格林公式及其應(yīng)用課件

1、上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 8-3 格林公式格林公式 . 平面第二型曲線積分平面第二型曲線積分 與路徑無關(guān)的條件與路徑無關(guān)的條件單連通與多連通區(qū)域單連通與多連通區(qū)域 設(shè)設(shè)D為平面區(qū)域，如果為平面區(qū)域，如果D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于 D，則稱，則稱D為平面為平面單連通區(qū)域單連通區(qū)域，否則稱為，否則稱為復(fù)連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域.通俗通俗 地說，地說，平面平面單連通區(qū)域是不含有單連通區(qū)域是不含有“洞洞”（包括點(diǎn)（包括點(diǎn)“洞洞”）的區(qū)的區(qū) 域域,復(fù)連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域是含有是含有“洞洞”（包括點(diǎn)（包括點(diǎn)“洞洞”）的）的區(qū)域區(qū)域. 例如，平面上的圓形區(qū)域例如，平面上的圓形區(qū)域 ,

2、上半平面上半平面 都都 是單連通域是單連通域.1),(22 yxyx0),(yyx上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁,41),(22yxyx10),(22yxyx環(huán)形區(qū)域都是復(fù)連通區(qū)域. 定義定義 規(guī)定平面區(qū)域規(guī)定平面區(qū)域D的邊界曲線的邊界曲線L的正向如下：當(dāng)?shù)恼蛉缦拢寒?dāng)觀測(cè)者沿觀測(cè)者沿L的這個(gè)方向行走時(shí)，的這個(gè)方向行走時(shí)，D內(nèi)在他近處的那一部?jī)?nèi)在他近處的那一部分總在他的左邊分總在他的左邊.如圖如圖D Ll.L(順時(shí)針逆時(shí)針，）的正向?yàn)楹偷倪吔缜€區(qū)域llLD上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁定理定理1. 設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線 L 圍成,則有, ),(yxP),(yxQ)3 . 8(.)(ddDLdxd

3、yyPxQyQxP( 格林公式格林公式 )函數(shù)在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),1. 格林公式.D的正向邊界為區(qū)域其中L證證 先證)4 . 8(.dDLdxdyyPxP根據(jù)區(qū)域D 的不同，我們分三種情況進(jìn)行證明：上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁bxaxyyxyyxD),()(),(21（1）ABBAOxy)(1xyy )(2xyy ab根據(jù)曲線積分的性質(zhì)及計(jì)算法，有LxPdBAPdxBBPdxBAPdxAAPdxbadxxyxP)(,(10abdxxyxP)(,(20badxxyxPxyxP.)(,()(,(12另一方面，根據(jù)二重積分的計(jì)算法，有dxdyyPD baxyxydxdyyyxP)()(21),(

4、dxxyxPxyxPba)(,()(,(12比較上面兩式，即得所要的公式（8.4）上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁yxoL(2) 若D是單連通區(qū)域,但D的邊界線L與平行于y軸的直線之交點(diǎn)多于兩個(gè). 則可通過加輔助線將其分割1DnD2DnkDyxyPk1ddyxyPDddnkDkxP1d.dLxP為有限個(gè)上述形式的區(qū)域 , 如圖)(的正向邊界表示kkDD證畢上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁(3) D 是多連通區(qū)域這時(shí)仍然可以通過作輔助線的方法將D 分作若干小區(qū)域.如圖所示.對(duì)于每個(gè)小區(qū)域使用上述公式(8.4),然后相加，即得出對(duì)于整個(gè)區(qū)域D 上公式 (8.4) 成立.1D2D3D4Dxyo上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁),

5、()(),( 21dycyxyyxD設(shè)類似地可證 .dxdy DxQQdyL將前面已證明的關(guān)于 及 的公式相加，即得到格林公式.LQdyLPdy上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁LxdyydxI,2例例1 求求其中L為正方形ABCD 的邊界，A(1,0),B(0,1),C(-1,0),D(0,-1).A(1,0 )B(0,1 )D(-1,0 )C(0,-1 )xyo解解 利用格林公式，dxdyyPxQID)(Ddxdy) 12(. 2)2(2時(shí)，看出，當(dāng)從例11yPxQ.DL的面積所圍成區(qū)域曲線LQdyPdx.21DLydxxdy的面積上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁12222byax例例2 求橢圓求橢圓 的面積的

6、面積D.解解 橢圓的邊界方程為.20,sin,costtbytaxD 的面積Lydxxdy2120)sin(sincoscos21dttatbtbta.2120ababdt 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁.L,)()(22為光滑的閉曲線其中Lyxdyyxdxyx例例3 求曲線積分求曲線積分解解,)(),(P22yxyxyx這里,),(Q22yxyxyx),(Pyx在原點(diǎn)處無定義，),(Qyx為利用格林公式，故需分兩種情況討論.(1) 當(dāng)L所圍成的區(qū)域D內(nèi)不包含原點(diǎn)時(shí),P(x,y),Q(x,y)在D 內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，這時(shí)可用格林公式.易算出,)(2Q22222yxxxyyyPx于是也即. 0QyP

7、x上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁. 00)()(22DLdxdyyxdyyxdxyx (2) 當(dāng)L所圍的區(qū)域D 包含原點(diǎn)作為其內(nèi)點(diǎn)時(shí)，由于P(x,y) ,Q(x,y) 在D內(nèi)一點(diǎn)（即原點(diǎn)）處無定義，也就不滿足 格林公式成立的條件，故不能在區(qū)域D 上用格林公式.為了能用格林公式，需要把原點(diǎn)“挖掉”.為此以原點(diǎn)為圓心，充分小的 r(0)為半徑作一小圓C，使C整個(gè)包含在D 內(nèi).在挖掉小圓域C 之后的多連通區(qū)域 上，可利用格林公式.設(shè)C的邊界曲線為 ，則有1D. 00)()(1)(22DLdxdyyxdyyxdxyx上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁按這時(shí)的正向邊界曲線表示多連通區(qū)域這里L(fēng).D)(1L因而按順時(shí)針方向逆時(shí)

8、針方向，而.)(22)()(LyxdyyxdxyxLyxdyyxdxyx22)()(,)()(22yxdyyxdxyxLyxdyyxdxyx22)()(.)()(22yxdyyxdxyx此式說明，沿任意一條將原點(diǎn)包圍在其內(nèi)部的光滑正向閉曲線L 的積分，都等于沿以原點(diǎn)為圓心的正向圓周 的積分.上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁有令,20 ,sin,costtrytrxLyxdyyxdxyx22)()(dttttrtttrr)(cossin(cos)sin)(sin(cos122022dt201.2 例例 4 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)u(x,y)在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上有連續(xù)的二階上有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)，L 為

9、為D 的邊界且逐段光滑的邊界且逐段光滑.證明：證明：.LDuddsnu其中其中 表示函數(shù)表示函數(shù)u(x,y)沿沿L的外法線方向的方向?qū)?shù)，的外法線方向的方向?qū)?shù)，u.2222yuxunu上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁及000 tn應(yīng)滿足0coscos0bakji,)coscos(kba 證證 設(shè) 為 的單位切向量，其方向余弦為0tLcos,cos .而 為L(zhǎng) 的外法線方向的單位向量.設(shè) 與0n),(0ban 0t0n,00ktn其中 為z軸正方向的單位向量.由于k00tn00tn故條件即表為及ktn00, 1coscos, 0coscosbaba上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁即由此解出,cos,cosba).

10、cos,(cos0n 說明 的方向余弦為 .于是由方向?qū)?shù)的定義 ，有 0ncos,cosLdsnuLdsyuxu)coscos(LdxyudyxuDdxdyyuyxux)()(.Dudxdy上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 例例 5 設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域D的邊界為閉曲線的邊界為閉曲線L. 某穩(wěn)定流體某穩(wěn)定流體(即流體即流體的流速與時(shí)間無關(guān)，只與點(diǎn)的位置有關(guān)的流速與時(shí)間無關(guān)，只與點(diǎn)的位置有關(guān))在在 上每上每一點(diǎn)一點(diǎn)(x,y)處的速度為處的速度為L(zhǎng)DD),(),(),(yxQyxPyxv其中其中P(x,y),Q(x,y) 在在 上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).該流體通過該流體通過閉曲線閉曲線L的流量的流量

11、定義為定義為D,Ldsnv其中其中 為為L(zhǎng)的外法線方向的單位向量的外法線方向的單位向量.試證明試證明n.)(dyQxPdsnvDL上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 證證 設(shè) 的切向量的方向余弦為 由例4知 L.cos,cos).cos,(cosnLdsnvLdsQP)coscos(LQdxPdy=由格林公式.)(dxQyPD（格林公式的另一種形式）稱函數(shù)稱函數(shù) 為平面向量場(chǎng)為平面向量場(chǎng) ),(),(yxQyxPv 的散度散度.物理意義：穩(wěn)定流體通過某一閉曲線的流量，等穩(wěn)定流體通過某一閉曲線的流量，等于其散度在該于其散度在該閉曲線所的區(qū)域上的二重積分之值閉曲線所的區(qū)域上的二重積分之值.提示 格林公式 設(shè)區(qū)

12、域設(shè)區(qū)域D的邊界曲線為的邊界曲線為L(zhǎng) 則則DLdxdyxdyydx2 或在格林公式中在格林公式中 令令Py Q x 則有則有 LydxxdyA21 或LDydxxdydxdyA21 用格林公式計(jì)算區(qū)域的面積.LDQPPdxQdydxdyxyO2. 平面第二型曲線積分與路徑無關(guān)的條件平面第二型曲線積分與路徑無關(guān)的條件 設(shè)設(shè)G是一個(gè)開區(qū)域是一個(gè)開區(qū)域 P(x y)、Q(x y)在區(qū)域在區(qū)域G內(nèi)具有一階內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 21LLQdyPdxQdyPdx與路徑無關(guān)與路徑無關(guān) 否則說否則說與路徑有關(guān)與路徑有關(guān) 如果對(duì)于如果對(duì)于G內(nèi)任意指定的兩個(gè)點(diǎn)內(nèi)任意指定的兩個(gè)點(diǎn)A、B以及以及G內(nèi)從點(diǎn)內(nèi)從

13、點(diǎn)A到到點(diǎn)點(diǎn)B的任意兩條曲線的任意兩條曲線L1、L2 等式等式恒成立 就說曲線積分LQdyPdx在 G 內(nèi) 這是因?yàn)檫@是因?yàn)?設(shè)設(shè)L1和和L2是是D內(nèi)任意兩條從內(nèi)任意兩條從點(diǎn)點(diǎn)A到點(diǎn)到點(diǎn)B的曲線的曲線 則則L1 (L2 )是是D內(nèi)一條任意內(nèi)一條任意的閉曲線的閉曲線 而且而且有有021LLQdyPdxQdyPdx 0)(21 LLQdyPdx 21LLQdyPdxQdyPdx021LLQdyPdxQdyPdx 在D意一條簡(jiǎn)單逐段光滑意一條簡(jiǎn)單逐段光滑閉曲線閉曲線的曲線積分的曲線積分曲線積分曲線積分內(nèi)與路徑無關(guān)內(nèi)與路徑無關(guān) 沿沿 D內(nèi)任內(nèi)任ABPdxQdyQdyPdx=0=0C 定理2 (曲線積分

14、與路徑無關(guān)的判斷方法) )(閉曲線的曲線積分為零閉曲線的曲線積分為零則曲線積分則曲線積分LQdyPdx在D內(nèi)與路徑無關(guān)內(nèi)與路徑無關(guān) 或沿或沿 D 內(nèi)任意內(nèi)任意( )數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)函數(shù)函數(shù)P x y 及Q(x y)在在單連通域單連通域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)在在D內(nèi)處處成立內(nèi)處處成立PQyx證證充分性已知上述等式在D內(nèi)處處成立.在D內(nèi)任CQdyPdx.)(1dxdyyPxQD. 001dxdyD取一簡(jiǎn)單閉曲線C，記C所圍之區(qū)域?yàn)?.由于D是單連通區(qū)域，因而 被包含在D內(nèi)，于是在區(qū)域 上用格林公式得1D1D1D，DC1D積分與路徑無關(guān)上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 必要性 我們假定上述積分與路徑無

15、關(guān)，要證明等式 在D內(nèi)處處成立.xQyP用反證法.設(shè)在D內(nèi)一點(diǎn) 處0M上述等式不成立，不妨設(shè). 0| )(0ayPxQM由假設(shè)可知函數(shù) 在D內(nèi)連續(xù).因而在D內(nèi)存在以 為圓心以充分小的正數(shù)r為半徑的小圓域 ，使在整 上，有 設(shè) 的邊界線為 ，在 上用格林公式，有yPxQ0D0M0D.2ayPxQ0D0C0D0CQdyPdxdxdyyPxQD)(0. 022ra上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 但 是D 內(nèi)的簡(jiǎn)單閉曲線，由證明假設(shè)及前面命題，應(yīng) 有 于是發(fā)生矛盾.證畢, . 0C. 00CQdyPdx應(yīng)用定理2應(yīng)注意的問題 (1)區(qū)域區(qū)域D是單連通區(qū)域是單連通區(qū)域 (2)(2)函數(shù)函數(shù)P(x y)及及Q(x

16、 y)在在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 如果這兩個(gè)條件之一不能滿足如果這兩個(gè)條件之一不能滿足 那么定理的結(jié)論不能保那么定理的結(jié)論不能保證成立證成立 .0 xQyPQdyPdxQdyPdxLL與路徑無關(guān)討論 設(shè)設(shè)L為一條無重點(diǎn)、分段光滑且不經(jīng)過原點(diǎn)的連續(xù)閉曲為一條無重點(diǎn)、分段光滑且不經(jīng)過原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線線 L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向 問問 是否一定成立？是否一定成立？ 022Lyxydxxdy提示在例在例4中已看到中已看到,當(dāng)當(dāng)L所圍成的區(qū)域含有原點(diǎn)時(shí)所圍成的區(qū)域含有原點(diǎn)時(shí),上面的上面的閉路積分不等于閉路積分不等于0,其原因在于區(qū)域內(nèi)含有破壞函數(shù)其原因在于區(qū)域內(nèi)含有破壞

17、函數(shù)P,Q,及及,QPxy連續(xù)性條件的點(diǎn)連續(xù)性條件的點(diǎn)O.上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 例 6 求曲線積分AOdyyyxdxyx,)sin()(322.),20( )2(AO沿逆時(shí)針方向是上半圓周其中xxxy解解.sin),(,),(322yyxyxQyxyxP這里,1xQyP因?yàn)橛炙鼈冊(cè)谌矫嫔线B續(xù)，所以積分與路徑無關(guān).取下列直線段 為積分路徑：AO. 0),20(, 0:dyxyAOAOdyyyxdxyx,)sin()(322AOdyyyxdxyx)sin()(322.38022dxxoxyA上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁ABdyyyxdxyx)sin()(322 當(dāng)曲線積分 與路徑無關(guān)時(shí)，它只是起點(diǎn)A

18、 與點(diǎn)的函數(shù)，可記作BAQdxPdx. 下面我們給出第二型曲線積分與路徑無關(guān)的另一個(gè)充分條件.定理定理3 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)P(x y)及及Q(x y)在單連通域在單連通域D內(nèi)具有一內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 則等式則等式xQyP在在D內(nèi)恒成立內(nèi)恒成立的充分必要條件是的充分必要條件是 恰是恰是某個(gè)函數(shù)某個(gè)函數(shù)u(x,y)的的全微分全微分，即有，即有P(x y)dx Q(x y)dydu(x,y)=P(x y)dx Q(x y)dy上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁證證 充分性 已知存在函數(shù)u(x,y), 使 du=Pdx Qdy.于是于是,Pxu.Qyu由此可得,2yxuyP.2xyuxQ.P,uQ22x

19、QyxyuyxxyP得個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)相等，即的連續(xù)性，從而這兩的連續(xù)性意味著，由于必要性 已知等式 在D內(nèi)處處成立，由定理xQyP2，曲線積分ABQdyPdx與路徑無關(guān).上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 現(xiàn)在我們固定起點(diǎn) 而 點(diǎn)B(x,y)可在D 移動(dòng)，則上述曲線積分就是 點(diǎn)(x,y)的函數(shù)，用u(x,y)表示這個(gè)函數(shù)，即令,),(00DyxA),(),(00,),(yxyxQdyPdxyxu 現(xiàn)在，我們來證明有上式所確定的函數(shù)u(x,y)滿足關(guān)系 式：),(yxPxu).,(yxQyu 在D內(nèi)任意取定點(diǎn)B(x,y),再任取 且使 也在D內(nèi).由于積分與路徑無關(guān)，因此,),(DyxxBBB BABBABox

20、),(00yxA),(yxB),(yxxBy上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁),(),(yxuyxxuBAQdyPdxABQdyPdxBBQdyPdx),(),(yxxyxBBQdyPdxQdyPdx),( , 0 xxxy:BB xxxdxyxP),(,),(xyP=積分中理值定理積分中理值定理 其中 介于 x與 之間.xxxyxuyxxux),(),(lim0),(lim0yPx), 0(xx當(dāng)).,(yxP),(yxPxu即).,(yxQyu同理 另一方面，P(x,y),Q(x,y) 的連續(xù)性意味著 的連續(xù)性，從而推出函數(shù)u(x,y)在D 可微且yuxu,上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁dyyudxxudu

21、.),(),(dyyxQdxyxP 推論推論 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)P(x y)及及Q(x y)在單連通域在單連通域D內(nèi)具有一階內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 對(duì)任意兩點(diǎn)對(duì)任意兩點(diǎn) 曲線積分曲線積分與與路徑無關(guān)的充要條件是：路徑無關(guān)的充要條件是：P(x y)dxQ(x y)dy恰是某一函恰是某一函數(shù)數(shù)u(x y)的全微分，此外，當(dāng)?shù)娜⒎?，此外，?dāng)PdxQdy是是u(x y)的全微分的全微分時(shí)，有時(shí)，有,A BDABPdxQdy( )( ).BABAPdxQdyduu Bu A(8.7) 其中其中u(A) 表示函數(shù)表示函數(shù)u(x,y)在在A點(diǎn)處的函數(shù)值，點(diǎn)處的函數(shù)值，u(B) 的含意的含意 類似類似.證

22、證 現(xiàn)證公式(8.7). 過A，B兩點(diǎn)在D 內(nèi)任意作一曲線 ,設(shè) 的參數(shù)方程為ABAB上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁,),(),(ttytx這時(shí)我們有點(diǎn)點(diǎn)及分別對(duì)應(yīng)于，其中.BABAdyyxQdxyxP),(),(dttttQtttP)()(),()()(),(dtdtdyyudtdxxudtdtttdu)(),(|)(),(ttu)(),()(),(uu).()(AuBu上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 如果函數(shù)如果函數(shù)u(x y)滿足滿足du(x y)=P(x y)dx Q(x y)dy 則則函函數(shù)數(shù)u(x y)稱為稱為P(x y)dx Q(x y)dy的的原函數(shù)原函數(shù). 例例7 求曲線積分ABxxdyyd

23、x,2A(2,1)B(1,2)xyo解解,12yPxxQ又P(x,y),Q(x,y) 在任一包含點(diǎn)A，B且不與y軸相交的單連通區(qū)域D內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，所以曲線積分在D內(nèi)與路徑無關(guān).),(2xydxxdyydx是即)(xy的一個(gè)原函數(shù)，2xxdyydx于是上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁ABxxdyydx2)2, 1()1 , 2()(xyd)1 , 2()2, 1(| )(| )(xyxy.23求求 的原函的原函PdxQdy求原函數(shù)的方法求原函數(shù)的方法()(),P x yQ x yD,QPxy若若在單連通域在單連通域中有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)中有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且滿足且滿足原函數(shù)的方法如下原函數(shù)的方法如下:xx

24、yydxyxPdyyxQyxu00),(),(),(0 ABC方法一;,:00 xxyyAB終點(diǎn)起點(diǎn)橫標(biāo)，.,:0yyxBC終點(diǎn)常數(shù)，起點(diǎn)縱標(biāo)),(),(00),(),(),(yxyxdyyxQdxyxPyxu ),(),(00yxyx_AB_BCdxyxPxx0),(0dyyxQyy0),(ABC;,:00yyxxAB終點(diǎn)起點(diǎn)縱標(biāo)，.,:0 xxyBC終點(diǎn)常數(shù)，起點(diǎn)橫標(biāo) 方法二方法二(1) 先固定先固定 , 將將 看作是看作是 的函數(shù)的函數(shù)y(),P x yx為了求為了求 的原函數(shù)的原函數(shù) ,()(),P x y dxQ x y dy(),u x y顯然顯然()1,uP x yxuPx()10,uux令令()()( )1,u x yux yy,uQy( )()1,uyQ x yy對(duì)對(duì) 積分可求出積分可求出y( ).