結(jié)構(gòu)力學(xué)-6章 位移計算課件

1、Displacement of Statically Determinate Structures AAAAAxAyPAxAy AHBxPPAHBHABABABBHAHAB相對線位移相對線位移BAAB相對角位移相對角位移 AAAPAxAyt 鐵路工程技術(shù)規(guī)范規(guī)定鐵路工程技術(shù)規(guī)范規(guī)定: (1) 剛度要求剛度要求在工程上，吊車梁允許的撓度在工程上，吊車梁允許的撓度 1/600 跨度；跨度；橋梁在豎向活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁橋梁在豎向活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁最大撓度最大撓度 1/700 和和1/900跨度跨度高層建筑的最大位移高層建筑的最大位移 1/1000 高度。高度。 最大層間位移最大層間位移

2、1/800 層高。層高。(2) 超靜定、動力和穩(wěn)定計算超靜定、動力和穩(wěn)定計算(3）施工要求）施工要求（3）理想聯(lián)結(jié)）理想聯(lián)結(jié) (Ideal Constraint)。（principle of superposition)(1) 線彈性線彈性 (Linear Elastic),(2) 小變形小變形 (Small Deformation), (Dummy-Unit Load Method) (Principle of Virtual Work)二、廣義力二、廣義力(Generalized force)、廣義位移、廣義位移(Generalized displacement) P PWMW MABMM

3、MMMMWBABA)(PPABPPPPWBABA)(（1）剛體系的虛位移）剛體系的虛位移(功功)原理原理 去掉約束而代以相應(yīng)的反去掉約束而代以相應(yīng)的反力，該反力便可看成外力。力，該反力便可看成外力。則有：剛體系處于平衡的必則有：剛體系處于平衡的必要和充分條件是：要和充分條件是： 對于任何對于任何可能可能的的虛位移，作用于剛虛位移，作用于剛體系的所有外力所體系的所有外力所做虛功之和為零。做虛功之和為零。P0 AX2/PYB 2/PYA 23/2023222 PPP1c2c3cKKKC1K1R2R3R剛體虛功方程為剛體虛功方程為:W =00 =1kC+R1 C1 +R2 C2+R3 C3計算公式為

4、計算公式為:iiicCR例例1：求：求?CxCBAP=11AX1CY1AY解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài)解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài)1c2c3cCBAll)()111 (321321CCCCCCCx解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài)解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài)( )rad .)(00750211BxByiiAhlcR例例 2：已知：已知 l=12 m , h=8 m , m 04. 0Bx m 06. 0By ?A , 求求1 局部變形時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算1K同1KMBKM 已知K點發(fā)生轉(zhuǎn)角，求B端位移1KM KKM0M1KB已知K點發(fā)生剪切位移，求B端位移K1K1KKKQQ01-適用于各種桿件體系適用于各種桿件體系(線性線性,非線性非線性

5、).對于由對于由線彈性線彈性直桿直桿組成的結(jié)構(gòu)，有：組成的結(jié)構(gòu)，有：EIMGAkQEANPPPPPP , ,dsEIMMGAQkQEANNiPPPipii 適用于線彈性適用于線彈性直桿體系直桿體系,dsMQNiiii 單位荷載法單位荷載法 (Dummy-Unit Load Method)它是它是 Maxwell, 1864和和Mohr, 1874提出，故也稱為提出，故也稱為Maxwell-Mohr MethoddsEIMMGAQkQEANNiPPPipii 3.3 荷載作用產(chǎn)生的位移計算荷載作用產(chǎn)生的位移計算一一.單位荷載法單位荷載法1.梁與剛架梁與剛架二二.位移計算公式位移計算公式dsEIM

6、MiPip 2.桁架桁架dsEANNiPip EAlNNiP3.組合結(jié)構(gòu)組合結(jié)構(gòu) EIlNNdsEIMMiPiPip4.拱拱dsEANNEIMMiPiPip解：解：例例:求圖示桁架求圖示桁架(各桿各桿EA相同相同)k點水平位移點水平位移.Paak100PPP2NP11122NiEAlNNiPkx)()21 (2222) 1)() 1)(1EAPaaPaPaPEA練習(xí)練習(xí):求圖示桁架求圖示桁架(各桿各桿EA相同相同)k點豎向位移點豎向位移.aaPk1110200P2PNPNiEAlNNiPkx)()221 (2)2)(2(11EAPaaPaPEAqPQPM1 PiQiMxl dsEIMMGAQk

7、QEANNiPPPipii 例例 1：已知圖示粱的：已知圖示粱的E 、G,求求A點的豎向位移。點的豎向位移。解：構(gòu)造虛設(shè)單位力狀態(tài)解：構(gòu)造虛設(shè)單位力狀態(tài).0)(, 0)(xNxNPi)()(, 1)(xlqxQxQPi1Px2/)()(,)(2xlqxMlxxMPilhbqAdxEIxlqGAkxlql2)()(03)(8242EIqlGAqkl)(5 . 2/,10/1/, 5/6,12/,3鋼砼GElhkbhIbhAGAqklEIqlQM2,8:24設(shè)24GAlEIkMQ1001MQ 對于細長桿對于細長桿,剪切變形剪切變形對位移的貢獻與彎曲變對位移的貢獻與彎曲變形相比可略去不計形相比可略去

8、不計.例例. 試求圖示結(jié)構(gòu)試求圖示結(jié)構(gòu)B點豎向位移點豎向位移.解解:sEIMMPBydPlMPMi)(34)3221(13EIPlllPlllPlEI1lPEIBEIll例例 2：求曲梁：求曲梁B點的豎向位移點的豎向位移(EI、EA、GA已知已知)ROBAP解：構(gòu)造虛設(shè)的力狀態(tài)如圖示解：構(gòu)造虛設(shè)的力狀態(tài)如圖示RddsNPNQPQRMPRMiPiPiPsin,sincos,cossin,sinP=1RPRPMPNPQdsEIMMGAQkQEANNiPPPipii )(4443EIPRGAkPREAPR)(5 . 2/,10/1/, 5/6,12/,3鋼砼GERhkbhIbhAEAPRGAkPRE

9、IPRNQM4,4,4:3設(shè)12001MN4001MQ 小曲率桿可利用直桿公式近小曲率桿可利用直桿公式近似計算似計算;軸向變形軸向變形,剪切變形對位剪切變形對位移的影響可略去不計移的影響可略去不計例例: 1)求求A點水平位移點水平位移 3.3 荷載作用產(chǎn)生的位移計算荷載作用產(chǎn)生的位移計算一一.單位荷載法單位荷載法二二.位移計算公式位移計算公式 所加單位廣義力與所求廣義位移相對應(yīng)所加單位廣義力與所求廣義位移相對應(yīng),該單位該單位廣義力在所求廣義位移上做功廣義力在所求廣義位移上做功.三三.單位力狀態(tài)的確定單位力狀態(tài)的確定PAB2)求求A截面轉(zhuǎn)角截面轉(zhuǎn)角3)求求AB兩點相對水平位移兩點相對水平位移4)

10、求求AB兩截面相對轉(zhuǎn)角兩截面相對轉(zhuǎn)角1P1P1P1PBA?AB(b)試確定指定廣義位移對應(yīng)的單位廣義力。試確定指定廣義位移對應(yīng)的單位廣義力。A?A(a)P=1P=1P=1AB?AB(e)P=1P=1C(f)C左右=？P=1P=1試確定指定廣義位移對應(yīng)的單位廣義力。試確定指定廣義位移對應(yīng)的單位廣義力。P=1?A(g)A?AB(h)ABP=1P=1試確定指定廣義位移對應(yīng)的單位廣義力。試確定指定廣義位移對應(yīng)的單位廣義力。 在桿件數(shù)量多的情況下在桿件數(shù)量多的情況下,不方便不方便. 下面介紹下面介紹計算位移的圖乘法計算位移的圖乘法. EIsMMPiPd (Graphic Multiplication M

11、ethod and its Applications)剛架與梁的位移計算公式為：剛架與梁的位移計算公式為：一、圖乘法sEIMMPdsMMEIPd1xMxEIPdtan1 xxMEIPdtan ccyEIxEI 1tan(對于等對于等截面桿截面桿)(對于直桿對于直桿) xMMEIPd1)tan( xM 圖乘法求位移公式為圖乘法求位移公式為: EIycip 圖乘法的圖乘法的適用條件是適用條件是什么什么?圖乘法是圖乘法是Vereshagin于于1925年提出的，他當時年提出的，他當時為莫斯科鐵路運輸學(xué)院為莫斯科鐵路運輸學(xué)院的的學(xué)生學(xué)生。例例. 試求圖示梁試求圖示梁B端轉(zhuǎn)角端轉(zhuǎn)角.解解:sEIMMPB

12、dEIycABP2/ l2/ lEIBAB1M4/Pl1MPMi)(1612142112EIPlPllEI為什么彎矩圖在為什么彎矩圖在桿件同側(cè)圖乘結(jié)桿件同側(cè)圖乘結(jié)果為正果為正?例例. 試求圖示結(jié)構(gòu)試求圖示結(jié)構(gòu)B點豎向位移點豎向位移.解解:sEIMMPBydEIycPlMPMi)(34)3221(13EIPlllPlllPlEI1lPEIBEIll二、幾種常見圖形的面積和形心位置的確定方法二、幾種常見圖形的面積和形心位置的確定方法二次拋物線二次拋物線三角形三角形l/32l/3M圖圖21EIqlqllEIB3224121)8132(1（ ）PM圖圖281qlBAq1例例:求圖示梁求圖示梁(EI=常

13、數(shù)常數(shù),跨長為跨長為l)B截面轉(zhuǎn)角截面轉(zhuǎn)角B解解:三、圖形分解三、圖形分解MPMiabdc12dsMMMEIdsEIMMiiP)(121)(121dsMMdsMMEIii)3132(21)3132(21(1cddldcalEIa1b2Mi三、圖形分解三、圖形分解B求求1ABmkN 20mkN 40m10EI4020MPMiABmkN 20ABmkN 4040203/23/1)(3500)3120102132401021(1EIEIB三、圖形分解三、圖形分解B求求1ABmkN 20mkN 40m10EI4020MPMi3/22/1)(3500)21201032201021(1EIEIB)(350

14、0)322020(110211EIEIB 當兩個圖形均當兩個圖形均為直線圖形時為直線圖形時,取那取那個圖形的面積均可個圖形的面積均可.4/PlMP三、圖形分解三、圖形分解B求求1Mi)(16)21421(12EIPlPllEIB 取取 yc的圖形必的圖形必須是直線須是直線,不能是曲不能是曲線或折線線或折線.AB2/ lEI2/ lP2/1能用能用 Mi圖面積乘圖面積乘MP圖豎標嗎圖豎標嗎?三、圖形分解三、圖形分解B求求1ABmkN 20mkN 40m10EIMPMi)(100)203260(110211EIEIB)(100)21102032601021(1EIEIB402060204020)(

15、100)21102032601021(1EIEIB三、圖形分解三、圖形分解B求求1MPMi)(24)1322EIqlqllqllEIBAB4/2qllEIq42ql8/2qlq8/2ql三、圖乘法小結(jié)三、圖乘法小結(jié)1. 圖乘法的應(yīng)用條件：圖乘法的應(yīng)用條件：（1）等截面直桿，）等截面直桿，EI為常數(shù)；為常數(shù)；（2）兩個）兩個M圖中應(yīng)有一個是直線；圖中應(yīng)有一個是直線；（3） 應(yīng)取自直線圖中。應(yīng)取自直線圖中。cy2. 若若 與與 在桿件的同側(cè)，在桿件的同側(cè)， 取正值；取正值；反之，取負值。反之，取負值。cycy3. 如圖形較復(fù)雜，可分解為簡單圖形如圖形較復(fù)雜，可分解為簡單圖

16、形. 例例 1. 已知已知 EI 為常數(shù)，求為常數(shù)，求C、D兩點相對水平位移兩點相對水平位移 。CD 三、應(yīng)用舉例三、應(yīng)用舉例AlqBhq8/2qlh11hMPiM)(12832132EIqhlhlqlEIEIycCD 解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖 例例 2. 已知已知 EI 為常數(shù)，求鉸為常數(shù)，求鉸C兩側(cè)截面相對轉(zhuǎn)角兩側(cè)截面相對轉(zhuǎn)角 。C三、應(yīng)用舉例三、應(yīng)用舉例解：解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖AlqBlClq4/ql4/qlMP110l /11iM)(2421832132EIqlqlEIEIycCD4/2ql4/2qlAlP

17、BlPl)(310)243221(13EIPllPlllPllEIEIycABY 圖示結(jié)構(gòu)圖示結(jié)構(gòu) EI 為常數(shù)，求為常數(shù)，求AB兩點兩點(1)相對豎向位相對豎向位移移,(2)相對水平位移相對水平位移,(3)相對轉(zhuǎn)角相對轉(zhuǎn)角 。iMMP 練習(xí)練習(xí)11Pll11lliM0EIycABX0EIycAB對稱彎矩圖對稱彎矩圖反對稱彎矩圖反對稱彎矩圖 對稱結(jié)構(gòu)的對稱彎矩圖與對稱結(jié)構(gòu)的對稱彎矩圖與其反對稱彎矩圖圖乘其反對稱彎矩圖圖乘,結(jié)果結(jié)果為零為零.1111iM 作變形草圖作變形草圖PPPl1111繪制變形圖時，應(yīng)根據(jù)彎矩圖判斷桿件的凹凸方向，注意繪制變形圖時，應(yīng)根據(jù)彎矩圖判斷桿件的凹凸方向，注意反彎點

18、的利用。如：反彎點的利用。如：求求B點水平位移。點水平位移。練習(xí)練習(xí)解：解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖MP)(85412322113EIPlllPlEIllPlEIEIycBPlABllEI4PEIEI1注意注意:各桿剛度各桿剛度可能不同可能不同iMl 練習(xí)練習(xí) 已知已知 EI 為常數(shù)，求為常數(shù)，求A點水平位移點水平位移 。Al1liMEIqlllqlEIEIycA2428132142解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖lqBlAMPq2ql)(31123)32(21322113EIPlllPllllPlllPllPllEIEIycB解

19、：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖求求B點豎向位移點豎向位移,EI=常數(shù)。常數(shù)。AlPBllMPPlPl2A1Bl 2MPl 例例 已知：已知： E、I、A為常數(shù)，求為常數(shù)，求 。Cy ABCP2l2laD解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖)(4482211432)4221(23EAPaEIPlaPEAlPllEICyABCP2laD4PlPM2/PNP2lABC12laD4lM2/1iN2l4. 5 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算 (Analysis of Displacements in a Statica

20、lly Determinate Structures Induced by Temperature Changes)4. 5 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算溫度作用溫度作用求求K點豎向位移點豎向位移.Wi =Nit + Qit +Mikt ds 關(guān)鍵是計算微關(guān)鍵是計算微段的溫度變形段的溫度變形dsMQNiiii 設(shè)溫度沿桿件截面高度線性變化，桿軸溫設(shè)溫度沿桿件截面高度線性變化，桿軸溫度度 ，上、下邊緣的溫差，上、下邊緣的溫差 ,線膨脹系數(shù)線膨脹系數(shù)為為 .0tt 12tttstutdd0 hththtthhtt211212110 )(微段的溫度變形分析微段的溫度變形分

21、析hsttdd 無剪應(yīng)變無剪應(yīng)變hsMtsNthstMstNdskMQNiiitttKydddd)(iitii00若若,/221hhh2120/ )(tttMiithtlNt)(0溫度引起的位移計算公式溫度引起的位移計算公式:hsMtsNtiitddi0對等對等 截截 面面 直直 桿桿:上式中的正、負號：上式中的正、負號：若若 和和 使桿件的同一邊使桿件的同一邊產(chǎn)生拉伸變形，其乘積為正。產(chǎn)生拉伸變形，其乘積為正。 Mt 例：例： 剛架施工時溫度為剛架施工時溫度為20 ，試求冬季外側(cè)溫度為，試求冬季外側(cè)溫度為 -10 ，內(nèi)側(cè)溫度為，內(nèi)側(cè)溫度為 0 時時A點的豎向位移點的豎向位移 。已知。已知 l

22、=4 m, ,各桿均為矩形截面桿，高度各桿均為矩形截面桿，高度 h=0.4 mC0C0C0Ay 510 解：構(gòu)造虛擬狀態(tài)解：構(gòu)造虛擬狀態(tài)CtCt0001030202522002010)(,)()(iiAyhtlNt0lMi1Nil )(125llhllh10121101)(.m0050例：例： 求圖示桁架溫度改變引起的求圖示桁架溫度改變引起的AB桿轉(zhuǎn)角桿轉(zhuǎn)角.解：構(gòu)造虛擬狀態(tài)解：構(gòu)造虛擬狀態(tài)lNtiAB0Ni41aat)/(a4ttttaABa21a210a/1a/1a/1a/1a/1)( t 4(Analysis of Displacements in a Statically Determ

23、inate Structures Induced by Support Movement)1c2c3cKKKC1K1R2R3R變形體虛功方程為變形體虛功方程為:We =Wi We =1kC+R1 C1 +R2 C2+R3 C3Wi =0 其中其中:計算公式為計算公式為:iiicCR例例1：求：求?CxCBAP=11AX1CY1AY解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài)解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài)1c2c3cCBAll)()111 (321321CCCCCCCx解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài)解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài)( )rad .)(00750211BxByiiAhlcR例例 2：已知：已知 l=12 m , h=8 m , m 04. 0B

24、x m 06. 0By ?A , 求求制造誤差引起的位移計算制造誤差引起的位移計算)(.)(mmA272348118每個上弦桿加長每個上弦桿加長8mm,求求由此引起的由此引起的A點豎向位移點豎向位移.118/mm4886m11A1118/118/118/lN原理的表述：原理的表述： 任何一個處于平衡狀態(tài)的變形體，當任何一個處于平衡狀態(tài)的變形體，當發(fā)生任意一個虛位移時，變形體所受外力發(fā)生任意一個虛位移時，變形體所受外力在虛位移上所作的總虛功在虛位移上所作的總虛功We，恒等于變，恒等于變形體各微段外力在微段變形位移上作的虛形體各微段外力在微段變形位移上作的虛功之和功之和Wi。也即恒有如下虛功方程成

25、立。也即恒有如下虛功方程成立We = =Wi變形體的虛功原理變形體的虛功原理 任何一個處于平衡狀態(tài)的變形體，當發(fā)生任意一個虛任何一個處于平衡狀態(tài)的變形體，當發(fā)生任意一個虛位移時，變形體所受外力在虛位移上所作的總虛功位移時，變形體所受外力在虛位移上所作的總虛功We,恒恒等于變形體各等于變形體各微段外力微段外力在微段在微段變形位移變形位移上作的虛功之和上作的虛功之和Wi。變形體虛功原理的證明變形體虛功原理的證明: xq1.1.利用變形連續(xù)性條件計算利用變形連續(xù)性條件計算 所有微段的外力虛功之和所有微段的外力虛功之和 W微段外力分微段外力分為兩部分為兩部分體系外力體系外力相互作用力相互作用力微段外力

26、功微段外力功分為兩部分分為兩部分體系外力功體系外力功d dWe相互作用力功相互作用力功d dWn微段外力功微段外力功 d dW= d dWe+d+dWn所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和: : W=d dWe+ +d dWn =d dWe =We2.2.利用平衡條件條件計算利用平衡條件條件計算 所有微段的外力虛功之和所有微段的外力虛功之和 W微段外力功微段外力功分為兩部分分為兩部分在剛體位移上的功在剛體位移上的功d dWg在變形位移上的功在變形位移上的功d dWi微段外力功微段外力功 d dW= d dWg+d+dWi所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和: : W=d dWi =Wi

27、abab微段位移分微段位移分為兩部分為兩部分剛體位移剛體位移變形位移變形位移baab baba 故有故有We= =Wi成立。成立。abab b 任何一個處于平衡狀態(tài)的變形體，當發(fā)生任意一個虛任何一個處于平衡狀態(tài)的變形體，當發(fā)生任意一個虛位移時，變形體所受外力在虛位移上所作的總虛功位移時，變形體所受外力在虛位移上所作的總虛功We,恒恒等于變形體各等于變形體各微段外力微段外力在微段在微段變形位移變形位移上作的虛功之和上作的虛功之和Wi。變形體虛功原理的證明變形體虛功原理的證明: xq1.1.利用變形連續(xù)性條件計算利用變形連續(xù)性條件計算 所有微段的外力虛功之和所有微段的外力虛功之和 W微段外力分微段

28、外力分為兩部分為兩部分體系外力體系外力相互作用力相互作用力微段外力功微段外力功分為兩部分分為兩部分體系外力功體系外力功d dWe相互作用力功相互作用力功d dWn微段外力功微段外力功 d dW= d dWe+d+dWn所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和: : W=d dWe+ +d dWn =d dWe =We2.2.利用平衡條件條件計算利用平衡條件條件計算 所有微段的外力虛功之和所有微段的外力虛功之和 W微段外力功微段外力功分為兩部分分為兩部分在剛體位移上的功在剛體位移上的功d dWg在變形位移上的功在變形位移上的功d dWi微段外力功微段外力功 d dW= d dWg+d+dWi所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和: : W=d dWi =Wiabab微段位移分微段位移分為兩部分為兩部分剛體位移剛體位移變形位移變形位移baab baba 故有故有We= =Wi成立。成立。abab b幾個問題幾個問題:1. 虛功原理里存在兩個狀態(tài)：虛功原理里存在兩個狀態(tài)： 力狀態(tài)必須滿足平衡條件；位移狀態(tài)必須滿足協(xié)調(diào)力狀態(tài)必須滿足平衡條件；位移狀態(tài)必須滿足協(xié)調(diào)條件。因此原理僅是條件。因此原理僅是必要性命題必要性命題。2. 原理的證明表明原理的證明表明:原理適用于原理適用于任何任何 (線性和非線性線性和非線性)的的變形體變形體，適用于，適用于任何結(jié)構(gòu)任何結(jié)構(gòu)。3.