求函數(shù)值域的問題

1、求函數(shù)值域的問題摘要：函數(shù)的值域是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，也是學(xué)習(xí)中的難點之一。求函數(shù)的值域在知識上，除涉及函數(shù)的所有知識外，還需要不等式等其他重要知識點；在解題方法上，具有較強的綜合性，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中，函數(shù)是重要的內(nèi)容，既是重點也是難點。關(guān)鍵詞：函數(shù)值域；解題方法；重要內(nèi)容；重點難點中圖分類號：G633.6文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1992-7711202102-0107求函數(shù)的值域是學(xué)生感到棘手的問題，它所涉及的知識面廣，方法靈活多樣，在考試中經(jīng)常出現(xiàn)，假設(shè)方法運用得當(dāng)，就能起到化繁為簡、事半功倍的作用。本文就函數(shù)值域的常用求法歸納如下，供參考。其一，配方法：主要是針對二次函數(shù)或可化成二次

2、函數(shù)型的最值及值域問題，可用此法。例：1.求函數(shù)y=-x2+2x+3的值域解析：y=-x-12+4，當(dāng)x=1時，y最大=4，所以，值域是-，4。2.求函數(shù)y=32x+2·3x-1在0，1上的最大值。解析：令3x=t，那么y=t2+2t-1=t+12-2x0，1，t1，3，當(dāng)t=3時，y最大=14其二，換元法：假設(shè)函數(shù)表達式中含有根式、分式、指數(shù)式、對數(shù)式等，可考慮用此方法：例：1.求函數(shù)fx=x+2的最大值。解析：方法一：設(shè)=tt0，x=1-t2y=-t-12+2，當(dāng)t=1即x=0時，y最大=2方法二：利用導(dǎo)數(shù)法，定義域是x/x1fx=1-由fx=0，得x=0當(dāng)x0，fx為增函數(shù)當(dāng)0

3、當(dāng)x=0時，fx最大=f0=22.求函數(shù)y=x+y=x+的值域解析：換元法由4-x20，知-2x2設(shè)x=2cos，0，那么y=2cos+=2cos+2sin=22+，sin+，1y-2，2其三，導(dǎo)數(shù)法利用函數(shù)單調(diào)性函數(shù)y=ax+a>0，b>0被稱為對勾函數(shù)，以此為背景的考題，曾是考試熱點。例：談?wù)摵瘮?shù)fx=ax+a>0，b>0的單調(diào)性解析：fx=a-令fx=0ax2-b=0x=±當(dāng)fx>0x>或x當(dāng)fxfx在-，-，+上是增函數(shù)fx在-，0，0，上是減函數(shù)2.求函數(shù)fx=x+在3，+的最小值解析：此函數(shù)是對勾函數(shù)，由其性質(zhì)，知fx在3，+上是增函數(shù)

4、，所以，其最小值是。其四，別離常數(shù)法例：1.求函數(shù)y=的值域解析：y=2+其值域是y/y22.求y=的值域解析：法一：別離常數(shù)法，y=由2x-1>-1知0，y>1或y法二：反函數(shù)法2x=，x=log2由>0，得y>1或y3.求函數(shù)y=x>1的最小值。解析：x>-1，x+1>0原式=x+1+52+5=9當(dāng)且僅當(dāng)x+1=，x=1時，等號“=成立當(dāng)x=1時，原函數(shù)的最小值為9。先別離常數(shù)，再用不等式法求最小值其五，不等式法例：x>0，y>0，且+=1，求x+y的最小值。方法一：把求二元函數(shù)fx，y=x+y，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)。由+=1得y=9+，由x

5、>0y=>0得x>1x+y=x+9+=x-1+102+10=16當(dāng)且僅當(dāng)x-1=即：x=4時，上式取“=號x+y的最小值是16。方法二：對二元函數(shù)也可轉(zhuǎn)化為+型函數(shù)，然后再用均值不等式。上接第107頁+=1x+y=x+y+=10+16當(dāng)且僅當(dāng)=，即：x=4，y=12時，上式取“=號x+y的最小值為16。其六，線性規(guī)劃問題，求目標(biāo)函數(shù)的最值問題例：x，y滿足約束條件x1x-3y-43x+5y30求目標(biāo)函數(shù)，y=2x+y的最值求y=的取值范圍求y=x2+y2的取值范圍其七，數(shù)形結(jié)合法，函數(shù)表達式具有明顯的某種幾何定義，如兩點距離、直線斜率等，用此方法會更加簡單、一目了然。例：1.求函數(shù)y=+的值域解析：y=x-2+x+8可看成數(shù)軸上點x與點2與點-8的距離之和，y10，+2.