橢圓基本知識

1、要點梳理要點梳理1.1.橢圓的定義橢圓的定義 （1 1）第一定義：在平面內到兩定點）第一定義：在平面內到兩定點F F1 1、F F2 2的距離的的距離的和等于常數（大于和等于常數（大于| |F F1 1F F2 2| |）的點的軌跡叫）的點的軌跡叫 . .這這兩定點叫做橢圓的兩定點叫做橢圓的 ，兩焦點間的距離叫，兩焦點間的距離叫做做 . . 集合集合P P=M M|MFMF1 1|+|+|MFMF2 2|=2|=2a a ，| |F F1 1F F2 2|=2|=2c c, ,其中其中 a a0,0,c c0 0，且，且a a，c c為常數：為常數：（1 1）若）若 ，則集合，則集合P P為橢

2、圓；為橢圓；8.1 8.1 橢圓橢圓基礎知識基礎知識 自主學習自主學習橢圓橢圓焦點焦點焦距焦距a ac c第八章 圓錐曲線（2 2）若）若 ，則集合，則集合P P為線段；為線段；（3 3）若）若 ，則集合，則集合P P為空集為空集. .a a= =c ca ac c3.3.橢圓的幾何性質橢圓的幾何性質)0( 12222babyax)0( 12222babxay) 1 , 0(acecax2cay2基礎自測基礎自測1.1.已知橢圓的長軸長是短軸長的已知橢圓的長軸長是短軸長的2 2倍，則橢圓的離倍，則橢圓的離 心率等于心率等于 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析

3、 設長軸長、短軸長分別為設長軸長、短軸長分別為2 2a a、2 2b b, ,則則2 2a a=4=4b,b,31332123D.23242222bbbabaace2.2.設設P P是橢圓是橢圓 上的點上的點. .若若F F1 1，F F2 2是橢圓是橢圓 的兩個焦點，則的兩個焦點，則| |PFPF1 1|+|+|PFPF2 2| |等于等于 （ ） A.4 B.5 C.8 D.10A.4 B.5 C.8 D.10 解析解析 由橢圓定義知由橢圓定義知| |PFPF1 1|+|+|PFPF2 2|=2|=2a a=10.=10.1162522yxDC4.4.已知橢圓已知橢圓C C的短軸長為的短軸

4、長為6 6，離心率為，離心率為 ，則橢圓，則橢圓 C C的焦點的焦點F F到長軸的一個端點的距離為到長軸的一個端點的距離為 （ ） A.9A.9 B.1 B.1 C.1 C.1或或9 9 D. D.以上都不對以上都不對 解析解析 由題意得由題意得 a a=5=5，c c=4.=4. a a+ +c c=9=9，a a- -c c=1.=1.54C,543acb5.5.橢圓的兩個焦點為橢圓的兩個焦點為F F1 1、F F2 2，短軸的一個端點為，短軸的一個端點為A A， 且且 F F1 1AFAF2 2是頂角為是頂角為120120的等腰三角形，則此的等腰三角形，則此 橢圓的離心率為橢圓的離心率為

5、 . . 解析解析 由已知得由已知得AFAF1 1F F2 2=30=30，故，故cos 30cos 30= = ， 從而從而e e= .= .23ac23題型一題型一 橢圓的定義橢圓的定義【例例1 1】一動圓與已知圓一動圓與已知圓O O1 1：（：（x x+3)+3)2 2+ +y y2 2=1=1外切外切, ,與與 圓圓O O2 2：（：（x x-3-3）2 2+ +y y2 2=81=81內切，試求動圓圓心的軌內切，試求動圓圓心的軌 跡方程跡方程. . 兩圓相切時兩圓相切時, ,圓心之間的距離與兩圓圓心之間的距離與兩圓 的半徑有關的半徑有關, ,據此可以找到動圓圓心滿足的條件據此可以找到

6、動圓圓心滿足的條件. .思維啟迪思維啟迪題型分類題型分類 深度剖析深度剖析解解 兩定圓的圓心和半徑分別為兩定圓的圓心和半徑分別為O O1 1(-3(-3，0),0),r r1 1=1=1；O O2 2(3,0)(3,0)，r r2 2=9.=9.設動圓圓心為設動圓圓心為M M( (x x，y y),),半徑為半徑為R R，則由題設條件可得則由題設條件可得| |MOMO1 1|=1+|=1+R R，| |MOMO2 2|=9-|=9-R R. .|MOMO1 1|+|+|MOMO2 2|=10.|=10.由橢圓的定義知：由橢圓的定義知：M M在以在以O O1 1、O O2 2為焦點的橢圓上為焦點

7、的橢圓上, ,且且a a=5=5，c c=3.=3.b b2 2= =a a2 2- -c c2 2=25-9=16=25-9=16，故動圓圓心的軌跡方程為故動圓圓心的軌跡方程為. 1162522yx探究提高探究提高 平面內一動點與兩個定點平面內一動點與兩個定點F F1 1、F F2 2的距的距離之和等于常數離之和等于常數2 2a a，當，當2 2a a|F F1 1F F2 2| |時時, ,動點的軌跡動點的軌跡是橢圓；當是橢圓；當2 2a a=|=|F F1 1F F2 2| |時時, ,動點的軌跡是線段動點的軌跡是線段F F1 1F F2 2；當當2 2a a|F F1 1F F2 2|

8、 |時，軌跡不存在時，軌跡不存在. . 已知圓（已知圓（x x+2+2）2 2+ +y y2 2=36=36的圓心為的圓心為M M，設設A A為圓上任一點，為圓上任一點，N N（2 2，0 0），線段），線段ANAN的垂直的垂直平分線交平分線交MAMA于點于點P P，則動點，則動點P P的軌跡是的軌跡是 （ ）A.A.圓圓 B.B.橢圓橢圓 C.C.雙曲線雙曲線 D.D.拋物線拋物線知能遷移知能遷移1 1解析解析 點點P P在線段在線段ANAN的垂直平分線上，的垂直平分線上，故故| |PAPA|=|=|PNPN| |，又，又AMAM是圓的半徑，是圓的半徑，|PMPM|+|+|PNPN|=|=|

9、PMPM|+|+|PAPA|=|=|AMAM|=6|=6| |MNMN| |，由橢圓定義知，由橢圓定義知，P P的軌跡是橢圓的軌跡是橢圓. .答案答案 B題型二題型二 橢圓的標準方程橢圓的標準方程【例例2 2】已知點已知點P P在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，且在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，且 P P到兩焦點的距離分別為到兩焦點的距離分別為5 5、3 3，過，過P P且與長軸垂直且與長軸垂直 的直線恰過橢圓的一個焦點，求橢圓的方程的直線恰過橢圓的一個焦點，求橢圓的方程. .思維啟迪思維啟迪)0( 1122222222baaybxbyax或.解解 方法一方法一 設所求的橢圓方程為設所求的橢圓方程為由已

10、知條件得由已知條件得 解得解得a a=4,=4,c c=2,=2,b b2 2=12.=12.故所求方程為故所求方程為),0( 1)0( 122222222babxaybabyax或,35)2(352222ca. 11216112162222xyyx或方法二方法二 設所求橢圓方程為設所求橢圓方程為 兩個焦點分別為兩個焦點分別為F F1 1，F F2 2. .由題意知由題意知2 2a a=|=|PFPF1 1|+|+|PFPF2 2|=8,|=8,a a=4.=4.在方程在方程 中，令中，令x x= =c c得得| |y y|= ,|= ,在方程在方程 中，令中，令y y= =c c得得| |x

11、 x|= ,|= ,依題意有依題意有 =3=3，b b2 2=12.=12.橢圓的方程為橢圓的方程為)0( 12222babyax).0( 12222babxay或12222byaxab212222bxayab2ab2. 11216112162222xyyx或探究提高探究提高 運用待定系數法求橢圓標準方程，即設運用待定系數法求橢圓標準方程，即設法建立關于法建立關于a a、b b的方程組，先定型、再定量，若位的方程組，先定型、再定量，若位置不確定時，考慮是否兩解，有時為了解題需要，置不確定時，考慮是否兩解，有時為了解題需要，橢圓方程可設為橢圓方程可設為mxmx2 2+ +nyny2 2=1 (=

12、1 (m m0,0,n n0,0,m mn n) )，由題目所給條件求出由題目所給條件求出m m、n n即可即可. .知能遷移知能遷移2 2 （1 1）已知橢圓以坐標軸為對稱軸）已知橢圓以坐標軸為對稱軸, ,且且 長軸是短軸的長軸是短軸的3 3倍，并且過點倍，并且過點P P（3 3，0 0）, ,求橢圓求橢圓 的方程；的方程； （2 2）已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱）已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱 軸，且經過兩點軸，且經過兩點P P1 1( ( ，1)1)、P P2 2(- (- ，- )- )， 求橢圓的方程求橢圓的方程. . 解解 （1 1）若焦點在）若焦點在x x軸上，設方

13、程為軸上，設方程為 ( (a ab b0).0). 橢圓過橢圓過P P（3 3，0 0），）， 又又2 2a a=3=32 2b b,b b=1,=1,方程為方程為 63212222byax3, 1032222aba即. 1922 yx若焦點在若焦點在y y軸上，設方程為軸上，設方程為橢圓過點橢圓過點P P（3 3，0 0），）， =1, =1,又又2 2a a=3=32 2b b,a a=9,=9,方程為方程為所求橢圓的方程為所求橢圓的方程為).0( 12222babxay222230ba. 198122xy. 1981192222xyyx或b b=3.=3.（2 2）設橢圓方程為）設橢圓方

14、程為mxmx2 2+ +nyny2 2=1(=1(m m0,0,n n0 0且且m mn n).).橢圓經過橢圓經過P P1 1、P P2 2點，點，P P1 1、P P2 2點坐標適合橢圓方程，點坐標適合橢圓方程，則則 、兩式聯(lián)立，解得兩式聯(lián)立，解得所求橢圓方程為所求橢圓方程為, 123, 16nmnm.31,91nm. 13922yx題型三題型三 橢圓的幾何性質橢圓的幾何性質【例例3 3】已知】已知F F1 1、F F2 2是橢圓的兩個焦點，是橢圓的兩個焦點，P P為橢圓上為橢圓上 一點，一點，F F1 1PFPF2 2=60=60. .（1 1）求橢圓離心率的范圍；）求橢圓離心率的范圍；

15、（2 2）求證）求證: :F F1 1PFPF2 2的面積只與橢圓的短軸長有關的面積只與橢圓的短軸長有關. . （1 1）在）在PFPF1 1F F2 2中，使用余弦定理和中，使用余弦定理和| |PFPF1 1|+|+|PFPF2 2|=2|=2a a，可求可求| |PFPF1 1|PFPF2 2| |與與a a，c c的關的關系，然后利用基本不等式找出不等關系，從而求系，然后利用基本不等式找出不等關系，從而求出出e e的的范圍；范圍；（2 2）利用）利用 | |PFPF1 1|PFPF2 2|sin 60|sin 60可證可證. .思維啟迪思維啟迪2121PFFS（1 1）解解 設橢圓方程為

16、設橢圓方程為| |PFPF1 1|=|=m m,|,|PFPF2 2|=|=n n. .在在PFPF1 1F F2 2中，由余弦定理可知，中，由余弦定理可知，4 4c c2 2= =m m2 2+ +n n2 2-2-2mnmncos 60cos 60. .m m+ +n n=2=2a a，m m2 2+ +n n2 2= =（m m+ +n n）2 2-2-2mnmn=4=4a a2 2-2-2mnmn，44c c2 2=4=4a a2 2-3-3mnmn, ,即即3 3mnmn=4=4a a2 2-4-4c c2 2. .又又mnmn （當且僅當（當且僅當m m= =n n時取等號）時取等

17、號）, ,44a a2 2-4-4c c2 233a a2 2， ，即，即e e . .又又0 0e e1,1,e e的取值范圍是的取值范圍是 ),0( 12222babyax222anm22ac4121.1 ,21（2 2）證明證明 由（由（1 1）知）知mnmn= = mnmnsin 60sin 60= =即即PFPF1 1F F2 2的面積只與短軸長有關的面積只與短軸長有關. .,342b2121PFFS,332b探究提高探究提高 （1 1）橢圓上一點與兩焦點構成的三角）橢圓上一點與兩焦點構成的三角形，稱為橢圓的焦點三角形，與焦點三角形有關的形，稱為橢圓的焦點三角形，與焦點三角形有關的計

18、算或證明常利用正弦定理、余弦定理、計算或證明常利用正弦定理、余弦定理、| |PFPF1 1|+|+|PFPF2 2|=2|=2a a，得到，得到a a、c c的關系的關系. .（2 2）對）對F F1 1PFPF2 2的處理方法的處理方法定義式的平方定義式的平方余弦定理余弦定理面積公式面積公式.sin21cos24)2()(2121222122221PFPFSPFPFPFPFcaPFPF知能遷移知能遷移3 3 已知橢圓已知橢圓 的長、的長、短軸端點分別為短軸端點分別為A A、B B, ,從橢圓上一點從橢圓上一點M M（在（在x x軸軸 上方）向上方）向x x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點軸作垂

19、線，恰好通過橢圓的左焦點F F1 1， . .（1 1）求橢圓的離心率）求橢圓的離心率e e；（2 2）設）設Q Q是橢圓上任意一點，是橢圓上任意一點，F F1 1、F F2 2分別是左、右分別是左、右 焦點，求焦點，求F F1 1QFQF2 2的取值范圍的取值范圍. . 解解 （1 1）F F1 1（- -c c，0 0），則），則x xM M=-=-c c，y yM M= = ， k kOMOM=- .=- .k kABAB=- =- ， ， - =- - =- ，b b= =c c，故，故e e= =)0( 12222babyaxABOMab2acb2abOMABacb2ab.22ac（

20、2 2）設）設| |F F1 1Q Q|=|=r r1 1，| |F F2 2Q Q|=|=r r2 2，F F1 1QFQF2 2= = ，r r1 1+ +r r2 2=2=2a a，| |F F1 1F F2 2|=2|=2c c，cos =cos =當且僅當當且僅當r r1 1= =r r2 2時，時，cos =0,cos =0,212212212122221242)(24rrcrrrrrrcrr, 01)2(12212212rrarra.2, 0題型四題型四 直線與橢圓的位置關系直線與橢圓的位置關系【例例4 4】（1212分）橢圓分）橢圓C C： 的兩的兩 個焦點為個焦點為F F1

21、1，F F2 2，點，點P P在橢圓在橢圓C C上，且上，且PFPF1 1F F1 1F F2 2， | |PFPF1 1|= |= ，| |PFPF2 2|= .|= .（1 1）求橢圓）求橢圓C C的方程；的方程；（2 2）若直線）若直線l l過圓過圓x x2 2+ +y y2 2+4+4x x-2-2y y=0=0的圓心的圓心M M，交橢圓，交橢圓 C C于于A A，B B兩點，且兩點，且A A，B B關于點關于點M M對稱，求直線對稱，求直線l l的的 方程方程. .)0( 12222babyax34314 （1 1）可根據橢圓定義來求橢圓方程；）可根據橢圓定義來求橢圓方程；（2 2）

22、方法一：設斜率為）方法一：設斜率為k k，表示出直線方程，表示出直線方程, ,然后然后 與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數的關系及中點坐與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數的關系及中點坐 標公式求解；標公式求解； 方法二：設出方法二：設出A A、B B兩點坐標兩點坐標, ,代入橢圓方程代入橢圓方程, ,作作 差變形差變形, ,利用中點坐標公式及斜率求解（即點差利用中點坐標公式及斜率求解（即點差 法）法）. .思維啟迪思維啟迪解解 （1 1）因為點）因為點P P在橢圓在橢圓C C上，上，所以所以2 2a a=|=|PFPF1 1|+|+|PFPF2 2|=6|=6，a a=3.=3. 2 2分分 在在R Rt

23、 tPFPF1 1F F2 2中，中，故橢圓的半焦距故橢圓的半焦距c c= = ， 44分分 從而從而b b2 2= =a a2 2- -c c2 2=4=4，所以橢圓所以橢圓C C的方程為的方程為 66分分 , 52212221PFPFFF5. 14922yx解題示范解題示范（2 2）方法一方法一 設點設點A A, ,B B的坐標分別為的坐標分別為( (x x1 1, ,y y1 1),(),(x x2 2, ,y y2 2).).已知圓的方程為（已知圓的方程為（x x+2+2）2 2+(+(y y-1)-1)2 2=5,=5,所以圓心所以圓心M M的的坐標為（坐標為（-2-2，1 1），從

24、而可設直線），從而可設直線l l的方程為：的方程為：y y= =k k( (x x+2)+1,+2)+1, 8 8分分 代入橢圓代入橢圓C C的方程得：的方程得：(4+9(4+9k k2 2) )x x2 2+(36+(36k k2 2+18+18k k) )x x+36+36k k2 2+36+36k k-27=0.-27=0.因為因為A A，B B關于點關于點M M對稱，對稱，所以所以 1010分分 所以直線所以直線l l的方程為的方程為y y= (= (x x+2)+1,+2)+1,即即8 8x x-9-9y y+25=0.+25=0.（經檢驗，所求直線方程符合題意）（經檢驗，所求直線方

25、程符合題意） 1212分分 ,98, 29491822221kkkkxx解得98方法二方法二 已知圓的方程為（已知圓的方程為（x x+2+2）2 2+(+(y y-1)-1)2 2=5,=5,所以圓心所以圓心M M的坐標為（的坐標為（-2-2，1 1），）， 88分分 設設A A，B B的坐標分別為（的坐標分別為（x x1 1, ,y y1 1）,(,(x x2 2, ,y y2 2).).由題意由題意x x1 1x x2 2, , 由由- -得：得： 因為因為A A，B B關于點關于點M M對稱，對稱，所以所以x x1 1+ +x x2 2=-4,=-4,y y1 1+ +y y2 2=2,

26、=2,1492121yx1492222yx. 04)(9)(21212121yyyyxxxx代入代入得得即直線即直線l l的斜率為的斜率為 ， 1010分分 所以直線所以直線l l的方程為的方程為y y-1= (-1= (x x+2),+2),即即8 8x x-9-9y y+25=0.+25=0.（經檢驗，所求直線方程符合題意）（經檢驗，所求直線方程符合題意）. 12. 12分分 ,982121xxyy9898 探究提高探究提高（1 1）直線方程與橢圓方程聯(lián)立）直線方程與橢圓方程聯(lián)立, ,消元后消元后 得到一元二次方程，然后通過判別式得到一元二次方程，然后通過判別式來判斷直來判斷直 線和橢圓相

27、交、相切或相離線和橢圓相交、相切或相離. . （2 2）消元后得到的一元二次方程的根是直線和橢）消元后得到的一元二次方程的根是直線和橢 圓交點的橫坐標或縱坐標，通常是寫成兩根之和圓交點的橫坐標或縱坐標，通常是寫成兩根之和 與兩根之積的形式，這是進一步解題的基礎與兩根之積的形式，這是進一步解題的基礎. . （3 3）若已知圓錐曲線的弦的中點坐標）若已知圓錐曲線的弦的中點坐標, ,可設出弦可設出弦 的端點坐標的端點坐標, ,代入方程，用點差法求弦的斜率代入方程，用點差法求弦的斜率. .注注 意求出方程后，通常要檢驗意求出方程后，通常要檢驗. .知能遷移知能遷移4 4 若若F F1 1、F F2 2

28、分別是橢圓分別是橢圓 （a ab b0 0）的左、右焦點，）的左、右焦點，P P是該橢圓上的一個是該橢圓上的一個 動點，且動點，且| |PFPF1 1|+|+|PFPF2 2|=4|=4，| |F F1 1F F2 2|=2 .|=2 . （1 1）求出這個橢圓的方程；）求出這個橢圓的方程； （2 2）是否存在過定點）是否存在過定點N N（0 0，2 2）的直線）的直線l l與橢圓與橢圓 交于不同的兩點交于不同的兩點A A、B B，使，使 （其中（其中O O為為坐標原點）？若存在，求出直線坐標原點）？若存在，求出直線l l的斜率的斜率k k；若不存；若不存 在，說明理由在，說明理由. .122

29、22byax3OAOB解解 （1 1）依題意，得）依題意，得2 2a a=4=4，2 2c c=2 ,=2 ,所以所以a a=2,=2,c c= ,= ,b b= =橢圓的方程為橢圓的方程為（2 2）顯然當直線的斜率不存在，即）顯然當直線的斜率不存在，即x x=0=0時，不滿時，不滿足條件足條件. .設設l l的方程為的方程為y y= =kxkx+2,+2,由由A A、B B是直線是直線l l與橢圓的兩個不同的交點，與橢圓的兩個不同的交點，設設A A（x x1 1，y y1 1），），B B（x x2 2，y y2 2），），由由 消去消去y y并整理，得并整理，得33. 122ca. 142

30、2 yx,21422kxyyx（1+41+4k k2 2）x x2 2+16+16kxkx+12=0.+12=0.=(16=(16k k) )2 2-4(1+4-4(1+4k k2 2) )12=16(412=16(4k k2 2-3)-3)0,0,解得解得k k2 2 . .x x1 1+ +x x2 2=- ,=- ,x x1 1x x2 2= = , =0 , =0， = =x x1 1x x2 2+ +y y1 1y y2 2= =x x1 1x x2 2+(+(kxkx1 1+2)(+2)(kxkx2 2+2)+2)= =x x1 1x x2 2+ +k k2 2x x1 1x x2

31、 2+2+2k k（x x1 1+ +x x2 2）+4+4= =（1+1+k k2 2）x x1 1x x2 2+2+2k k（x x1 1+ +x x2 2）+4+44324116kk.41122kOAOBOAOBOAOBk k2 2=4. =4. 由由可知可知k k= =2,2,所以，存在斜率所以，存在斜率k k= =2 2的直線的直線l l符合題意符合題意. ., 041)4(44411624112)1 (22222kkkkkkk方法與技巧方法與技巧1.1.橢圓上任意一點橢圓上任意一點M M到焦點到焦點F F的所有距離中，長軸的所有距離中，長軸 端點到焦點的距離分別為最大距離和最小距離

32、，端點到焦點的距離分別為最大距離和最小距離， 且最大距離為且最大距離為a a+ +c c, ,最小距離為最小距離為a a- -c c. .2.2.過焦點弦的所有弦長中，垂直于長軸的弦是最過焦點弦的所有弦長中，垂直于長軸的弦是最 短的弦，而且它的長為短的弦，而且它的長為 . .把這個弦叫橢圓把這個弦叫橢圓 的通徑的通徑. .3.3.求橢圓離心率求橢圓離心率e e時時, ,只要求出只要求出a a, ,b b, ,c c的一個齊次的一個齊次 方程，再結合方程，再結合b b2 2= =a a2 2- -c c2 2就可求得就可求得e e (0 (0e e1).1).ab22思想方法思想方法 感悟提高感

33、悟提高4.4.從一焦點發(fā)出的光線，經過橢圓（面）的反射，從一焦點發(fā)出的光線，經過橢圓（面）的反射， 反射光線必經過橢圓的另一焦點反射光線必經過橢圓的另一焦點. .5.5.過橢圓外一點求橢圓的切線過橢圓外一點求橢圓的切線, ,一般用判別式一般用判別式=0=0 求斜率，也可設切點后求導數（斜率）求斜率，也可設切點后求導數（斜率）. .6.6.求橢圓方程時，常用待定系數法，但首先要判斷求橢圓方程時，常用待定系數法，但首先要判斷 是否為標準方程，判斷的依據是：（是否為標準方程，判斷的依據是：（1 1）中心是否）中心是否 在原點，（在原點，（2 2）對稱軸是否為坐標軸）對稱軸是否為坐標軸. .失誤與防范

34、失誤與防范1.1.求橢圓方程時，在建立坐標系時，應該盡可能求橢圓方程時，在建立坐標系時，應該盡可能 以橢圓的對稱軸為坐標軸以便求得的方程為最簡以橢圓的對稱軸為坐標軸以便求得的方程為最簡 方程方程橢圓的標準方程橢圓的標準方程. .2.2.求兩曲線的交點坐標，只要把兩曲線的方程聯(lián)求兩曲線的交點坐標，只要把兩曲線的方程聯(lián) 立求方程組的解立求方程組的解, ,根據解可以判斷位置關系，若根據解可以判斷位置關系，若 方程組有解可求出交點坐標方程組有解可求出交點坐標. .3.3.注意橢圓上點的坐標范圍，特別是把橢圓上某注意橢圓上點的坐標范圍，特別是把橢圓上某 一點坐標視為某一函數問題求解時，求函數的單一點坐標

35、視為某一函數問題求解時，求函數的單 調區(qū)間、最值時有重要意義調區(qū)間、最值時有重要意義. .4.4.判斷橢圓標準方程的原則為：長軸、短軸所在判斷橢圓標準方程的原則為：長軸、短軸所在 直線為坐標軸，中心為坐標原點直線為坐標軸，中心為坐標原點. .5.5.判斷兩種標準方程的方法為比較標準形式中判斷兩種標準方程的方法為比較標準形式中x x2 2與與 y y2 2的分母大小，若的分母大小，若x x2 2的分母比的分母比y y2 2的分母大，則焦點的分母大，則焦點 在在x x軸上，若軸上，若x x2 2的分母比的分母比y y2 2的分母小，則焦點在的分母小，則焦點在y y 軸上軸上. .6.6.注意橢圓的

36、范圍，在設橢圓注意橢圓的范圍，在設橢圓 上點的坐標為上點的坐標為P P（x x，y y）時，則）時，則| |x x|a a，這往往，這往往 在求與點在求與點P P有關的最值問題中特別有用，也是容有關的最值問題中特別有用，也是容 易被忽略而導致求最值錯誤的原因易被忽略而導致求最值錯誤的原因. .)0( 12222babyax一、選擇題一、選擇題1.1.（20082008上海春招，上海春招，1414）已知橢圓已知橢圓 =1=1，長軸在，長軸在y y軸上，若焦距為軸上，若焦距為4 4，則，則m m等于（等于（ ） A.4 B.5 C.7 D.8A.4 B.5 C.7 D.8 解析解析 橢圓焦點在橢圓

37、焦點在y y軸上，軸上，a a2 2= =m m-2-2，b b2 2=10-=10-m m. . 又又c c=2=2，m m-2-2-（10-10-m m）=2=22 2=4.=4.m m=8.=8.定時檢測定時檢測21022mymxD2.2.已知點已知點M M（ ，0 0）, ,橢圓橢圓 =1=1與直線與直線 y y= =k k( (x x+ )+ )交于點交于點A A、B B, ,則則ABMABM的周長為的周長為 （ ） A.4 B.8 C.12 D.16A.4 B.8 C.12 D.16 解析解析 直線直線y y= =k k( (x x+ )+ )過定點過定點N N(- ,0),(-

38、,0),而而M M、N N 恰為橢圓恰為橢圓 的兩個焦點，由橢圓定義知的兩個焦點，由橢圓定義知ABMABM的周長為的周長為4 4a a=4=42=8.2=8.3224yxB331422 yx33.3.若以橢圓上一點和兩個焦點為頂點的三角形面積若以橢圓上一點和兩個焦點為頂點的三角形面積 的最大值為的最大值為1 1，則橢圓長軸的最小值為，則橢圓長軸的最小值為 （ ） A.1A.1B. B. C.2C.2D.2 D.2 解析解析 設橢圓設橢圓 ，則使三角，則使三角 形面積最大時，三角形在橢圓上的頂點為橢圓短形面積最大時，三角形在橢圓上的頂點為橢圓短 軸端點，軸端點， S S= = 2 2c cb b

39、= =bcbc=1=1 a a2 22.2.a a . .長軸長長軸長2 2a a2 2 ，故選，故選D.D.D22)0( 12222babyax21.22222acb224.4.（20092009浙江文，浙江文，6 6）已知橢圓已知橢圓 ( (a ab b0)0)的左焦點為的左焦點為F F，右頂點為，右頂點為A A，點，點B B在在 橢圓上，且橢圓上，且BFBFx x軸，直線軸，直線ABAB交交y y軸于點軸于點P P. .若若 =2=2 ，則橢圓的離心率是，則橢圓的離心率是 （ ） A. A. B.B.C.C.D.D.12222byax21312223APPB解析解析 如圖，由于如圖，由于

40、BFBFx x軸，軸，故故x xB B=-=-c c, ,y yB B= ,= ,設設P P（0,0,t t）, , =2 =2 ，（- -a a, ,t t）=2=2a a=2=2c c,e e= =答案答案 Dab2APPB,2tabc.21ac5.5.已知已知F F1 1，F F2 2是橢圓的兩個焦點，過是橢圓的兩個焦點，過F F1 1且與橢圓長且與橢圓長 軸垂直的直線交橢圓于軸垂直的直線交橢圓于A A、B B兩點，若兩點，若ABFABF2 2是是 等腰直角三角形，則這個橢圓的離心率是（等腰直角三角形，則這個橢圓的離心率是（ ） A.A.B.B.C.C.D. D. 解析解析 ABFABF

41、2 2是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，|AFAF1 1|=|=|F F1 1F F2 2| |，將將x x=-=-c c代入橢圓方程代入橢圓方程 從而從而 即即a a2 2- -c c2 2=2=2acac, ,整理得整理得e e2 2+2+2e e-1=0,-1=0, 解得解得e e=-1=-1 , ,由由e e(0,1),(0,1),得得e e= -1.= -1.232212 2C),(122222abcAbyax得,22cab226.6.(2009(2009江西理江西理,6),6)過橢圓過橢圓 的左焦點的左焦點F F1 1作作x x軸的垂線交橢圓于點軸的垂線交橢圓于點P P，F F2

42、 2為右焦為右焦 點，若點，若F F1 1PFPF2 2=60=60, ,則橢圓的離心率為（則橢圓的離心率為（ ） A.A.B.B.C.C.D.D. 解析解析 由題意知點由題意知點P P的坐標為的坐標為F F1 1PFPF2 2=60=60, , 即即2 2acac= = b b2 2= (= (a a2 2- -c c2 2).). e e2 2+2+2e e- =0,- =0,e e= = 或或e e=- (=- (舍去舍去).).)0( 12222babyax33222131B,22abcabc或, 322abc3333333二、填空題二、填空題7.7.（20092009廣東理，廣東理，

43、1111）已知橢圓已知橢圓G G的中心在坐標的中心在坐標 原點，長軸在原點，長軸在x x軸上，離心率為軸上，離心率為 ，且，且G G上一點上一點 到到G G的兩個焦點的距離之和為的兩個焦點的距離之和為12,12,則橢圓則橢圓G G的方程的方程 為為 . . 解析解析 設橢圓的長半軸為設橢圓的長半軸為a a，由，由2 2a a=12=12知知a a=6,=6, 又又e e= = ,= = ,故故c c=3 =3 ，b b2 2= =a a2 2- -c c2 2=36-27=9.=36-27=9. 橢圓標準方程為橢圓標準方程為23ac233. 193622yx. 193622yx8.8.設橢圓設

44、橢圓 （m m0,0,n n0 0）的右焦點與拋）的右焦點與拋 物線物線y y2 2=8=8x x的焦點相同，離心率為的焦點相同，離心率為 ，則此橢圓的，則此橢圓的 標準方程為標準方程為 . . 解析解析 拋物線拋物線y y2 2=8=8x x的焦點是（的焦點是（2,02,0）,橢圓橢圓 的半焦距的半焦距c c=2,=2,即即m m2 2- -n n2 2=4,=4,又又e e= = m m=4,=4,n n2 2=12.=12. 從而橢圓的方程為從而橢圓的方程為12222nymx211121622yx,21222mmnm. 1121622yx9.9.B B1 1、B B2 2是橢圓短軸的兩端

45、點，是橢圓短軸的兩端點，O O為橢圓中心，過為橢圓中心，過 左焦點左焦點F F1 1作長軸的垂線交橢圓于作長軸的垂線交橢圓于P P, ,若若| |F F1 1B B2 2| |是是 | |OFOF1 1| |和和| |B B1 1B B2 2| |的等比中項，則的等比中項，則 的值是的值是 . . 解析解析 由已知由已知2 2bcbc= =a a2 2= =b b2 2+ +c c2 2,b b= =c c= = 設設P P（x x0 0，y y0 0），則），則x x0 0=-=-c c，| |y y0 0|=|=|PFPF1 1|.|. 21OBPF22.22a.22.211, 1)(21

46、222222022022OBPFabacbybyac三、解答題三、解答題10.10.根據下列條件求橢圓的標準方程：根據下列條件求橢圓的標準方程： （1 1）已知）已知P P點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點 P P到兩焦點的距離分別為到兩焦點的距離分別為 ，過，過P P作長作長 軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點；軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點； （2 2）經過兩點）經過兩點A A（0 0，2 2）和）和B B 解解（1 1）設橢圓的標準方程是）設橢圓的標準方程是 或或532534和.3,2112222byax, 12222bxay則由題意知則由題意知2 2a a=|=|

47、PFPF1 1|+|+|PFPF2 2|=2 |=2 ，a a= .= .在方程在方程 中令中令x x= =c c得得| |y y|=|=在方程在方程 中令中令y y= =c c得得| |x x|=|=依題意并結合圖形知依題意并結合圖形知 = .= .b b2 2= .= .即橢圓的標準方程為即橢圓的標準方程為5512222byaxab212222bxayab2ab2532310. 11035110352222xyyx或（2 2）設經過兩點）設經過兩點A A（0 0，2 2），），B B 的橢圓標的橢圓標準方程為準方程為mxmx2 2+ +nyny2 2=1=1，代入，代入A A、B B得得所求橢圓方程為所求橢圓方程為x x2 2+ =1.+ =1.3,21,411134114nmnmn42y11.11.（20082008遼寧文，遼寧文，2121）在平面直角坐標系在平面直角坐標系xOyxOy 中，點中，點P P到兩點（到兩點（0 0，- - ）、（）、（0 0， ）的距）的距 離之和等于離之和等于4 4，設點，設點P P