑，因此，對于由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)和圓的半徑或需利用圓心坐標(biāo)列方程的問題，一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程如果已知條件和圓心坐標(biāo)、圓的半徑都無直接關(guān)系，通常采用圓的一般方程；有時兩種

28、方程形式都可用時也常采用圓的一般方程的形式，這是因為它可避免解三元二次方程組圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點在于明確直觀地指出圓心坐標(biāo)和半徑的長我們知道，圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，它有利于研究圓的有關(guān)性質(zhì)和作圖而由圓的一般方程可以很容易判別一般的二元二次方程中，哪些是圓的方程，哪些不是圓的方程，它們各有自己的優(yōu)點，在教學(xué)過程中，應(yīng)當(dāng)使學(xué)生熟練地掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方 程與圓的一般方程的互化，尤其是由圓的一般方程通過配方化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而求出圓心坐標(biāo)和半徑要畫出圓，就必須要將曲線方程通過配方化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后才能畫出曲線的形狀這充分說明了學(xué)生熟練地掌握這兩種方程互化的重要性和必要性二、教學(xué)目標(biāo)在掌握

29、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，理解記憶圓的一般方程的代數(shù)特征，由圓的一般方程確定圓的掌握方程 X2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圓的條件_能通過配方等手段，把圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能用待定系數(shù)法求圓的方程 培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實際能力.1 .知識與技能.(1) 圓心半徑，(2)(3)2 過程與方法_通過對方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圓的條件的探究，培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實際 能力_3 .情感態(tài)度與價值觀.滲透數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的整體素質(zhì)，激勵學(xué)生創(chuàng)新，勇于探索_三、教學(xué)重點與難點教學(xué)重點：圓的一般

30、方程的代數(shù)特征，一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程間的互化，根據(jù)已知條件確定方程中的系數(shù)D、E、F.教學(xué)難點：對圓的一般方程的認(rèn)識、掌握和運用四、課時安排1課時五、教學(xué)設(shè)計(一)導(dǎo)入新課思路1.說出圓心為（a，b），半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 學(xué)生練習(xí)將以C（a，b）為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開并整理得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0. 指出：如果D=-2a，E=-2b，F(xiàn)=a 2+b2-r2，得到方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，這說明圓的方程還可以表示成另外一 種非標(biāo)準(zhǔn)方程形式. 能不能說方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的曲線一定是圓呢？這就是我們本堂課的內(nèi)容，教師板書課題：

31、圓的一般方程.思路2.問題：求過三點 A（0，0），B（1,1），C（4,2）的圓的方程.利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決此問題顯然有些麻煩，用直線的知識解決又有其簡單的局限性，那么這個問題有沒有其他的解決方法呢？帶著這個問題我們來共同研究圓的方程的另一種形式.教師板書課題：圓的一般方程.（二）推進新課、新知探究、提出問題 前一章我們研究直線方程用的什么順序和方法？ 這里我們研究圓的方程是否也能類比研究直線方程的順序和方法呢？ 給出式子x2+y2+Dx+Ey+F=0,請你利用配方法化成不含 x和y的一次項的式子. 把式子（X- a）2+ （y b）2=r2與x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后的式子比較，

32、得出x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的 條件. 對圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的一般方程作一比較，看各自有什么特點？討論結(jié)果：以前學(xué)習(xí)過直線，我們首先學(xué)習(xí)了直線方程的點斜式、斜截式、兩點式、截距式，最后學(xué)習(xí)一般式.大家知道，我們認(rèn)識一般的東西，總是從特殊入手.如探求直線方程的一般形式就是通過把特殊的 公式（點斜式、兩點式、）展開整理而得到的.，把標(biāo)準(zhǔn)形式展開，整 我們想求圓的一般方程，可仿照直線方程試一試！我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 理得到，也是從特殊到一般.2 22 2d 2 E 2 D2 + E2 -4F 把式子 x +y +Dx+Ey+F=O 配方得(x+ 一) +(y+ )=2 2（x a）2

33、 + （y b）2=r2中，r> 0時表示圓，r=0時表示點（a，b），r< 0時不表示任何圖形.2 2 中吐.乂 ( D 2 E 2 D +E -4F 因此式子(x+ )2+(y+ )2=22E1: 22（i ）當(dāng) D +E -4F >0 時,表示以（"，-）為圓心，?l"D + E - 4Fdex=- 一，y=- ，即只表示一個點22，因而它不表示任何圖形.表示的曲線不一定是圓，由此得到圓的方程都能寫成為半徑的圓;（ii ）當(dāng)D2+E2-4F=O時方程只有實數(shù)解2 2（iii）當(dāng)D2+E2-4F < 0時，方程沒有實數(shù)解2 2綜上所述，方程x2+

34、y2+Dx+Ey+F=O x2+y2+Dx+Ey+F=O的形式，但方程x2+y2+Dx+Ey+F=O表示的曲線不一定是圓，只有當(dāng)D2+E2-4F> 0時,它表示 的曲線才是圓.因此x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是 D2+E2-4F>0.我們把形如x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的方程稱為圓的一般方程.圓的一般方程形式上的特點：x2和y2的系數(shù)相同，不等于0.沒有xy這樣的二次項.圓的一般方程中有三個待定的系數(shù)d、e、f，因此只要求出這三個系數(shù)，圓的方程就確定了 .與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大

35、小，幾何特征較明顯.（三）應(yīng)用示例思路1例1判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是，請求出圓的圓心及半徑.2 2(1)4x +4y -4x+12y+9=0;2 24x +4y -4x+12y+11=0.229解: 由 4x2+4y2-4x+12y+9=0,得 D=-1,E=3,F= ,4而 D2+E2-4F=1+9-9=1 > 0,1 31所以方程4x2+4y2-4x+12y+9=0表示圓的方程，其圓心坐標(biāo)為(一，-),半徑為一；2 222 2由 4x +4y -4x+12y+11=0,得11 2 2D=-1,E=3,F= ，D +E -4F=1+9-11=-1 < 0,4所

36、以方程4x2+4y2-4x+12y+11=0不表示圓的方程.點評：對于形如Ax2+By2+Dx+Ey+F=0的方程判斷其方程是否表示圓，要化為x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式，再利用條件D2+E2-4F與0的大小判斷，不能直接套用.另外，直接配方也可以判斷.變式訓(xùn)練求下列圓的半徑和圓心坐標(biāo)：(1) x2+y2-8x+6y=0;(2)x 2+y2+2by=0.解：(1)把 x2+y2-8x+6y=0 配方，得(x 4)2 + (y+3) 2=52所以圓心坐標(biāo)為(4,-3),半徑為 5;(2) x2+y2+2by=0 配方，得 x2+ (y+b)2=b2,所以圓心坐標(biāo)為(0,-b),半徑為 |

37、b|.例2 求過三點0(0,0)、M1(1,1)、M2(4,2)的圓的方程，并求圓的半徑長和圓心坐標(biāo).解:方法一：設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由0、M1、M?在圓上，則有|F =0.D +E +F +2 =0, 4D +2E +F +20 =0.解得 D=-8,E=6,F=0,5.故所求圓的方程為 x2+y2-8x+6y=0,即(X 4)2 + (y+3)2=52.所以圓心坐標(biāo)為(4,-3),半徑為115 3方法二：先求出 OM 1的中點E( , ),M1M2的中點F(,),2 22 211再寫出OM 1的垂直平分線 PE的直線方程y- - =-(x-),2235AB的垂直

38、平分線 PF的直線方程y-?=-3(x-5),+ y=1 rx=4聯(lián)立得i得i '則點P的坐標(biāo)為(4,-3),即為圓心.OP=5為半徑.Qx + y = 9,ly = -3.方法三：設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為P (a,b),根據(jù)圓的性質(zhì)可得|O P|=|A P|=|B P|,即 x +y =(x-1) +(y-1) =(x-4) +(y-2)，解之得 P(4,-3),OP=5 為半徑.方法四：設(shè)所求圓的方程為(x a)2 + (y b)2=r2，因為O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)在圓上，所以它們的坐標(biāo)是方程的解.把它們的坐標(biāo)代入上面的方程，可以得到關(guān)于a、b、r的方程組，即0-a)

39、2 +(1-b)2 =r2,y2+b2 =r2,(4-a)2 +(2 b)2 =r2.|a =4,解此方程組得b=,所以所求圓的方程為(x 4)2+ (y+3) 2=52，圓心坐標(biāo)為(4,-3),半徑為5.r = 5.點評：請同學(xué)們比較，關(guān)于何時設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，何時設(shè)圓的一般方程.一般說來，如果由已知條件容易求 圓心的坐標(biāo)、半徑或需要用圓心的坐標(biāo)、半徑列方程的問題，往往設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；如果已知條件和圓心坐標(biāo)或半徑都無直接關(guān)系，往往設(shè)圓的一般方程.例3已知點P(10,0),Q為圓x2+y2=16上一動點.當(dāng) Q在圓上運動時，求 PQ的中點M的軌跡方程.活動：學(xué)生回想求曲線方程的方法與步驟，思考討

40、論，教師適時點撥提示 中點作中線，利用中線定長可得方程，再就是利用求曲線方程的辦法來求.解法一：如圖1,作MN / OQ交x軸于N，則N為OP的中點，即 N(5,0).1因為|MN|=丄|OQ|=2(定長).2所以所求點M的軌跡方程為(x-5)2+y2=4.點評：用直接法求軌跡方程的關(guān)鍵在于找出軌跡上的點應(yīng)滿足的幾何條件 多問題中，動點滿足的幾何條件較為隱蔽復(fù)雜，將它翻譯成代數(shù)語言時也有困難 題的新方法.轉(zhuǎn)移法就是一種很重要的方法 探求它是由什么樣的點控制的.解法二:設(shè)M(x,y)為所求軌跡上任意一點Q(xo,yo).，然后再將條件代數(shù)化.但在許 ，這就需要我們探討求軌跡問.用轉(zhuǎn)移法求軌跡方程

41、時，首先分析軌跡上的動點M的運動情況，x因為M是PQ的中點所以iy_10 + X0 即«»10. 0 +y00 =2y.-2 ，(*)又因為Q(X0,y0)在圓x2+y2=16上，所以X02+y02=16.將(*)代入得2 2 (2x-10) +(2y) =16.故所求的軌跡方程為(x-5) 2+y2=4.點評：相關(guān)點法步驟：設(shè)被動點 M(x,y),主動點Q(X0,y0).x = f1 (X0, y0),求出點M與點Q坐標(biāo)間的關(guān)系y = f2 (x。，y。)(I ) 從(I )中解出卜=gl(x，y)，“0 =g2(x，y). 將(n)代入主動點Q的軌跡方程 這種求軌跡方程

42、的方法也叫相關(guān)點法 變式訓(xùn)練(已知曲線的方程),化簡得被動點的軌跡方程 ,以后要注意運用.已知線段AB的端點B的坐標(biāo)是(4,3)，端點A在圓(x+1)2+y2=4上運動，求線段AB的中點M的軌跡方程.，本題可利用平面幾何的知識，見解:設(shè)點M的坐標(biāo)是(x,y), 點A的坐標(biāo)是(Xo,yo).,y=由于點B的坐標(biāo)是(4,3)且M是線段AB的中點，所以x= ,y=3 .于是有xo=2x-4,y o=2y-3.2 2因為點A在圓(x+1)2+y2=4上運動，所以點A的坐標(biāo)滿足方程(x+1)2+y2=4,即(xo+1)2+yo2=4.33把代入，得(2X-4+1) 2+(2y-3) 2=4,整理，得(X

43、- )2+(y )2=1.2233所以點M的軌跡是以(形)為圓心，半徑長為1的圓.思路2例1 求圓心在直線I: x+y=o上，且過兩圓Ci：x2+y2-2x+ioy-24=o和C2：x2+y2+2x+2y-8=o的交點的圓的方程. 活動：學(xué)生審題，教師引導(dǎo)，強調(diào)應(yīng)注意的問題，根據(jù)題目特點分析解題思路，確定解題方法.由于兩圓的交點可求，圓心在一直線上，所以應(yīng)先求交點再設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.Tx2 +y2 -2x+10y-24 = 0解:解兩圓方程組成的方程組4 yy得兩圓交點為(0,2),(-4,0).X2 + y2 +2x +2y -8 =0.設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,因為兩點在所求圓上，且圓心在直線l 上,所以得方程組! 2=r ,2=r ,(r-a)2 +b2Ja2 +(2-b)2 : la +b =0.解得 a=-3,b=3,r= J1O .故所求圓的方程為(x+3) 2+(y-3) 2=10.點評：由已知條件容易求圓心坐標(biāo)、半徑或需要用圓心的坐標(biāo)、 半徑列方程的問題，往往設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.例2已知圓在x軸上的截距分別為1和3,在y軸上的截距為-1,求該圓的方程.解法一:利用圓的一般方程.設(shè)所求的圓的方程為 x2+y2+Dx+Ey+F=0,由已知，該圓經(jīng)過點(1,0),(3,0)和(0,-1),則有1 +D +F =0,2 2 2*3 +3D+F =0,解