第6講 質(zhì)點的角動量角動量守恒定律

1、第第5章章 質(zhì)點質(zhì)點(系系)的角動量的角動量 角動量守恒定律角動量守恒定律Law of Conservation of Angular Momentum5.1 質(zhì)點的角動量定理質(zhì)點的角動量定理5.2 質(zhì)點系的角動量定理質(zhì)點系的角動量定理5.3 角動量守恒定律角動量守恒定律在自然界中經(jīng)常會遇到質(zhì)點圍繞著一定的中心運(yùn)轉(zhuǎn)在自然界中經(jīng)常會遇到質(zhì)點圍繞著一定的中心運(yùn)轉(zhuǎn)的情況。例如，行星繞太陽的公轉(zhuǎn)，人造衛(wèi)星繞地的情況。例如，行星繞太陽的公轉(zhuǎn)，人造衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動，電子繞原子核轉(zhuǎn)動以及剛體的轉(zhuǎn)動等等。球轉(zhuǎn)動，電子繞原子核轉(zhuǎn)動以及剛體的轉(zhuǎn)動等等。在這些問題中，動量定理及其守恒定律未必適用，在這些問題中，動量定

2、理及其守恒定律未必適用，這時若采用這時若采用角動量角動量概念討論問題就比較方便。概念討論問題就比較方便。角動量也是一個重要概念。角動量也是一個重要概念。0Lrmv ( (矢量矢量) )Lmvr 的大小為：的大小為：LsinLLrmv 和和 的夾角為的夾角為 ，rmv 的方向：由的方向：由 和和 按照按照右手螺旋法則右手螺旋法則確定。確定。Lrmv角動量的定義：角動量的定義：也稱為動量矩。也稱為動量矩。5.1 質(zhì)點的角動量定理質(zhì)點的角動量定理關(guān)于角動量關(guān)于角動量角動量與位矢有關(guān)角動量與位矢有關(guān), 位矢與參考點有關(guān)位矢與參考點有關(guān), 有相對性。有相對性。 談到角動量時談到角動量時必須指明必須指明是

3、對哪一是對哪一參照點參照點而言。而言。當(dāng)質(zhì)點作圓周運(yùn)動時，當(dāng)質(zhì)點作圓周運(yùn)動時，= / 2角動量大小為：角動量大小為：sinLmvrmvr 2mr 討論討論對于勻速圓周運(yùn)動，因速度的方向一直在改變，對于勻速圓周運(yùn)動，因速度的方向一直在改變，因而因而動量不守恒動量不守恒，但，但角動量是一個常矢量角動量是一個常矢量。在直角坐標(biāo)系中，角動量在各坐標(biāo)軸的分量為：在直角坐標(biāo)系中，角動量在各坐標(biāo)軸的分量為：()zyxLxPyP()yxzLzPxP()xzyLyPzPxyzijkLrPxyzPPP00 xyijkLrPxyPP當(dāng)質(zhì)點作一般平面運(yùn)動時，當(dāng)質(zhì)點作一般平面運(yùn)動時，角動量為：角動量為：()yxxPyP

4、 k質(zhì)點作直線運(yùn)動的角動量。質(zhì)點作直線運(yùn)動的角動量。質(zhì)點位置矢量的方向發(fā)質(zhì)點位置矢量的方向發(fā)生了變化生了變化轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動mvrsinLmvr 廣義的轉(zhuǎn)動：廣義的轉(zhuǎn)動：yzxopr L r當(dāng)質(zhì)點作勻速直線運(yùn)動時，當(dāng)質(zhì)點作勻速直線運(yùn)動時，v, r都都是不變的，角動量是常量。是不變的，角動量是常量。mvrsinLmvr Lmv rrPLmvrmvrsinLmvr 地球公轉(zhuǎn)（圓軌道）的角動量。地球公轉(zhuǎn)（圓軌道）的角動量。地球的軌道半徑是地球的軌道半徑是它的質(zhì)量是它的質(zhì)量是因此可得，它繞太陽的角速率因此可得，它繞太陽的角速率111.5 10 mR 246.0 10 kgm 地球每年地球每年運(yùn)動一周運(yùn)動一周(

5、365 )dT (2) rad 72.0 10 rad/s2(365 )(24)(3600)dh/ds/h 2 /T所以地球繞太陽公轉(zhuǎn)的角動量大小是所以地球繞太陽公轉(zhuǎn)的角動量大小是402.7 102kg m /s2411 27(6.0 10 )(1.5 10 ) (2.0 10 )2LmR 類比質(zhì)點的動量定理類比質(zhì)點的動量定理FdvmdtdPdmvdtdt考查質(zhì)點角動量考查質(zhì)點角動量的變化率：的變化率：LrmvdLdrmvdtdt（）()d mvdrrmvdtdtrFvmv dLMdt于是有于是有引起轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變的原引起轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變的原因是由于力矩的作用因是由于力矩的作用可見可見:rF令令 r

6、FM力矩力矩比較比較 dLMdt角動量定理的微分形式角動量定理的微分形式dPFdt00 ttMdtLL00ttFdtPP與動量定理在形式、結(jié)構(gòu)上一致。與動量定理在形式、結(jié)構(gòu)上一致。角動量定理的積分形式角動量定理的積分形式?jīng)_量矩沖量矩沖量沖量0 MrFsin MMrF 其中其中為為 和和 的夾角的夾角rF MrF rFsinMrF rFsinMFr r F力對某一固定點的力力對某一固定點的力矩的大矩的大小等于此力和小等于此力和力臂的乘積。力臂的乘積。F r 有心力對力心的力矩為零。有心力對力心的力矩為零。 在直角坐標(biāo)系中，力矩在各坐標(biāo)軸的分量為：在直角坐標(biāo)系中，力矩在各坐標(biāo)軸的分量為：關(guān)于力矩關(guān)

7、于力矩上式也稱為力對軸的力矩。上式也稱為力對軸的力矩。始終指向某一固定點的力叫有心力，該固定點為力心。始終指向某一固定點的力叫有心力，該固定點為力心。 xyzijkMrFxyzFFFxzyyxzzyxMyFzFMzFxFMxFyF討論討論 落體運(yùn)動中質(zhì)點對同一落體運(yùn)動中質(zhì)點對同一參照點的角動量和力矩參照點的角動量和力矩試問：企鵝從試問：企鵝從A做自由落體運(yùn)動的過做自由落體運(yùn)動的過程中，對于程中，對于O點的角動量為多少？點的角動量為多少？力偶矩力偶矩FFFF一對等大反向的力作用于對稱中心的力矩。一對等大反向的力作用于對稱中心的力矩。 2MRF 2MFdd質(zhì)點系的角動量是各個質(zhì)點對同一固定參照點質(zhì)

8、點系的角動量是各個質(zhì)點對同一固定參照點的角動量的矢量和。的角動量的矢量和。5.2 質(zhì)點系的角動量定理質(zhì)點系的角動量定理11nniiiiiLLrp研究方法：研究方法：先對每個質(zhì)點應(yīng)用角動量定理，然后先對每個質(zhì)點應(yīng)用角動量定理，然后對所有質(zhì)點求和。對所有質(zhì)點求和。對質(zhì)點對質(zhì)點i應(yīng)用角動量定理：應(yīng)用角動量定理：1,niiiiijjjidLMrFfdt對質(zhì)點系中所有質(zhì)點求和，則有對質(zhì)點系中所有質(zhì)點求和，則有11nniiiiLLLdtdtdtdddextintMM 11nniiiiiijjirFrffijfjirirjFiFjO1nintiijij iMrf 1nextiiiMrF iijjjiijij

9、rfrfrrfjiijff ijrrijfri-rjfijfjirirjFiFjO extdLMdt則有：則有：若質(zhì)點若質(zhì)點( (系系) )所受外力對某固定參照點的力矩矢量和所受外力對某固定參照點的力矩矢量和為零，則質(zhì)點為零，則質(zhì)點(系系)對對該固定點的角動量守恒。該固定點的角動量守恒。角動量守恒定律角動量守恒定律根據(jù)動量定理：根據(jù)動量定理： dLMdt若若 0 ML常常矢矢量量5.3 角動量守恒定律角動量守恒定律 質(zhì)點質(zhì)點( (系系) )所受的合外力為零；所受的合外力為零； 合力矩為零。合力矩為零。 在有心力的作用下在有心力的作用下, ,質(zhì)點質(zhì)點( (系系) )對力心的角動對力心的角動量都是

10、守恒的；量都是守恒的； 勻速直線運(yùn)動的質(zhì)點勻速直線運(yùn)動的質(zhì)點( (系系) )對任意固定點的對任意固定點的角動量都是守恒的。角動量都是守恒的。 討論討論用繩系一小球使它在光滑的水平面上做勻速率圓用繩系一小球使它在光滑的水平面上做勻速率圓周運(yùn)動，其半徑為周運(yùn)動，其半徑為 r0 ，角速度為，角速度為0 。現(xiàn)通過圓心?，F(xiàn)通過圓心處的小孔緩慢地往下拉繩使半徑逐漸減小。求處的小孔緩慢地往下拉繩使半徑逐漸減小。求(1) 當(dāng)半徑縮為當(dāng)半徑縮為 r 時的角速度；時的角速度；(2) 此力作功幾何？此力作功幾何？解：mr0rov以小孔以小孔 o 為原點為原點繩對小球的拉力為有心力，繩對小球的拉力為有心力，則小球?qū)t

11、小球?qū) 點的角動量守恒。點的角動量守恒。其力矩為零。其力矩為零。初態(tài)初態(tài)末態(tài)末態(tài)角動量守恒角動量守恒所以所以2000Lmr 2Lmr 2200mrmr2002rr根據(jù)動能定理，此力的功為：根據(jù)動能定理，此力的功為： 0()2200112rmvr2201122mvmv kWE可見，把質(zhì)點從較遠(yuǎn)的距離移到較近的距離過程可見，把質(zhì)點從較遠(yuǎn)的距離移到較近的距離過程中，若維持角動量守恒，必須對質(zhì)點做功。中，若維持角動量守恒，必須對質(zhì)點做功。星系的形狀可能與此有關(guān)。星系的形狀可能與此有關(guān)。星系（銀河系）的早期可能是具有角動量的大質(zhì)星系（銀河系）的早期可能是具有角動量的大質(zhì)量氣團(tuán)，在引力作用下收縮。軸向的

12、收縮不受什量氣團(tuán)，在引力作用下收縮。軸向的收縮不受什么阻礙，很快塌縮。徑向卻不那么容易，因而像么阻礙，很快塌縮。徑向卻不那么容易，因而像銀河系這樣的星系呈扁平狀。銀河系這樣的星系呈扁平狀。銀河系銀河系Here is 我們的太陽我們的太陽 仙女座星系仙女座星系(220萬光年萬光年)一顆地球衛(wèi)星，近地點一顆地球衛(wèi)星，近地點181km，速率，速率8.0km/s，遠(yuǎn)地點遠(yuǎn)地點327km，求衛(wèi)星在該點的速率。，求衛(wèi)星在該點的速率。解：角動量守恒角動量守恒近地點近地點11vr遠(yuǎn)地點遠(yuǎn)地點22vr則則2 21 1mv rmv r7.83km/s1212rvvr6370 1818.06370327且且Is t

13、he angular momentum of planet conservative about the other focus of orbit? Why?NO!1r1v2r2v這就是為什么彗星運(yùn)轉(zhuǎn)周期為幾十年，而經(jīng)過太陽這就是為什么彗星運(yùn)轉(zhuǎn)周期為幾十年，而經(jīng)過太陽時只有很短的幾周時間。彗星接近太陽時勢能轉(zhuǎn)換時只有很短的幾周時間。彗星接近太陽時勢能轉(zhuǎn)換成動能，而遠(yuǎn)離太陽時，動能轉(zhuǎn)換成勢能。成動能，而遠(yuǎn)離太陽時，動能轉(zhuǎn)換成勢能。在在低軌道上運(yùn)行的地球衛(wèi)星低軌道上運(yùn)行的地球衛(wèi)星由于大氣摩擦阻力對地由于大氣摩擦阻力對地心的矩不為零，其心的矩不為零，其對地心的角動量不守恒對地心的角動量不守恒。在此力。在此力矩的作用下，衛(wèi)星的角動量值不斷減小，最后隕落矩的作用下，衛(wèi)星的角動量值不斷減小，最后隕落地面。地面。角動量守恒是自然界的普遍規(guī)律角動量守恒是自然界的普遍規(guī)律從天體運(yùn)動到亞原子粒子的運(yùn)動，都未發(fā)現(xiàn)反例。從天體運(yùn)動到亞原子粒子的運(yùn)動，都未發(fā)現(xiàn)