1.2.1充分條件與必要條件練習(xí)

1、1. 2.1充分條件與必要條件課前白主預(yù)習(xí)充分條件與必要條件命題真假“若p,則q”是真命題“若p,則q”是假命題推出關(guān)系p°l? qp02? q條件關(guān)系p是q的充分條件p05不是q的充分條件q是p的04必要條件q06不是p的必要條件品自診小測1 .判一判(正確的打“，”，錯(cuò)誤的打“X”)(1)若p是q的必要條件，則q是p的充分條件.()(2)若p是q的充分條件，則稅 p是稅q的充分條件.()“x=1”是“ x2=x”的必要條件.()答案 (1)， (2) X (3) X2 .做一做(請把正確的答案寫在橫線上)(1)(教材改編P10T4(1) “x=3”是“ x2=9”的 條件(填“充

2、分”或“必要”).(2)若p是q的充分條件，q是r的充分條件，則p是r的 條件.3 3) “a>0, b>0” 是 “ ab>0” 的 條件.4 4) “若p,則q”的逆命題為真，則 p是q的 條件.答案 (1)充分 (2)充分 (3)充分 (4)必要探究1充分條件與必要條件的判斷例1在下列各題中，分別判斷p是否為q的充分條件或必要條件，并說明理由.(1) p: x2=2x+1, q: x= >/2x+ 1;(2) p： a2+ b2= 0, q： a + b=0；a p： a<b, q： ”(4) p： abw0, q：直線ax+by+ c=0與兩坐標(biāo)軸都相交.

3、解(1) x2= 2x+ 1? x = #2x+ 1, x =42x+ 1 ?x2=2x+1,，p是q的必要條件，且 p不是q的充分條件.(2) . a2+b2=0? a=b=0? a+b=0,a + b=07 a2+b2 = 0,，p是q的充分條件，且 p不是q的必要條件.(3)由于 a<b,當(dāng) b<0 時(shí)，a>1;當(dāng) b>0 時(shí)，ja<1,故若 a<b,不一定有 a<1;當(dāng) a>0, b>0, a<1時(shí)，可以推出a<b；當(dāng)a<0, b<0, ja<1時(shí)，可以推出a>b.所以p不是q的充分條件，且 p

4、不是q的必要條件.(4)由abw0,即awo且bw0,此時(shí)直線 ax+ by+c= 0與兩坐標(biāo)軸都相交；又當(dāng) ax+by + c= 0與兩坐標(biāo)軸都相交時(shí)， awo且bw。，即abwo,所以p是q的充分條件，且 p是q的 必要條件.拓展提升充分條件、必要條件的判定方法(1)定義法：直接判斷 p? q和q? p是否成立，然后得結(jié)論.(2)等價(jià)法：利用命題的等價(jià)形式：p? q?稅q?稅p, q? p?稅p?稅q, p? q與稅p?稅q的等價(jià)關(guān)系.對于條件和結(jié)論 是否定形式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法.(3)集合法：對于涉及取值范圍的判斷題，可從集合的角度研究，若兩個(gè)集合具有包含關(guān) 系，則小范圍？大范圍，大

5、范圍7小范圍.(4)傳遞法：由推式的傳遞性：pi? p2? p3? ? pn,則pi? pn.【跟蹤訓(xùn)練1】 在下列各題中，分別判斷p是否為q的充分條件或必要條件，并說明理由.(1) p： | a| >2, aCR, q：方程 x2+ax+a+3= 0有實(shí)根；(2) p： sin a >sin 3 , q： a >3 ;(3) p:四邊形是矩形；q:四邊形的對角線相等.解(1)當(dāng)|a|>2時(shí)，如a=3,則方程x2+3x+6= 0無實(shí)根，而方程 x2+ax+ a+3= 0 有實(shí)根，則必有aw 2或a>6,可推出| a|>2,故p不是q的充分條件，p是q的必要條

6、件.(2)當(dāng) a = 2, 3 =與匚時(shí)，sin a =1, sin 3 =亭，此時(shí) sin a >sin 3 ,而 a < 3 ,故充,3兀 兀x/2分性不成立；而當(dāng) a = 4, 3 = "2"時(shí)，sin a =2, sin 3=1，此時(shí) a > 3 ,而 sin a <sin 3 , 故必要性也不成立.故 p既不是q的充分條件，也不是 q的必要條件.(3)四邊形的對角線相等7四邊形是矩形；四邊形是矩形？四邊形的對角線相等，故 p是q的充分條件，p不是q的必要條件.探究2利用充分條件與必要條件求參數(shù)的取值范圍例 2 已知集合 A= y|y=x23

7、x+ 1, xCR, B= x|x+2m0;命題 p： xCA,命題 q: xC B,并且稅p是稅q的必要條件，求實(shí)數(shù) m的取值范圍.解由已知可得A= iy y= Jx-|25, xCR 尸 jy y>- 4r，B=x|x>2n,則？rA= 18, 一?rB= (00, 2m),因?yàn)槎恜是稅q的必要條件，55所以？rB? ?rA,所以2mc 兀 解得m>-, 48所以m的取值范圍是(!，+ 8 .解法探究此題有沒有其他解法？解由已知可得A=1y y= Jx-2j-4，xcr尸iy y>-5 r,B= x|x>-2m).因?yàn)槎恜是稅q的必要條件，所以p是q的充分條件

8、，. A? B, 55. 一2m< 疝m> 8,即m的取值范圍是百+ 8 ；條件探究如果把例2中“必要”改為“充分”，其他條件不變，如何解答？ IT向5解由已知得 A= y y>- 4 B= x| x>- 2m).UJ因?yàn)槎恜是稅q的充分條件，所以p是q的必要條件，所以 B? A,所以2m> 5,解得me5, 48即m的取值范圍是5 OO -，8拓展提升利用充分、必要條件求參數(shù)的思路根據(jù)充分條件、必要條件求參數(shù)的取值范圍時(shí)，先將 p, q等價(jià)轉(zhuǎn)化，再根據(jù)充分條件、必要條件與集合間的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的兩個(gè)集合之間的包含關(guān)系，然后建立關(guān)于參數(shù)的不等式（組）進(jìn)行求

9、解.【跟蹤訓(xùn)練2 已知M= x( xa)2<1, N= x| x25x24<0,若M是N的充分條件, 求a的取值范圍.解 由(x a)2<1,得 a-1<x<a+1,由 x2 5x 24<0,得一3<x<8.M是N的充分條件，M? N.a 1 > 3,于是“從而可得2w aw 7.a+1 w 8,故a的取值范圍為2,7.探究3充分條件與必要條件的實(shí)際應(yīng)用例3在下面電路圖中，閉合開關(guān)A是燈泡B亮的什么條件?（2）（3）解如題圖（1）,閉合開關(guān)A或閉合開關(guān)C,都可使燈泡 B亮.反之，若要燈泡 B亮，不一定非要13!合開關(guān) A因此，閉合開關(guān) A是

10、燈泡B亮的充分不必要條件；如題圖（2）,閉合開關(guān) A而不閉合開關(guān) C,燈泡B不亮.反之，若要燈泡 B亮，開關(guān)A必 須閉合，說明閉合開關(guān) A是燈泡B亮的必要不充分條件；如題圖（3）,閉合開關(guān) A但不閉合開關(guān) C,燈泡B不亮.反之，燈泡 B亮也不必閉合開關(guān) A,只要閉合開關(guān) C即可，說明閉合開關(guān) A是燈泡B亮的既不充分也不必要條件.拓展提升充分、必要條件實(shí)際應(yīng)用的解題策略將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，分清條件與結(jié)論為解題關(guān)鍵.（1） p是q的充分條件是指“ p成立可充分保證q成立，但是如果沒有p, q也可能成立”.（2） q是p的必要條件是指“要使 p成立必須要有q成立”，或者說“若 q不成立，則p 一定

11、不成立”；但即使有 q成立，p未必會(huì)成立.【跟蹤訓(xùn)練3】三國演義中曹操敗走華容道是這樣描寫的：曹操投南郡，除華容道外，還有一條便于通行的大路，前者路險(xiǎn)，但近 50余里；后者路平，卻遠(yuǎn) 50余里，曹操令 人上山觀察敵情虛實(shí)，回報(bào)說：“小路山邊有數(shù)處起煙，大路并無動(dòng)靜. ”曹操說：“諸葛 亮多謀，故使人于山僻燒煙，使我軍不敢從這條山路上走，他卻伏兵于大路等著，吾已料定，偏不中他計(jì).”結(jié)果致使曹操敗走華容道，請用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋這種現(xiàn)象.解 “諸葛亮多謀”是“虛則實(shí)之，實(shí)則虛之”的充分條件，“虛則實(shí)之，實(shí)則虛之”是“小路山邊有數(shù)處起煙，而大路并無動(dòng)靜（有伏兵卻沒動(dòng)靜）”的充分條件，因?yàn)橹T葛亮多謀是事實(shí)，

12、所以曹操認(rèn)為諸葛亮必然運(yùn)用兵法“虛則實(shí)之，實(shí)則虛之”，曹操不以調(diào)查事實(shí) 為依據(jù)，而諸葛亮抓住了曹操的這一心理，所以致使曹操敗走華容道.r1潴鹵轆洋11 .充分與必要條件的判斷方法判斷p是q的什么條件，其實(shí)質(zhì)是判斷“若 p,則q”及其逆命題“若q,則p”的真假.若p? q, q? p,則p是q的充分不必要條件；若p? q, q? p,則p是q的必要不充分條件；若p? q, q? p,則p是q的充分條件，也是 q的必要條件（也稱充要條件）；若p7 q, q? p,則p是q的既不充分也不必要條件.2 .等價(jià)轉(zhuǎn)化法的應(yīng)用一般地，根據(jù)命題間的等價(jià)關(guān)系，若" p? q且p ? q”等價(jià)于“稅p?

13、稅q且稅p?稅q”， 即“ p是q的充分不必要條件”等價(jià)于“稅 p是稅q的必要而不充分條件”.3 .集合觀點(diǎn)的應(yīng)用若p, q對應(yīng)的數(shù)集分別為 P, Q當(dāng)P? Q時(shí)，p是q的充分條件，q是p的必要條件，這 可以總結(jié)為“小范圍推出大范圍”，簡記為：“小充分，大必要”.隨堂達(dá)標(biāo)自測1 .已知命題“若p,則q"，假設(shè)其逆命題為真，則 p是q的（）A.充分條件B .必要條件C.充要條件 D .既不充分也不必要條件答案 B解析 逆命題“若q,則p"為真命題，則p是q的必要條件.2 .設(shè)x C R,則x>2的一個(gè)必要不充分條件是 （）A. x>1 B . x<1C. x

14、>3 D . x<3答案 A解析 x>2? x>1,但 x>1? x>2.3.對于任意的實(shí)數(shù) a, b, c,在下列命題中，真命題是 （）A. "ac>bc"是"a>b”的必要條件B. "ac=bc”是“ a=b”的必要條件C. " ac<bc”是“ a<b”的充分條件D. " ac= bc”是“ a= b”的充分條件答案 B解析 若a = b,貝Uac= bc;若ac= bc,貝Ua不一定等于b,故"ac= bc"是"a= b"的必要條件.4 . “b2=ac”是“a, b, c成等比數(shù)列”的 條件.(填“充分”或“必要”)答案必要解析 a, b, c成等比數(shù)列？ b2=ac.5 .下列說法是否正確？請說明理由.(1) x=1 是(x1)( x2) = 0 的充分條件；(2) “AB室AA B' C' ” 是 " AB6AA B' C'