工程力學(xué) 壓桿穩(wěn)定

1、Dec 12, 2014壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定性的概念壓桿穩(wěn)定性的概念2壓桿穩(wěn)定性的概念壓桿穩(wěn)定性的概念3軸向拉壓桿的強度失效軸向拉壓桿的強度失效塑性材料塑性材料 lims，過大塑性變形，過大塑性變形脆性材料脆性材料 lim b，斷裂，斷裂相應(yīng)的強度條件相應(yīng)的強度條件 nAFlimN 只適用于拉桿和只適用于拉桿和“粗短粗短”的壓桿。的壓桿。對于對于“細長細長”的壓桿，失效的形式與上述強度失效不同。的壓桿，失效的形式與上述強度失效不同。F直桿受壓變彎的現(xiàn)象，稱為失穩(wěn)。直桿受壓變彎的現(xiàn)象，稱為失穩(wěn)。 壓桿的一種失效形式。壓桿的一種失效形式。壓桿穩(wěn)定性的概念壓桿穩(wěn)定性的概念4在工程實際中，其它構(gòu)件

2、也需要考慮穩(wěn)定問題。本章只討論直桿的穩(wěn)定問題。 實際中，很多構(gòu)件需要考慮穩(wěn)定性 壓桿穩(wěn)定性的概念壓桿穩(wěn)定性的概念當外力超出一定范圍時，平衡形式也會發(fā)生變當外力超出一定范圍時，平衡形式也會發(fā)生變化化失去穩(wěn)定性。失去穩(wěn)定性。5平衡的穩(wěn)定性平衡的穩(wěn)定性小球原有的平衡小球原有的平衡具有穩(wěn)定性。具有穩(wěn)定性。小球原有的平衡不小球原有的平衡不具有穩(wěn)定性。具有穩(wěn)定性。平衡是穩(wěn)定的平衡是穩(wěn)定的平衡是不穩(wěn)定的平衡是不穩(wěn)定的隨遇平衡隨遇平衡6壓桿的穩(wěn)定性：壓桿的穩(wěn)定性：指壓桿受軸向壓力后，其直線平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。指壓桿受軸向壓力后，其直線平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。（1）PPcr壓桿失效壓桿失效P壓桿原有的直線平壓桿原有的直

3、線平衡形式是穩(wěn)定的。衡形式是穩(wěn)定的。壓桿具有穩(wěn)定性壓桿具有穩(wěn)定性（2）PPcr壓桿穩(wěn)定性的概念壓桿穩(wěn)定性的概念7由上述討論得：由上述討論得：8細長壓桿的臨界載荷細長壓桿的臨界載荷 歐拉公式歐拉公式一、兩端鉸支細長壓桿的臨界載荷PPxyyxABPPxyMMPy 代入撓曲線近似微分方程代入撓曲線近似微分方程EIyM( x )Py 令令2PkEI 20yk y 該微分方程的通解為該微分方程的通解為式中式中A、B為積分常數(shù)為積分常數(shù)桿的邊界條件桿的邊界條件代入通解得代入通解得yAsinkxBcoskx00 xy0 xly B B0 0Asinkl 0A00sin kl.3 , 2 , 1 nnkl 2

4、22nEIPl nyAsinxl 利用撓曲線微分方程求臨界載荷。利用撓曲線微分方程求臨界載荷。9 兩端鉸支、細長壓桿，處于臨界狀態(tài)。利用撓曲線微分兩端鉸支、細長壓桿，處于臨界狀態(tài)。利用撓曲線微分方程求臨界載荷。方程求臨界載荷。C1 2l2lPPxyAByx222nEIPl nyAsinxl 1、n=0，沒有意義。，沒有意義。2、n=2、3時，撓曲線如圖。時，撓曲線如圖。n=2n=3中間沒有支座，壓桿不會中間沒有支座，壓桿不會彎成這種形狀。彎成這種形狀。3、臨界載荷是壓桿失穩(wěn)的最臨界載荷是壓桿失穩(wěn)的最 小力。小力。n只能等于只能等于1。22crEIPl 4、撓曲線方程撓曲線方程yAsinxl A

5、為撓曲線中點的撓度。為撓曲線中點的撓度。1011.2.211.2.2其他約束情況下細長壓桿的臨界載荷其他約束情況下細長壓桿的臨界載荷推導(dǎo)方法：推導(dǎo)方法：仿照兩端鉸支、細長壓桿的臨界載荷的推導(dǎo)方法，利用微仿照兩端鉸支、細長壓桿的臨界載荷的推導(dǎo)方法，利用微分方程推導(dǎo)。分方程推導(dǎo)。22crEIP(l ) 細長壓桿的臨界載荷公式。細長壓桿的臨界載荷公式。（歐拉公式）（歐拉公式） 為長度因數(shù)，為長度因數(shù)， l為相當長度。為相當長度。1、PcrEI2、桿端約束越強，、桿端約束越強，Pcr越大。越大。1122crEIP(l ) 細長壓桿的臨界載荷公式。細長壓桿的臨界載荷公式。 若桿在不同的縱向平面內(nèi)約束相同

6、，計算臨界載荷時取若桿在不同的縱向平面內(nèi)約束相同，計算臨界載荷時取Imin。因為。因為隨著軸向壓力增大，壓桿總是在抗彎能力差的縱向平面內(nèi)彎曲。隨著軸向壓力增大，壓桿總是在抗彎能力差的縱向平面內(nèi)彎曲。xyzyzlyzbh例例11-1 細長壓桿細長壓桿，材料，材料Q235，l=4m ,b=50mm,h=150mm，E=200GPa，求臨界載荷。，求臨界載荷。解：解：1141562500mm 232200 1015625001925704000crPN() 若桿在不同的縱向平面內(nèi)約束不相同，分別若桿在不同的縱向平面內(nèi)約束不相同，分別計算臨界載荷取較小的值。計算臨界載荷取較小的值。3min501501

7、21 IIPP12壓桿分類壓桿分類 歐拉公式適用范圍歐拉公式適用范圍11.3.1臨界應(yīng)力：臨界狀態(tài)時壓桿橫截面上的應(yīng)力。臨界應(yīng)力：臨界狀態(tài)時壓桿橫截面上的應(yīng)力。 22crcrPEIAlA AIi 慣性半徑慣性半徑柔度：柔度：il 22 Ecr 臨界應(yīng)力：臨界應(yīng)力： 222ilE 關(guān)于柔度（長細比）：關(guān)于柔度（長細比）：1、無量綱。綜合反映了桿長、無量綱。綜合反映了桿長、約束約束、截面形狀與幾何尺寸對、截面形狀與幾何尺寸對Pcr的影響。的影響。2、相同材料制成的壓桿，穩(wěn)定性取決于相同材料制成的壓桿，穩(wěn)定性取決于 。 大，穩(wěn)定性差。大，穩(wěn)定性差。3、在不同的縱向平面內(nèi)約束、慣性矩不相同，在不同的縱

8、向平面內(nèi)約束、慣性矩不相同， 則則 不同，不同，計算臨界計算臨界載荷（應(yīng)力）時，取較大的載荷（應(yīng)力）時，取較大的 值。值。4、若要使壓桿在不同的縱向平面內(nèi)穩(wěn)定性相同，應(yīng)使若要使壓桿在不同的縱向平面內(nèi)穩(wěn)定性相同，應(yīng)使2211ilil 13歐拉公式的適用范圍歐拉公式的適用范圍 大柔度桿（細長桿）大柔度桿（細長桿）歐拉公式歐拉公式MyEI EIM 1 EP 彈性范圍：彈性范圍：所以：所以：PcrE 22從而：從而：PE 2 對于對于A3鋼（鋼（Q235）E200GPa，P200MPa。PE 2100P 對于用對于用A3鋼（鋼（Q235）制成的壓桿，當）制成的壓桿，當 大于大于100 時才可用歐拉公式

9、計算臨界載荷。時才可用歐拉公式計算臨界載荷。當當 大于大于 P時才可用歐拉公式計算臨界載荷。時才可用歐拉公式計算臨界載荷。由此可見：由此可見：稱稱 大于大于 P的壓桿為細長桿或大柔度壓桿。的壓桿為細長桿或大柔度壓桿。14壓桿分類、臨界應(yīng)力總圖壓桿分類、臨界應(yīng)力總圖 實際中實際中的壓桿，的壓桿， 往往小于往往小于 P。 當當 P，歐拉，歐拉公式不成立。材料進入彈塑性階段，此時的穩(wěn)定問題屬于公式不成立。材料進入彈塑性階段，此時的穩(wěn)定問題屬于彈塑彈塑性穩(wěn)定性穩(wěn)定。臨界應(yīng)力常常采用。臨界應(yīng)力常常采用： bacr a、b為材料常數(shù)，單位為材料常數(shù)，單位MPa.對于對于Q235 12. 1304 cr 為

10、實際壓桿的柔度，仍由為實際壓桿的柔度，仍由 計算。計算。il 由由 知，知， 越小越小， ， cr越大。當越大。當 小于某值時，小于某值時， bacr scr 壓桿的強度不允許。壓桿的強度不允許。15scrba 所以，直線公式當所以，直線公式當成立。成立。即即bas s 材料常數(shù)材料常數(shù)因此，因此，當當 S P 時可以用直線公式。時可以用直線公式。ssa.b. 30423561 61 12對于對于A3鋼（鋼（Q235）s235MPa。 12. 1304 cr稱稱 s P 的桿為的桿為。壓桿分類、臨界應(yīng)力總圖壓桿分類、臨界應(yīng)力總圖16稱稱 s的桿為的桿為。 由于壓桿失穩(wěn)前就會出現(xiàn)強度失效。因此，

11、此類桿不由于壓桿失穩(wěn)前就會出現(xiàn)強度失效。因此，此類桿不會出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象。若將其歸入穩(wěn)定范疇：會出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象。若將其歸入穩(wěn)定范疇：極極限限應(yīng)應(yīng)力力 cr塑性材料：塑性材料： s 脆性材料：脆性材料： b 當當 s，ssab scrba 壓桿分類、臨界應(yīng)力總圖壓桿分類、臨界應(yīng)力總圖17cr 22 Ecr 討論穩(wěn)定性問題時，先計算討論穩(wěn)定性問題時，先計算 ，判斷壓桿類型，選用相應(yīng)公式。，判斷壓桿類型，選用相應(yīng)公式。P s 臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖 s Pscr bacr 小柔度桿小柔度桿 中柔度桿中柔度桿大柔度桿大柔度桿18210GPaE280MPaP例例11-2 螺旋千斤頂，絲杠的材料為螺旋千斤頂，

12、絲杠的材料為45號鋼，其號鋼，其，306MPas400mml40mmd。絲杠的為長度。絲杠的為長度，內(nèi)徑，內(nèi)徑。試求其臨界載荷。試求其臨界載荷。解：（1）計算壓桿的柔度，判斷壓桿的類型：）計算壓桿的柔度，判斷壓桿的類型：2=橫截面的慣性半徑：橫截面的慣性半徑：4010mm44IdiA=絲杠的柔度：絲杠的柔度：24008010li465MPaa2.568MPab對于對于45號鋼：號鋼：則則46530661.92.568ssab=-=-2232101086280ppE創(chuàng)=由于柔度由于柔度 s P，所以絲杠為中柔度桿。，所以絲杠為中柔度桿。（2）計算臨界應(yīng)力和臨界載荷：）計算臨界應(yīng)力和臨界載荷：46

13、52.56880259.6MPacrab-240259.6326057N326kN4crcrPA創(chuàng)絲杠可以簡化為一端固定另一端自由的壓桿，故長度系數(shù)為絲杠可以簡化為一端固定另一端自由的壓桿，故長度系數(shù)為采用直線公式采用直線公式19例例11-3一矩形截面桿，兩端為柱鉸。材料為一矩形截面桿，兩端為柱鉸。材料為Q235 ，E=210GPa，截面邊長，截面邊長 b=40mm ，h=60mm，。求臨界載荷。，。求臨界載荷。zxPP解：解：（1）在）在xy面，兩端鉸支面，兩端鉸支 =1，若失穩(wěn)彎曲，若失穩(wěn)彎曲，z為中性軸。為中性軸。zzIi.mmA 17 32zzli. 1 200011517 32（2）

14、在）在xz面，兩端固定面，兩端固定 =0.5，若失穩(wěn)彎曲，若失穩(wěn)彎曲，y為中性軸。為中性軸。yyIi.mmA 11 55yyl.i. 10 5200086 611 55PP2000 xyyzbhzbhI 312yhbI 31220例例11-3一矩形截面桿，兩端為柱鉸。材料為一矩形截面桿，兩端為柱鉸。材料為Q235 ，E=210GPa，截面邊長，截面邊長 b=40mm ，h=60mm，。求臨界載荷。，。求臨界載荷。zxPP解：解：（1）在）在xy面，兩端鉸支面，兩端鉸支 =1，若失穩(wěn)彎曲，若失穩(wěn)彎曲，z為中性軸。為中性軸。zzIi.mmA 17 32zzli. 1 200011517 32（2）

15、在）在xz面，兩端固定面，兩端固定 =0.5，若失穩(wěn)彎曲，若失穩(wěn)彎曲，y為中性軸。為中性軸。yyIi.mmA 11 55yyl.i. 10 5200086 611 55 y，連桿在，連桿在xy面容易失穩(wěn)面容易失穩(wěn)計算臨界載荷應(yīng)以計算臨界載荷應(yīng)以 z計算。計算。 z115100，屬于細長桿。，屬于細長桿。 用歐拉公式。用歐拉公式。crcrPAkN 40 60 156374crE.MPa 223223 1421010115156 /.kN 2332210 104060120 52000374crEIP(l ) 2221壓桿穩(wěn)定計算壓桿穩(wěn)定計算 要保證壓桿的穩(wěn)定性，必須使壓桿所受的軸向壓力要保證壓桿

16、的穩(wěn)定性，必須使壓桿所受的軸向壓力小于臨界載荷。小于臨界載荷。 考慮到穩(wěn)定貯備，取大于考慮到穩(wěn)定貯備，取大于1的的穩(wěn)定安全系數(shù)穩(wěn)定安全系數(shù)nst。crstPPn crcrstPnnP 穩(wěn)定穩(wěn)定條件條件常見壓桿的穩(wěn)定安全系數(shù)常見壓桿的穩(wěn)定安全系數(shù)nst在設(shè)計手冊中給出。在設(shè)計手冊中給出。三類穩(wěn)定計算問題三類穩(wěn)定計算問題穩(wěn)定性校核、確定許可載荷、截面尺寸設(shè)計穩(wěn)定性校核、確定許可載荷、截面尺寸設(shè)計( (穩(wěn)定系數(shù)法穩(wěn)定系數(shù)法) )。 壓桿的工作壓力壓桿的工作壓力或：壓桿的工作安全因數(shù)或：壓桿的工作安全因數(shù)2280kNP 3stn 軸向壓力為軸向壓力為，規(guī)定穩(wěn)定安全系數(shù)，規(guī)定穩(wěn)定安全系數(shù)。試校核其穩(wěn)定性

17、。試校核其穩(wěn)定性。375mml40mmdQ235例例11-4 一圓截面壓桿，長度一圓截面壓桿，長度，直徑，直徑，材料是，材料是鋼，最大鋼，最大解：2P（1）計算壓桿的柔度：）計算壓桿的柔度：4010mm44IdiA=237575404li100p61.6ssp壓桿穩(wěn)定性是滿足要求的。壓桿穩(wěn)定性是滿足要求的。 Q235鋼，鋼，對于對于長度系數(shù)長度系數(shù)23例例11-5圖示結(jié)構(gòu)，圖示結(jié)構(gòu)，AB材料為材料為Q235 ，直徑為直徑為d40mm。試求（。試求（1）直桿直桿AB的臨界載荷；（的臨界載荷；（2）若）若Ab的穩(wěn)定安全因數(shù)為的穩(wěn)定安全因數(shù)為nst=5,確定確定結(jié)構(gòu)的最大載荷結(jié)構(gòu)的最大載荷F。1.5

18、m0.5mFQ30ABCD解：解： （1）求）求AB的臨界載荷的臨界載荷AB的柔度的柔度il 440cos3015001 4dl 2173 . P100AB屬于細長桿，可用歐拉公式計算臨界載荷屬于細長桿，可用歐拉公式計算臨界載荷22 Ecr MPa.865217310200232 24crcrcrdPA 23 14 4065 88264582 64.N. kN 1長度系數(shù)長度系數(shù)24例例11-5圖示結(jié)構(gòu)，圖示結(jié)構(gòu)，AB材料為材料為Q235 ，直徑為直徑為d40mm。試求（。試求（1）直桿直桿AB的臨界載荷；（的臨界載荷；（2）若）若Ab的穩(wěn)定安全因數(shù)為的穩(wěn)定安全因數(shù)為nst=5,確定確定結(jié)構(gòu)的

19、最大載荷結(jié)構(gòu)的最大載荷F。1.5m0.5mFQ30ABCDFQ30CADFDyFDxFAB解：解：（1）求）求AB的臨界載荷的臨界載荷82 6crP. kN （2）利用穩(wěn)定條件，）利用穩(wěn)定條件，AB的所承受的最大軸向力的所承受的最大軸向力依題意依題意82.616.5kN5ABcrstPFn=（3）結(jié)構(gòu)的最大載荷）結(jié)構(gòu)的最大載荷 0)F(mD301 520ABFsin.F6 2F. kN 25提高壓桿穩(wěn)定性的措施提高壓桿穩(wěn)定性的措施 由于壓桿的臨界載荷是壓桿保持穩(wěn)定的最大力（穩(wěn)定極限由于壓桿的臨界載荷是壓桿保持穩(wěn)定的最大力（穩(wěn)定極限載荷），臨界載荷越大，壓桿的穩(wěn)定性越好。因此，提高壓桿載荷），臨界載荷越大，壓桿的穩(wěn)定性越好。因此，提高壓桿的穩(wěn)定性措施應(yīng)從影響臨界載荷的因素入手。的穩(wěn)定性措施應(yīng)從影響臨界載荷的因素入手。crEIP(l ) 22Q235優(yōu)質(zhì)碳鋼優(yōu)質(zhì)碳鋼4652 568cr. 12. 1304 cr影響臨界載荷的因素：影響臨界載荷的因素： （約束）（約束）l（桿長）（桿長）I（截面形狀與尺寸）（截面形狀與尺寸）材料材料261.盡量減小壓桿的長度盡量減小壓桿的長度ll1氣缸氣缸活塞活塞活塞桿活塞桿十字頭十字頭B A不能減小長度時，也可在中間加支座。不能減小長度時，也可在中間加支座。抱輥抱輥管坯管坯頂桿頂桿27若桿為細長桿若桿為細長桿PlPl/2l/2crEIPl