《分部積分法》ppt課件

1、第三節(jié)第三節(jié) 分部積分法分部積分法 問題：問題： xdxxcos? 用前面講過的方法，都不行。用前面講過的方法，都不行。怎樣積？怎樣積？用分部積分法。用分部積分法。定理定理 分部積分公式）分部積分公式）則有則有都有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，都有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，若若( )(),( vduuvudvxvvxuu證證 )(uvuvvu uvvuuv)( 兩邊積分，得兩邊積分，得 dxuv dxuv)( vdxu uv vdxu即即 vdxuuvdxuv dxvuuvdxuv即即 vduuvudv例例1 xdxxcos分析：分析：?,vu怎怎樣樣選選xu xdxdvcos 或或xucos xdxdv 選哪一種？選哪一種

2、？12假設(shè)選假設(shè)選2，xucos xdxdv v22x xdxxcos xdxx cos )2(cos2xxd 2 cos2xx )(cos22xdx 2cos2xx xdxx sin212積分更繁了！積分更繁了！例例1 xdxxcos解解xu xdxdvcos vxsin xdxxcosxxsin xdxsin xxsin )cos(x C Cxxx cossin注：注：熟練后，也可不寫出熟練后，也可不寫出vu, )(sin xxd 例例2 dxxex解解xu dxedvx vxe dxxexxxe dxex xxe xeC )(xexd 例例3 dxexx22解解2xu dxedvx2 v

3、xe221 dxexx22xex2221 )(2122 xdex xex2221 xdxex2212 )21(22xedx dxxeexxx22221xu dxedvx2 vxe221 xex2221 )21(2xexd xex2221 )21(2xexd xex2221 xxe221()212dxex xxxeex2222121 dxex 221 xxxeex2222121 21xe221C Cexeexxxx 2222412121規(guī)律：規(guī)律：在計算形如在計算形如)0( ,cos ,sin , knkxdxxkxdxxdxexnnkxn正整數(shù)，正整數(shù)，這里這里的積分時，選的積分時，選nxu

4、剩余部分為剩余部分為dv例例4 xdxxln解解xuln xdxdv v221x xdxxlnxx ln212 )(ln212xdx xx ln212 dxxx1212 )21(ln2xxd xx ln212dxx 21 xx ln212 22121xC Cxxx 2241ln21例例5 xdxxarctan解解xuarctan xdxdv v221x xdxxarctanxx arctan212 )(arctan212xdx xx arctan212 dxxx221121 )21(arctan2xxd xx arctan212dxxx 2211)1(21 xx arctan212 dxx)1

5、11(212 xx arctan212)arctan(21xx C Cxxxx arctan2121arctan212例例6 xdxarccos解解xuarccos dxdv vx xdxarccosxxarccos )(arccos xxd xxarccos dxxx)11(2 xxarccos)1(112122xdx xxarccos21212x C Cxxx 21arccos規(guī)律：規(guī)律：在計算形如在計算形如)0( ln , cot , arctan , arcsin , arccos knxdxxkxdxarcxkxdxxkxdxxkxdxxnnnnn正整數(shù)，正整數(shù)，這里這里的積分時，選

6、的積分時，選xkxarckxkxxuln,cot,arctan,arcsin,arccos 剩余部分為剩余部分為dv例例7 xdxexsin解解xeu xdxdvsin vxcos xdxexsinxexcos )()cos(xedx xexcos dxexx )cos( )cos(xdex xexcosdxxex cosxeu xdxdvcos xvsin )(sincosxdexexx xexcos )(sinsin xxexdxe dxexxexexxx sinsincos xdxexexexxxsin sincos xdxexsin)sincos(21xexexx C 注注在上例中在上

7、例中,用了兩次分部積分公式后用了兩次分部積分公式后,等式右等式右端出現(xiàn)了端出現(xiàn)了 與等式左端一樣的積分與等式左端一樣的積分,但符號相反但符號相反.這種情形稱為循環(huán)這種情形稱為循環(huán).例例8dxx 3sec xdxx2secsec )(tansecxxd )(sectantansecxxdxx xdxxxxxtansectantansec dxxxxx sectantansec2 dxxxxx sec)1(sectansec2 dxxxdxxx secsectansec3 |tansec|lnsectansec3xxxdxxx 循環(huán)循環(huán) xdx3sec|)tansec|lntan(sec21xxx

8、x C 例例9)( ,)(122為正整數(shù)為正整數(shù)求求ndxaxInn 解解dxaxInn )(122)(1)(2222nnaxdxaxx dxxaxnxaxxnn2)(1)(12222 dxaxnxaxxnn122222)(2)( dxaxxnaxxnn122222)(2)( dxaxaaxnaxxnn12222222)()(2)( dxaxnadxaxnaxxnnn12222222)(12)(12)(122222)( nnnInanIaxx即即122222)( nnnnInanIaxxI)12()(212221nnnInaxxnaI ,.)2 , 1( n遞推公式遞推公式例如例如,1時時 n由遞推公式得由遞推公式得)112()(12111222112IaxxaII )(211222Iaxxa dxaxI 2211由于由于Caxa arctan1 2ICaxaaxxa )arctan1(21222例例10dxx sinxt 令令 td