微積分-D9_5極值和最值ppt課件

1、 第九章 一、多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值 二、最值運(yùn)用問題二、最值運(yùn)用問題三、條件極值三、條件極值機(jī)動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法xyz定義定義: 假設(shè)函假設(shè)函數(shù)數(shù)那么稱函數(shù)在該點(diǎn)獲得極大值那么稱函數(shù)在該點(diǎn)獲得極大值(極小值極小值).例如例如 :在點(diǎn)在點(diǎn) (0,0) 有極小值有極小值;在點(diǎn)在點(diǎn) (0,0) 有極大值有極大值;在點(diǎn)在點(diǎn) (0,0) 無極值無極值.極大值和極小值極大值和極小值統(tǒng)稱為極值統(tǒng)稱為極值, 使函數(shù)獲得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)使函數(shù)獲得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz2

2、2yxzyxz ),(),(00yxyxfz在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有的某鄰域內(nèi)有xyzxyz此處極值為自在極值此處極值為自在極值闡明闡明: 使偏導(dǎo)數(shù)都為使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)的點(diǎn)稱為駐點(diǎn) . 例如例如,函數(shù)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.0000(,)0,(,)0 xyfxyfxy獲得極值獲得極值 ,獲得極值獲得極值獲得極值獲得極值 但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).有駐點(diǎn)有駐點(diǎn)( 0, 0 ), 但在該點(diǎn)不取極值但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)獲得極值且在該點(diǎn)獲得極值 ,那么那么有有),(),(00yxyxfz在點(diǎn)存在存在),(),(0

3、0yxyxfz在點(diǎn)因在),(0yxfz 0 xx 故故在),(0yxfz 0yy yxz 駐點(diǎn)：駐點(diǎn)：0)()(, 0)(,0000PfPfPgradfDPyx即的內(nèi)點(diǎn)是若的駐點(diǎn)是則稱fP0時時, 具有極值具有極值的某鄰域內(nèi)具有一階和二階延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階延續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且且令那么那么: 1) 當(dāng)當(dāng)A0 時取極小值.2) 當(dāng)3) 當(dāng)時時, 沒有極值沒有極值.時時, 不能確定不能確定 , 需另行討論需另行討論.假設(shè)函假設(shè)函數(shù)數(shù)的在點(diǎn)),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02B

4、AC02 BAC02BAC求函數(shù)求函數(shù)解解: : 第一步第一步 求駐求駐點(diǎn)點(diǎn). .得駐點(diǎn)得駐點(diǎn): (1, 0) , (1, 2) , (3, : (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .0) , (3, 2) .第二步第二步 判別判別.在點(diǎn)在點(diǎn)(1,0) (1,0) 處處為極小值為極小值; ;解方程組解方程組ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的極值的極值. .求二階偏導(dǎo)數(shù)求二階偏導(dǎo)數(shù),66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933

5、),(2233在點(diǎn)在點(diǎn)( (3,0) 3,0) 處處不是極值不是極值; ;在點(diǎn)在點(diǎn)( (3,2) 3,2) 處處為極大值為極大值. .,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在點(diǎn)在點(diǎn)(1,2) (1,2) 處處不是極值不是極值; ;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC及能否獲得極值.解解: 顯然顯然 (0,0) 都是它們的駐點(diǎn)都是它們的駐點(diǎn) ,在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值, 因此 z(0,0) 不是極值.因此,022時當(dāng)

6、yx222)(yxz0)0 , 0( z為極小值.正正負(fù)負(fù)033yxz222)(yxz在點(diǎn)(0,0)xyzo并且在 (0,0) 都有 02BAC33yxz能夠?yàn)?)()0 , 0()0 , 0(222yxz函數(shù)函數(shù) f 在有界閉域上延續(xù)在有界閉域上延續(xù)函數(shù)函數(shù) f 在閉域上可到達(dá)最值在閉域上可到達(dá)最值 最值可疑點(diǎn)最值可疑點(diǎn) 駐點(diǎn)駐點(diǎn)邊境上的最值點(diǎn)邊境上的最值點(diǎn)特別特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只需一個極值點(diǎn)且只需一個極值點(diǎn)P 時時, )(Pf為極小為極小 值值)(Pf為最小為最小 值值( (大大) )( (大大) )步驟：步驟：)(),() 1 (受檢點(diǎn)存在的點(diǎn)內(nèi)部所有駐點(diǎn)

7、及導(dǎo)數(shù)不在求出Dyxf點(diǎn)與最小值的邊界上的最大值在求11),()2(mMDyxf則是受檢點(diǎn)全體設(shè),) 3(21nPPP)(,),(),(,max211nPfPfPfMM)(,),(),(,min211nPfPfPfmm例例3：設(shè)：設(shè)D由直線由直線與坐標(biāo)軸所圍的閉三角6 yxmMDyxyxz和最小值上的最大值在求形域)4(,2解：解：1求駐點(diǎn)求駐點(diǎn))24(),238(2yxxzyxxyzyx，令00yxzz，即化簡得42823yxyx解得解得12yx即即z在在D的內(nèi)部有獨(dú)一駐點(diǎn)的內(nèi)部有獨(dú)一駐點(diǎn)2求求z在邊境上的最大值與最小值在邊境上的最大值與最小值在在D的斜邊上：的斜邊上：)6(2)6(4)(6

8、(232xxxxxxz)60( x)6(2)(23xxx令)4(6)( xxx則40)( xx，令64)4(, 0)6()0(在在D的直角邊上：的直角邊上：0z故在故在D的邊境上有最大值的邊境上有最大值0，最小值，最小值-643求最大值和最小值求最大值和最小值4) 1 , 2(z故故M=4,m=-64定理定理( , ),f x yDD設(shè)在有界閉域 上連續(xù) 在 內(nèi)部可微且有0,( , )Pf x yD唯一駐點(diǎn)若在 上的最小(最大)值不在邊界上0,P取到 則必在 取到例例4：2222( , )=(1):1xyf x yxyeD xy求在閉單位圓上Mm的最大值與最小值解：解：22( , )=2x+y

9、(1)xyxfx yxye,22( , )=2y+x(1)xyyfx yxye( , )=0( , )=0yxfx yfx y由，得22222y+x(1)=02x+y(1)=0 xyxy0,0 xy22( , )=(1)xyf x yxyeD在 內(nèi)部有唯一駐點(diǎn)(0,0)(0,0)= 1f22=xy當(dāng)點(diǎn)在邊界1上時,f(x,y)=0故f(x,y)不可能在邊界上取得最小值,由定理得=1m 最小值221,( , )0,xyf x y又時故最大值M=0解解: 設(shè)水箱長設(shè)水箱長,寬分別為寬分別為 x , y m ,那么高那么高為為那么水箱所用資料的面積那么水箱所用資料的面積為為令令得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)某廠要用鐵

10、板做一個體積為某廠要用鐵板做一個體積為2根據(jù)實(shí)踐問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在根據(jù)實(shí)踐問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水箱的有蓋長方體水箱問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時, 才干運(yùn)用料最省才干運(yùn)用料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因此可因此可斷定此獨(dú)一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn)斷定此獨(dú)一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn). 即當(dāng)長、寬均為即當(dāng)長、寬均為高為高為時時, 水箱所用資料最省水箱所用資料最省.3m)2,2(33323222233把它折起來做成把它折起來做成解解: 設(shè)折起來的邊長為設(shè)折起來的邊長為 x cm

11、,那么斷面面那么斷面面積積x24一個斷面為等腰梯形的水槽一個斷面為等腰梯形的水槽,傾角為傾角為 ,Acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x積最大積最大. )0,120:(2 xD為為問怎樣折法才干使斷面面問怎樣折法才干使斷面面cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得:由題意知由題意知, ,最大值在定義域最大值在定義域D D 內(nèi)到達(dá)內(nèi)到達(dá), , 而在域而在域D D 內(nèi)只需內(nèi)只需一個駐點(diǎn)一個駐點(diǎn), ,故此點(diǎn)即為所求故此點(diǎn)即為所求. .,0sin0 xsincossin2sin242

12、2xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x極值問題極值問題無條件極值無條件極值:條條 件件 極極 值值 :條件極值的求法條件極值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函數(shù)求一元函數(shù)的無條件極值問題的無條件極值問題對自變量只需定義域限制對自變量只需定義域限制對自變量除定義域限制外對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制還有其它條件限制例如例如 ,轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化,0),(下在條件yx的極值求函數(shù)),(yxfz )(0),(xyyx 中解出從條件)(,(xxfz,0),(下在條件yx如方法如方法 1 所述所述 ,那么問題等價于一

13、元函數(shù)那么問題等價于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題的極值問題,極值點(diǎn)必滿足極值點(diǎn)必滿足設(shè)設(shè) 記記.),(的極值求函數(shù)yxfz 0),(yx, )(xy)(,(xxfz例如例如,故故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有故有引入輔助函數(shù)引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)輔助函數(shù)F 稱為拉格朗日稱為拉格朗日( Lagrange )函數(shù)函數(shù).0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格利用拉格極值點(diǎn)必滿足極值點(diǎn)必滿足0 xxf0yyf0),(yx那么極值點(diǎn)滿足那么極值點(diǎn)滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.),(),(yxyx

14、fF拉格朗日乘數(shù)法的矢量方式拉格朗日乘數(shù)法的矢量方式),(),(),(),(yxyxyxfyxfyxyx拉格朗日乘數(shù)法可推行到多個自變量和多拉格朗日乘數(shù)法可推行到多個自變量和多個約束條件的情形個約束條件的情形. 設(shè)設(shè)解方程組解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn)可得到條件極值的可疑點(diǎn) . 例如例如, 求函數(shù)求函數(shù)下的極值下的極值.在條件在條件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F01F要設(shè)計(jì)一個容量為要設(shè)計(jì)一個容量為0V那么問題為求那么問題為求x , y ,令令解方程組解方程組解解: 設(shè)設(shè)

15、 x , y , z 分別表示長、寬、高分別表示長、寬、高,下水箱外表積下水箱外表積最小最小.z 使在條件使在條件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyxF00Vzyx水箱長、寬、高等于多少時所用資料最??？水箱長、寬、高等于多少時所用資料最?。康拈L方體開口水箱的長方體開口水箱, 試問試問 0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz得獨(dú)一駐點(diǎn)得獨(dú)一駐點(diǎn),2230Vzyx3024V由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,長、寬為高的長、寬為高的 2 倍時，所用資料最省倍時，所用資料最省.因此因此 , 當(dāng)高為當(dāng)高為,340Vxyz思索思索:1

16、) 當(dāng)水箱封鎖時當(dāng)水箱封鎖時, 長、寬、高的尺寸如何長、寬、高的尺寸如何?提示提示: 利用對稱性可知利用對稱性可知,30Vzyx2) 當(dāng)開口水箱底部的造價為側(cè)面的二倍時當(dāng)開口水箱底部的造價為側(cè)面的二倍時, 欲使造價欲使造價最省最省, 應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)? 長、寬、高尺寸如何長、寬、高尺寸如何? 提示提示:)()(20VzyxyxzyzxF2長、寬、高尺寸相等長、寬、高尺寸相等 .實(shí)踐運(yùn)用問題的步驟：實(shí)踐運(yùn)用問題的步驟：)1 () 1 (njxj適當(dāng)設(shè)定變量0),(),()2(11nnxxgxxf與約束條件確定目標(biāo)函數(shù)盡可能化簡問題)3(并由此得方程組函數(shù)構(gòu)造,)4(lag

17、rangejx解得解方程組,)5()()6(問題的實(shí)際意義是否是所要求的最優(yōu)點(diǎn)判斷jx例例8、求三內(nèi)角正弦之積最大的三角形、求三內(nèi)角正弦之積最大的三角形解：設(shè)所求三角形之內(nèi)角為解：設(shè)所求三角形之內(nèi)角為,zyx,sinsinsinzyxu 令依題意，要求解問題依題意，要求解問題zyxzyxu,0 ,:max將目的函數(shù)轉(zhuǎn)換為將目的函數(shù)轉(zhuǎn)換為uln),(lnzyxuL令得，由0000LLLLzyx00cot0cot0cotzyxzyx解得解得zyxcotcotcot內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)在), 0(cot,cot,cotzyx3zyx故所求三角形故所求三角形為正三角形為正三角形例例9、求原點(diǎn)到曲線、求原點(diǎn)到曲線

18、122zyxyxz的最大與最小間隔的最大與最小間隔解：解：則的距離記原點(diǎn)到點(diǎn)以,),(zyxd,2222zyxd作拉格朗日函數(shù)作拉格朗日函數(shù)) 1()(22222zyxzyxzyxL00000LLLLLzyx令10020)120)1222zyxzyxzyx（即消去消去解得解得32,231zyx359,359minmaxdd例例10、求曲面、求曲面224323zxxyy41xyz與平面之間的最短距離解：曲面上任取點(diǎn)解：曲面上任取點(diǎn)P(x,y,z),那么那么P到平面的間隔到平面的間隔為為41,18xyzd依題意，所求解的問題為依題意，所求解的問題為22min:4323dzxxyy為計(jì)算的方便，所求

19、解的問題變?yōu)闉橛?jì)算的方便，所求解的問題變?yōu)?22min(41) :4323xyzzxxyy222(41)(4323)Lxyzzxxyy令那么有那么有222(41)( 62 )2(41)(26 )8(41)44323xyzLxyzxyLxyzxyLxyzzxxyy 220004323xyzLLLzxxyy令得14xyz由幾何意義知最短間隔一定存在，故有由幾何意義知最短間隔一定存在，故有11121 / 184448d 1. 函數(shù)的極值問題函數(shù)的極值問題第一步 利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).即解方程組第二步 利用充分條件 判別駐點(diǎn)能否為極值點(diǎn) .2. 函數(shù)的條件極值問題函數(shù)的條件極值問題(1) 簡單

20、問題用代入法, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如對二元函數(shù)(2) 普通問題用拉格朗日乘數(shù)法設(shè)拉格朗日函數(shù)設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組解方程組第二步第二步 判別判別 比較駐點(diǎn)及邊境點(diǎn)上函數(shù)值的大小比較駐點(diǎn)及邊境點(diǎn)上函數(shù)值的大小 根據(jù)問題的實(shí)踐意義確定最值根據(jù)問題的實(shí)踐意義確定最值第一步第一步 找目的函數(shù)找目的函數(shù), 確定定義域確定定義域 ( 及約束條件及約束條件)在條件在條件求駐點(diǎn) . ),(yxfz 0),(yx),(),(yxyxfF0 xxxfF0yyyfF0F知平面上兩定點(diǎn)知平面上兩定點(diǎn) A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),試在橢圓試在橢圓圓周上求一點(diǎn)圓周上求一點(diǎn) C, 使使ABC 面積面積 S最大最大.解答提示解答提示:CBAoy