導(dǎo)數(shù)的綜合問(wèn)題

1、全國(guó)名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)學(xué)案匯編(文科，附詳解)導(dǎo)數(shù)的綜合問(wèn)題、構(gòu)造法解決抽象函數(shù)問(wèn)題在導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的客觀題中， 有一個(gè)熱點(diǎn)考查點(diǎn)，即不給出具體的函數(shù)解析式， 而是給 出函數(shù)f(x)及其導(dǎo)數(shù)滿足的條件，需要據(jù)此條件構(gòu)造抽象函數(shù)，再根據(jù)條件得出構(gòu)造的函數(shù) 的單調(diào)性，應(yīng)用單調(diào)性解決問(wèn)題的題目， 該類題目具有一定的難度. 下面總結(jié)其基本類型及 其處理方法.參越O只含f(x)型HED定義在 R上的函數(shù)f(x)滿足f(1) = 1, 且對(duì)任意 x R都有f'x)<2，則不等式X2 + 1 f(x2)>廠的解集為()A. (1, 2)B.(0, 1)C. (1 ,+8 )D.(1 ,

2、1)1【解析】構(gòu)造函數(shù)g(x)= f(x) 2x+ c(c為常數(shù))，則g'x)<0,即函數(shù)g(x)在R上單調(diào)2 . 1遞減，且 g(1) = f(1) 1 + c= 2+ c.f(x2)> = lx2 +1即 f(x2) 費(fèi) + c>2+ c,即 g(x2)>g(1),即 x2<i ,即l<x<1.故選 D.【答案】D利用(f(x) + kx+ b) = f'x) + k,根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)，可得出函數(shù)g(x) = f(x) + kx+ b的單調(diào)性，利用其單調(diào)性比較函數(shù)值大小、解抽象函數(shù)的不等式等.含f ±，x)(入為常數(shù))型33(

3、1)已知f(x)為R上的可導(dǎo)函數(shù)，且？x R，均有f(x)>f'x)，則有()e2 015f( 2 015)<f(0), f(2 015)>e2 015f(0)2 0152 015ef( 2 015)<f(0), f(2 015) < e f(0)C.e2 015f( 2 015) > f(0), f(2 015)>e2 015f(0)e2 015f( 2 015) > f(0), f(2 015) < e2 015f(0)已知定義在 R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)+ 2f'x)>0恒成立，且f(2) = g(e為自然

4、對(duì)數(shù)的底X數(shù))，則不等式exf(x) e2>0的解集為.【解析】(1)僅從f(x)>f'x)這個(gè)條件，無(wú)從著手，此時(shí)我們必須要借助于選擇題中的選項(xiàng)的提示功能，結(jié)合所學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析.構(gòu)造函數(shù)h(x) =，則h'x)= f(x)f(x)<0,即h(x)ee.e2 015f( 2 015)>f(0);同理，h(2 e在R上單調(diào)遞減，故h( 2 015)>h(0),即f(22滬塢? e一由 f(x)+ 2f'x)>0? 2一 112f(x) + f(x) j>0,可構(gòu)造015)<h(0),即 f(2 015)<e2 015

5、- f(0),故選 D.x1專h(x) = e f(x)?h'x) = 2ef(x) + 2f' x(>0 ,x所以函數(shù)h(x)= e2 (x)在 R上單調(diào)遞增，且h(2) = e - f(2) = 1.不等式exf(x) e2>0等價(jià)于e2xx9f(x)>1 ,即 h(x)>h(2)? x>2,所以不等式 ef(x) e >0 的解集為(2, +8).【答案】(1)D(2)(2 ,+8 )由于ex>0 ,故exf(x) = f(x) + f'x)ex,其符號(hào)由f(x) +f'x)的符號(hào)確定，f(x)f(x),其符號(hào)由f

6、'x) f(x)的符號(hào)確定.含有f(x) ± f'x)類的問(wèn)題可以考慮構(gòu)造上述兩個(gè)函數(shù). f)+Fx(>0? eb f(x) ' >0. 越©© 含 xf(x) ±Fx)型【例I (1)設(shè)函數(shù)f'x)是奇函數(shù)f(x)(x R)的導(dǎo)函數(shù)，且f( 2)= 0,當(dāng)x>0時(shí)，xf'x) f(x)<0 , 則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(A . ( 8, 2) U (0 , 2)B. ( 2, 0) U (2 ,+8 )C. (8, 2)U ( 2, 0)D. (0, 2) U (2 ,

7、+8 )已知偶函數(shù)f(x)是定義在x R|xM 0上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f'x).當(dāng)x<0時(shí),f'x)>f(x恒成立設(shè)xm>1，記 a= 4mmm； 1, b= /mf(/m), c= (m+ 1)1丿貝y a, b,c的大小關(guān)系為(A. a<b<cB. a>b>cD. b>a>cC. b<a<c設(shè)函數(shù)f(x)在 R上的導(dǎo)函數(shù)為f' X)，且2f(x)+ xf' x)>x2.下面的不等式在 R上恒成立的A. f(x)>0B. f(x)<0C. f(x)>xD. f(x)&

8、lt;x【解析】 當(dāng)x>0時(shí)，構(gòu)造函數(shù)g(x)= f(x即g(x)在(0, +8)上單調(diào)遞減，g(2) = 0,所以g(x)>0在(0, +8)上的解集為(0, 2),故f(x)>0在(0，+S)上的解集為(0, 2), g(x)為偶函數(shù)，故g(x)<0在(一® 0)上的解集為(一8, 2),故f(x)>0在(一8, 0)上的解集為(-8, 2).綜上可知，f(x)>0的解集為(一8, 2) U (0, 2).故選A.當(dāng) x<0 時(shí)，f'x)>f(? xf'x)-f(x)<0.x構(gòu)造函數(shù)g(x)=血,x則g +處一

9、兇<0,x即g(x)在(-8, 0)上單調(diào)遞減.函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，故g(x)為奇函數(shù)，得g(x)在(0, +8)上單調(diào)遞減.f血) f(7m). fbm+1 丿b= 4m 廠，c = 4m .2寸 m4mm + 1因?yàn)閙>1,所以m+ 斥 無(wú)<2£=2師所以m+ 1>2辰誥所以g(m+ 1)<g(2劇所以4mg(m + 1)<仆9(2師)<伽9'即a<b<c.故選A .(3)構(gòu)造函數(shù) g(x) = x2f(x),則其導(dǎo)數(shù)為 g' X) = 2xf(x) + xf X). 當(dāng)x>0時(shí)，由 2f(x) + x

10、f 'x)>x2,得 g 'x)= 2xf(x) + xf x)>x3>0 ,即函數(shù)g(x) = x2f(x)在區(qū)間(0, +8)上遞增，故 g(x) = x f(x)>g(0) = 0? f(x)>0 ; 當(dāng) x<0 時(shí)，有 g'刈=2xf(x) + x2F x)<x3<0, 即函數(shù)g(x) = x2f(x)在區(qū)間(-8, 0)上遞減，故 g(x) = x f(x)>g(0) = 0? f(x)>0 ；當(dāng)x= 0時(shí)，由 2f(x) + xf'x)>x2,得 f(x)>0.綜上，對(duì)任意x R

11、，有f(x)>0,應(yīng)選A .【答案】(1)A(2)A(3)A由于xf(x) =f(x) + xf'x),號(hào)1沁兇，后者導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與xf'x) f(x)一致.在含有xf 'x) ±(x)類問(wèn)題中，可以考慮構(gòu)造上述函數(shù).對(duì)于 xf'x) +nf(x)>0 型，構(gòu)造 F(x)= xnf(x),貝U F'(= xn1xf'x) + nf(x)(注意對(duì) xn 1 的 符號(hào)進(jìn)行討論)，特別地，當(dāng) n = 1 時(shí)，xf' x) + f(x)>0 ,構(gòu)造 F (x) = xf(x)，則 F ' x) = xf'

12、 x) + f(x)>0 ;f(x)xf (x) nf(x)對(duì)于xf' x) nf(x)>0型，且X M 0,構(gòu)造F(X)= T,則F ' x)= 亍(亦需注意對(duì)xxnr的符號(hào)進(jìn)行討論)，特別地，當(dāng)n= 1時(shí)，xf'x) f(x)>0,構(gòu)造F(x)=血,貝U F 'x)=xxf'(x) f(x),7>0.©®© 含 f(x) ±，x)tan x 型38® 已知函數(shù) f(x)的導(dǎo)函數(shù) f'x(當(dāng) x(0, 2n時(shí)，f' x)sin 2x<f(x)(1 + cos

13、 2x)成立，下列不等式一定成立的是()A.B.C.g由于在【解析】 f'(x)sin 2x<f(x)(1 + cos 2x)? f' x)sin x f(x)cos x<0.sin x令g(x)=黑，g'x) = f'(x)sin辭丫朋x<0可知g(x)在(0, n上單調(diào)遞減，所以故選B.,sin x f(x) = cos x f(x) + sin x f' x),其符號(hào)與 f(x)+ f' x)tan x 相同，盅卜f'(x)sin篇fxx)cos x,其符號(hào)與f'x)tan x-f(X)符號(hào)相同.在含有f(

14、x) ±'x(an x的問(wèn)題中，可以考慮構(gòu)造函數(shù)f(x)sin x，f(x)cos x，瓷，cOSx等.“存在性問(wèn)題”與“任意性問(wèn)題”的辨析全國(guó)名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)學(xué)案匯編(文科，附詳解)1.(2)?x,使得 f(x)>g(x),38國(guó)(1)設(shè)函數(shù)f(x)=為使式對(duì)？x (0, 1)成立，當(dāng)且僅當(dāng)a12> e，o “?x,使得 f(x)>g(x)” 與 “?x,使得 f(x)>g(x)” 的辨析(1)?x,使得 f(x)>g(x),只需 h(x)min =f(X) g(x) min>0.如圖1 1 -祐(x>0且xM 1), f(x)

15、在(0, 2上單調(diào)遞增，若2x>xa對(duì)于任意x (0,1)成立，則a的取值范圍是已知函數(shù) f(x)= 3ln x 2x2+ x, g(x)= 3x + a,若存在 x。，使得 f(x0)>g(X0)成立，則參數(shù)a的取值范圍是1 1【解析】(1)在2x>xa兩邊取對(duì)數(shù)，得-In 2> a In x. x由于xe (0, 1)，所以診盤.由f(x)在(0 , rn上單調(diào)遞增知，當(dāng)x (0, 1)時(shí)，f(x) < ffm= e.x即 a> eln 2.I 2設(shè) h(x) = 3ln x 2x 2x.?X0>0,使f(xo)>g(xo)成立，等價(jià)于？x&

16、gt;0,1使 h(x) = 3ln x 2x2 2x>a 成立，等價(jià)于 a<h(X)max(X>0).(X 1)(x + 3)X因?yàn)?h，xX 3 X 2=-x2-2x+ 3一X令嚴(yán))>0,得 0<x<1 ;令 嚴(yán))<0,得 x>1. x>0,x>0,所以函數(shù)h(x)= 3ln x x2 2x在(0, 1)上單調(diào)遞增，在(1, +s)上單調(diào)遞減，55所以函數(shù) h(x)max= h(1) = 5,即 a< 2,全國(guó)名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)學(xué)案匯編(文科，附詳解)5因此參數(shù)a的取值范圍為(一8, -1).【答案】 (1)(-eln l

17、,+8 )(2)(-8,- |)& “若?xi Di, ?X2 D2,使得 f(xi)= g(X2)” 與 “ ？xi Di, ?X2 D2 ,使得 f(Xi) = g(X2)”的辨析(1)?xi Di, ?X2 D2,使得f(Xi) = g(x2)等價(jià)于函數(shù)f(x)在Di上的值域A與g(x)在D?上圖4f(x)在Di上的值域A是g(x)在D2上y = f(x)的函數(shù)值都在函數(shù)y的值域B的交集不空，即A n B豐?(如圖3).其等價(jià)轉(zhuǎn)化的目標(biāo)是兩個(gè)函數(shù)有相等的函數(shù)值. (I)?X1 Di, ?X2 D2,使得 f(Xi) = g(x2)等價(jià)于函數(shù)的值域B的子集，即A?B，如圖4,其等價(jià)

18、轉(zhuǎn)化的目標(biāo)是函數(shù) =g(x)的值域之中.說(shuō)明圖3,圖4中的條形圖表示函數(shù)在相應(yīng)定義域上的值域在y軸上的投影.已知函數(shù) f(x)=x2-3ax3, a>0, x R.g(x)=x|(?.(1)若?xi (-8,- 1, ?x2 卜8,- D 使得 f(Xi)= g(x2)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍;3當(dāng)a = 2時(shí)，證明：對(duì)于任意的xi (2 ,+8),都存在X2 (i, +8),使得f(xi) = g(x2).【解】因?yàn)閒(x)= X2-|ax3,3所以 f' x) = lx 2ax2= 2x(1 ax).ii令 f'x(= 0,得 x= 0 或 x=-因?yàn)?a>0,

19、所以；>0,所以當(dāng) x (-8, 0)時(shí)，f'x)<0,所+ 8)aa以f(x)在(- 8, - 1上單調(diào)遞減，f(x)在(-8, - 1上的值域?yàn)? + y,1廠 1 、 3x2 一 |x3x 2因?yàn)?g(x戸 XVX)，則g'刈=Z 卜7.當(dāng) x<-2時(shí)，g'x)>0, g(x)單調(diào)遞增，g(x)<g(護(hù)g(x)在(一8-1力的值域?yàn)閒 8, 3若？xi (-8, - 1 , ?X2(-8, -2)全國(guó)名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)學(xué)案匯編(文科，附詳解)1.使得f(x1) = g(x2),則1+詈嶺 則a<|.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,

20、I).證明：當(dāng) a= 3時(shí)，f(x)= x2 x3,所以 f'x) = 2x 3x2= 3| X)分析可知，f(x)在(1 , +8)上單調(diào)遞減，且f(2) = 4.所以f(x)在(2, +8)上的值域?yàn)?8, 4)., 1則 g(x) = X1) =在(1,+8)上單調(diào)遞增,1所以g(x)=_在(1, +8)上的值域?yàn)?8, 0).x (1 一 x)因?yàn)?一8, 4)(- 8, 0),所以對(duì)于任意的X1 (2, +8),都存在X2 (1 , +8),使得f(X1)= g(X2).® f(x), g(x)是閉區(qū)間 D 上的連續(xù)函數(shù)，“?X1, X2 d ,使得 f(X1)&g

21、t;g(X2)” 與 “?X1, X2 D,使得f(X1)>g(X2)”的辨析(1)f(x) , g(x)是在閉區(qū)間D上的連續(xù)函數(shù)且？X1, Xi D，使得f(x1)>g(x2)等價(jià)于f(x)min>g(x)max淇等價(jià)轉(zhuǎn)化的目標(biāo)是函數(shù)y = f(x)的任意一個(gè)函數(shù)值均大于函數(shù)y= g(x)的任意一個(gè)函數(shù)值，如圖 5.圖右f(x)max>g(x)min .其等價(jià)轉(zhuǎn)化的目標(biāo)是函數(shù)y=f(x)的某一個(gè)函數(shù)值大于函數(shù)y= g(x)的某些函數(shù)值如圖2M3 已知 f(x)= x + 貴a>0), g(x)= x+ In x.入圖5存在X1, X2 D，使得f(X1)>

22、g(X2)，等價(jià)于6.若對(duì)任意的X1, X2 1 , e,都有f(Xi)>g(x2)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;若存在X1 , X2 1 , e，使得f(X1)<g(X2),求實(shí)數(shù)a【解】(1)對(duì)任意的X1, X2 1 , e時(shí)，都有f(x1)>g(x2)成立，等價(jià)于x 1 , e時(shí)，f(x)min> g(x)max.的取值范圍.當(dāng) x 1 , e時(shí)，g5= 1 + 'o,所以 g(x)在1 , e上單調(diào)遞增，所以 g(x)max= g(e)= e+入只需證f(x)e+ 1,全國(guó)名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)學(xué)案匯編(文科，附詳解)2 即 X + a A e+1 ? a2&

23、gt; (e + 1)x x2 在1 , e上恒成立即可. 令 h(x) = (e+ 1)x x?.當(dāng) X 1 , e時(shí)，h(x) = (e + 1)x x2 的最大值為2 2滄+ n /e + 1、”、 2、滄 + 1) an 、e+ 1h廠丿.所以 a A 丿,即aAF.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是存在 X1, x2 1 , e,使得 f(X1)<g(X2),等價(jià)于 x 1 , e時(shí)，f(x)min<g(x)max.當(dāng) X 1 , e時(shí)，9'刈=1 + ->0 ,所以 g(x)在1 , e上單調(diào)遞增，所以 g(x)max= g(e)= e+入1.綜合得實(shí)數(shù)b的取值范圍是呼

24、,+ 8 2f(x)= x + V(a>0)在(0, a)上單調(diào)遞減，在(a, + )上單調(diào)遞增.當(dāng) 0<a<1時(shí)，f(x)在1 ,e上單調(diào)遞增，2f(x)min = f(1) = 1 + a <1 + e,符合題意；當(dāng)1 < aw e時(shí)，f(x)在1 , a上單調(diào)遞減，在a, e上單調(diào)遞增.f(x)min = f(a) = 2a,1 + e此時(shí)，2a<1 + e,解得 K a<廠2<1 + e,即 acfe, e2當(dāng) a>e 時(shí)，f(x)在1 , e上單調(diào)遞減，f(x)min = f(e)= e+ 7,此時(shí)，e+ 與a>e矛盾，不符合題意.綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0, 號(hào)STS(1)從數(shù)的角度看，問(wèn)題的本質(zhì)就是f(x)min A g(x)ma-,從形的角度看，問(wèn)題的本質(zhì)就是函 數(shù)f(x)圖象的最低點(diǎn)也不低于g(x)圖象的最高點(diǎn).從形的角度看，冋題的本質(zhì)就是函數(shù)f(x)圖象的最低點(diǎn)低于 g(x)圖象的最咼點(diǎn).Q“?xiDi, ?X2D2,使f(xi)>g(x2)”與 “ ?xi Di,?X2D?,使 f(Xi)<g(x2