食餌捕食者數(shù)學(xué)模型論文

1、食餌捕食者數(shù)學(xué)模型 摘要：在自然界不同種群之間存在一種既有依存，又相互制約的生存方式。種群甲靠豐富的自然資源生存，種群乙靠捕食甲為生，形成食餌捕食者系統(tǒng)。為了分析他們之間數(shù)量的變化關(guān)系，以及它們之間數(shù)量達(dá)到平衡的情況。本文根據(jù)它們之間的特殊關(guān)系與這種潛在的規(guī)律，建立了具有自滯作用的食餌捕食者模型。我們利用matlab軟件求微分方程的數(shù)值解，通過對數(shù)值結(jié)果和圖形的觀察猜測解析構(gòu)造，然后研究平衡點(diǎn)及相軌線的形狀，驗(yàn)證猜測的正確性關(guān)鍵詞：自滯作用 數(shù)值解matlab 平衡點(diǎn) 相軌線分析 穩(wěn)定性一、 問題重述自然界不同種群之間存在一種既有依存，又相互制約的生存方式。種群甲靠豐富的自然資源生存，種群乙靠

2、捕食甲為生，形成食餌捕食者系統(tǒng)。為了分析他們之間數(shù)量的變化關(guān)系，以及它們之間數(shù)量達(dá)到平衡的情況。解釋平衡點(diǎn)穩(wěn)定的實(shí)際意義，對模型進(jìn)行相軌線分析來驗(yàn)證理論分析的正確性，并用matlab軟件畫出圖形。 二，問題背景 一次世界大戰(zhàn)期間地中海漁業(yè)的捕撈量下降（食用魚和鯊魚同時(shí)捕撈），但是其中鯊魚的比例卻增加，這是為什么？Volterra建立的模型回答了這個(gè)問題 三，問題分析首先，在復(fù)雜的自然界中，存在著許多影響種群發(fā)展的因素。假如給食餌（食用魚）和捕食者（鯊魚）一個(gè)理想的環(huán)境，它們是呈J形增長的?，F(xiàn)實(shí)情況中，由于受到環(huán)境的限制，種群增長一般符合阻滯增長的模型。我們利用軟件matlab求出微分方程的數(shù)值

3、解，并通過對數(shù)值和圖形觀察做出猜測，然后分析相軌線，驗(yàn)證猜測的的正確性。最后對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行修改和確定。 四、基本假設(shè)1，假設(shè)它們是處于封閉的自然條件下，人類活動對其生存不產(chǎn)生影響2，假設(shè)食餌和捕食者在封閉的環(huán)境中可以正常生長，沒有疾病等促使他們死亡3，假設(shè)食餌和捕食者在各年齡段中的分布率不變，即年齡結(jié)構(gòu)不變，并采用各種措施一直維持這以結(jié)構(gòu)4，假設(shè)捕食者離開食餌無法生存5，食餌和捕食者不會因?yàn)椴妒酬P(guān)系導(dǎo)致物種滅絕 五，符號說明X（t）：食餌（食用魚）在時(shí)刻t的數(shù)量Y（t）：捕食者（鯊魚）在時(shí)刻t的數(shù)量r1：食餌在獨(dú)立生存時(shí)以指數(shù)規(guī)律增長，（相對增長率）r2：捕食者獨(dú)立生存時(shí)以指數(shù)規(guī)律增長，（相對

4、增長率）N1：食餌的最大容量N2：捕食者的最大容量1：單位數(shù)量乙（相對于N2）提供的供養(yǎng)甲的食物量為單位甲（相對于N1）消耗的供養(yǎng)甲食物量1倍2：單位數(shù)量甲（相對于N1）提供的供養(yǎng)甲的食物量為單位乙（相對于N2）消耗的供養(yǎng)甲食物量2倍d：捕食者離開時(shí)獨(dú)立存在的死亡率 六，模型建立食餌（甲）數(shù)量x（t），捕食者（乙）數(shù)量y（t） 甲獨(dú)立生存的增長率r =rx乙使甲的增長率減小，減小量與y成正比（t）=（r-ay）x=rx-axy （1）a捕食者掠取食餌的能力乙獨(dú)立生存的死亡率d =-dy甲使乙的死亡率減小，減小量與x成正比（t）= -（d-bx）y=-dy+bxy （2）b食餌供養(yǎng)捕食者的能力方

5、程（1），（2）無解析6.1模型建立我們考慮自身的阻滯增長作用，建立以下模型1（t）=r1x1（1-1） (3)2(t)=r2x2(-1+2-) (4)6.2 模型求解利用數(shù)學(xué)軟件matlab分別求解（3），（4）兩個(gè)微分方程的數(shù)值解。記食餌和捕食者的初始數(shù)量為X（0）=x0 y（0）=y0求數(shù)值解（t），（t）及相軌線y（x），設(shè)r=1，d=0.5，a=0.1，b=0.02，x0=25，y0=2，用matlab軟件編制程序如下：r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;xdot=(r-a*x(2).*x(1);(-d+b*x(1).*x(2);function xdot=shier(t,

6、x)ts=0:0.1:15;x0=25,2;t,x=ode45(shier,ts,x0);t,s,plot(t,x),grid,gtext(x(t),gtext(y(t),pause,plot(x(:,1),x(:2),grid,可得數(shù)值解（t），（t）及相軌線y（x）數(shù)值解（t），（t）的圖形相軌線y（x）的圖形根據(jù)圖形和數(shù)值結(jié)果可以猜測，x（t），y（t）是周期函數(shù)，相應(yīng)的y（x）是封閉曲線，從數(shù)值解近似的定出周期為10.7，x的最大最小值分別為99.3和2.0，y的最大值最小值分別為28.4和2.0.并且用數(shù)值積分容易算出x（t），y（t）在一個(gè)周期的平均值為=25，=10。七、模型分析

7、、評價(jià)及改進(jìn)7.1 平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性分析首先求得（3），（4）方程的兩個(gè)平衡點(diǎn)為P（d|b，r|a），p（0，0） （5） 對于p，q0，p不穩(wěn)定；對于p，p=0，q0，處于臨界狀態(tài)，不能用判斷線性方程平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的準(zhǔn)則研究非線性方程，所以用相軌線分析解決7.2 用相軌線分析的穩(wěn)定性消去dt得取指數(shù)，c由初始條件確定 為了從理論上驗(yàn)證y（x）是封閉曲線，記 f（x） g（y）可以用軟件畫出它們的圖形，將它們的極值點(diǎn)記為，極大值記為，則時(shí)，無相軌線，以下設(shè)相軌線f（x）g（y）=cx=,y=相軌線退化為p點(diǎn)，p中心C，設(shè) 令存在使f（x1）=f（x2）Q1(X1,y0),Q2(X2,y0)考察存在

8、Q3（x，y1）Q4（x，y2），x是內(nèi)任意點(diǎn)，所以相軌線是封閉曲線。7.3，x（t）y（t）在一周期內(nèi)的平均值相軌線是封閉曲線，所以x（t）y（t）是周期函數(shù)，周期為T，求x（t），y（t）在乙周期內(nèi)的平均值，。（t）= -（d-bx）y=-dy+bxyx（t）=（+d）=（t）= -（d-bx）y=-dy+bxy =軌線中心:所以= =即x（t）y（t）的平均值正式相軌線中心p點(diǎn)的坐標(biāo)。7.4、模型的缺點(diǎn)與改進(jìn)1、多數(shù)食餌捕食者系統(tǒng)觀察不到周期震蕩，而是趨向某個(gè)平衡狀態(tài)即存在穩(wěn)定平衡點(diǎn)Volterra模型 改寫：加logistic項(xiàng)有穩(wěn)定平衡點(diǎn) 2、 相軌線是封閉曲線，結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定，一旦離開

9、某一條閉軌線線，就進(jìn)入另一條閉軌線，不恢復(fù)原狀。3、自然界存在的周期性平衡生態(tài)系統(tǒng)是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的，即偏離周期軌道后，內(nèi)部制約使系統(tǒng)恢復(fù)原狀。相軌線趨向極限環(huán)，所以結(jié)構(gòu)穩(wěn)定 八、參考文獻(xiàn)【1】、姜啟源、謝金星、葉俊編數(shù)學(xué)模型第三版【2】【3】附：r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;xdot=(r-a*x(2).*x(1);(-d+b*x(1).*x(2);function xdot=shier(t,x)ts=0:0.1:15;x0=25,2;t,x=ode45(shier,ts,x0);t,s,plot(t,x),grid,gtext(x(t),gtext(y(t),pause,plot

10、(x(:,1),x(:2),grid,function xdot=shier(t,x)r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;xdot=(r-a*x(2).*x(1);(-d+b*x(1).*x(2); ts=0:0.1:15ts = Columns 1 through 7 0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 Columns 8 through 14 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000 1.1000 1.2000 1.3000 Columns 15 through 21 1.4000 1.5000 1.6000 1.

11、7000 1.8000 1.9000 2.0000 Columns 22 through 28 2.1000 2.2000 2.3000 2.4000 2.5000 2.6000 2.7000 Columns 29 through 35 2.8000 2.9000 3.0000 3.1000 3.2000 3.3000 3.4000 Columns 36 through 42 3.5000 3.6000 3.7000 3.8000 3.9000 4.0000 4.1000 Columns 43 through 49 4.2000 4.3000 4.4000 4.5000 4.6000 4.70

12、00 4.8000 Columns 50 through 56 4.9000 5.0000 5.1000 5.2000 5.3000 5.4000 5.5000 Columns 57 through 63 5.6000 5.7000 5.8000 5.9000 6.0000 6.1000 6.2000 Columns 64 through 70 6.3000 6.4000 6.5000 6.6000 6.7000 6.8000 6.9000 Columns 71 through 77 7.0000 7.1000 7.2000 7.3000 7.4000 7.5000 7.6000 Column

13、s 78 through 84 7.7000 7.8000 7.9000 8.0000 8.1000 8.2000 8.3000 Columns 85 through 91 8.4000 8.5000 8.6000 8.7000 8.8000 8.9000 9.0000 Columns 92 through 98 9.1000 9.2000 9.3000 9.4000 9.5000 9.6000 9.7000 Columns 99 through 105 9.8000 9.9000 10.0000 10.1000 10.2000 10.3000 10.4000 Columns 106 thro

14、ugh 112 10.5000 10.6000 10.7000 10.8000 10.9000 11.0000 11.1000 Columns 113 through 119 11.2000 11.3000 11.4000 11.5000 11.6000 11.7000 11.8000 Columns 120 through 126 11.9000 12.0000 12.1000 12.2000 12.3000 12.4000 12.5000 Columns 127 through 133 12.6000 12.7000 12.8000 12.9000 13.0000 13.1000 13.2

15、000 Columns 134 through 140 13.3000 13.4000 13.5000 13.6000 13.7000 13.8000 13.9000 Columns 141 through 147 14.0000 14.1000 14.2000 14.3000 14.4000 14.5000 14.6000 Columns 148 through 151 14.7000 14.8000 14.9000 15.0000 x0=25,2; t,x=ode45(shier,ts,x0);t,x,ans = 0 25.0000 2.0000 0.1000 27.0818 2.0041

16、 0.2000 29.3344 2.0170 0.3000 31.7689 2.0394 0.4000 34.3961 2.0726 0.5000 37.2258 2.1178 0.6000 40.2673 2.1767 0.7000 43.5012 2.2534 0.8000 46.9360 2.3503 0.9000 50.6072 2.4683 1.0000 54.5301 2.6106 1.1000 58.6999 2.7819 1.2000 63.0917 2.9891 1.3000 67.6604 3.2411 1.4000 72.3409 3.5484 1.5000 77.047

17、9 3.9238 1.6000 81.6759 4.3819 1.7000 86.0996 4.9391 1.8000 90.1732 5.6140 1.9000 93.7311 6.4268 2.0000 96.5873 7.4000 2.1000 98.5360 8.5577 2.2000 99.3055 9.9234 2.3000 98.6143 11.5085 2.4000 96.2851 13.3067 2.5000 92.2472 15.2882 2.6000 86.5853 17.3947 2.7000 79.5349 19.5427 2.8000 71.5364 21.6225

18、 2.9000 63.0848 23.5300 3.0000 54.6236 25.1819 3.1000 46.5441 26.5163 3.2000 39.1860 27.4921 3.3000 32.7932 28.0978 3.4000 27.3368 28.3766 3.5000 22.7375 28.3764 3.6000 18.9134 28.1426 3.7000 15.7771 27.7178 3.8000 13.2354 27.1426 3.9000 11.1873 26.4556 4.0000 9.5278 25.6911 4.1000 8.1758 24.8740 4.

19、2000 7.0684 24.0245 4.3000 6.1592 23.1580 4.4000 5.4185 22.2853 4.5000 4.8129 21.4162 4.6000 4.3124 20.5582 4.7000 3.8967 19.7164 4.8000 3.5500 18.8948 4.9000 3.2601 18.0961 5.0000 3.0181 17.3219 5.1000 2.8154 16.5735 5.2000 2.6460 15.8515 5.3000 2.5047 15.1562 5.4000 2.3872 14.4875 5.5000 2.2898 13

20、.8454 5.6000 2.2099 13.2295 5.7000 2.1455 12.6393 5.8000 2.0953 12.0740 5.9000 2.0578 11.5330 6.0000 2.0317 11.0154 6.1000 2.0162 10.5207 6.2000 2.0106 10.0479 6.3000 2.0143 9.5964 6.4000 2.0270 9.1653 6.5000 2.0483 8.7539 6.6000 2.0781 8.3614 6.7000 2.1164 7.9870 6.8000 2.1632 7.6300 6.9000 2.2188

21、7.2897 7.0000 2.2833 6.9654 7.1000 2.3573 6.6565 7.2000 2.4410 6.3622 7.3000 2.5351 6.0821 7.4000 2.6401 5.8155 7.5000 2.7566 5.5618 7.6000 2.8855 5.3204 7.7000 3.0276 5.0910 7.8000 3.1837 4.8729 7.9000 3.3549 4.6656 8.0000 3.5424 4.4688 8.1000 3.7478 4.2819 8.2000 3.9723 4.1046 8.3000 4.2174 3.9365

22、 8.4000 4.4847 3.7773 8.5000 4.7761 3.6265 8.6000 5.0937 3.4838 8.7000 5.4398 3.3490 8.8000 5.8171 3.2217 8.9000 6.2283 3.1017 9.0000 6.6766 2.9888 9.1000 7.1653 2.8826 9.2000 7.6978 2.7831 9.3000 8.2781 2.6900 9.4000 8.9100 2.6032 9.5000 9.5980 2.5225 9.6000 10.3468 2.4479 9.7000 11.1620 2.3794 9.8

23、000 12.0494 2.3166 9.9000 13.0153 2.2596 10.0000 14.0665 2.2084 10.1000 15.2102 2.1629 10.2000 16.4541 2.1233 10.3000 17.8063 2.0898 10.4000 19.2755 2.0627 10.5000 20.8708 2.0422 10.6000 22.6016 2.0287 10.7000 24.4779 2.0228 10.8000 26.5102 2.0249 10.9000 28.7093 2.0355 11.0000 31.0844 2.0558 11.1000 33.6416 2.0875 11.2000 36.3982 2.1308 11.3000 39.3680 2.1869 11.4000 42.5598 2.2573 11.5000 45.9776 2.3447 11.6000 49.6205 2.4525 11.7000 53.4829 2.5849 11.8000 57.5539 2.7468 11.9000 61.8180 2.9441 12.0000 66.2549 3.1834 12.1000 70.8428 3.4692 1