勾股定理及其逆定理錯解剖析

1、勾股定理及其逆定理錯解剖析勾股定理及其逆定理是初中數(shù)學的重要定理之一，由于初學，加之滲透了數(shù)形結(jié)合的思想，同學們在應用其解題時往往會出現(xiàn)一些錯誤.這里就這些常見的錯誤， 結(jié)合實例給大家進行剖析.一、對于公式切勿生搬硬套例 1 在 Rt ABC 中，/ A = 90° a= 6, b = 3,求 c.錯解：由勾股定理，得c . a2 b2,62 32 3 5.剖析：本題錯在生搬硬套公式，只注意公式的表面形式，錯誤地認為c就一定是斜邊,而本題中實際上是/ A= 90°即a才是斜邊，公式應為：b2+c2=a2.正解：因為/ A= 90°所以由勾股定理，得 b2+c2=a

2、2;所以 ca2 b2.62 32 3 3 .二、求邊漏解例 2 在 Rt ABC 中，a = 6，b= 8，求 c.錯解：由勾股定理得：a2+ b2=c2，從而c . a2 b2 . 6 82 10 .剖析：本題也是錯在默認為/ C為直角，而事實上，本題并沒有明確告之哪個角是直角， 因此由b>a，Z B與/ C都可能為直角，這時應分情況討論.正解：(1)當/ C=90°時，由勾股定理得，c . a2 b262 32 3. 5 .(2)當/ B=90°時，由勾股定理得，b2=c2+a2；所以 c . b2 a2、82 62 2.7 .三、勾股定理”與其逆定理”混淆不清

3、例3 在厶ABC中，a= 12， b= 5， c= 13，試判斷 ABC是不是直角三角形.錯解：因為 a2+b2=122+52=169，c2=132=169，所以 a2+b2=c2.由勾股定理可知厶 ABC為直角三角形.剖析：本題錯在混淆了勾股定理和它的逆定理，其實本題應依據(jù)勾股定理的逆定理來判 斷厶ABC為直角三角形.正確的解法是把錯解中的最后一行改為：根據(jù)勾股定理的逆定理 可知 ABC為直角三角形.四、推理錯誤例4 已知：在厶ABC中，三條邊長分別為 a、b、c, a=n2 1, b= 2n, c= n2+ 1 (n> 1),求/ C的度數(shù).錯解：因為(n2-i) 2+ (2n) 2

4、= (n2+1) 2,即 n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1 ,所以 a2+b2=c2,所以由勾股定理逆定理可知/C= 90°剖析：本題錯在推理錯誤，一開始列出(n2-i) 2+ (2n) 2=(冷+1) 2這個等式，其實就等于默認了 a2+b2=c2，這是錯誤的，應像例 3那樣推理.正解：因為 a2+b2= (n2-1) 2+ (2n) 2= n4-2n2+1+ 4n2= n4+2n2+1;而 c2= (n2+1) 2=n4+2n2+1,所以 a2+b2=c2.所以由勾股定理的逆定理可知/C= 90°避免出現(xiàn)類似錯通過這些實例的剖析，望同學們仔細體會勾股定理及其逆

5、定理的應用, 誤.勾股定理中的易錯題辨析一、審題不仔細，受定勢思維影響例1在厶ABC中，A, B, C的對邊分別為a,b,c,且（a b）（a b） c2，則（）（A） A為直角（B） C為直角（C） B為直角（D）不是直角三角形錯解：選（B）分析：因為常見的直角三角形表示時，一般將直角標注為C，因而有同學就習慣性的認為 C就一定表示直角，加之對本題所給條件的分析不縝密，導致錯誤該題中的條件應轉(zhuǎn)化為a2 b2c2，即a2b2c2，因根據(jù)這一公式進行判斷.正解：Q a2b2 c2a2b2 c2.故選（a）例2已知直角三角形的兩邊長分別為3、4,求第三邊長.錯解：第三邊長為.32 4225 5.分

6、析：因?qū)W生習慣了 勾三股四弦五”的說法，即意味著兩直角邊為 3和4時，斜邊長為 5但這一理解的前提是 3、4為直角邊而本題中并未加以任何說明，因而所求的第三邊可能 為斜邊，但也可能為直角邊 正解：（1）當兩直角邊為 3和4時，第三邊長為'一 32 4225 5 ；（2）當斜邊為4，一直角邊為3時，第三邊長為.42 32. 7 .二、概念不明確，混淆勾股定理及其逆定理例3下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)，可作為三邊長構(gòu)成直角三角形的是（）（A） 1、2、3（B） 32,42,52（C） ,1.2. 3（ D），、3,盲八5錯解：選（B）分析：未能徹底區(qū)分勾股定理及其及逆定理，對概念的理解流于表面形

7、式判斷直角三角形時，應將所給數(shù)據(jù)進行平方看是否滿足a2 b2 c2的形式2 _ 2 2正解：因為 J .2,3 ，故選（C）例4在B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東60方向以每小時8海里的速度前進， 乙船沿南偏東某個角度以每小時15海里的速度前進，2小時后，甲船到M島，乙船到P島，兩島相距34海里，你知道乙船是沿哪個方向航行的嗎？錯解：甲船航行的距離為 BM= 8 216 （海里），乙船航行的距離為 BP=15 2 30 （海里）:、162 302 34 （海里）且MP=34 （海里） MBP為直角三角形， MBP 90 ,乙船是沿著南偏東 30方向航行的.分析：雖然最終判斷的結(jié)果也是對的，但這解題過程中存在問題勾股定理的使用前提是直角三角形，而本題需對三角形做出判斷，判斷的依據(jù)是勾定理的逆定理其形式為 若a2 b2 c2，則 C 90.錯解的原因在于未能充分理解勾股定理及其逆定理的概念，導 致錯誤運用.正解：甲船航行的