平面向量專題整理復(fù)習(xí)

1、 教學(xué)內(nèi)容：知識(shí)點(diǎn)歸納 一. 向量的基本概念與基本運(yùn)算1向量的概念：向量：既有大小又有方向的量向量一般用來表示，或用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)的大寫字母表示，如：幾何表示法 ，；坐標(biāo)表示法 向量的大小即向量的模（長(zhǎng)度），記作|即向量的大小，記作 向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行零向量0 由于的方向是任意的，且規(guī)定平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行（共線）的問題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量”這個(gè)條件（注意與0的區(qū)別）單位向量：模為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量向量為單位向量1平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量任意一組平行向量都可以移到同

2、一直線上方向相同或相反的向量，稱為平行向量記作由于向量可以進(jìn)行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為大小相等，方向相同2向量加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法設(shè)，則+=（1）；（2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”：（1）用平行四邊形法則時(shí)，兩個(gè)已知向量是要共始點(diǎn)的，和向量是始點(diǎn)與已知向量的始點(diǎn)重合的那條對(duì)角線，而差向量是另一條對(duì)角線，方向是從減向量指向被減向量（2） 三角形法則的特點(diǎn)是“首尾相接”，由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的

3、有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)當(dāng)兩個(gè)向量的起點(diǎn)公共時(shí)，用平行四邊形法則；當(dāng)兩向量是首尾連接時(shí)，用三角形法則向量加法的三角形法則可推廣至多個(gè)向量相加：，但這時(shí)必須“首尾相連”3向量的減法 相反向量：與長(zhǎng)度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量記作,零向量的相反向量仍是零向量關(guān)于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互為相反向量，則=,=,+=向量減法：向量加上的相反向量叫做與的差，記作：求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法作圖法：可以表示為從的終點(diǎn)指向的終點(diǎn)的向量（、有共同起點(diǎn)）4實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，它

4、的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：（）；（）當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，方向是任意的數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律5兩個(gè)向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得=6平面向量的基本定理：如果是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使：，其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底7 特別注意:（1）向量的加法與減法是互逆運(yùn)算（2）相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件（3）向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況（4）向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線條的始

5、點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān)，只與其相對(duì)位置有關(guān)二. 平面向量的坐標(biāo)表示1平面向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量可表示成，由于與數(shù)對(duì)(x,y)是一一對(duì)應(yīng)的，因此把(x,y)叫做向量的坐標(biāo)，記作=(x,y)，其中x叫作在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)(1)相等的向量坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量(2)向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān)，只與其相對(duì)位置有關(guān)2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：(1) 若，則(2) 若，則(3) 若=(x,y)，則=(x, y)(4) 若，則(5) 若，則若，則3 向

6、量的運(yùn)算向量的加減法，數(shù)與向量的乘積，向量的數(shù)量（內(nèi)積）及其各運(yùn)算的坐標(biāo)表示和性質(zhì) 運(yùn)算類型幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì)向量的加法1平行四邊形法則2三角形法則向量的減法三角形法則向量的乘法是一個(gè)向量,滿足:>0時(shí),與同向;<0時(shí),與異向;=0時(shí), =向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)或時(shí),=0且時(shí),三平面向量的數(shù)量積1兩個(gè)向量的數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，則·=·cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積） 規(guī)定2向量的投影：cos=R，稱為向量在方向上的投影投影的絕對(duì)值稱為射影3數(shù)量積的幾何意義： ·等于的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積4向量的模與平方的關(guān)系：5乘法公式成

7、立： ；6平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律：交換律成立：對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：分配律成立：特別注意：（1）結(jié)合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：已知兩個(gè)向量，則·=8向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量與，作=, =,則AOB= （）叫做向量與的夾角cos=當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量與同方向時(shí)，=00，當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時(shí)=1800，同時(shí)與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題9垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作10兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：·O鞏固練習(xí)例1 給出下列命題： 若|，則=； 若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形ABC

8、D為平行四邊形的充要條件； 若=，=，則=，=的充要條件是|=|且/； 若/，/，則/，其中正確的序號(hào)是 例2 設(shè)A、B、C、D、O是平面上的任意五點(diǎn)，試化簡(jiǎn)：， 例3設(shè)非零向量、不共線，=k+，=+k (kÎR)，若，試求k例4 已知向量，且，求實(shí)數(shù)的值例5已知點(diǎn),試用向量方法求直線和（為坐標(biāo)原點(diǎn)）交點(diǎn)的坐標(biāo)例6已知兩單位向量與的夾角為，若，試求與的夾角例7 已知，按下列條件求實(shí)數(shù)的值 （1）；（2）；例8已知，且與夾角為120°求； ； 與的夾角。例9已知向量=，= 。求與； 當(dāng)為何值時(shí)，向量與垂直？ 當(dāng)為何值時(shí)，向量與平行？并確定此時(shí)它們是同向還是反向？例10已知=，

9、= ，=，設(shè)是直線上一點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)求使取最小值時(shí)的； 對(duì)（1）中的點(diǎn)，求的余弦值。例11在中，為中線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若 求：的最小值。平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使a=e1e2。如（1）若，則_（答：）；（2）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是 A. B. C. D. （答：B）；（3）已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為_（答：）；（4）已知中，點(diǎn)在邊上，且，則的值是_（答：0）2平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作：，即。規(guī)定：零向

10、量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量。如（1）ABC中，則_（答：9）；（2）已知，與的夾角為，則等于_（答：1）；（3）已知，則等于_（答：）；（4）已知是兩個(gè)非零向量，且，則的夾角為_（答：）3在上的投影為，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0。如已知，且，則向量在向量上的投影為_（答：）5向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量，其夾角為，則：；當(dāng)，同向時(shí)，特別地，；當(dāng)與反向時(shí)，；當(dāng)為銳角時(shí)，0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時(shí)，0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；非零向量，夾角的計(jì)算公式：；。如（1）已知，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是_（答：或且）；（

11、2）已知的面積為，且，若，則夾角的取值范圍是_（答：）；（3）已知與之間有關(guān)系式，用表示；求的最小值，并求此時(shí)與的夾角的大?。ù穑?；最小值為，）12、向量中一些常用的結(jié)論：（1）一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；（2），特別地，當(dāng)同向或有；當(dāng)反向或有；當(dāng)不共線(這些和實(shí)數(shù)比較類似).（3）在中，若，則其重心的坐標(biāo)為。如若ABC的三邊的中點(diǎn)分別為（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），則ABC的重心的坐標(biāo)為_（答：）；為的重心，特別地為的重心；為的垂心；向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；的內(nèi)心；（4）向量中三終點(diǎn)共線存在實(shí)數(shù)使得且.如平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)

12、，已知兩點(diǎn),若點(diǎn)滿足,其中且,則點(diǎn)的軌跡是_（答：直線AB）已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，且，則點(diǎn)O，N，P依次是的 （A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 內(nèi)心 （C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 內(nèi)心在四邊形ABCD中，=（1，1），則四邊形ABCD的面積是 設(shè)斜的外接圓圓心為，兩條邊上的高的交點(diǎn)為，則實(shí)數(shù)= 。 O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則P的軌跡一定通過的（ ）A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心（四）向量與解析幾何在解析幾何中，熟練掌握下列結(jié)論，有助于更好地運(yùn)用向量：（1）A、B、C三點(diǎn)共線等價(jià)于存在實(shí)數(shù)，使得（）；（2）的重心G的坐

13、標(biāo)公式為（3）直線的方向向量是什么？ 給定兩點(diǎn)：，那么，這也就是方向向量，橫坐標(biāo)單位化，得：，也就是說：直線的方向向量是，直線的法向量是例如：已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足，（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程 （2）設(shè)、是軌跡上的兩點(diǎn)，若，求直線的方程體驗(yàn)練習(xí)題一：一、選擇題1已知平面向量a= ，b=， 則向量( )A平行于軸 B平行于第一、三象限的角平分線 C平行于軸 D平行于第二、四象限的角平分線 2一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài)已知，成角，且，的大小分別為2和4，則的大小為( )( A 6 B 2 C D 3設(shè)P是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，則（）A B C

14、 D4設(shè)向量，滿足：，以，的模為邊長(zhǎng)構(gòu)成三角形，則它的邊與半徑為的圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為 ( ) . A B C D5已知，向量與垂直，則實(shí)數(shù)的值為（ ） （A） （B） （C） （D）6 8在平行四邊形中，與交于點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)若，則（ ）ABCD7 3已知平面向量，且/，則（ ）A、 B、 C、 D、8 5已知平面向量，與垂直，則是( )A 1 B 1 C 2 D 29 4若向量滿足，與的夾角為，則( ) A B C D210已知平面向量，則向量( ) 11在直角中，是斜邊上的高，則下列等式不成立的是( )（A） （B） （C） （D） 12已知向量，若與垂直，則( )A B

15、 C D4二、填空題1若平面向量，滿足，平行于軸，則 2已知向量和向量的夾角為，則向量和向量的數(shù)量積= 3已知向量和的夾角為，則 4已知向量，且，則= 5設(shè)O、A、B、C為平面上四個(gè)點(diǎn)，且，則_6在平行四邊形中，與交于點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)若，則_（用表示）7. 設(shè)向量，（1）若與垂直，求值；（2）求的最大值；（3）若，求證：.8已知向量和，且求的值.體驗(yàn)練習(xí)題二：一、選擇題：1若向量a =（1，2），b =（1，-3），則向量a與b的夾角等于（ ） A B C D 2在平面直角坐標(biāo)系中作矩形,已知,則·的值為（ ）A 0 B 7 C 25 D3向量,的夾角為120

16、6;，2，則·（）等于（ ）A B 2 C D 64已知向量，|1，對(duì)任意實(shí)數(shù)t，恒有|t|，則（ ）A B() C() D()()5已知，向量與垂直，則實(shí)數(shù)的值為（） （A） （B） （C） （D）6已知向量，如果，那么( ) A且與同向 B且與反向 C且與同向 D且與反向7已知向量a、b不共線，cabR),dab,如果cd，那么（ ） A且c與d同向 B且c與d反向 C且c與d同向 D且c與d反向二填空題：8已知向量若向量，則實(shí)數(shù)的值是 ； 9設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量 將繞著點(diǎn) 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 得到向量 , 則的坐標(biāo)為_10設(shè)集合平面向量，定義在上的映射，滿足對(duì)任意x，均有(x)

17、=x（R且）若a= b 且a、b不共線，則( a) (b)（a+b）=_；若，且，則_11若把函數(shù)的圖象按向量平移，得到函數(shù)的圖象，則向量的坐標(biāo)為 12設(shè)向量則的最大值為 _13已知向量，如果，那么( ) A且與同向 B且與反向 C且與同向 D且與反向14已知向量a、b不共線，cabR),dab,如果cd，那么（ ） A且c與d同向 B且c與d反向 C且c與d同向 D且c與d反向三、解答題：15四邊形中， （1）若，試求與滿足的關(guān)系式；（2）滿足（1）的同時(shí)又有，求的值及四邊形的面積。16 在直角坐標(biāo)平面中，已知點(diǎn)，其中是正整數(shù)，對(duì)平面上任一點(diǎn)，記為關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，為關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，為關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).（1）求向量的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)在曲線C上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是函數(shù)的圖象，其中是以3為周期的周期函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.求以曲線C為圖象的函數(shù)在上的解析式；（3）對(duì)任意偶數(shù)，用表示向量的坐標(biāo).解析：因?yàn)?（1，1）,所以四邊形ABCD為平行四邊形,所以 則四邊形ABCD的面積為解法一：=由已知,得又，。