數(shù)值分析-期末復(fù)習(xí)(整理版)

1、Chapter 1 誤差 誤差限計(jì)算、有效數(shù)字分析-可編輯修改-relative error相對(duì)誤差設(shè)丫為準(zhǔn)確面/為X的一個(gè)近似但稱為近似值/的相互品可而備注:,<耳（丁）=勺為近似倚'的相對(duì)誤若限絕對(duì)誤差設(shè)工為準(zhǔn)確俏，/為K的一個(gè)近似值f彌收工.二 r* - x為近限值# .的絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)除誤基，可葡記為從I C） =| X* 一 尤 |< £（/）敷值儀/）稱為/的| 時(shí)法幽（阿矍君屬rr效數(shù)字若f作為X的近似值，其絕對(duì)誤差的絕對(duì)值不 越過(guò)某一位敷字的半個(gè)單墟,而該位數(shù)字到或泄第 一位非零數(shù)字共有時(shí)位盤掰用f近似耐具有力位 有奴數(shù)老簡(jiǎn)稱£有理位有數(shù)翻

2、字.Chapter 2 插值法 差值條件（唯一性）1、拉格朗日差值a）插值基函數(shù)b）差值余項(xiàng)可知.除M點(diǎn)外.其余都是儀.G的警點(diǎn).故可設(shè) (A-) =* 一 *7 -V 界 1 )(.v AI+J)小一工)<(A)"='1,理)2.2拉格朗U插值2.2.1 基函數(shù)考慮最簡(jiǎn)單.屐基本的插值問(wèn)題 求"次插值專項(xiàng)式FW。=。,1.J，). 使我滿足插值條件Ifix) = .x _$)+ + (工一菁t - *對(duì)卜*犬三)其中一4為常數(shù)，由取Q=1可得41(/ -與)(馬-MtKs - VwA，(七 一 修)(A - 二J (工 7； )匕£ 一.)(斯一

3、片1)(叫一支巾卜儀巧一 與)稱之為拉格的H基函數(shù).都是打次名項(xiàng)式.2.1.2拉格明日插的各項(xiàng)式利用拉格朗日基函題依卜構(gòu)造次數(shù)不超過(guò)a的多項(xiàng)式二13-MIRi+F，(用=火另4(用可知箕滿足£小,)工為八IM,”稱為拉格明日摘依爭(zhēng)鞏代再由捕侑客項(xiàng)式的唯一性.心3)=4(©特別地,當(dāng)n =1時(shí)又叫戲性桶值.算幾何意義為 過(guò)兩點(diǎn)的直紈當(dāng)m3時(shí)又叫拋物摘值，其幾 何意義為過(guò)一點(diǎn)的拋物暖.這是因?yàn)槿羧C) 5/優(yōu)=。網(wǎng),由插值等項(xiàng)式的唯 一性有ff”(*)£：=/,A=UJ Ef=G特別當(dāng)k-gL就得到2MM iT網(wǎng)1已笛 = «,*=4,演=9,用域性插值f

4、即一次播 值等項(xiàng)式怵行的近似值.就以二上同二3,基函數(shù)分別為：9141中間=百=一餐俗一濁以用=口=91)輔值考項(xiàng)式為-1 1卬W -M(A) + M-lx(A 9)43x-(x 4)-.t-J 4 (JC -4)(=所以的M二±你求過(guò)點(diǎn)(-1,-力/1.01/3,-0.(43的拋物線插他即 三次插值專項(xiàng)式)，解 以 飛=1,.=1*3=3,與=4以為甘點(diǎn)的基西數(shù) 分別為:Ja lJ(.x 3Ka 4)=J(-1 -IK-1-3X-1 曲.y k (“ * 1HX - 3H.lt - 4)1 .13 th，&#)= - -= (X4 iXx-JXx-4)(1+1)(1-3)(

5、1-4)12,r % 十 1)(3一l)(N-4)1,*“ llw q® =7J畫 3fJF = -尸+ Mix ，式g3=(4+ 1X4-1X4-3) 15射拽格朗U的二次插值多項(xiàng)式為上式總_的柩回+用以， t Mg + j/的=(冷心-雙X T + »型Y -我，T)H4) *+ l)(i -JM.v-4+3xl(vb 1M上一或上一3)N15-加-1X.V-5XA-4) + j* + IXa-IXa-41+ l(.v+lX.v-lXr-3)(-_； +3)2J3硒楂余奧截?cái)嗲蚧鵩f<x）=y（*）-也稱為次L" ；in季插 值多項(xiàng)貳的余項(xiàng)L以下為拉格朗

6、口余項(xiàng)定理一定理2設(shè)/*在區(qū)間W網(wǎng)上存在if*階導(dǎo)效.xfe Mb （fcoj»）為肝1個(gè)互勢(shì)力點(diǎn),則對(duì)任何匕三。冏，有'也）K（M = Rr） -5（2川伊）同中4N*，=n（再-再）信專且與內(nèi)有美）I于是 (3)總&(3)二d315因?yàn)閺V(工廠-g9二皿八r(x)口廣 IX項(xiàng)矗司N故 |/?l1(v)|£|,v-2Xa+-2.5Kx-4)|J B1|(.v-2M.v-2.5M.v-4)|6 0四 3)日/-乙(3)|<：|(3-2)(3-工5"-4)|6 8= 0.031252、牛頓插值構(gòu)造差商表X1011113hn2JII2M52J93

7、52,招劃¥2.5MW9例4組定函數(shù)表用二次插值計(jì)算h n.用的近取值,并估計(jì)誤差.養(yǎng) 取節(jié)點(diǎn)餐-m叫=,/-】工作一次插有有一0一110一1辦3025 4+端耦”i喘器舒”-1AM16廠”設(shè)/1（# = L七點(diǎn)七= L'i - 2-5.r：二3求 /（.V） 聃械勒輔侑郭亦式出甘WCI眄近弱藥并佑計(jì)強(qiáng)若.解為 ="卻 也&打=RL& 此4,久=格怕考項(xiàng)式為“二工3K 1-4)屋Z5M1明+yjs>+。/大頊* "I« W5)UM&/ (142凱 5,宜一工肛一中<15皿5明JEfi10r12±liL

8、x的二階獨(dú)的上網(wǎng)（）.眥, 賺誤差斜式馴皿即:邑MLNIQ叫衿UXIU5T撲（U網(wǎng)7 -A實(shí)際上JnlL圻2 420城，|R:. （11.25）|-0.00005fi.性質(zhì)4若Rt)在忖月上存在燈階導(dǎo)粼且節(jié)點(diǎn)小聲 工三則至少存在一點(diǎn)在耳滿足下式/密n例1 /住戶一 did+Zv510,求1.2,力及八1,210.解 了叫工戶一6電!， /口工3yrVM,門 id J3=ov,(j) mmi J3 v-ol4o)+ i2fi(HXx - n.4fl)Cv-0r5fl)故 /穩(wěn) 596j* 也0k 596) 0,632010又/|與,過(guò).與.句此970H料過(guò)前四點(diǎn)的三次半頓抽倏名項(xiàng)式A ,U )

9、= .Vs(x) I 0.1770(.*- D.44JXJV - 0.35> v - 0.65)故* V(4i.5S6| - 1i.6JWn5/I，%.,-"*可得的難斷謁差附式-業(yè)-0.55)(i - 0.65X-V-J?, 1 3.596 卜|工 0.34 xl()T例2設(shè)15尸產(chǎn).“尸1, L5, 2* N3M用三次插值名項(xiàng) 式求1中及心由的近似值.解 相應(yīng)的隔數(shù)值及差分表如下:匕./1%)一的短分_喙控分三防差分四附莖分11.52工百32.71 H2«4.4816912部射監(jiān)12,132492U.085541.76541303474.79343703051.H

10、3961.MH606丸1。9百20,741101.223561N 146由/血)一階差分二階停打三階差分四鼾差分11.5 22+5 32.7182»4.4S1697M90612.1822O.OS554U41 2.9104T 4,79343 7.9(1305】.14396 L8M06 3d m2E2101.223560.48146求川.2)用牛頓前插公&且由1.2=1 *0,得EU /(JisA；(.2)=171M2« + l-7tMl x(U+-l4lL4x<a4-l)i <1742ina4x(ft4 -1X(W *二 AA33»LE*一航益分

11、二階著分三階藩分網(wǎng)防果分1 L.522.S3L71M2S 4陰1砂 工28906 12.18M9 如.面541.763412.W347 丸793437.003051.143%1.886063.19620.7421*1123S60,-18146求A2與用4蟆屁熱公式JL由2.S=3f&得 f(2A)=N| 求fl L3 幌= 2UUW5SJ f7.!XJJu5k(。4卜 -(44)網(wǎng) <14 il) 1+(-0.4)* 升旗十分=15.768IWT：3、埃爾米特插值構(gòu)造三次埃爾米特插值多項(xiàng)式如下2.5埃爾米特（H婦rmi插值2.5/三次埃爾米福插俏箏項(xiàng)式設(shè)J弓W）是區(qū)間W上的實(shí)函數(shù)

12、.VJ-AL1是應(yīng)W上相異兩百,旦X0A._1'=/Cv在"上的函數(shù)徜和一階目數(shù)值分別為FQ/XrJ 仃斗）和 求三次多項(xiàng)式式,卜使其 滿足£，山（1化|）1"；=E"*）標(biāo)為二次埃爾米特播情*項(xiàng)式.定理3滿足條件式"、（$）= 1!,；（%）=叫=鞏1的三次埃爾米特插值貴項(xiàng)式存在且唯一a構(gòu)造三次埃爾米特插值多項(xiàng)式如下:=兒.（ .v） + k=i（*）十格3 M十神典（需）、力卜 %兩數(shù)值導(dǎo)數(shù)值鼻*1*CE乩也10nII$01001U00010氏3）0Q01小二口十2。|（1 ）齊國(guó)；（“峋可1）X|-XJ Xt-S|馬 一#1可得滿

13、足條件的r次埃爾米特插值多項(xiàng)式為用。）=1皿刈 m 僧 g陽(yáng)村+叫亂g” .*一9“*一與、1（ , X -X , x-xt .-.1.）11+2 1（r+i+2 （ y jr,q一常ih廠外 巧一、*N（x/X）1 4 mJx-wX* y玉-玉玉-%同樣由網(wǎng)Qq）=zv馬）二向（修）=必可今AU） = c（x - '。） 言一 修）'再由我得。!_-5 - F）Ai （*） = （* - X 工一”,必?。?（或丐H上士Uji響7。卬冷=丹小卜一片）（）工.一巧玉一曰七一與即«D（ V）-|1A（）=U -x,）i（j：）6= 14罵川耳=（* 芮川 為以£

14、;%,%小*15插值點(diǎn)的以躺1»酢 一次基函數(shù).由 修(修)一寓(2)一?？蓪⑺鼘懗?(工)= |"+Mr/)(#勺/由 h (A-o) = lr 得 4 '=-j沁f)再由國(guó)f，" = 01 Wft=所以(*( 一項(xiàng))rxD(A)=|l + 2 - ' |(J例2己知兒1方釬工及葛一階導(dǎo)致的數(shù)據(jù)地下表用埃爾米特插值公式“加1環(huán)“的近似值.并估計(jì)其截?cái)嗾`差.221 丫 4 -144 1乜一】如人121 144 J ( x-m y .t-i2i y + 24 A121-144 A 144121 J*r a'( % 一巧同理招./ < &

15、gt;.),、 r* , .V - J?, , , V .Vh . t«iGy>= 1 + Z 2K *-)-毋一 #，一椅孫工) = 1m 1 + 2,V- 144 V y 121 X 121-144X144-121J+某瑞瑞攜41 49:a 0.U0UU12蕓 r 7J84 121, 112.5.2鍥差估計(jì)定理4設(shè)貝4在包含如修的區(qū)間"5內(nèi)存在四慚 導(dǎo)數(shù),賄生三口向時(shí)有余期國(guó)同次力 見(jiàn)冷二：八奴f ）&f科wgan與'有關(guān)） 設(shè)"尸思工廠' 則當(dāng)xEg M）時(shí)， 余項(xiàng)有如下估計(jì)式（誤差限）y陽(yáng)口人總見(jiàn)（用 哈微-幽-1叫、凝如3-

16、川（*7河* 22 ：0（,一1士以"一）d 1式* -44）1-組）得 7125/7,（125）=11-18035可求得 ai5="1 3(MG :也1519-4、分段低次插值f 1 3構(gòu)造函敷在15Axi。上的數(shù)表,應(yīng)如何 選取步長(zhǎng)能使利用數(shù)*選行分段插值時(shí)誤差不 超過(guò) 05X10*解 /*（.v） - -A，乜-max /*（a）|-1,欲使，（口-P（x）名三螭|r（刈= 'X 1b得 小，2乂10<即進(jìn)行分段線性插砧時(shí)，應(yīng)取AS2X10七誤差不超過(guò) 0.5 XIIH./飛片）= -£,.%= ma* （切二 6. Q 小訕 1欲使J,依X）

17、一項(xiàng)叫玉意£5517M *得 ft<2/2 xW4即進(jìn)行分段三次埃爾米特插值時(shí)應(yīng)取A a之亞* 1H誤差不超過(guò)"5X1。九5、三次樣條插值（概念）2 7三次樣條插值2.7A同題的提出定義給定區(qū)間的i個(gè)劃分江K（IW嚴(yán)心.=£守1*，”/=。J “ 一出人如果函數(shù)S在滿足:（1）客區(qū)曰倬=0.1,2./）；（2）在每個(gè)小區(qū)間|1/4“/=01114J）上是次做不起過(guò)3的多項(xiàng)式：在每個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)%修1工“3-1上具有二階梭等鼓, 則稱即）為關(guān)于上述劃分的一個(gè)三次多項(xiàng)式樣條 困效，商稱二次樣條.Chapter 3 函數(shù)逼近與曲線擬合（送分） 1、最小二乘法 寫出法方程

18、解之可得期 一4.7143：% - 2.7837.礪=0.5000故所求擬臺(tái)多項(xiàng)式為P（a）-47143 - 2.7857* t 0.5000/*例已知一組觀判數(shù)據(jù)如表所示，試用最小二乘 法求,個(gè)多項(xiàng)式擬合這組數(shù)據(jù).解作散點(diǎn)圖如右，從右圖可以看出這些 點(diǎn)接近一條掘物線，因此 設(shè)所求公苴為我了）h% I守#十的f代入法方程（£i%+（2區(qū)）口1+（£*；）口=Z犬 ITf«lt*»-64£tTri-11-1j-IA«A«（A。M 4 （工*；）54 （工動(dòng) 口工=2 m y.1-1i-1ITl-l（6q + 1 覘+ 55&l

19、t;i = 14| 代，,把生，35。+ 55 j + 22sq = 30155c 十 225q + 97 務(wù)產(chǎn) 122M“已知一坦實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如R求它的擬合曲線.Xf113Jfl45恤11311弟陽(yáng)掘所給數(shù)據(jù)，在 坐林班上標(biāo)出各點(diǎn)，見(jiàn)圖一 從圖中看到各點(diǎn)在一條直 線附近.拙可選擇蜘性函 費(fèi)他相合曲踵.即令得法方程4占小上卜二周.+明瑞這里*，=*，i = L?M幻=1、鴨1工）二",故4的用J二工墀二工11科弭£=47.依網(wǎng)）=1聃用）=X叫苒=22't "（眄/）-2班看X二14不裊峭照）=工典耳二7工I解得“£.77總尸143 于是所求擬合曲線

20、為$；（刈=177 + L13x2、范式計(jì)算（向量、矩陣）例1 R"的內(nèi)枳，設(shè)v = 洶，潑J。y= 0it>2*則其內(nèi)根定義為3A =(12)I由此導(dǎo)出的向量2-范數(shù)為若給定實(shí)數(shù)3產(chǎn)畤=1,斯)，可部為杈函數(shù)，則在W 上可定義加權(quán)內(nèi)枳為*(*，力-2%3(13)1-1相應(yīng)的向量2-箔數(shù)為,M=而3 = £ 嗎 w)3 J不看驗(yàn)證(13儺出的體。搞足內(nèi)積定義的4條.雪她=】(MiM時(shí),(13)就是定義卻向量的范數(shù)如果向量v分心1(或的某個(gè) 實(shí)值函費(fèi)月M，滿足條件;(1) |同|之。(Mil刃當(dāng)fl僅為1=切4正定性)，版|=依| M,對(duì)任何虹超或幽。儕次性卜|盧酢閭5

21、M (三造不等g則稱NW=I聞|是則(或。止的一個(gè)向量范數(shù)(或模I由(3)可推出不等式.(明IIMT帆忙兌卜下面給出幾種常用的向叁范數(shù)，設(shè)*n.”5憶L NL=m>#3向量的h范數(shù)(最大范數(shù))2- H=ZN-向量的篦數(shù)&人北二口川"聞嚇.向量的歐氏皰數(shù)4同廣j,向量的效(MpHR)容易證明甫二種他數(shù)是的產(chǎn)挹數(shù)抬珠情況，其中嘰=螞山例6計(jì)算向量E1,-23產(chǎn)的各種范數(shù).解 L 國(guó)上-Hiiixl<- 20 一3,工小卜1+HH 36.工 kll2 - ji+T+m* -岳.定義3設(shè)身為R，中一向量序現(xiàn)x飛小，記入“，4嚴(yán),，/產(chǎn) A '=CV- A/ R如果

22、 IJ巴理與ug H =,明則稱日收斂干A：記為 知 代二W二上一Chapter 4數(shù)值積分與數(shù)值微分 1、梯形公式、辛普森公式當(dāng)”=i時(shí)，柯特斯聚熟為-尸=：*1 b 2這時(shí)的斗頓柯特斯公汽為一階求枳公大.就是我1門 所熟悉的梯形公式，即b 一。F -與-（/（«） f fby.一例如,用區(qū)間仁川兩端點(diǎn)的函數(shù)值/M）與a的 算術(shù)平均值作為a身的近似值,可導(dǎo)出求積公式1二£/?。ヾ十比 /（）+/（則這便是人們所熟知的梯形公式.當(dāng)也=2時(shí)，柯特斯系數(shù)為4" = ；1/一）（一雁=：.。產(chǎn)=心口1）必4.產(chǎn)=!£"'7前='

23、9;相應(yīng)的牛頓i-何特斯公式為二階求枳公式，就是羋普 森Odu.pimO公式（又稱為他物序求積公式L即¥=與，/3 44八”斗*八卬-,62)-0.6-0JW7S66 04例建分別用拂形公式、辛普森公式和樹(shù)城斯公 式計(jì)算積分/ = f tv端：由梯形公式得|一L +Ur = 0.：J705H«I 1討.夕 i+r由辛普森公式得7«5=1Z_+4x-+-L -02445*5466 1 1 O.ti1 1+08 11T由柯特斯公式得7x ； + 52 x- + 12 jc ；1 + R.6， l+ft.7J 1+0卬+32 k ?. +1 = 0,24497871 %

24、 也爐l + l11積分的精確值I . , d# - arclant “T + /fj求租公式為/=（：”也訃：帆-向-；moh：VW 令刈=必，得O dj = #("利 +=0令/。尸M得可：Kdxw；/一向 +A；*'故求租公式具有3次代數(shù)牯度.2、代數(shù)精度判斷4.L2代數(shù)精度的概念數(shù)值求枳方法的近似方法，為要保證精度，我 們自然希望求積公式能對(duì)M盡可能重界的函數(shù)準(zhǔn)確 胞成立,這就提出了所謂代數(shù)精度的概念.定義1如果求積公式(I)對(duì)所有次數(shù)不超過(guò)加的名項(xiàng)式都精確成立；(1)至少對(duì)一個(gè)股十1次塞項(xiàng)式不精確成立， 則稱諉公式具有出次代曲楮度.例1虢證梯形於式，=。的&

25、/ 1/(時(shí)十蚓 具有一次代數(shù)精度：2解當(dāng)/供片1時(shí).左=，1。并=3-%右=? 1 +"=6 -/此時(shí)公式精確成才.當(dāng)X*不時(shí)，當(dāng)汽中=片時(shí)，左=£皿=1 (i1-/)左=£"叔=拊)右右彳心九公式而精確成立“公式對(duì)/不精確成立.故由定理1知，梯照公式的低數(shù)精度為1次.R2確定求積公式中的恃定梟數(shù).使其代數(shù)精度層鼠腐:并指明求積公式所具有的代數(shù)精度./ = J：人刈4工x.4 JL圻*4人出+且/(加解爭(zhēng)/ml.反短代入公式西端并令兀相等，得 /產(chǎn)44d =4h< A l(-A)+ 0=-，i+« 士 0.44-A)： +.4 =；(助

26、)1 二一4 +4 - f 力解得 4=4=：&-4=-¥3、龍貝格求積公式4、高斯求積公式5、高斯-勒讓德求積公式6、數(shù)值微分了解即可Chapter 5解線性方程組的直接方法1、消元法2、LU分解法5.4矩陣三角分解法高斯消去法有很密變形，有的是高斯消去法的 改進(jìn)，改寫，有的是用于某-類特殊矩際的高斯消 去法的筒化.下面我們將介紹矩陣的直接三角分解 法，解特殊方程細(xì)用的平方程法及追趕法.定義如果上為單位下三角陣，u為上三角陣， 則稱JUE為杜里特爾（Doolink）分解；如果工為下 二角降，1/為單位上二角陣，則稱=上打?yàn)榭藙谔?（Cron俯幡.541直接三角分解法qU分解

27、）在122已經(jīng)通過(guò)高斯消公法得到一個(gè)將I分解為 一個(gè)單位下三角矩陣兒和一個(gè)上三角矩陣L的乘積. A=LL其中并由定理7得到這種分解是唯,的.Chapter 6解線性方程組的迭代法 1、雅克比迭代法、高斯-塞德?tīng)柕ü剑〞?huì)寫）于是雅可比迭代法可寫為知味花式篦"口二D，£ +匚）寓的+QT& 其Jaehi迭代矩陣為ffn I _空 o % 二 6（5。）二八建立迭代格A6.2.1 睢可比8bo迭代法設(shè)明劉（匕1二,葡），選收”為J的對(duì)角元素泓分, 即選耽H="對(duì)角陣）一扣刀-和 市（L3）式得到解方 程缸上v=8的施可比（JaelH）迭代法.又稱的單選代班

28、上如（初始向取” . 5）卜"小三及鏟、/5-0,1,J其中Ll二& Y£4f ）R,六版 齦，為解Lv=b的 雅可比法代法的迭代矩陣.6.2.2 高斯一騫德?tīng)柕ㄔ贘acoN迭代中*計(jì)算7產(chǎn)i工叼時(shí)±使用 父之口代替巧徜（IM”上I即有I.依一 1 ,* 6 j. vw-寸四 1 人、I/度F3G一"爾河啟+4）“1】*/=興心產(chǎn)-叫必%螳地）* an !l”工“a普地）口,.例1用雅可比迭代法解方程組10* - x2 - 2x3 7.2 J -工4-lOXj -2叫=8.3dV1 X2 4 S.t- - 4.2解. JiKON迭代格式為精

29、fir確 x = 1.2解(13 1x=- ，產(chǎn)+改產(chǎn)+7.2)10時(shí)叫5d +遍制+網(wǎng)M*'工,+ 其*)+4.2)或縮芍為寸-秒+第（，=以辦稱為高斯T德?tīng)枺℅au。一叫迭代法.于是高斯-塞德?tīng)柕蓪憺榫仃囆问絹V川=（0+。工尸。KCaussSddtliJ 代矩陣為Bg = （D-L）Ut這就是說(shuō)，選取分裂矩陣M為4的下二角部分， 即選取AND 1（下三角陣），J-MB由（23）式得到 解心七。的高斯一塞德?tīng)枺℅aim5eid叫法代法.代，（初始向影a加_/叫+/（hD,l,）其中展r£yUKZ）TN W,月。沙也稱矩 陳G知£尸1為解v=D的高斯一睪德?tīng)柎?/p>

30、代法的送 代矩陣司=A（ 乂鼾+縛+工2）0班(靖口 +2+83)10 1戶理A3(靖陽(yáng)+4訓(xùn) +42)取丫油二仙。計(jì)算結(jié)果如下:kJV產(chǎn)*嚴(yán)工產(chǎn)1(1.720.9021.1644-V 'V V V 8L（m硼1.1999991.3螳面=工（峭包十工Z）*10必=3,十君妁+4.5）取W陰氣弧o,o）丁計(jì)算結(jié)果如卜；k的陽(yáng)工產(chǎn)X產(chǎn)10.720.830.8420571L071.15V -V V * * *V V V111.099993L1999931.299991121.0999981,199998L299997例2用GausToidN迭代法解上題.f 1?；▁2 - 2x, 7,2二.

31、V1 +10a 2a3 8.3I - 巧-a-2 + 5x3 -4.2解：Gauss-Seidel迭代格式為k產(chǎn)D=J_0非)十2工，十7.2)110-3小旬 +2A-f+83) ,10 1'v<*+i)_ 1 f «u+i> . ,.(*+1), j、2、給迭代公式，判斷收斂性，譜半徑。例4設(shè)有矩陣序列/其中產(chǎn)抉，而且設(shè)囚vl.考宣矩陣序列極限.解顯然，當(dāng)閡<1時(shí),則有皿14二面】朋0 01M 0；63迭代法的收斂性63,1 一階定常設(shè)代法的基本定理設(shè)線性方程組Ax=b,(3.1)其中，4氣劭)三即式”為非奇異矩陣”記4為(34)精確 解，且設(shè)有等價(jià)的方程

32、組,U 二力。黑二 fix * f . 于是.v*Ba + /.(3.2)設(shè)有解七事的一階定常迭代法.("MJ 展如 T /.(33)有意義的問(wèn)題是:選代矩陣栩足什么條件時(shí), 由迭代法產(chǎn)生的向量序列匯叫收斂到v.引進(jìn)誤差向量套的=.(>#1津=。,1,短，* *'由(3 J)式減(3.2闈到誤差向顯的遞推公式一叫=虛3 戶=小卡 (k = (MN-).由6J節(jié)可知，研究法代法(3J)收斂性問(wèn)題就足要研 究迭代矩陣8滿足什么豺F時(shí)，有.由T。(等矩陶#->g).定義2設(shè)有矩陣序列為土與七町及 E%三即乂3如果4個(gè)數(shù)列極限存在日有Um 4：】=a hj = 12r ,

33、打) k >» V v則以上稱收斂曰，記為lim (£- g).Chapter 7非線性方程求根若取區(qū)間的中點(diǎn)£二三(4十斗)作為亡的近似他，則有下述誤差估計(jì)式03(瓦一。=看“0)，& T“n+4 > /+4)只要幫足像大，(即區(qū)間二分次數(shù)足夠多)，誤差就可 足夠小.由F在倜重根附近曲鯉尸孤心為上凹或下凸，即 網(wǎng)幻與川加的符號(hào)相同，因此不能用二分法求偶重根.1、二分法(先判斷有根區(qū)間)(7.1.2 二分法郵加在區(qū)間M,%上連續(xù),八4負(fù)制卻，則在|博,如 內(nèi)有方程的根.取切的中點(diǎn)/ 二 ；S4打，將區(qū)間一分為二,若人與尸。,則與就是方程的根,

34、否則判別根./布用的左側(cè)還是右側(cè).若A公式與產(chǎn)。，則* E令/=R的f蓊若凡孫)和)。,則*£(%,仍令g二力. 不論出現(xiàn)睇種情況,(苗,跖)均為新的有根區(qū)間,它 的長(zhǎng)度J1有原有根區(qū)間長(zhǎng)度的一半，達(dá)到了壓縮芍根 區(qū)間的目的.對(duì)壓縮了的有根區(qū)間，又可實(shí)行同樣的步驟，再壓 縮.如此反復(fù)進(jìn)行，即可的一系列有根區(qū)間套1%用口眄四口口口4口一由于每一區(qū)間都是前一區(qū)間的一半，因此區(qū)間的尸匐的長(zhǎng)度為4一%二聲7)若每次二分時(shí)所取區(qū)間中點(diǎn)都不是根，則上述過(guò)程將 無(wú)限進(jìn)行下去.當(dāng)“0時(shí)，區(qū)間必將最終收縮為一 點(diǎn)工"顯然雙就是所求的根.例2用二分法求例1中方程#t）=MrT=O的實(shí)根. 要求

35、誤差不超過(guò)也0U5.解由例1可知/匚（1外要想滿足題意，卻:aFw也陽(yáng)則要3S -面）=3（1.5 -1）=表£?；橛纱私獾?quot;-1 56取，尸也按二分法計(jì)算過(guò)程如 12卜表，毛=1.32工為所求之近似根.n%*兒巾）_說(shuō)明1,01.51.25一川><a11JS1.5L375+21.25L37s1,3125（2）根據(jù)精31.31251.37S1.3438+度要求，41.31251.34381.3281+取到小數(shù)51.3125132S11.3203點(diǎn)后四位61,32031J2811,3242即可，二分法的優(yōu)點(diǎn)是算法簡(jiǎn)堂，且總是收斂的.< 點(diǎn)是收斂的太慢，故一般

36、不單獨(dú)將其用r求根，只 是用其為根求得一個(gè)較好的近似值.二分法的計(jì)算步驟；步驟1準(zhǔn)備計(jì)算函數(shù)川M在區(qū)間同制端點(diǎn)處的債 式。式的.步驟21分計(jì)茸函數(shù)在區(qū)間中點(diǎn)（日辦工處的步強(qiáng)3判斷著Ws+b）出戶心 則（，,加,2即是根. 計(jì)算過(guò)程結(jié)束，否則檢驗(yàn).若網(wǎng)日）負(fù)何+為也）小，則以（外處2代替小I否則以 （口+$），2代替足反復(fù)快打步驟2和步獴3T直到區(qū)間,，間長(zhǎng)度小于 允許誤差心 此時(shí)中點(diǎn)1戶郵口即為所求近忸根，2、迭代的收斂性7.2迭代法及其收斂性721不動(dòng)點(diǎn)迭代法將方程yu）F改寫為等價(jià)方程形式x-Hd（2J）若要求E滿足汽門F.則妙二雙/”反之亦然，稱（為 函效K幻的一心力點(diǎn).求找，）的零點(diǎn)就

37、等于求儀外的 不動(dòng)點(diǎn)，選擇一個(gè)初始近似值事,將它代入（2.1）右端, 即可求得可以如此反復(fù)送代計(jì)嵬,% 尸例*） （£=（M2 ）.（2.2）稱為迭代函數(shù),如果對(duì)任何事E如刃,由 到的序列有極限Itni X. = H =則稱選代方程Q2）收斂，昆V亦）為歌）的不動(dòng)點(diǎn)， 故稱力為不動(dòng)點(diǎn)迭代法.上述迭代法是種逐次逼近法，其基本思配是將 除式方程Q1）歸結(jié)為一組顯式的計(jì)算公式120,迭代 過(guò)程實(shí)質(zhì)上是個(gè)逐步顯式化過(guò)程.（收=0,1,2,） litn x, = jc*.當(dāng)訊）連續(xù)時(shí)¥顯卷就是方程*r曜對(duì)之根（不動(dòng)點(diǎn)1 于是可以從數(shù)列1*/中求甯滿足精度要求的近似根. 這種求根方法稱

38、為不動(dòng)點(diǎn)迭代法，勺+1 =飆$） （A = 0*l.2, J稱為迭代格式，則刈稱為送代函數(shù),與稱為送代初值. 數(shù)列區(qū)卜稱為法代序列.如果選代序列收斂，則稱送 代格式收斂,否則稱為發(fā)& （幾何意義的解釋見(jiàn)書 pZ65 頁(yè)）例3表明原方程化為1）的形式不同，有的收斂, 有的不收斂，有的發(fā)散，只有收斂的的迭代過(guò)程徒2） 才有意義，為此我們首先要研究雙圻的不定點(diǎn)的存 在性及迭代法（22）的收斂性.例3用迭代法求方程在區(qū)間l,ia 內(nèi)的實(shí)根.解對(duì)方程進(jìn)行如F三種變形；1h =料（冷=（3 +x - 2x），x* + 2,tJ -jv-3 = 0=> 4 =中（靠）=，卜+4 1X =- ?

39、（A）=.- 4 2/一 3分別按以上三種附式建立迭代公式，并取/T進(jìn)行 造柢計(jì)算，結(jié)果如下:工川:隊(duì)（川二。+ -2小”.Xji 芍 7 = 124123X*+L =尹式惠J+4-1xt x-, -1.124123*i =仍（8）=4+2£-3 餐%, x4 -8.495307xlO7 那確根產(chǎn), 1J 2412302%可見(jiàn)送代公式不同,收斂情 況也不同.第二種公式比第一種公式收斂快得多，而 第三種公式不收斂.卷見(jiàn)書i2后6頁(yè)-例工3、牛頓迭代法 （代公式）例7用牛幀迭代法求方程在ES附近的根.解將原方程化為"7l=0,則/（a-）=v- t/m+e叫牛頓迭代公式/取,=

40、0,5t設(shè)代符，產(chǎn)也研311,工用566UM,修制,567U以參妣Bp277的例工牛頓法的計(jì)算步驟見(jiàn)書立747.4牛頓法741牛慢法及其收斂性對(duì)于方程/g=O,如果/口）是線性函數(shù)，則它的 求根是K易的.牛頓法實(shí)質(zhì)上是一種線性化方法，其 基本思想是揩非線性方程/5尸0逐步歸結(jié)為某種線性 方程來(lái)求解.設(shè)已知方程/*尸。有近似根且在與附近/代）可 用一階泰勒多項(xiàng)式近似，表示為/（H）融 /（$） + /X。K3 詢）當(dāng)科時(shí)，方程公戶?？捎镁€性方程（切線）近似代 替，W尸 &（4.1）解此線性方程得或立"人與）得迭代公式-22 （U,6<4.2）/區(qū)）此式稱為牛頓迭代公式.C

41、hapter 9常微分方程初值問(wèn)題數(shù)值解法 1、公式計(jì)算：四種，歐拉公式、改進(jìn)的歐拉公式、隱式、梯形公式一般地,設(shè)已做出謖折戰(zhàn)的頂點(diǎn)匕,環(huán)匕/，TJ 依方向場(chǎng)的方向再推進(jìn)到產(chǎn)1位巾41），顯然兩個(gè) 頂點(diǎn)心,巴丹的坐標(biāo)有關(guān)系-T -乂 ="”】二'=（尉，"斜率即八二£+爐飛41.）QR這就是著名的（晶式）歐拉也ul”）公式.若初俶】。己 知，則依公式Q.I刈逐次逐步算出各點(diǎn)數(shù)俏解.汽=F*+楨娘小3一為/（一，J例I用歐拉公式求解初值何愿（2.2料。）=1.解 取步長(zhǎng)FE.1,歐拉勺式的具體形式為%;力其中/=/j=ai"（”=（M,1叫已知4=

42、1,由此式時(shí)科+J-1+OJ-U兒yt - j j + M_*= 1*1 * 0.1（11-詈）= 1J91818依次計(jì)算下去，部分計(jì)算結(jié)果見(jiàn)下表.工歐拉公式數(shù)值觸上掂確解WE誤差0.21 191818LISQ160.00860204135S213L3416410.0165720.61.508966U832400.025726081j647S31.6124520 037331L01.7847701.7320510.052719與準(zhǔn)確解J二行京相比，可看出歐拉公式的計(jì)算結(jié) 果精度很差.如聚對(duì)方程0 8從。到*”積分，得= *J+J； /他刈Mf* （2h4）右端枳分用左矩形公式/鞏5jU9近似，

43、再以居代替 ，中小11代替NjP也得翎歐拉金鼻2.1卜局部讖 斷誤差也是口 J工如果右端積分用右矩形公式加近似. 則得到另一個(gè)公式兄4>=乂+奶1遇/（均稱為隨如后退的歐折公出后退的歐拉公式匕歐拉公式有著本質(zhì)的區(qū)別,后 著是關(guān)于I"的一個(gè)宜接計(jì)算公指 這類公式稱作是 品式的：前者公式的右端含有未知的崗”它實(shí)際上 是關(guān)于J*i的個(gè)函數(shù)方程這類方程稱作是除式的.顯苴與隱式兩類方法各有構(gòu)點(diǎn)，考到數(shù)值穩(wěn) 定性等其他因素，人們有時(shí)需要選用隱式方法，出 使用顯式算法遠(yuǎn)比隱苴方便一陷式方程通常用迭代法求解，而迭代過(guò)程的實(shí) 腹是逐推顯式化.3.2.2 悌形.寧法為得到比歐拉法精度杯的計(jì)算公式，在等式 右端稅分用梯形求枳公式近似.并用乂代替河“，,打” 代替+擊則再JLi = K +-l/（*r） + /U；+1,j!）hQ.7）稱為矩形方法.矩形方法是除式單步汶，用迭代法求解.同后 退的歐拉方法一樣.仍用歐拉法提供迭代初俏，則 爐形迭代公式為川=J3好區(qū)，訃h.為了分析迭代過(guò)程的收斂性將僅7）與億8）相成得Jk -J%"二#/Cd：亡；）11于是有限-附岑|加-斕使得Y<t則當(dāng)a-8時(shí)有靠r小，這說(shuō)明誅代過(guò)程（工同是收斂的.9.2.4進(jìn)的歐技公式我們看到，拂形方法雖然提高了精度，但其算法 好雜，在應(yīng)用迭代公式