高三數學一輪復習必備精品33圓錐曲線方程及性質 備注【高三數學一輪復習必備精品共42講 全部免費

1、第第 33 講講 圓錐曲線方程及性質圓錐曲線方程及性質備注：備注：【高三數學一高三數學一輪輪復復習習必必備備精品精品共共 42 講講 全部免全部免費費 歡歡迎下迎下載載】一一 【課標要求課標要求】1了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用；2經歷從具體情境中抽象出橢圓、拋物線模型的過程，掌握它們的定義、標準方程、幾何圖形及簡單性質；3了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道雙曲線的有關性質二二 【命題走向命題走向】本講內容是圓錐曲線的基礎內容，也是高考重點考查的內容，在每年的高考試卷中一般有 23 道客觀題，難度上易、中、難三檔題都有，主要考查的內容是圓錐曲線

2、的概念和性質，從近十年高考試題看主要考察圓錐曲線的概念和性質。圓錐曲線在高考試題中占有穩(wěn)定的較大的比例，且選擇題、填空題和解答題都涉及到，客觀題主要考察圓錐曲線的基本概念、標準方程及幾何性質等基礎知識和處理有關問題的基本技能、基本方法對于本講內容來講，預測 2010 年：（1）1 至 2 道考察圓錐曲線概念和性質客觀題，主要是求值問題；（2）可能會考察圓錐曲線在實際問題里面的應用，結合三種形式的圓錐曲線的定義。三三 【要點精講要點精講】1橢圓（1）橢圓概念平面內與兩個定點、的距離的和等于常數（大于）的點的軌跡叫做橢圓。這兩1F2F21|FF個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫橢圓的焦距。若為橢

3、圓上任意一點，則有M21| 2MFMFa橢圓的標準方程為：（） （焦點在 x 軸上）或（22221xyab0ab12222bxay） （焦點在 y 軸上） 。0ab注：以上方程中的大小，其中；, a b0ab222cab在和兩個方程中都有的條件，要分清焦點的位置，22221xyab22221yxab0ab只要看和的分母的大小。例如橢圓（，）當2x2y221xymn0m 0n mn時表示焦點在軸上的橢圓；當時表示焦點在軸上的橢圓mnxmny（2）橢圓的性質范圍：由標準方程知，說明橢圓位于直線，22221xyab|xa|ybxa 所圍成的矩形里；yb 對稱性：在曲線方程里，若以代替方程不變，所以若

4、點在曲線上時，點yy( , )x y也在曲線上，所以曲線關于軸對稱，同理，以代替方程不變，則曲線關于( ,)xyxxx軸對稱。若同時以代替，代替方程也不變，則曲線關于原點對稱。yxxyy所以，橢圓關于軸、軸和原點對稱。這時，坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是對稱中xy心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心；頂點：確定曲線在坐標系中的位置，常需要求出曲線與軸、軸的交點坐標。在橢xy圓的標準方程中，令，得，則，是橢圓與軸的兩個交點。0 x yb 1(0,)Bb2(0, )Bby同理令得，即，是橢圓與軸的兩個交點。0y xa 1(,0)Aa2( ,0)A ax所以，橢圓與坐標軸的交點有四個，這四個交點叫做橢圓的頂

5、點。同時，線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為和，和21A A21B B2a2ba分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。b由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點到焦點的距離為；在中，a22Rt OB F2|OBb，且，即；2|OFc22|B Fa2222222|OFB FOB222cac離心率：橢圓的焦距與長軸的比叫橢圓的離心率。，cea0ac01e且越接近 ，就越接近，從而就越小，對應的橢圓越扁；反之，越接近于，就e1cabe0c越接近于，從而越接近于，這時橢圓越接近于圓。當且僅當時，兩焦點0baab0c 重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。222xya2雙曲線（1）雙曲線的概念平面上與兩點距離的差的

6、絕對值為非零常數的動點軌跡是雙曲線（） 。12| 2PFPFa注意：（*）式中是差的絕對值，在條件下；時為1202|aFF12| 2PFPFa雙曲線的一支（含的一支） ；時為雙曲線的另一支（含的一支） ；2F21| 2PFPFa1F當時，表示兩條射線；當時，122|aFF12| 2PFPFa122|aFF不表示任何圖形；兩定點叫做雙曲線的焦點，叫做焦距。12| 2PFPFa12,F F12|FF橢圓和雙曲線比較：橢 圓雙 曲 線定義1212| 2 (2|)PFPFaaFF1212| 2 (2|)PFPFaaFF方程22221xyab22221xyba22221xyab22221yxab焦點(,

7、0)Fc(0,)Fc(,0)Fc(0,)Fc注意：如何有方程確定焦點的位置！（2）雙曲線的性質范圍：從標準方程，看出曲線在坐標系中的范圍：雙曲線在兩條直線12222byax的外側。即，即雙曲線在兩條直線的外側。ax22ax ax ax對稱性：雙曲線關于每個坐標軸和原點都是對稱的，這時，坐標軸是雙12222byax曲線的對稱軸，原點是雙曲線的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中12222byax心。頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點。在雙曲線的方程里，12222byax對稱軸是軸，所以令得，因此雙曲線和軸有兩個交點，, x y0yaxx)0 ,()0 ,(2aAaA 他們是雙曲線的頂

8、點。12222byax令，沒有實根，因此雙曲線和 y 軸沒有交點。0 x1）注意：雙曲線的頂點只有兩個，這是與橢圓不同的（橢圓有四個頂點） ，雙曲線的頂點分別是實軸的兩個端點。2）實軸：線段叫做雙曲線的實軸，它的長等于叫做雙曲線的實半軸長。虛2AA2 , a a軸：線段叫做雙曲線的虛軸，它的長等于叫做雙曲線的虛半軸長2BB2 , b b漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接12222byax近。等軸雙曲線：1）定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：；ab2）等軸雙曲線的性質：（1

9、）漸近線方程為： ；（2）漸近線互相垂直xy注意以上幾個性質與定義式彼此等價。亦即若題目中出現上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時其他幾個亦成立。3）注意到等軸雙曲線的特征，則等軸雙曲線可以設為： ，ab)0(22yx當時交點在軸，當時焦點在軸上0 x0y注意與的區(qū)別：三個量中不同（互換）相同，191622yx221916yx, ,a b c, a bc還有焦點所在的坐標軸也變了。3拋物線（1）拋物線的概念平面內與一定點 F 和一條定直線 l 的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點 F 不在定直線l 上)。定點 F 叫做拋物線的焦點，定直線 l 叫做拋物線的準線。方程叫做拋物線的標準方程。

10、022ppxy注意：它表示的拋物線的焦點在 x 軸的正半軸上，焦點坐標是 F（,0） ，它的準線方2p程是 ；2px（2）拋物線的性質一條拋物線，由于它在坐標系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標準方程還有其他幾種形式：，.這四種拋物線的圖pxy22pyx22pyx22形、標準方程、焦點坐標以及準線方程如下表：標準方程22(0)ypxp22(0)ypxp 22(0)xpyp22(0)xpyp 圖形焦點坐標(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2poFxyloxyFlxyoFl準線方程2px 2px 2py 2py 范圍0 x 0 x 0y 0y 對稱性軸x軸x軸y軸y

11、頂點(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)離心率1e 1e 1e 1e 說明：（1）通徑：過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑；（2）拋物線的幾何性質的特點：有一個頂點，一個焦點，一條準線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線；（3）注意強調的幾何意義：是焦點到準線的距離。p四四 【典例解析典例解析】題型 1：橢圓的概念及標準方程例 1求適合下列條件的橢圓的標準方程：（1）兩個焦點的坐標分別是、，橢圓上一點到兩焦點距離的和等于；( 4,0)(4,0)P10（2）兩個焦點的坐標分別是、，并且橢圓經過點；(0, 2)(0,2)3 5(, )2 2（3）焦點在軸上，；x:2:1a b cb（4）

12、焦點在軸上，且過點；y225ab(2,0)（5）焦距為，；b1ab（6）橢圓經過兩點，。3 5(, )2 2( 3, 5)解析：（1）橢圓的焦點在軸上，故設橢圓的標準方程為（） ，x22221xyab0ab，210a 4c 2229bac所以，橢圓的標準方程為。221259xy（2）橢圓焦點在軸上，故設橢圓的標準方程為（） ，y22221yxab0ab由橢圓的定義知，22223535312()(2)()(2)10102 10222222a ，又，10a 2c 2221046bac所以，橢圓的標準方程為。221106yx（3），6c 2226abc又由代入得，:2:1a b 2246bb，又焦點

13、在軸上，22b 28a x所以，橢圓的標準方程為。22182xy（4）設橢圓方程為，22221yxab ，221b22b 又，225ab23a 所以，橢圓的標準方程為22132yx（5）焦距為，63c ，又，2229abc1ab5a 4b 所以，橢圓的標準方程為或2212516xy2212516yx（6）設橢圓方程為（） ，221xymn,0m n 由得，2235()( )221351mnmn6,10mn所以，橢圓方程為221106yx 點評：求橢圓的方程首先清楚橢圓的定義，還要知道橢圓中一些幾何要素與橢圓方程間的關系例 2 （1） （06 山東）已知橢圓中心在原點，一個焦點為 F（2，0）

14、，且長軸長是短3軸長的 2 倍，則該橢圓的標準方程是 。（2） （06 天津理，8）橢圓的中心為點，它的一個焦點為，相應于焦( 10)E ，( 3 0)F ，點的準線方程為，則這個橢圓的方程是（）F72x 222(1)21213xy222(1)21213xy 22(1)15xy22(1)15xy解析：（1）已知為所求；222222242 ,2 3161164( 2 3,0)bab cyxaabcF（2）橢圓的中心為點它的一個焦點為( 1,0),E ( 3,0),F 半焦距，相應于焦點 F 的準線方程為 2c 7.2x ，則這個橢圓的方程是，選 D。252ac225,1ab22(1)15xy點評

15、：求橢圓方程的題目屬于中低檔題目，掌握好基礎知識就可以。題型 2：橢圓的性質例 3 （1） （06 山東理，7）在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，焦點到2相應準線的距離為 1，則該橢圓的離心率為（ ）(A) (B) (C) (D)2222142（2） （2009 全國卷理）設雙曲線22221xyab（a0,b0）的漸近線與拋物線 y=x2 +1 相切，則該雙曲線的離心率等于( )A.3 B.2 C.5 D.6 【解析】設切點00(,)P xy，則切線的斜率為00|2x xyx.由題意有0002yxx又2001yx解得: 2201,2,1 ( )5bbxeaa . 【答案】C點評：本題重

16、點考查了橢圓和雙曲線的基本性質。例 4 （1） （2009 全國卷理）已知橢圓22:12xCy的右焦點為F,右準線為l，點Al，線段AF交C于點B，若3FAFB ,則|AF =( )A. 2 B. 2 C.3 D. 3 【解析】過點 B 作BMl于 M,并設右準線l3FAFB ,故2|3BM .又由橢圓的第二定義,得2 22|233BF |2AF.故選 A 【答案】A（2） （2009 浙江理）過雙曲線22221(0,0)xyabab的右頂點A作斜率為1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為,B C若12ABBC ，則雙曲線的離心率是 ( ) A2 B3 C5 D10【解析】對于,0A

17、 a，則直線方程為0 xya，直線與兩漸近線的交點為 B，C，22,(,)aabaabBCab ababab則有22222222(,),a ba bababBCABababab ab ，因222,4,5ABBCabe 【答案】C題型 3：雙曲線的方程例 5 （1）已知焦點，雙曲線上的一點到的距離差的絕對值12(5,0),( 5,0)FF P12,F F等于，求雙曲線的標準方程；6（2）求與橢圓共焦點且過點的雙曲線的方程；221255xy(3 2,2)（3）已知雙曲線的焦點在軸上，并且雙曲線上兩點坐標分別為y12,P P，求雙曲線的標準方程。9(3, 4 2),( ,5)4解析：（1）因為雙曲線

18、的焦點在軸上，所以設它的標準方程為x22221xyab，(0,0)ab，。26,210ac3,5ac2225316b 所以所求雙曲線的方程為；221916xy（2）橢圓的焦點為，可以設雙曲線的方程為221255xy(2 5,0),( 2 5,0)，則。22221xyab2220ab又過點，。(3 2,2)221821ab綜上得，所以。22202 10,2 10ab221202 102 10 xy點評：雙曲線的定義；方程確定焦點的方法；基本量之間的關系。, ,a b c（3）因為雙曲線的焦點在軸上，所以設所求雙曲線的標準方程為y；22221(0,0)yxabab點在雙曲線上，點的坐標適合方程。1

19、2,P P12,P P將分別代入方程中，得方程組：9(3, 4 2),( ,5)42222222( 4 2)319( )2541abab將和看著整體，解得，21a21b221116119ab即雙曲線的標準方程為。22169ab221169yx點評：本題只要解得即可得到雙曲線的方程，沒有必要求出的值；在求解的22,a b, a b過程中也可以用換元思想，可能會看的更清楚例 6已知雙曲線中心在原點，一個頂點的坐標為,且焦距與虛軸長之比為，(3,0)5:4則雙曲線的標準方程是_.解析：雙曲線中心在原點，一個頂點的坐標為,則焦點在 x 軸上，且 a=3，焦距與虛(3,0)軸長之比為，即，解得，則雙曲線

20、的標準方程是；5:4:5:4c b 5,4cb221916xy點評：本題主要考查雙曲線的基礎知識以及綜合運用知識解決問題的能力。充分挖掘雙曲線幾何性質，數形結合，更為直觀簡捷題型 4：雙曲線的性質例 7 （1） （2009 安徽卷理）下列曲線中離心率為62的是 .22124xy .22142xy .22146xy .221410 xy 【解析】由62e 得222222331,1,222cbbaaa，選 B.【答案】（2） （2009 江西卷文）設1F和2F為雙曲線22221xyab(0,0ab)的兩個焦點, 若12FF，(0,2 )Pb是正三角形的三個頂點,則雙曲線的離心率為 A32 B2 C

21、52 D3【解析】由3tan623cb有2222344()cbca,則2cea,故選 B.【答案】B（3） （2009 天津卷文）設雙曲線)0, 0( 12222babyax的虛軸長為 2，焦距為32，則雙曲線的漸近線方程為（ ）A.xy2 B .xy2 C .xy22 D.xy21【解析】由已知得到2, 3, 122bcacb，因為雙曲線的焦點在 x 軸上，故漸近線方程為xxaby22【答案】C【考點定位】本試題主要考查了雙曲線的幾何性質和運用?？疾炝送瑢W們的運算能力和推理能力。例 8 （1）(2009 湖北卷理)已知雙曲線22122xy的準線過橢圓22214xyb的焦點，則直線2ykx與橢

22、圓至多有一個交點的充要條件是( )A. 1 1,2 2K B. 11,22K C. 22,22K D. 22,22K 【解析】易得準線方程是2212axb 所以222241cabb 即23b 所以方程是22143xy聯(lián)立2 ykx可得22 3+(4k +16k)40 xx 由0 可解得 A.【答案】A（2） （2009 四川卷文、理）已知雙曲線)0( 12222bbyx的左、右焦點分別是1F、2F，其一條漸近線方程為xy ，點), 3(0yP1PF2PF( ) A. 12 B. 2 C. 0 D. 4【解析】由漸近線方程為xy 知雙曲線是等軸雙曲線，雙曲線方程是222 yx，于是兩焦點坐標分別

23、是（2，0）和（2，0） ，且) 1 , 3(P或) 1, 3(P.不妨去) 1 , 3(P，則) 1, 32(1PF，) 1, 32(2PF.1PF2PF01)32)(32() 1, 32)(1, 32(【答案】C（3） （2009 全國卷理）已知雙曲線222210,0 xyCabab：的右焦點為F,過F且斜率為3的直線交C于AB、兩點，若4AFFB,則C的離心率為 ( )m A65 B. 75 C. 58 D. 95【解析】設雙曲線22221xyCab：的右準線為l,過AB、分 別作AMl于M,BNl于N, BDAMD于,由直線 AB 的斜率為3,知直線 AB 的傾斜角16060 ,|2B

24、ADADAB,由雙曲線的第二定義有1| |(|)AMBNADAFFBe 11|(|)22ABAFFB .又15643|25AFFBFBFBee .【答案】A題型 5：拋物線方程例 9 （1）)焦點到準線的距離是 2；（2）已知拋物線的焦點坐標是 F(0，2)，求它的標準方程解析：（1）y =4x，y =4x，x =4y，x =4y；2222方程是 x =8y。2點評：由于拋物線的標準方程有四種形式，且每一種形式中都只含一個系數 p，因此只要給出確定 p 的一個條件，就可以求出拋物線的標準方程。當拋物線的焦點坐標或準線方程給定以后，它的標準方程就唯一確定了；若拋物線的焦點坐標或準線方程沒有給定，

25、則所求的標準方程就會有多解。題型 6：拋物線的性質例 10 （1）若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為（ 22ypx22162xyp）A B C D2244（2）拋物線的準線方程是（ ）28yx (A) (B) (C) (D) 2x 4x 2y 4y （3） （2009 湖南卷文）拋物線28yx 的焦點坐標是（ ） A （2，0） B （- 2，0） C （4，0） D （- 4，0）解析：（1）橢圓的右焦點為(2,0)，所以拋物線的焦點為(2,0)，則22162xy22ypx，故選 D；4p （2）2p8，p4，故準線方程為 x2，選 A；（3） 【解析】由28yx ,易知焦點坐標是(,0)( 2,0)2p ，故選 B. 【答案】B點評：考察拋物線幾何要素如焦點坐標、準線方程的題目根據定義直接計算機即可。例 11 （1） （全國卷 I）拋物線上的點到直線距離的最小值是（ 2yx 4380 xy