第五章第一節(jié)向量的內(nèi)積ppt課件

1、5.1 預備知識預備知識: 向量的內(nèi)積向量的內(nèi)積 在解析幾何中有兩向量的數(shù)量積的概念在解析幾何中有兩向量的數(shù)量積的概念, 即設即設x, y為兩向量為兩向量, 則它們的數(shù)量積為則它們的數(shù)量積為:x y = | x | y | cos . 設向量設向量x, y 的坐標表示式為的坐標表示式為 x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3), 那么那么x y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 .,|232221xxxx .|arccosyxyx 由此引出了向量的長度由此引出了向量的長度(即模即模)和兩向量夾角的概念和兩向量夾角的概念:定義定義1: 1: 設有設有n

2、n維向量維向量,2121 nnyyyyxxxxx, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn,稱稱x, y為向量為向量 x 與與 y 的內(nèi)積的內(nèi)積. 說明說明1. n(n4)維向量的內(nèi)積是維向量的內(nèi)積是3維向量數(shù)量積的維向量數(shù)量積的推廣推廣, 但是沒有但是沒有3維向量直觀的幾何意義維向量直觀的幾何意義. 說明說明2. 內(nèi)積是向量的一種運算內(nèi)積是向量的一種運算, 如果都是列向量如果都是列向量, 內(nèi)積可用矩陣記號表示為內(nèi)積可用矩陣記號表示為: x, y = xT y.我們把兩向量的數(shù)量積的概念向我們把兩向量的數(shù)量積的概念向 n 維向量推廣維向量推廣:記記內(nèi)積的運算性質(zhì)內(nèi)積的運算性質(zhì)設

3、設x, y, z為為n維向量維向量, 為實數(shù)為實數(shù), 那么那么(1) x, y = y, x;(2) x, y = x, y;(3) x+y , z = x, z + y, z;(4) x, x 0, 當且僅當當且僅當x=0時有時有x, x=0.稱稱| x |為為n維向量維向量 x 的長度的長度(或范數(shù)或范數(shù)).,|22221nxxxxxx 定義定義: 令令向量的長度具有下述性質(zhì)向量的長度具有下述性質(zhì):(1) 非負性非負性: | x | 0, 當且僅當當且僅當x=0時有時有| x | = 0;(2) 齊次性齊次性: | x| = | | | x |;(3) 三角不等式三角不等式: | x+y

4、| | x | + | y |.|,cosyxyx ,2262318 .4 |,arccosyxyx 單位向量及單位向量及n n 維向量間的夾角維向量間的夾角(1)當當| x |=1時時, 稱稱x為單位向量為單位向量.(2)當當| x | 0, | y | 0 時時, 稱為稱為n維向量維向量 x 與與 y 的夾角的夾角, 規(guī)定規(guī)定0 .例例1: 求向量求向量=(1, 2, 2, 3)與與=(3, 1, 5, 1)的夾角的夾角解解: x, y=13+21+25+31=18, ,183221|2222 x,361513|2222 y所以所以故故, 向量向量x與與 y 的夾角為的夾角為:1. 正交的

5、概念正交的概念2. 正交向量組的概念正交向量組的概念若一非零向量組中的向量兩兩正交若一非零向量組中的向量兩兩正交, 則稱該向量則稱該向量組為正交向量組組為正交向量組.當當x, y=0時時, 稱向量稱向量 x 與與 y 正交正交.由定義知由定義知, 若若x=0, 那么那么 x與任何向量都正交與任何向量都正交.3. 正交向量組的性質(zhì)正交向量組的性質(zhì) 定理定理1: 若向量組若向量組1, 2, , r 是是n維正交向量維正交向量組組, 那么那么1, 2, , r 線性無關(guān)線性無關(guān).證明證明: 設有數(shù)設有數(shù)1, 2, ,r, 使得使得: 1 1 + 2 2 + + r r = 0由于由于1, 2, ,

6、r 是兩兩正交的非零向量組是兩兩正交的非零向量組,當當 i j 時時, i, j=iTj = 0, 當當 i = j 時時, i, i=iTi 0,則有則有用用iT ( i =1, 2, , r )左乘上式得左乘上式得, 1 iT 1 + 2 iT 2 + + r iT r = iT0 = 0, i iT i = 0.即即從而得從而得, 1=2= = r = 0,所以所以1, 2, ,r 線性無關(guān)線性無關(guān).4. 向量空間的正交基向量空間的正交基 定義定義: 若正交向量組若正交向量組1, 2, , r是向量空間是向量空間V的一組基的一組基, 則稱則稱1, 2, , r 是向量空間是向量空間V的一

7、組的一組正交基正交基.例例2: 已知三維向量空間中兩個向量已知三維向量空間中兩個向量正交正交. 試求試求3使使1, 2, 3構(gòu)成三維空間的一組正交基構(gòu)成三維空間的一組正交基. 1=(1, 1, 1)T, 2=(1, 2, 1)T即即.02,0,3213232131 xxxxxx 解之得解之得解解: 設設3=(x1, x2, x3)T0, 且分別與且分別與1, 2正交正交.則有則有1, 3=2, 3=0,x1 = x3, x2 = 0.1013213 xxx 若令若令 x3 = 1, 則有則有,101,121,111321 構(gòu)成三維空間的一組正交基構(gòu)成三維空間的一組正交基.那么那么5. 規(guī)范正交

8、基規(guī)范正交基.212100,212100,002121,0021214321 eeee例如例如 定義定義: : 設設n n維向量組維向量組e1, e2, , ere1, e2, , er是向量是向量空間空間V VRnRn的一組正交基的一組正交基, , 且都是單位向量且都是單位向量, , 則稱則稱e1, e1, e2, , ere2, , er是向量空間是向量空間V V的一組規(guī)范正交基的一組規(guī)范正交基. .).4, 3, 2, 1,(10, jijijieeijji 由于由于所以所以, e1, e2, e3, e4為為R4的一組規(guī)范正交基的一組規(guī)范正交基.1000,0100,0010,00014

9、321 同理可知同理可知也為也為R4的一組規(guī)范正交基的一組規(guī)范正交基(即單位坐標向量組即單位坐標向量組). 設設e1, e2, , er是向量空間是向量空間V的一組規(guī)范正交基的一組規(guī)范正交基, 則則V中的任一向量中的任一向量a可由可由e1, e2, , er線性表示線性表示, 設表示式為設表示式為:a =1e1 + 2e2 + + rer ,用用eiT左乘上式左乘上式, 有有 eiTa =i eiTei =i ,即即 i = eiTa = a, ei,這就是向量在規(guī)范正交基中的坐標這就是向量在規(guī)范正交基中的坐標(即線性表示系數(shù)即線性表示系數(shù))的計算公式的計算公式. 利用該公式可方便地計算向量在

10、規(guī)范正利用該公式可方便地計算向量在規(guī)范正交基中的坐標交基中的坐標, 因此我們常取向量空間的規(guī)范正交基因此我們常取向量空間的規(guī)范正交基.6. 求規(guī)范正交基的方法求規(guī)范正交基的方法 知知1, 2, , r 是向量空間是向量空間V 的一組基的一組基, 求求V 的一組規(guī)范正交基的一組規(guī)范正交基, 就是要找一組兩兩正交的單位向就是要找一組兩兩正交的單位向量量e1, e2, , er , 使使e1, e2, , er 與與1, 2, , r 等等價價, 這樣一個問題稱為把基這樣一個問題稱為把基1, 2, , r 規(guī)范正交規(guī)范正交化化.(1) 正交化正交化設設a1, a2, , ar 是向量空間是向量空間V

11、 的一組基的一組基. ,1112122bbbabab ,222321113133bbbabbbbabab 取取 b1 = a1,111122221111, rrrrrrrrrbbbabbbbabbbbabab 則則b1, b2, , br兩兩正交兩兩正交, 且且b1, b2, , br與與a1, a2, ,ar等價等價.(2) 單位化單位化, 取取,|,|,|222111rrrbbebbebbe 則則e1, e2, , en是向量空間是向量空間V的一組規(guī)范正交基的一組規(guī)范正交基. 上述由線性無關(guān)向量組上述由線性無關(guān)向量組a1, a2, , ar 構(gòu)造出正交構(gòu)造出正交向量組向量組b1, b2,

12、, br 的過程稱為施密特的過程稱為施密特(Schimidt)正正交化過程交化過程. 例例3: 用施密特正交化方法用施密特正交化方法, 將向量組將向量組a1=(1, 1, 1, 1), a2=(1, -1, 0, 4), a3=(3, 5, 1, -1)正交規(guī)范化正交規(guī)范化.解解: 先正交化先正交化.1112122,bbbabab )1 , 1 , 1 , 1(1111411)4, 0, 1, 1( ),3, 1, 2, 0( 取取b1= a1=(1, 1, 1, 1),222321113133,bbbabbbbabab )3, 1, 2, 0(1414)1 , 1 , 1 , 1(48)1,

13、 1 , 5, 3( ),0, 2, 1 , 1( 再單位化再單位化.得規(guī)范正交向量組如下得規(guī)范正交向量組如下:),143,141,142, 0()3, 1, 2, 0(141|222 bbe).0,62,61,61()0, 2, 1, 1(61|333 bbe),21,21,21,21()1 , 1 , 1 , 1(21|111 bbe例例4: 設設,014,131,121321 aaa試用施密特正交化過程把這組向量規(guī)范正交化試用施密特正交化過程把這組向量規(guī)范正交化.bbbaab1211222|, 12164131;11135 bbbabbbaab2223111333|,|, 解解: 先正交

14、化先正交化. 取取b1= a1 1113512131014.1012 ,121 |111bbe ,12161 |222bbe ,11131 |333bbe .10121 再單位化再單位化.得規(guī)范正交向量組如下得規(guī)范正交向量組如下:故故, e1, e2, e3 即為所求即為所求.例例5: 知知,1111 a求一組非零向量求一組非零向量a2, a3, 使使a1, a2, a3兩兩正交兩兩正交.解解: 非零向量非零向量a2, a3應滿足方程應滿足方程 a1Tx = 0, 即即x1+ x2+ x3= 0.110,10121 它的基礎解系為它的基礎解系為:把基礎解系正交化把基礎解系正交化, 即合所求即合

15、所求. 亦即取亦即取,12 a.,1112123 a其中其中1, 2=1, 1, 1=2,于是得于是得,1012 a.12121101211103 aa1a3a2b1c2b2c3c31c32b3幾幾 何何 解解 釋釋,|,|,12112111122bbbabbbbac b2 = a2 c2, c2為為a2在在b1上上的投影向量的投影向量, 即即b1 = a1, b3 = a3 c3, c3為為a3在在b1, b2所確定的平面上的投影向量所確定的平面上的投影向量, 由于由于b1b2, 故故c3等于等于a3分別在分別在b1, b2上的投影向上的投影向量量c31及及c32之和之和, 即即32313c

16、cc ,|,|,2222312113bbbabbba 定理定理: A為正交矩陣的充要條件是為正交矩陣的充要條件是A的列向量都是的列向量都是單位向量且兩兩正交單位向量且兩兩正交. 若若n階方陣階方陣A滿足滿足ATA = E, 即即A-1=AT, 則稱則稱A為正為正交矩陣交矩陣.證明證明: 由于由于Eaaaaaaaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnnn 212222111211212221212111ATA = E EnTnTT ,2121 ., 2, 1,01njijijiijjTi EnTnTnTnnTTTnTTT 212221212111性質(zhì)性質(zhì)1: 1: 正交變換保持向量的長度不變

17、正交變換保持向量的長度不變. .|xxxPxPxyyyTTTT 定義定義: : 若若P P為正交陣為正交陣, , 則線性變換則線性變換 y = Px y = Px 稱為稱為正交變換正交變換. .證明證明: 設線性變換設線性變換 y = Px為正交變換為正交變換.則有則有 性質(zhì)性質(zhì)2: 設設A為正交矩陣為正交矩陣, 則則A-1=AT也為正交矩陣也為正交矩陣, 且且|A|=1或或1. 性質(zhì)性質(zhì)3: 設設A,B都是正交矩陣都是正交矩陣, 則則AB也為正交矩陣也為正交矩陣.例例6: 判別下列矩陣是否為正交陣判別下列矩陣是否為正交陣. ,1213121121312111 .979494949198949

18、8912 解解(1): 考察矩陣的第一列和第二列考察矩陣的第一列和第二列. , 021311)21()21(1 所以所以(1)不是正交矩陣不是正交矩陣.由于由于解解(2): 注意到注意到, 該矩陣為對稱矩陣該矩陣為對稱矩陣, 則有則有 100010001T 74441848191 74441848191所以所以(2)是正交矩陣是正交矩陣.例例6: 驗證矩陣驗證矩陣 2121000021212121212121212121P 解解: P 的每個列向量都是單位向量的每個列向量都是單位向量, 且兩兩正交且兩兩正交, 所以所以P是正交矩陣是正交矩陣.是正交矩陣是正交矩陣. 1. 將一組基規(guī)范正交化的方法將一組基規(guī)范正交化的方法: 先用施密特正交化方法將基正交化先用施密特正交化方法將基正交化, 然后再將其然后再將其單位化單位化.2. A為正交矩陣的充要條件是下列條件之一成立為正交矩陣的充要條件是下列條件之一成立:(1