第24課正方形(解析版)-2021年中考數(shù)學(xué)學(xué)霸必刷測(cè)評(píng)卷(專(zhuān)題+綜合)

1、2021年中考數(shù)學(xué)學(xué)霸必刷測(cè)評(píng)卷（專(zhuān)題+綜合）第五單元四邊形第24課：正方形一.選擇題（共7小題）1.如圖，已知正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)M和N分別從8、C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿BC、。向終點(diǎn)C、。運(yùn)動(dòng)，連接AM、BN，交于點(diǎn)P,連接PC,則PC長(zhǎng)的最小值為（）A. 26-2 B. 2 C. 3-1 D. 2亞【解析】由題意得：BM =CN,四邊形A38是正方形,.,.ZABM = 4BCN = 90。, AB = BC=4,在和MCN 中，/止= 5C，ZABM=ZfiGV, MB = CN ,J. AABM dBCN(SAS), , ,"AM =ZCBN ,ZA8P+NC8N

2、=90。，.ZABP+Z/W=90% .ZAPB = 90。，.,.點(diǎn)在以A8為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓心為O,運(yùn)動(dòng)路徑一條弧6G,是這個(gè)圓的;，如圖所示:連接X(jué)交圓。于P，此時(shí)PC最小,.AB=4,OP = OB = 2.由勾股定理得：OC =巧孑= 2", . PC = OC -OP = 2下一 2 ；故選：A.2 .如圖，若正方形ABC。的邊長(zhǎng)為14,正方形/Z的邊長(zhǎng)為2,則正方形EFG的邊長(zhǎng)為(A. 6 B. 8 C. 10D. 12【解析】由圖可得，SMa/ 4-S,W£ + SAccr + SG = sWJE +S®F +S&7.G +Sm設(shè) Sg

3、a/ + S、BFE + S&CGF + SgttG = Smje + Smkf + S.VLG + S&GH = x則 ScG”=S正方形4BC0 X = S正方形UKL +x即 196X = 4+X,解得x = 96,S正方影£«； = 196 96 = 100，.正方形EFG4的邊長(zhǎng)為10, 故選：C.3 .如圖，在正方形ABC。中，頂點(diǎn)A(_l,0), C(1.2),點(diǎn)尸是8C的中點(diǎn)，CD與)，軸交于點(diǎn)£, AF與BE交于點(diǎn)G.將正方形A5CQ繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°,則第99次旋轉(zhuǎn)結(jié)束:時(shí)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為(【解析】四邊形&

4、quot;8是正方形，. AB = BC = CD = 2, NC = ZABF = 90°,點(diǎn)尸是8C的中點(diǎn)，8與y軸交于點(diǎn)E,CE = BF = 1, ,AABFABCE(SAS)， ,ABAF =CBE，/84尸 + /"4 = 90°, ,ZFBG+ZBFG=90°, ,ZBGF = 90°, .BE ± AF，口A(yíng)B.BF _ 2" oCz =,.N3"G = NAG3 = 90。， ,2HBG = ZABG,ABGsdGBH ,BG BHO/7=|/OG AB 1 , 2.HG = 4OGOH2 = 4

5、5.,將正方形ABC。繞點(diǎn)。順時(shí)針每次旋轉(zhuǎn)90。,第一次旋轉(zhuǎn)90°后對(duì)應(yīng)的G點(diǎn)的坐標(biāo)為（士,-） 55 第二次旋轉(zhuǎn)90。后對(duì)應(yīng)的G點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1， 第三次旋轉(zhuǎn)90。后對(duì)應(yīng)的G點(diǎn)的坐標(biāo)為（-（，I）, 第四次旋轉(zhuǎn)90。后對(duì)應(yīng)的G點(diǎn)的坐標(biāo)為W，.， 99 = 4x24+3，.每4次一個(gè)循環(huán)，第99次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，相當(dāng)于正方形A5CD繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)3次, .,.第99次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（-（，|）.4.如圖，M、N是正方形ABCO的邊CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足= 連接AC交8V于點(diǎn)£,連接。上交4時(shí)于點(diǎn)F,連接CF,若正方形的邊長(zhǎng)為2,則線(xiàn)段C尸的最小值是（）A. 2 B.

6、 1 C. x/5-1 D. >/5-2【解析】在正方形ABC。中，AD = BC = CD, ZADC = ZBCD, 4DCE = ZBCE,在 RtAADM 和 RtABCN 中，AD = BCAM = BN '. RtAADM RtABCN(HL) , .N1 = N2,在A(yíng)DCE和MCE中， BC=CD乙 DCE = ZBCE , CE=CE.ADCE 2 ABCE(SAS),/.Z2 = Z3,/.Z1=Z3».NAPF+N3 = "DC =90。，.Nl+“QF=90。，/.ZAro = 180°-90o=90°,取4。的中點(diǎn)

7、O，連接OF、OC,則。尸 do Lad i, 2在 RtAODC 中，OC =4 DO2 +DC2 =/2 S =5 根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OF+CF>OC,.當(dāng)。、F、C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，CF的長(zhǎng)度最小， 最小值= 00-0尸=/一1 .5.如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)= 8,七為平而內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且4£ = 4,廣為8上一點(diǎn)，CF = 2,連接£尸，ED ,則E尸+E。的最小值為（）A. 672 B. 4 C. 45/2 D. 6【解析】如圖，當(dāng)點(diǎn)£運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)七，時(shí)，"十我的值最小，最小值為如雪，,在A(yíng)O邊上取4 =2, A£ = A£

8、 = 4, AEf3, 2 , AH AD = 8,A。 o 1 7F 2,AD AEf, ,記 777'/DAE'=AE'AH ,DE'.:2，/. E，H =LdE'2.EF + -ED EF + -ErD EF + EfH HF , 22.ef + ged的最小值為尸的值， 2.DH = ADAH=6,DF = DC-CF = 6,在RlADHF中，根據(jù)勾股定理，得HF = yDH2 + DF2 = 65/2 , 故選：A.6.如圖，等邊歷。與正方形OEFG重疊，其中0、£兩點(diǎn)分別在48、BC上,且BD = BE .若AB = 6,DE

9、=2,則aEFC的面積為（）B'e CA. 1 B. 2 C. 2JJ D. 4【解析】過(guò)F作尸Q_L8C于。，則NW2E = 90。,ABC是等邊三角形，AB = 6, .BC = AB = 6, N8 = 600, ；BD = BE, DE = 2,.ABED是等邊三角形,且邊長(zhǎng)為2, BE = DE = 2, ZB£D = 60°,.CE = BCBE = 4, .四邊形。ERG是正方形，DE = 2, .EF = DE = 2, QEF =9Q°,.ZFEC = 180° - 60° - 90。= 30。，cf = |ef =

10、i,：.AEFC 的面積為 gxCEx F0 = ix4xl = 2,故選：B .7.如圖，正方形ABCO和正方形OEFO的頂點(diǎn)A , E ,。在同一直線(xiàn)/上，且EF = 20,AB = 6,給出 下列結(jié)論： AE=10,/COD = 45。,ACOF的面積S&cof = 6，CF=BD = 2厲,其中正確的是（A. B. C. D.【解析】.瓦' =2"，：.OE = 4,AO=AB = 6t.AE = AO+QE = 6+4 = 10，故正確：ZAOC = 90°, ZZX?E = 45° ,：/CQD = 180°_ZAOC_ZDO

11、E=45。，故正確：作FG_LCO交CO的延長(zhǎng)線(xiàn)于G，則尸G = 2,：.,COF 的面積 Sac8 = 1x6x2 = 6 ,故正確：作DHtAB于H ,CF = 2?+(6 + 2尸=2717 ,BH =6-2=4,£> = 6+2 = 8, 80 =1自+器=4/,故錯(cuò)誤.故選：A.二.填空題（共5小題）8.如圖，矩形ABC。中，4） = 5, AB = 7，正方形的頂點(diǎn)M , N分別在矩形的邊A8 , BC上,點(diǎn)£為8上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于A(yíng)E對(duì)稱(chēng)時(shí)，小的長(zhǎng)為底蟾【解析】如圖，連接E。，A。，延長(zhǎng)交。C于點(diǎn)P,.正方形MBM7的頂點(diǎn)M , N分別在矩形的邊A

12、8, 8c上，點(diǎn)£為ZX?上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。與點(diǎn)。關(guān)于八七對(duì)稱(chēng)，,設(shè) MDnND'nBMnx,：,AM = AB-BM=7-x9又折疊圖形可得AO= 4/=5,二寸+（7一工）2=25,解得x = 3或4,即用。=3或4.在RtaEPD中，設(shè)七。=，當(dāng)M0 = 3時(shí)，AW = 7-3 = 4，DT = 53=2, EP=4a，./=22+(4。)2,解得n = J,即OE = °, 22當(dāng)A/Z7=4時(shí)，AW = 74 = 3, DP = 54 = 1, EP = 3a, ./ = F+(3-a)2,綜上所述:叱的長(zhǎng)為:鴻.故答案為:I或|.9.正方形ABC。中，點(diǎn)&

13、#163;、尸分別在邊5C、C。上，AEJ.8廣于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)卜作AE的平行線(xiàn)，交A。于11AM ,則尸G的長(zhǎng)為5.2.2.,ADUBC, /B = BC = CD = DA9 ZABE = "CE =90。, ,.ZABG+"BE=90。,AE±BF.NAG尸= 90°,;.ZBA£+ZABG = 90°,. ./BAG = /FBE.在和ACBF中，NBAE = ZCBF AB = BC , ZABE = ZBCF .BAE2CBF(ASAA.BE = CF，, .BC-BE = CDCF,.CE = DF,: AMUEN , AE

14、/MN ,二.四邊形心弦是平行四邊形, 13 AM EN ,2設(shè) DM = a ,則 BC = AD CDFn ,2：CN = 3DM . = %,/. EC EN-CN -3a , 2 DF 3。，21313/tCF = CDDF = -a-(-3a) = 4a , 22：ADI/BC,. ,MDFs 州CF,DF _ DM _解得V, BC + 8, 2CF = BE = 4/ = 6,/. BF = >BC2+CF2 = 782 +62 = 10 ,AE±BF 9 .ZBGE = "CF=90。，4GBE = ZCBF , ,WGEsBCF .BG BE .正二

15、布BG 6=，810BG = 4.8，.FG = BF_BG = 10_4.8 = 52故答案為：5.2.10.如圖，正方形ABC。中，點(diǎn)£、F分別在BC、C。上，連接AE、EF、AF,過(guò)點(diǎn)尸作AE的平行線(xiàn)1交AQ于點(diǎn)G,連接EG,且七G, A/，若BE = 2DG,則tan/莊C= 二 -4【解析】如圖，作BH/EG交AD于H ,交AF,于M.設(shè) Z)G = x,則 BE=2QG = 2x,.ABC。是正方形，：.AB = BC = CD = DA AD/BC, AB/CD, ZABC = ABCD = Z.CDA = ZBAD,:ZAEB = z£AD，BEGH是平行四

16、邊形，GH = BE = 2x,：.DH=GH+DG=3x ,:GFHAE,1. ZFGD = AEAD， .ZAEB = ZFGD,:dFGDMEB,DF DG "R4 正 5'設(shè)。/=，則 A8 = 2y = AO, /ZABH + ZB/W = ABAM + ADAF = 90°,二 ZABH=ZDAF,在dABH和中：ZABH = ZDAFAB = DANBAH = ZADF .AABH/DAF(ASA),：,AH = DF = y, ，DH=CF = y,/.y = 3x>tan ZFEC =CF _ y C£ - 2y-2.x3x _34

17、x-4故答案為：411 .如圖，正方形ABC。的對(duì)角線(xiàn)AC上有一動(dòng)點(diǎn)P ,作RV_LCD于點(diǎn)N,連接8P , BN ,若AB = 3, BP=# ,則bn的長(zhǎng)為_(kāi) vngcVTo【解析】延長(zhǎng)NP交A8于“，;四邊形A3C。為正方形， ;.Zfi4C = 90°, ABI/CD,. PNLCD,. .PN工AB, .41AP = 41PA=45。, .AH = PH ,設(shè) AH = PH=x,則 3H = 3x,在 RLiXPBH 中，PB2=PH2+BH2. .r + (3 刈2=(后，解得x=l或2, 當(dāng) x=l 時(shí)，BH = CN = 2,在 RLABCN 中，BN = >

18、BC2+CN2 = >/324-22 = V13 ： 當(dāng)x=2時(shí)，BH = CN = 1,在RUXBCN中，BN=QbC? + CN2 =匯+/ =加.故答案為疝或屈.12.如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABC。中，七，F(xiàn)分別為線(xiàn)段BC, 8上的點(diǎn)，且AEF為正三角形，則“l(fā)EF 的面積為_(kāi)2力一3_.【解析】.,四邊形A3C。是正方形，/.ZB = ZD = 90°, AB = AD >尸是等邊三角形，：.AE=EF = AF.AF = AF在 RtAABE 和 RtAADF 中，AB = AD,RtAABE RtAADF(HL),.,.BE = DF,.CE = CF,設(shè)=

19、 那么OF = x, CE = CF = -x,在 RtAABE 中，AE'AB'BE：在 RtACEF中，F(xiàn)E2 = CF2+CE2,.AB2 +BE2 =CF2 +CE2 9：.x2 + = 2(-x)2,/.x2 -4x + l =0 ,.t = 2±6 而x<1,/.a = 2-73，即BE的長(zhǎng)為=2-#,.CE = CF = >/3-I.AA£F 的面積二 lxl-2xlxlx(2->/3)-y(-l)2 = 20-3 ,故答案為：2/-3.E三.解答題（共3小題）13.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1, G為C£邊上一動(dòng)

20、點(diǎn)（點(diǎn)G與C、。不重合），以CG為一邊向正方形ABC。外作正方形GCEF,連接。上交3G的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H .求證：dBCG慳DCE；BH LDE.【解析】證明：(1)在正方形ABCO中，ZBCG = 90°, BC = CD在正方形GCEF 中，ZDCE=90。，CG=CE在MCG和MCE中，BC= DC2BCG = NDCE ,CG = CE.ABCG DCE(SAS)(2) . BCG tDCE，.ZCBG = 4CDE,"CDE+ZDEC = 90。"CBG+ZDEC = 90。：.ABHD=90Q;BH 工DE;14 .在正方形ABC。中，點(diǎn)后為CD中點(diǎn)，連

21、接A£并延長(zhǎng)交3C延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,點(diǎn)尸在3c上，NE4£ = zmE， 連接FE并延長(zhǎng)交AD延長(zhǎng)線(xiàn)于H ,連接G.（1）求證：四邊形AFG”為菱形：（2）若DH = l,求四邊形AEG的面積.【解析】（1）證明：:四邊形A88是正方形,.ADHBC,ADAE = AFGA,. /FAE = ZDAE,/FGA = ZFAE,. FA = FG,.點(diǎn)E為CD中點(diǎn),.DE = CE,ZADE = /GCE=90。,在A(yíng)ADE和AGCE中,NDAE = ZEGC ZADE = Z.GCE, DE=CE /.AADEAGCE(A4S),.AD = CG,同理：ADEHACEF(AAS

22、),;DH=CF,.AH = AD+DH, GF = CG+CF,. .AHI/FG,AH/FG,二.四邊形AFG”為平行四邊形，F(xiàn)A = FG,四邊形赤汨為菱形：(2)解：FC = DH=1， 設(shè) AB = AD = A' 由(1)知 FC = OH = 1,AF = AH = ADDH=x+,BF = BCFC=xl,在RLXABF中，根據(jù)勾股定理，得AF2 =AB2+BF2，/.(x + I)2=x2+(x-l)S解得x = 4, x = 0 (舍去)，/.AF = FG =x4-1 =5 y.菱形"G的面積為：FGDC=5x4 = 20.15.在四邊形ABC。中，對(duì)角線(xiàn)AC、8。相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O的兩條直線(xiàn)分別交邊A8、CD、40、BC于 點(diǎn) £、 F、G、H .【感知】如圖，若四邊形ABC。是正方形，且AG = 3E = a/=Z)F，則與妨一詠=-5：【拓展】如圖，若四邊形ABC£是矩形，且池