薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章)課件

1、薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章)2.1 薄壁桿件的彎曲正應力薄壁桿件的彎曲正應力2.2 薄壁開口截面桿件彎曲剪應力薄壁開口截面桿件彎曲剪應力2.3 單室閉合截面薄壁桿件的彎曲剪應力單室閉合截面薄壁桿件的彎曲剪應力2.4 多室閉合截面薄壁桿件的彎曲剪應力多室閉合截面薄壁桿件的彎曲剪應力2.5 剪切中心剪切中心2. 剪切滯后剪切滯后第2章 薄壁桿件的彎曲薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章)2.1 薄壁桿件的彎曲正應力薄壁桿件的彎曲正應力 1、 彎曲正應力的計算彎曲正應力的計算 2、 截面特性計算截面特性計算 3、 中和軸位置計算中和軸位置計算 4、 位移計算位移計算薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章)2.1.1

2、 彎曲正應力的計算彎曲正應力的計算1z 圖所示為一具有任意橫截面的薄壁桿件，為形心，xyz為過形心的一任意直角坐標系。cossinyx 平截面假定zEcossinzEyEx 正應力薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章) 由繞x、y軸的力矩平衡方程，得2cossincossinsincosxzAAAxxyyzyxyAEyExyMydAdAdAEEIIEEMxdAII xyzxyMMyxIIcossinzEyEx薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章) 當x、y軸為主軸時，xy，則有xxMMyyMMyxzxyMMyxII 稱為“有效彎矩”xMyM2211xyxyyxxyxyyxxyxyxyxyMM IIMII IM

3、M IIMII I薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章) 在上述推導中，僅利用了幾何條件式、物理條件式和平衡條件式，而與桿件截面的幾何形狀和尺寸無關。上面的結果適用于任意截面，包括開口截面與閉口截面。如果在截面上還有軸力N，則在上式中加上一項由軸力引起的正應力N/A即可。薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章) 任意形狀開口截面薄面桿件，計算其對形心軸的截面幾何性質(zhì)x、y和xy時20200slyslxslxyIx tdsIy tdsIxytds2.1.2 截面特性的計算截面特性的計算薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章)2.1.3 中和（性）軸位置的計算中和（性）軸位置的計算 求中和（性）軸的位置時，可依求中和（性）軸

4、的位置時，可依的條件得到的條件得到0z0yxxyMMyxII 若取中和軸若取中和軸 與與x軸成逆時針方向軸成逆時針方向的夾角為的夾角為，則有，則有arctanyxxyIMIM 當當x、y軸為截面的形心主軸時軸為截面的形心主軸時arctanyxyxMIIMooxyzxyMMyxII薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章)tantanyxxxyxyyMIMIIMMI 中和軸與合力矩的作用面未必正交中和軸與合力矩的作用面未必正交 如果取合力矩如果取合力矩R的作用面與的作用面與x軸正向軸正向的夾角為的夾角為，則有。中和軸與，則有。中和軸與合力矩作用面夾角之間的關系：合力矩作用面夾角之間的關系：tanxyMM a

5、rctanyxxyIMIM薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章) 梁上作用有一橫向荷載，它與梁上作用有一橫向荷載，它與x軸的夾角為軸的夾角為，求其作用下梁所產(chǎn)生的位移。把沿主軸，求其作用下梁所產(chǎn)生的位移。把沿主軸x、y方向分解成為方向分解成為cos 與與sin 產(chǎn)生的位移分別產(chǎn)生的位移分別為為 合位移的大小為合位移的大小為 當取位移方向與當取位移方向與x軸逆時針方向的傾角軸逆時針方向的傾角為正時，為正時，2.1.4 位移計算位移計算cos/xykPEIsin/yxkPEI22xyarctanarctan tanyyxxII1tantan 比較式（比較式（.10）和（）和（2.8），可得），可得 ，合位

6、移，合位移方向與中和軸相垂直。方向與中和軸相垂直。tantanyxxxyxyyMIMIIMMI 薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章)2.2 薄壁開口截面桿件彎曲剪應力薄壁開口截面桿件彎曲剪應力1、剪切中心定義、剪切中心定義2、任意截面形狀彎曲剪力流計算、任意截面形狀彎曲剪力流計算3、直線板段組成的任意開口截面彎曲剪力流、直線板段組成的任意開口截面彎曲剪力流計算計算4、剪力流分布規(guī)律、剪力流分布規(guī)律薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章) 剪切中心：當桿件上荷載的合力通過桿件截面上的某一特定點，桿件只發(fā)生彎曲不產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)。也稱彎曲中心 ，扭轉(zhuǎn)中心，簡稱剪心。 剪切中心1、 剪切中心定義剪切中心定義 本節(jié)僅討論純彎

7、情況。非純彎可以通過力的平移原理把它分為合力通過剪心的彎曲問題和由于力的平移產(chǎn)生附加扭矩引起扭轉(zhuǎn)問題的疊加。薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章)首先建立該微段的平衡方程，求截面上的剪力與彎矩的關系。由x、 y，得xyyxMQzMQz 2211xyxxyyyxyxyyxyxyxxxyxyQQ IIMQzII IQQ IIMQzII I 由式（2.2）和（2.12）可知，“有效剪力”與剪力之間的關系為2211xyxyyxxyxyyxxyxyxyxyMM IIMII IMM IIMII I橫向荷載的合力通過剪切中心使桿件只發(fā)生彎曲 2、 任意截面形狀彎曲剪力流計算任意截面形狀彎曲剪力流計算薄壁桿件的彎曲與

8、扭轉(zhuǎn)(第二章) 其次，考察微段截面上的剪應力，由0zttzs 由于t=t（s）與z無關，0zttzs 由此，解得 10szttdsCzz 一般可以稱剪應力與壁厚t的乘積t為剪力流剪力流：沿曲線坐標s單位長度方向的剪力，常用q表示。（假定剪應力沿厚度均勻分布）薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章)xyzxyMyMxzzIzI 將上式代入00ssyxAxyQQqtytdsxtdstII 由于tds=dA0000ssxssyytdsydASxtdsxdASyxzxyMMyxII 10szttdsCzz 由式（2.1），有xyyxMQzMQz 薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章) 當x、y軸為截面主軸時，xyyxx

9、yAxyQQqtSStII 對于開口截面，可把起始點選在開口處，由剪應力互等定理知，從而消除了（ t)項。yxxyAxyQQqtSStII 00ssyxAxyQQqtytdsxtdstII 0000ssxssyytdsydASxtdsxdAS薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章) 取si為從點i至點的距離，則在板段i至i內(nèi)的任意點（x，y）處的剪力流q可由式（2.15）得出。00iissyxiiiiixyQQqqyt dsxt dsII3、 直線板段組成的任意開口截面彎曲剪力流計算直線板段組成的任意開口截面彎曲剪力流計算00ssyxAxyQQqtytdsxtdstII 薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章)

10、板段對x軸有逆時針方向的夾角i 把上兩式代入（2.19）即可得到板段i到i內(nèi)任意點處的剪力流qcossiniiiiiixxsyys200coscos2iissiiiiiiiiiiiisxt dsxst dsx st20sin2isiiii iiisyt dsy stsincos22yixiiiii iiii ixyQQssqqystxstII00iissyxiiiiixyQQqqyt dsxt dsII薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章) 在節(jié)點i處的剪力流qi為 用節(jié)點坐標表示1cossin22yxiiiiiii iiii iyxQQllqqxltyltII1112yxi iiiiiiiyxQQl

11、tqqxxyyIIsincos22yixiiiii iiii ixyQQssqqystxstII薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章)（1）剪力流與水流相似，在任一節(jié)點處，其流出的剪力流）剪力流與水流相似，在任一節(jié)點處，其流出的剪力流必與流入的剪力流相等。必與流入的剪力流相等。4、 剪力流分布規(guī)律剪力流分布規(guī)律薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章) 一般情況下，當在節(jié)點p處有m個薄板板段匯合時，其中l(wèi)=m-1個板段在p點一側(cè)的剪力流qp.1，qp.2，qp.iqp.i為已知，且向著s1，s2sisl的坐標方向前進（圖211b）。當求沿坐標sm方向板段的剪力流qp.m時，其值應為已知l個板段剪力流的代數(shù)和薄壁桿

12、件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章)（2）當所選軸與截面主軸相一致時：）當所選軸與截面主軸相一致時： 、當、當x、y時，僅平行于時，僅平行于x軸方向的板段軸方向的板段剪力流呈直線分布，其他板段上的剪力流呈拋物線分布。剪力流呈直線分布，其他板段上的剪力流呈拋物線分布。 、當、當y、x時，僅平行于時，僅平行于y軸方向的板段軸方向的板段剪力流呈直線分布，其他板段上的剪力流則呈拋物線分布。剪力流呈直線分布，其他板段上的剪力流則呈拋物線分布。sincos22yixiiiii iiii ixyQQssqqystxstII（3）開口截面開口處剪力流為零。）開口截面開口處剪力流為零。 薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章) 任意

13、閉合截面薄壁桿件，假想在某點處將桿件沿母線切一口，以點為曲線坐標的起始點，截面中的剪力流可按式（2.17 )計算。2. 單室閉合截面薄壁桿件的彎曲剪應力單室閉合截面薄壁桿件的彎曲剪應力00ssyxAxyQQqtytdsxtdstII 薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章)0Aqqq q0僅根據(jù)靜定條件就可求，稱之為靜定剪力流。 qA需要根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件來確定，為超靜定剪力流。 單室閉合截面薄壁桿件在求解其彎曲剪力流時，可稱其為內(nèi)部的一次超靜定結構。根據(jù)A點的變形，以位移協(xié)調(diào)條件來求解qA，變形協(xié)調(diào)條件0ds 閉合截面中的剪力流由兩項組成：（1）切口后的開口截面上的剪力流q0，其剪力流在開口處為零；（2

14、）開口處作用的剪力流qA，它沿截面外形輪廓線是一常數(shù)。薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章)0sAqudsuGt 設開口處點為曲線坐標s的起始點，將上式沿輪廓線積分一周再回到點，應有duqdsGt0AquudsGt 00AqdsdsqGtGt0Aqdstqdst 00dsqtqqdst0Aqqq薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章) 坐標軸為主軸時yxyxxyxySSdsdsQQttqSSdsdsIIttyxyxxyxySSdsdsQQttqSSdsdsIItt 對于單軸或雙軸對稱截面，僅在其某一對稱軸方向作用有剪力時，彎曲作用所產(chǎn)生的剪力流必然對稱，因此在截面該對稱軸上必有剪力流等于零。在計算時，若將曲線坐

15、標s取在截面對稱軸上，顯然是qA，這樣就有qq0。00dsqtqqdstyxxyAxyQQqtSStII 薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章)2.4 多室閉合截面薄壁桿件的彎曲剪應力多室閉合截面薄壁桿件的彎曲剪應力第i室各壁超靜定剪力流分別為：第i室和第i-1室邊界壁處第i室和第i1室邊界壁處第i室非邊界處,11i iiiqqq,11i iiiqqqiq薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章)第i室各壁剪力流分別為：第i室和第i-1室邊界壁處01iiqqqq01iiqqqq0iqqq建立變形協(xié)調(diào)條件0(1,2, )iqdsint011,11,1(1,2, )iiii iiiiqdsdsdsqqqdsinttt

16、t 第i室非邊界處0tdsqtdsqdstqikkiioi第i室和第i1室邊界壁處niiqqq10薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章)xyzxyMMyxII彎曲正應力的計算彎曲正應力的計算薄壁開口截面桿件彎曲剪應力薄壁開口截面桿件彎曲剪應力00ssyxAxyQQqtytdsxtdstII 單室閉合截面薄壁桿件的彎曲剪應力單室閉合截面薄壁桿件的彎曲剪應力小小 結結yxyxxyxySSdsdsQQttqSSdsdsIItt薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章)2.5 剪切中心剪切中心 1、剪切中心位置分布規(guī)律、剪切中心位置分布規(guī)律 2、薄壁開口截面剪切中心、薄壁開口截面剪切中心 坐標軸為截面的形心主軸坐標軸為截

17、面的形心主軸 坐標軸為截面的形心軸，但非主軸坐標軸為截面的形心軸，但非主軸 3、薄壁開閉混合截面剪切中心、薄壁開閉混合截面剪切中心 坐標軸為截面的形心主軸坐標軸為截面的形心主軸 坐標軸為截面的形心軸，但非主軸坐標軸為截面的形心軸，但非主軸薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章) 2.5.1 剪切中心位置分布規(guī)律剪切中心位置分布規(guī)律 剪切中心：截面內(nèi)的合成剪力通過點或彎曲剪力流繞某一點的合力矩剪切中心：截面內(nèi)的合成剪力通過點或彎曲剪力流繞某一點的合力矩為零，該點即為剪切中心。為零，該點即為剪切中心。 彎曲中心彎曲中心: 當橫向荷載通過此點時，梁僅產(chǎn)生平面彎曲而不產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)。當橫向荷載通過此點時，梁僅產(chǎn)生平面

18、彎曲而不產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)。 根據(jù)截面內(nèi)的合成剪力通過剪切中心的概念，可得以下規(guī)律：根據(jù)截面內(nèi)的合成剪力通過剪切中心的概念，可得以下規(guī)律： (1)由薄板相交于一點組成的截面，其交點即為剪力中心；由薄板相交于一點組成的截面，其交點即為剪力中心； (2)截面由對稱軸時，剪切中心一定在對稱軸上；截面由對稱軸時，剪切中心一定在對稱軸上； (3)雙軸對稱截面，其剪切中心與截面形心相重合。雙軸對稱截面，其剪切中心與截面形心相重合。薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章) 無論對開口截面還是閉合截面，由剪力流確定的剪切中心與外荷載無關,僅取決于截面的幾何形狀。 取如圖所示的任意薄壁開口截面，xoy為形心坐標系，B為剪切中心，則

19、由合力矩定理（彎曲剪力流繞剪切中心的合力矩必為零）知： 00lBqd s2.5.2 薄壁開口截面剪切中心薄壁開口截面剪切中心dsqQlix0cosdsqQliy0sinyxxyAxyQQqtSStII 薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章) 在xoy坐標系內(nèi)任取一點A，它在此坐標系中的坐標為（xA、yA），過該點作平行于oxy的坐標系 ，設剪切中心B在新坐標系中的坐標為（B，B）。由幾何關系知，從任意點A至截面切線的距離A與剪切中心到截面切線的距離B之間有如下關系： cossinBABBB與 為剪切中心B在 中的 坐標0lByBxAQQqds01lBAyqdsQ01lBAxqdsQ BBAxxBBAy

20、yAA00lBqd sBdsqQlix0cosdsqQliy0sin薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章) 以式（以式（b）代入（）代入（a） 0sxxx iiyQqqxt dsI0syxxxx iixxyyIQQqqxt dskQII00ssyxx iix iixIkqxt dskxt dsQxxBxxAxayyAAQQQkdskdsII 1Bxay AkdsI (a) （1）當僅有主軸）當僅有主軸x方向作用剪力方向作用剪力0lBxAQqds yxxyAxyQQqtSStII 式中式中(b) 相當于部相當于部分截面對分截面對y軸的靜軸的靜矩，也稱為彎曲矩，也稱為彎曲剪力流函數(shù)剪力流函數(shù)xkx iky

21、x ix ixIkqQ1 x、y二軸為截面的形心主軸二軸為截面的形心主軸0lByBxAQQqds薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章) 以式（以式（b）代入（）代入（a） 0syyy iixQqqyt dsI0syyxyy iiyyxxQQIqqyt dskQII00ssxyy iiy iiyIkqyt dskyt dsQyyByyAyaxxAAQQQkdskdsII1Byax AkdsI(a) （2）當僅有主軸）當僅有主軸y方向作用剪力方向作用剪力0lByAQqdsyxxyAxyQQqtSStII 式中式中(b) 相當于部相當于部分截面對分截面對x軸的靜軸的靜矩，也稱為彎曲矩，也稱為彎曲剪力流函數(shù)剪

22、力流函數(shù)yky ikxy iy iyIkqQ0lByBxAQQqds薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章)0(cos)2sxx iix iiiiskkxt dskxst 由直線板段組成的截面由直線板段組成的截面11iixaiaixiikdsk ds1Bxay AkdsI 0sxx iikkxt dscosiixxs薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章)10(cos)2ilixx iiiiiSk dskxst ds1(2)6i ix iiiiltkxxl11(2)6i iBx iiiia iAyltkxxlI 11(2)6i iBy iiiia iAxltkyylI111()2yi ix ix iiix ixI

23、ltkqkxxQ 111()2xi iy iy iiiy iyIltkqkyyQ 具體的直具體的直線板段線板段= =0(cos)2sxx iix iiiiSkkxt dskxst11iixaiaixiikdsk ds1Bxay AkdsI 00ssxyy iiy iiyIkqyt dskyt dsQ00ssyxx iix iixIkqxt dskxt dsQ0(cos)2sxx iix iiiiskkxt dskxst薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章) 、 為節(jié)點為節(jié)點i處處x、y坐標；坐標； 、 為節(jié)點為節(jié)點i+1處處x、y坐標；坐標； 、 分別為板段分別為板段ii+1的寬度和厚度；的寬度和厚度

24、； 為由為由A點至板段點至板段ii+1切線的垂直長度，使板段切線的垂直長度，使板段ii+1繞繞A點反時針向回轉(zhuǎn)時為正，反之為負；點反時針向回轉(zhuǎn)時為正，反之為負； 表示整個截面的所有板段進行求總和表示整個截面的所有板段進行求總和 ixiy1ix1iyilita iABBABBAxxyy剪力中心相對于剪力中心相對于形心的坐標為：形心的坐標為：11(2)6i iBx iiiia iAyltkxxlI 11(2)6i iBy iiiia iAxltkyylI薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章)11(2)6i iBx iiiia iAyltkxxlI 薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章)引入符號引入符號BxxaAQ

25、qds cossin22yxiixiiii iiii iayxAQQssqxstystdsII 122131xyxyxyxyxxyyI IBI IIIBBIIBBI2 當當x、y二軸為截面的形心軸，但不為主軸二軸為截面的形心軸，但不為主軸（1）當僅有）當僅有x軸方向作用剪力軸方向作用剪力 xQ2xxyyyxyxxyxyQ I IQ I IQI II2yxyxyxyyxyxyQ I IQ I IQI II00lBqds0sinlyiQqds0coslxiQqds0lByBxAQQqdssincos22yixiiiii iiii ixyQQssqqystxstII直線板段直線板段薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章)1121(2)(2)66xyxi ixi iBxx iiiiiia iAyxyIQltQltQqBxxByylIII yx ix ixIkqQ11211(2)(2)66i ii iBx iiiiiia iAyltltkBxxByylI 則：則：cossin22yxiiBxxiiii iiii iayxAQQssQqxstystdsII 引入符號引入符號薄壁桿件的彎曲與扭轉(zhuǎn)(第二章)（2）當僅有）當僅有y軸方向作用剪力軸方向作用剪力11311(2)(2)66i