精選習(xí)題第二章一階微分方程的初等解法

1、第二章一階微分方程的初等解法x2-1已知f(x) f (t)dt 1, x 0,試求函數(shù)f(x)的一般表達(dá)式。0x解 對(duì)方程f(x) f (t)dt 1,兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得0x(x) f dt f 2(x) 0,0(x.f 2(x) 0,分離變量，可求得f(x)2(x C)'代入原方程可得 C 0,從而f(x)的一般表達(dá)式為f (x)而是需將通解代回原方程來評(píng)注：本題中常數(shù)的確定不能直接通過所給積分方程得到,確定。2-2求具有性質(zhì)x(tS)魯就)的函數(shù)x(t)，已知x (0)存在。解由導(dǎo)數(shù)的定義可得x(t)lsm0lsimOx(t s) x(t)sx(s) x2(t)x(s)1 x(t)

2、x(s)s2lim 1 x(t) & , s 01 x(t)x(s) s顯然可得x(0) 0 ,故x(t)1 x2(t) lim x(s) x(0) x(0) 1 x2(t)s 0 s分離變量，再積分可得x(t) tanx(0)t C,再由 x(0) 0,知 C 0,從而 x(t) tanx(0)t。評(píng)注：本題是函數(shù)方程的求解問題，利用導(dǎo)數(shù)定義建立微分關(guān)系，轉(zhuǎn)化為求解常微分方 程的初值問題。2-3 若 M(x,y)x N(x,y)y 0 ,證明齊次方程 M (x, y)dx N(x,y)dy 0 有積分因子1。xM(x,y) yN(x, y)證 方法1用湊微分法求積分因子。我們有恒等式

3、M (x, y)dx N (x, y)dy1 dx dvdx dv(M(x,y)x N(x,y)y)() (M (x, y)x N(x,y)y)()2 xyxy而dx dy dln(xy), x ydxdy-xd In,xyy所以原方程變?yōu)?( M (x, y)x N(x, y)y)d ln(xy) (M (x, y)x N(x, y)y)d In 0。2y用(x, y)乘上式兩邊，得M(x,y)x N(x,y)y1 / 、1 M (x, y)x N(x, y)y x 八一 d ln( xy) d In - 0 ,22 M(x,y)x N(x,y)y y由于M (x, y)x N(x, y)y

4、為零次齊次函數(shù),故它可表成 上的某一函數(shù)，記為 f (-),M (x,y)x N(x, y)yyyxM(x,y)x N(x,y)ye ""f"),M(x,y)x N(x,y)y yy原方程進(jìn)一步可改寫成1 .1_ .x. .x_一 dlnxy- F (In)dIn0,2 2yy它為一個(gè)恰當(dāng)方程，表明(x, y) 為齊次方程的積分因子。M(x,y)x N(x,y)y方法2化為分離變量方程求積分因子。設(shè)M (x, y), N (x, y)是m次齊次函數(shù)，則令 y ux , dy xdu udx ,有M(x, y) M (x, xu) xmM (1,u), N(x, y

5、) N(x,xu) xmN(1,u),將其代入原方程 M (x, y)dx N(x, y)dy 0中，得xmM(1,u) N(1,u)udx xN(1,u)du 0,可以看出上方程為可分離變量的方程，只要給上式乘以積分因子(x, y)1 m 1x M (1,u) uN(1,u)1xM (x, y) yN(x, y)方程就可變量分離，即化為恰當(dāng)方程，因此，齊次方程的積分因子是(x, y)1 xM (x,y) yN(x,y)方法3用定義求積分因子。由積分因子的定義，只需證明二元函數(shù)(x, y)1xM (x, y) yN(x, y)滿足(M) -(-Nl即可。為此，我們計(jì)算 y x(M )(M) x

6、M yNyy1 r M(xM yN)2 (xM yN)M(xM yN) yy1MN2yN - yM NM , (xM yN)2 yy顯然(N)(xMyN)x(xM yN)1(xM(M)y因而評(píng)注:N2 (xMxyxM yN)2(N)xyN)(xM yN)NxN NM, xx(NMxMNx)(xMy(NMy MNy)YN7N(x, y)gx(-) xgy(-) x(M)y1NT(MxN NXM),1 _g x1F(MyN MNy), N2N)x2 xy 2 yN g N gxx2(xM gN)N2d ?)gx (xM0， gN)是齊次方程的積分因子。注意求積分因子方法的正確運(yùn)用，對(duì)于齊次方程M

7、(x,y)dxN(x, y)dy 0,除了可以化為變量可分離方程以外，我們還可以采用本例中所得到的結(jié)果,很快尋找出一個(gè)積分因子（x, y）xM(x,y) yN(x, y),將其轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)方程來求解。2-4解方程包 dx13 3 xy x y解由題得dx3 3xy x y , dy這是以x為未知函數(shù)和以y為自變量的迫努利方程，則有3 dxx dyy3.dzdy2 yz*dz而dy2yz的解為zCe采用常數(shù)變易法，令zC(y)ey2dz一一 3代入2zy 2y中得dyC(y)2 y2y e從而原方程的解為x2(1 Ce評(píng)注：在微分方程中，變量x與y具有同等的地位，對(duì)同一個(gè)方程，既可以就 y求解,也

8、可以就x進(jìn)行求解，如果方程dy f (x,y)就y求解比較困難，可以嘗試將原方程變化 dx為dxdy f(x,y)1，然后就x進(jìn)行求解，有時(shí)會(huì)取得意想不到的效果，參見典型習(xí)題2-15 ,4),和 2-16 , 4)。2-5試導(dǎo)出方程 M (x, y)dx N(x, y)dy 0分別具有形為 (x y)和(xy)的積分因子的充要條件。解 根據(jù)判別準(zhǔn)則(定理)，(x y)是方程M (x, y)dx N (x, y)dy 0的積分因子的充要條件是皿 y)M(x, y)仆 y)N(x, y)o則有Mx y)(也型)N上上M上*y xxyY T N垢 M<i.yxd (x y)1f (x y),N

9、Md(x y)(x y)M N(x y)的積分因子的充要條件是因此方程具有形如f (x y)。(xy)是方程 M(x, y)dxN (x, y)dy 0的積分因子的充要條件是(Mxy)M)y(Mxy)N)x,、，MN、z /xy)- Mxy)Mxy)()N M yxxy(xy)( (yN xMM，M Ny x yN xMd (xy) 1 d(xy) (xy)g(xy)，因此方程具有形如(xy)的積分因子的充要條件是M Ng(xy)。y xyN xM評(píng)注：利用對(duì)稱形式的微分方程的系數(shù)容易判斷方程是否具有特殊形式的積分因子, 而給出求積分因子的思路。2-6設(shè)f(x, y)及f連續(xù)，試證方程dy f

10、(x, y)dx 0為線性方程的充要條件是它有 y僅依賴于x的積分因子。證 必要性。若方程dy f(x, y)dx 0為線性方程，則方程可寫為dy (P(x)y Q(x)dx 0,令M (P(x)y Q(x) ,N 1,由題有ML連續(xù)，-p(x),yNP(x)dx由定理2-2的結(jié)論1方程有積分因子 e ,僅依賴于x。充分性。設(shè)方程dy f(x, y)dx 0有僅依賴于x的積分因子(x),即(x)dy (x)f(x, y)dx 0為恰當(dāng)方程，有(x)f(x, y) d (x) ydx2M山，y dxf (x, y)1 d (x)y(x) dx上式右端僅為x的函數(shù)，令其為 P(x),積分上式，得f

11、(x,y) P(x)y Q(x),故該方程為線性方程。評(píng)注：一階線性方程一般用常數(shù)變易法求解，此例給出了線性方程的又一種求解方法， 即積分因子法。2-7 設(shè)函數(shù) f(u), g(u)連續(xù)、 可微且 f(u) g(u), 試證方程1yf (xy)dx xg(xy)dy 0 有積分因子(xy f (xy) g(xy)。證 方法1用積分因子定義證明。令 M yf (xy), N xg(xy)(M (N eyxf (f g) (f g )f g (f g) (f g )g 0220(f g)(f g)故該方程有積分因子(xyf(xy) g(xy)。方法2利用變量代換方法證明。令u xy , du yd

12、x xdy，代入方程消掉一個(gè)變量x ,有f(u)(du udy) ug(u)dy 0, y yf (u)du u(f(u) g(u)dy 0, y這是分離變量方程，只要給兩端乘以因子-,_ , 、， 、_ 1 u( f (u) g(u)就可分離變重，從而變?yōu)榍‘?dāng)方程。所以原方程的積分因子為xy(f(xy) g(xy)。評(píng)注：求積分因子時(shí)，注意整體變量代換。2-8假設(shè)方程M(x,y)dx N (x, y)dy 0中的函數(shù)滿足關(guān)系 yN Nf (x) Mg(y),其中 xf(x), g(y)分別為x和y的連續(xù)函數(shù)，試證方程M (x,y)dxN(x, y)dy 0有積分因子exp( f (x)dx

13、g(y)dy)。證由于(M )y(N )xf (x)dx g(y)dyM yef (x)dx g( y)dyMg(y)ef (x)dx g(y)dyNxef (x) dx g (y)dye(M yf (x)dx g(y)dyNf (x)eNx Mg(y) Nf(x) 0故 exp( f (x)dx g(y)dy)是方程 M (x, y)dx N (x, y)dy 0 的積分因子。評(píng)注：給出了積分因子的一種構(gòu)造方法。2-9設(shè)Mx, y)是方程 M(x, y)dx N(x, y)dy0的積分因子，從而可得可微函數(shù)U(x,y),使得dUMMdx Ndy)。試證 (x, y)也是方程的積分因子的充要條

14、件是 (x, y) 然(U ),其中他)是t的可微函數(shù)。 一證 必要性。若(x, y)也是方程的積分因子，則存在可微函數(shù)U(x, y),使得dU (Mdx Ndy),即有 (1(1dUt(Mdx Ndy) - MMdx Ndy) -dU ,(1 (1一 r 1 1 dU ，一 ，dU則UdU ,即U是U的函數(shù)，當(dāng)然dU也是U的函數(shù)，且記為dU MU),由于積mdUdU分因子的可微性，(KU)是可微函數(shù)。 由 dU dU ,則 (x,y)然(U)。(i充分性。證明(x, y)然(U )是積分因子。為此將其乘以方程兩端得M3)(Mdx Ndy) 0,&U)MMdx Ndy) 0,(KU )

15、dU 0 ,d (|(U)dU 0。 即存在一?？晌⒑瘮?shù) U (x, y)MU)dU ,使得(x, y)(Mdx Ndy) dU 0,故(x, y) 然(U )是方程的積分因子。評(píng)注：這個(gè)結(jié)論告訴我們，方程的積分因子之間的關(guān)系。若知道一個(gè)積分因子，則可構(gòu)造該方程積分因子的通式。在尋找方程的積分因子時(shí)，常用到此結(jié)論，可參見例2-5和例 2-6 。2-9設(shè)i(x, y), 2(x, y)是方程M(x, y)dx N(x,y)dy 0的兩個(gè)積分因子，且常數(shù)，求證C 是方程 M(x,y)dx N(x,y)dy 0 的通解。理有證由于1(x, y),2(x, y)是方程M(x, y)dx N(x,y)d

16、y 0的兩個(gè)積分因子，由定i( )(i1,2)。y x常數(shù)，則d(_L)20,只要證明這個(gè)全微分沿方程的解恒為零即可，即有d$,-(2M)7-n2 M"1dx1-2出1-2也(N( y當(dāng)yN)x22(N22( y曲M -)知dxyN)dx 0 x故 C是方程M (x,y)dx N(x, y)dy 0的通解。2xM yN 0時(shí)，試2-10假設(shè)齊次方程 M(x, y)dx N(x, y)dy 0是恰當(dāng)方程，當(dāng)證它的通解可表示為xM (x, y)dx yN(x, y)dy C。證令U (x, y)xM (x, y) yN(x, y)。要證明U (x, y)C為方程的通解，就是要證明全微分d

17、U (x, y)沿方程的解恒為零即可。為此，計(jì)算xMxyNyxM y,則有 dU (x,y)Udx x( xUM.)dx oy N即要證明M xM x yNxM因?yàn)樗o方程為恰當(dāng)方程，有My Nx故有M xM x yNxMN yNy NxMyxMxN yNxN yNyM xMyMMNx(MxN NxM) y(M yN NyM)MN再由dydxM為齊次方程，故令Ng(”(u)，顯然gx(u)gy(U)y2 gu x1 gux(M xN NxM )12(MyN NyM )N2 yxMxMyNxN yNyNxM yx(N2 ) gu) xMN心2 xgu)故有 xM (x, y)dxyN(x, y)

18、dy C為原方程的通解。評(píng)注：以上兩道題都是證明某二元函數(shù) U (x, y)為方程的通解(或通積分)的問題。這就是要證明全微分 dU(x, y)沿該方程的解恒為零，即證明dU (x, y)UUdx dy xyU (一U M )dx 0 ,y NU M /0即可。y N2-11求解下列隱式方程1)1,)y2(y1) (2y)23)xdy dxdydxdydx22喘 4x05)y2 1dydx解1)令y p cost，代入方程，得x sint ,由dy costdx ,積分得costdsint C1 - -sin2t C, 4方程參數(shù)形式的通解為x sintt 1八sin2t C2 42) 令2

19、y yt,則有2y 1 t ,y1 t1 2, dy 1, 1dx - 2 ( -2 1)dt ,y 1 t t、一一 ,11 t方程參數(shù)形式的通解為 x 1 C , y 二上 tt3）令 y p,則 xp 1 p p2 ln p C4)令 y p,得 xp2 2yp 4x 0將y解出得1 2xy 二 xp 2 ,由于dy y dx p1 dp17一p dp, p積分上式得,12ln p 2 pC,故方程參數(shù)形式的通解為(1)給（1）式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得(p24)dp, 2p 2x xdpdx2 dx p2x dp 12p2 dx 2p, x dp 1由一廠上 0 ,得 2p2 dx 2pdp

20、 dx, p xIn | p | ln | x | In c,p cx,1 22 一 一 一代入(1)得 y -cx2 ,即得方程的通解為2 cc 22y -x - o2 c又由p2 4 0 ,得p 2 ,故得y2x也是方程的解。5)令y sint ,則有22y (1 sin t) 1 ,y sect ,4 工,dy1 ”由于dx- dy,ysin t dtx sect tantdt2,sintcos tx tan t C1,x tant C122由1 ,消去參數(shù)t得原方程的通積分為y2(x c)2 1。y sect評(píng)注：根據(jù)方程的特點(diǎn)，通過引入適當(dāng)?shù)淖儞Q， 可以求得原方程的參數(shù)形式的通解,

21、找適當(dāng)變換是求解的關(guān)鍵。 這類不顯含x （或y）的方程，如果從方程中能解出 y或y （或x）的關(guān)系，方程將轉(zhuǎn)化為顯式方程或?qū)?y （或x）解出的方程，從而按照相應(yīng)的方法求解。否則，我們就要引入變換，其目的在于通過這個(gè)便量代換，將方程中的 方程中解出，用新的參變量表示，然后再求方程的解。2-12解下列方程1) xdy y 2x2y(y2 x2)2dx4x3 2xy3 2x3x225 o 2y 6y 3y解1)解法1 （降次法）方程可化為y dyx dx22y2(y xx2),令y2dy2 dx22 y .2.2 2-22y (yxx2),x2q方程可化為下列迫努利方程從而得du dq2u2，1

22、-、u( 2q),qd1 u dqdzdqz(2qq)2此方程的通解為q2z (e2C) q故原方程的通積分為x41 Ce2x-2 ,另外還有 yy0也是方程的解。解法2 xdy y 2x2y（y2 x2）給方程兩端同乘以 dxdx /日一得xxdy ydx2xd、2y(y22y(y2 x2)dx,x2)dx,令- u ,則y xu ,方程可化為分離變量方程 xdu 2x3u(u2 1)dx分離變量，再積分得Cex故原方程的通積分為y2 x2 Cy2ex4 ,另外還有y 0也是方程的解。2)解法1 (降次法)原方程可化為出 4x2 2V2 或xdx 3x2 6y3 3dy3 2x2 y3 1d

23、x2 x2 2y3 1 '令y3 u ,x2 q方程化為下列可轉(zhuǎn)化為齊次方程的方程du2qu1dqq2u1解此方程得其通解為 u u2 q q2 qu C ,因此，原方程的通解為362423cy y x x x y C。解法2將原方程轉(zhuǎn)化對(duì)稱形式為(3x2y2 6y5 3y2)dy (4x3 2xy3 2x)dx 0易判斷此方程為恰當(dāng)方程，因而方程的解為 2 36342 cx v y y x x C。評(píng)注：當(dāng)方程中自變量和未知函數(shù)的次數(shù)較高時(shí)，我們仿照此例的方法可先設(shè)法“降次”，有可能化為可積方程， 然后積分求解，這也是求解常微分方程常用的技巧。但有時(shí)將方程轉(zhuǎn)化為對(duì)稱形式后，有意想不到

24、的結(jié)果。若判斷方程是恰當(dāng)方程，則可直接得到方程的通解， 如果不是，再嘗試用其它方法求解。2-13解下列方程) xy 1 ydx xdy 021) ydx xdy x ydy3) x故原方程的通積分為x C ,即x2 y2 Cxy2 dx 2xydy 04) ydx 1 x y2 dy 05) y x(x2 y2)dx xdy 01解1)容易觀察方程有積分因子 2 ,乘以方程兩端得 xydx xdy ,-1 ydy， x,y1 . 2d dy ,x 2故原方程的通積分為-y2 y C。2 x2)原方程各項(xiàng)重新組合得2xy dx ydx xdy 0,1容易觀察方程有積分因子2,乘以方程兩端得 yy

25、dx xdyxdx 2 0 ，y1dx2 d -0,2 y2故原方程的通積分為 -C ,還有解 y 0。2 y3) 原方程各項(xiàng)重新組合得,22.(y dx 2xydy) x dx 0, ,22、2 .(y dx xdy ) x dx 0 ,1容易觀察方程有積分因子 -2 ,乘以方程兩端得 x2 , 2y dx xdy 2 dx 0,x2即dx d 0,x4）原方程各項(xiàng)重新組合得2 ,ydx xdy y dy dy 0。1乘以方程兩端得容易觀察方程有積分因子2 , yydx xdydy口 dy y0,d - dy d y故原方程的通積分為1 y C y ；還有解 y 0 。5）原方程各項(xiàng)重新組合

26、得容易觀察方程有積分因子ydxxdydx,乘以方程兩端得 yydxxdy故原方程的通積分為Idx2 2x d arctany2 x x arctan y 2評(píng)注：注意利用微分式y(tǒng)dx xdyx、2 d(一),yyxdy ydx2xdd),xydx xdyxyd(ln-),yydx xdyx d (arctg ) yydx xdy1 八 d (ln2y),ydx xdy2-14解下列方程1)dy 2x 3yd(ln J-xy)。x ydx 4x 6y 5)2x 2ydx2 dy 03)edy 1 dxx xe令2x3y分離變量得積分得dzdxdx故原方程的通積分為還有解2)3dx7z222z7z

27、 222z 5, 492一 2x791n 2x2x 3y原方程變形為分離變量得積分得22C13y3y9In 2x4922143y3y22227dydxdz dx dz dxIn z故原方程的通積分為3）原方程變形為dydxdx2z12 dz31n z13dx,x xeC1 OCe2x yoy,的。即得令x y u,則du d dy 1 dxdxe udu故原方程的通積分為2 x C。評(píng)注：在解一階常微分方程時(shí),經(jīng)常利用整體代換的思想化簡(jiǎn)方程,從而達(dá)到求解的目2-151)3)解下列方程dy一edxxy xye(1xxey)dx eyx _dy 0 y2 .y dxx2eydy 0du x -dx

28、e ududx, xln |x|故原方程的通積分為eInIxIdx,則 dydu ydy，代入方程有積分得duy - dyuueu duIn | euIn I y I C1，/ u y(eu)C,dydxx % xy故原方程的通積分為yey x C。3)原方程變形為2 xdy y丫 ey,dx xx1令u,則 u x - u u2e u ,xdxieu , dx-2 du ， u x積分得1 euIn x C ,x即得原方程的通積分為elnx C。dxxx4) 萬程可化為一一一,dyy.y入x i dx令一u ,則一 uydyduy一，代入上方程得 dydu u y - dy1dydu，.uy

29、兩邊積分得2 Ju In y C ,2c 1 .u C -ln y , 22、，一 1即得原萬程的通積分為x y C - ln y ；另外還有解評(píng)注：齊次方程是利用整體代換將原方程化簡(jiǎn)為可分離變量的方程來求解的。2-16解下列方程1) dy 4e ysinx 12) x 1 dy 1 2e ydxdx八 2x,4)3 dx3y22y 3x4dy 0 y2、3)(x y )dx y(1 x)dy 0解1 ）給方程兩端同乘以ey,得eydy dx4sin xeydeydxeydxCdx4 sin xe dx4 sin xexdx_xe sin x cosx4Ce2 sinx cosx即得原方程的通

30、積分為eyCe x2 sin x cosx。2）給方程兩端同乘以deydxTV由公式得ey-Ldx e x 1Lxx 1 dx(x1)dx(x 1)ey 2x C 。3)原方程變形為dy 1dx 1給上方程兩端同乘以2ydy dxdy2dx22 2xy ，1 x 1 x2x x由公式得92 3y2 e 1 x C_x2x 2廠產(chǎn)e 11 x(1 x)2 C2x(1 x)3 dx32(1 x)2 C21 x (1 x)2C(1 x)2 2x 1即得原方程的通積分為y2 C(1 x)2 2x 1 o4)解法1原方程變形為dx3y 1 x xdy 2y2給上方程兩端同乘以 2x,得dx23 2 -

31、xdy y由公式得3色x2 e y C3?ye y dy31y c y - dy yCy3即得原方程的通積分為X2 Cy3 y2。解法2因?yàn)橐?6與 _N ,所以方程為恰當(dāng)方程。這樣我們可用湊微分 y y x法來求解，原方程變形為12211-dxx d dy 0,yyyX21d 餐 d1 0,3 y y積分可得原方程的通積分為X2 Cy3 y2。評(píng)注：轉(zhuǎn)換為線性方程的求解問題。2-17解下列方程1) 4x2y2dx 2(x3y 1)dy 0 (設(shè) y 0)32) 2xy x2y dx x2 y2 dy 0解1 )由于-,所以積分因子為M 2yMy) edy 2y方程兩端同乘以積分因子得3114

32、x2y2dx 2x3y2dy 2y 2dy 0 ,331-y 2dx3 -x3dy24dy20 ,3 34 31-d x3y24dy2 0 ,331x3y2 3y2 C ,即原方程的通積分為1y 3)y，C。22) 2xy x y3 y_3dx xy2 dy 0解解法1由于Mx)所以積分因子為1dx方程兩端同乘以積分因子得ex 2xy原方程的通積分為xex 2xy02 xx ye即得3x2y-ye 3解法2原方程變形為2xydx2 .x dy3dx33 y_3dxy2dy3C 。1 3 3y1 3 3y1 3xy 3ylnx2y 1y3dy3y-C31y 3y3 dx1y3 dx 3C1,0,

33、Czex ,原方程的通積分為3x觀察其形式，可令u xy評(píng)注：利用公式尋找積分因子。2-18解下列方程1)(xdxydy) x( ydx xdy)1 xy33T 01 x y1、一，解法給原方程兩端同乘以-4,方程化為 y則有積分得回代變量，得cos2d(x22dsin1 sin(y 1)22y22x yy2)cosxd(-) y,cos dsin2C2 ,0。0,sinsin而y 0也是原方程的解，故原方程的全體解為22(y 1) (x y2_ 2_)Cy (C 0)和 y 0。解法2給原方程兩端同乘以1、士，2,方程化為 y12d(x2x xd () 0 , yx ,v ,從中斛得xy可化

34、為分離變量方程du vju-dv分離變量，再整理得1duu0,1dv2v2 10,積分得其通解為.uv2 1C,C 0?；卮兞?，整理得原方程的全體解為222_2_(y 1) (x y ) Cy (C 0)和 y 0。 1 一、，解法3xdx ydyx給原方程兩端同乘以，原方程化為xyydx xdy,0，y進(jìn)而化為dx -dyx人x令一yudyydu ,將上方程化為udy ydu-dy udu0,即得到分離變量的方程jyu(y1)du解之得(y i)2(u21)故原方程的通解為(yi)2(x2y2)2Cy (C 0),另外 y0也是方程的解。2)將方程化為對(duì)稱形式dx dyxy3dx x3ydy 0,一 ,1給其兩端同乘以33x