導(dǎo)數(shù)常用的一些技巧和結(jié)論

1、全國名校高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)學(xué)案優(yōu)質(zhì)課時訓(xùn)練專題匯編(經(jīng)典優(yōu)質(zhì)試題匯編)t 取+ 1X X Id /= 一1Inx<x-l(x>0).vW詡工彳1ln(jc4-l)<r(x >1)室乘消項X +T取三即二七1理一 xIn工hi3-In叮>x xIfl ' +1 即】n fJ xX加強版導(dǎo)數(shù)常用的一些技巧和結(jié)論1 1 1-|L" I! V 'll >1-2 3<1 口(打+1)< 1 + 414*】 人2 打加強版X -1 > In x > -ex > £-1證明調(diào)和級數(shù)不收斂+ 2>ln(n

2、 + l)一、基礎(chǔ)練習(xí)題：L討論函數(shù)/二2柒。巴(工>0)的零點的個數(shù)； x2 .討論函數(shù)f(x) ="(1 -" - 2x) - a, (x > 0)的零點的個數(shù)；3 .討論函數(shù)/() =，-二，的零點的個數(shù)；x4 .討論函數(shù)/(工)=+ L-出的零點的個數(shù)； x5 .討論函數(shù)的零點的個數(shù)；64！時，討論函數(shù)/(h)=出工-仆的零點的個數(shù)； eL關(guān)系式為“加”型 / （x）+/（x）o 構(gòu)造，/（£） =，!/（/|<2> 寸+/(r)2 0 構(gòu)造（3）爐（x）+叭工）之0構(gòu)造卜/（工）| 二上了|x）+，4/（上上”“47|士叨/J 注

3、意對工的符號進行討論2.關(guān)系式為“海川型(2) / (x)-/U)>0_ /(/ - /aw -，包一/(”xf (x)-f(x>0 構(gòu)造如）一/（。X2（3 xf （x）-nf（x）0構(gòu)造冬卜x了"彳（?二,（、） 注意對工的符號進行討論）1、lll(x + 1) W x(sc > li2、e* > 化 + l(z G R):2Q 1) , .;Ina:(x 1)E + 14、:2(工一1) ,、Ina; W - (0 V rr W 1)x + 1'5、11In® W )(x21)2x6、11Inrr ) 一(比一一)(0 <

4、63; W 1) 2a?7、ln(l +£)2£ 3(-o) J(優(yōu)質(zhì)試題年全國新課標1 理 21)已知f(x)=ae2x+(a.2)ex . x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.解析：(1 ) f'(x ) = 2ae2x +(a -2 Jex 1 = (2ex +1 * aex -1 )若aW0,則f'(x)<0恒成立，所以f(x)在R上遞減；若 a >0 ,令 f'(x)=0,得 ex=1,x = ln1. a a當 x <ln 1 時，f'(x)<0 , 所以f(x )在

5、U,ln1 i上遞減； a. a當 xln 工時，f'(x)>0, 所以f (x )在ZnLy上遞增. aI a J綜上，當aE0時，f(x任R上遞減；當a>0時，f(x )在 Q,ln)上遞減，在Jn -, I a)I aJ上遞增.(2 ) f(x)有兩個零點，必須滿足f(x)min<0 ,即a>0 ,且，.1，1. 1-f xlfn=-1l l n.0m i n . aa a構(gòu)造函數(shù) g(x )=1-x-lnx, x>0.易得 g'(x )=-1<0 ,所以 g(x)=1-x-lnx單調(diào)遞減. x又因為 g(1) = 0,所以 11ln

6、工 <0u g 11 <g(1)u 1 >1 0<a<1. a ala Ja下面只要證明當0<ac1時，f(x)有兩個零點即可，為此我們先證明當x>0時，x ln x .事實上，構(gòu)造函數(shù) h(x) = x-lnx ,易得 h'(x) = 1-1 /. h(x nm =h(1) = 1 所以 h(x)0 x當 0 <a <1 時，f(-1 尸且 +aS2 +1 = e e2a ea e -2>0,/3-a)/3)/3)/3)3/3)fn=a-1 I +(a-2l -1 l-ln -1 = -1-ln -1 >0 ,I a

7、JlaJlaJlaJ ala/其中_1<ln1 in3/1所以f（X）在匚1,ln 1 i和ln 1,ln三a i上各有一個零點a a aaa a故a的取值范圍是（0,1）.注意：取點過程用到了常用放縮技巧。ae2x +(a 2 )eX-x>0u ae2x +(a-2 )ex - ex 2 0u aex + a 3 2 0u ex >-au x > ln '3-1 ； alaJ另一方面:x<0 時,ae2x+(a-2)ex-x0u (a-2)ex-x 2 0Mx = -1 (目測的)常用的放縮公式 （考試時需給由證明過程）第一組：對數(shù)放縮（放縮成一次函數(shù)）

8、lnxEx1, lnx<x, ln(1+x)Ex（放縮成雙撇函數(shù)）ln x <11 x -1 l(x>1 ), lnx>1'x-1"l(0<x<1), 2 . x2 xln x < Vx -=(x >1 ),ln x a dx -(0 < x <1 h. x(放縮成二次函數(shù)) lnxEx2x, ln (1 十 x 戶 x-1*2 (T <x < 0 ), ln (1 十 x 廬 xx2 (x > 0 )(放縮成類反比例函數(shù))T，(x>1), lnx<*(0<x<1),x .

9、2x2x _1n P+X）之工，ln（1+x）>1（x>0h 1n（1+X）父=（XM0）第二組：指數(shù)放縮（放縮成一次函數(shù)）ex _x +1 , ex > x , ex > ex ,（放縮成類反比例函數(shù)）ex < （x<0）, ex <-（x<0）,1 -xx（放縮成二次函數(shù)）ex >1+x + -x2（x>0） ex >1 + x +-x2 +- x32 '26'第三組：指對放縮ex Tn x _ x 1 x -1 =2第四組：三角函數(shù)放縮121. 21 - x _cosx_1 sin x .2212sinx

10、<x <tanx（x>0 ）, sin x >x -x ,第五組：以直線y=x.1為切線的函數(shù)x 121y =1n x , y =e -1 , y = x x , y =1 - , y=x1nx. x幾個經(jīng)典函數(shù)模型經(jīng)典模型一：y = l或y=上 . xIn x【例1】討論函數(shù)f(x)=1nx-ax的零點個數(shù).（1） a/時, e無零點.11f'（x）Ta，f - d，1， C=1n 一 一1 < 0.a1個零點.11.一f(x)=f(xLx = f(e尸lne1 = 0. x e(3)當0<a,時，2個零點.(目測)，f信卜n七一七(匕一1一號=0

11、,其中1* "(放縮)f e j=1 - ea 0 .，)ff,111=ln -a=a<0,其中 Ke”.(用到了 1nx<« 一a(x")(4)當aw。時，1個零點.f'(x)aA0,單調(diào)遞增.f(1)=_a>0,xfJa+C-0.1ale e e J a【變式】(經(jīng)過換元和等價變形之后均可以轉(zhuǎn)化到例1： f(x)=1nx - ax)：1 .討論f (x )=1n x-m4的零點個數(shù)(令Vx=t, ；=a)；2 .討論f (x )=x-mln x的零點個數(shù)(令工= a)；m3 .討論f (x )=Vx1n x-mx的零點個數(shù)(考慮g (

12、x )=)； x4 .討論f(x尸mx的零點個數(shù)(考慮g(x)=jxf(x),令t = x2, ?m = a); x25 .討論 f (x )=1n x-mx2 的零點個數(shù)(令 t=x2, 2m=a);6 .討論f(x尸ax-ex的零點個數(shù) (令ex=t).xx經(jīng)典模型二：y=或y=& xx【例2討論函數(shù)f (x) = ex-ax的零點個數(shù)(1) a<0時，1個零點.f' x =ex -a 0 f x = ex- ax 單調(diào)遞增.且f(0)=1-a>0, f】=eJl<0,所以在,1,0 i上有一個零點；la J1al(2) a=0時，無零點.f (x) =

13、ex a0恒成立；(3) 0<a<e時，無零點.f (fin =f 0na)=a(1-lna)>0；(4) a>e時，2個零點.1-f 一 f=ea-1>0, "1)=e-aH0, f (2ln a )=a(a - 2ln a )> a(e-2)> 0. a【變式】(經(jīng)過換元和等價變形之后均可以轉(zhuǎn)化到例題2： f(x)=ex.ax)：1 .討論f (x )=e2x -mx的零點個數(shù)(令2x=t, £=a); x2 .討論f(x尸J-工的零點個數(shù)(去分母后與1等價)； x e3 .討論f (x尸ex -ma的零點個數(shù)(移項平方后與1等

14、價)；4 .討論f(x尸ex+mx2的零點個數(shù)(移項開方后換元與1等價)；5 .討論f (x )=ex,-mx的零點個數(shù)(乘以系數(shù)e,令em = a);6 .討論f(x尸叱-mx的零點個數(shù)(令x=et,轉(zhuǎn)化成2) x7 .討論f (x )=ex由-mx + m的零點個數(shù)(令x-1=t, ? = a);e經(jīng)典模型二：y=xlnxK y = xex【例】討論函數(shù)f x =lnx.芻的零點個數(shù). x(1) a >0時，1個零點.f'(x) = 上底 >0, f (x)=ln x-a 單調(diào)遞增.xx. a1 a _f(1)=-a<0, f(1+a) = ln(1+a )>

15、;1= 0 .'1 a 1a 1a(2) a=0時，1個零點(/=1).(3) a<時，無零點.e一 x，af'(x)=T，f(xfC-a)+1>0 x(4) a=時，1個零點.e111x。二.f x mi。= f 1n 1=0eee(5)<a<0時，2個零點.ef (a2 ) = ln a2/-a-工-a a 0 , f 1 =-1-ea < 0 , f(1)=-a>0,a .-a ae【變式】(經(jīng)過換元和等價變形之后均可以轉(zhuǎn)化到例題3： f(x)=1nx-旦):x1 .討論f(x尸1-alnx的零點個數(shù);x2 .討論f (x產(chǎn)m + VXln x的零點個數(shù)(考慮g(x )=?x-),令F = t )； ,x3 .討論f(x)=x以的零點個數(shù)(令ex=t)； e4 .討論f(x產(chǎn)ex-a的零點個數(shù)；x找