數(shù)值計(jì)算方法講稿10

1、§4 埃爾米特插值問題的提出：不少實(shí)際問題不但要求在節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值相等，而且還要求它的導(dǎo)數(shù)值也相等（即要求在節(jié)點(diǎn)上具有一階光滑度），甚至要求高階導(dǎo)數(shù)也相等，滿足這種要求的插值多項(xiàng)式就是埃爾米特（Hermite）插值多項(xiàng)式。下面只討論函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值個(gè)數(shù)相等的情況。數(shù)學(xué)描述：設(shè)在節(jié)點(diǎn)上，要求插值多項(xiàng)式，滿足條件 求解的思想：這里給出了個(gè)條件，可唯一確定一個(gè)次數(shù)不超過的多項(xiàng)式，其形式為，如根據(jù)上面的條件來確定個(gè)系數(shù)，顯然非常復(fù)雜，因此，我們?nèi)圆捎们罄窭嗜詹逯刀囗?xiàng)式的基函數(shù)方法。先求插值基函數(shù)及，共有個(gè)，每一個(gè)基函數(shù)都是次多項(xiàng)式，且滿足條件 于是滿足Hermite插值條件的插值多項(xiàng)式可寫成用

2、插值基函數(shù)表示的形式 由所要構(gòu)造的基函數(shù)滿足的條件，顯然有，。下面的問題就是求滿足條件的基函數(shù)及。確定基函數(shù)：可利用拉格朗日插值基函數(shù)。令 其中是拉格朗日插值基函數(shù)。由要構(gòu)造的Hermite插值基函數(shù)條件有 整理得 解出 由于 利用兩端取對(duì)數(shù)再求導(dǎo)，得 于是 同理，由于在處函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值均為0，而，故可設(shè) 又由于，有 即 故有 Hermite插值多項(xiàng)式是唯一的用反證法，假設(shè)及均滿足Hermite插值條件，于是由 .有 在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上均有二重根，即有重根。但是不高于次的多項(xiàng)式，故。 唯一性得證。Hermite插值多項(xiàng)式余項(xiàng)：仿照拉格朗日插值余項(xiàng)的證明方法，若在內(nèi)的階導(dǎo)數(shù)存在，則其插值余項(xiàng) 其中且與

3、有關(guān)。三次Hermite插值： 作為Hermite插值多項(xiàng)式的重要特例是的情形。這時(shí)可取節(jié)點(diǎn)及，插值多項(xiàng)式為，滿足條件 相應(yīng)的插值基函數(shù)為、，它們滿足條件 根據(jù)Hermite插值的一般基函數(shù)表達(dá)式，可得到 于是三次Hermite插值多項(xiàng)式是 其余項(xiàng)，由Hermite插值多項(xiàng)式余項(xiàng)公式得 例: 求滿足及的插值多項(xiàng)式及其余項(xiàng)表達(dá)式。解：由給定條件，可確定次數(shù)不超過3的插值多項(xiàng)式。由于此多項(xiàng)式通過點(diǎn) 及，故其形式為 其中A為待定常數(shù)，可由條件確定，通過計(jì)算可得為了求出余項(xiàng)的表達(dá)式，可設(shè)，其中為待定函數(shù)。構(gòu)造顯然。且，故在內(nèi)有5個(gè)零點(diǎn)（重根算兩個(gè)）。反復(fù)應(yīng)用羅爾定理，得在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，故 于是 ,余項(xiàng)表達(dá)式為 式中位于和所界定的范圍內(nèi)。Hermite插值的一般形式:設(shè)在節(jié)點(diǎn)上，已知在節(jié)點(diǎn)上的 , 及某些節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值，要求一個(gè)至多次的插值多項(xiàng)式，使?jié)M足條件與前面討論類似，可證明滿足條件的Hermite插值多項(xiàng)式是存在唯一的，其余項(xiàng)為例：按下表求Hermite插值多項(xiàng)式 01201101解：解法一：由于插值條件有5個(gè)，故所求插值多項(xiàng)式的次數(shù)不超過4。構(gòu)造插值基函數(shù)及，使它們滿足：（1）及都是4次多項(xiàng)式；（2） 因?yàn)?，故無需求出。又因?yàn)椋蚨稍O(shè)代入可得，所以類似可求出因此所