回歸課本（精品）

1、1回歸課本講義整合回歸課本講義整合一、集合與邏輯一、集合與邏輯1 1、區(qū)分集合中元素的形式、區(qū)分集合中元素的形式：如：函數(shù)的定義域；函數(shù)的xyxlg|xyylg|值域；函數(shù)圖象上的點集，xyyxlg| ),(如：如：（1）設集合，集合 N，則 |3Mx yx2|1,y yxxM_ （答：MN 1,)（2）集合，集合 342xxyxM3,6,cos3sinxxxyyN （答：）MN 1 2 2、條件為、條件為，在討論的時候不要遺忘了，在討論的時候不要遺忘了的情況的情況BAA如：如：（1）若非空非空集合，則5312/axaxA0)22)(3/(xxxB使得成立的 a 的集合是_ （答：）BAA96

2、 a（2）集合 M=N =若NM ，則實數(shù) a,04/2axxx,02/2 xxx的取值范圍為_（條件為，在討論的時候不要遺忘了的情況）BAA （答：）3a（3），如果，求的取值。 （答：a0）012|2xaxxARAa3 3、; ; |BxAxxBA且|BxAxxBA或CUA=x|xU 但 xA;真子集怎定義？如：如：含 n 個元素的集合BxAxBA則的子集個數(shù)為 2n,真子集個數(shù)為 2n1;如：如：滿足集合 M 有_個。 （答：7）1,21,2,3,4,5M4 4、C CU U(AB)=C(AB)=CU UACACU UB;B; C CU U(AB)=C(AB)=CU UACACU UB;

3、B;5 5、AB=AAB=AAB=BAB=BA AB BC CU UB BC CU UA AACACU UB=B=C CU UAB=UAB=U6 6、補集思想常運用于解決否定型或正面較復雜的有關問題。、補集思想常運用于解決否定型或正面較復雜的有關問題。如：如：（1）若關于的不等式的解集是，則的取值范圍是xaxx|1|2|a_（答：）3a2（2）已知函數(shù)在區(qū)間上至少存在一個12)2(24)(22ppxpxxf 1 , 1實數(shù)，使，求實數(shù)的取值范圍。 （答：）c0)(cfp3( 3, )27 7、原命題、原命題: : ; ;逆命題逆命題: : ; ;否命題否命題: : ；逆否命題；逆否命題: :

4、；互；互pqqppq qp 為逆否的兩個命題是等價的為逆否的兩個命題是等價的. . 如：如：（1）“”是“”的 條件。（答：充分非必要條件）sinsin （2）設命題“已知函數(shù)，使得，:p0, 1)(002yRxmxxxf00)(yxf命題：“不等式有實數(shù)解”，若且為真命題，則實數(shù)的取值q229mxpqm范圍為_ （答：）)3 , 22, 3(8 8、若、若且且; ;則則 p p 是是 q q 的充分非必要條件（或的充分非必要條件（或 q q 是是 p p 的必要非充分條件）的必要非充分條件）; ; pqqp如：如：寫出“成立”的一個必要而不充分條件_ （答：比范圍大即21 x)3 , 1(可

5、）9 9、注意命題、注意命題的否定與它的否命題的區(qū)別的否定與它的否命題的區(qū)別: : pq命題的否定是；否命題否命題是pqpq pq 命題“p 或 q”的否定是“P 且Q”，“p 且 q”的否定是“P 或Q” 注意：注意：如：如：命題：“若和都是偶數(shù)，則是偶數(shù)”abba 否命題：“若和不都是偶數(shù)，則是奇數(shù)”abba 命題的否定：“若和都是偶數(shù)，則是奇數(shù)”abba 二、函數(shù)與導數(shù)二、函數(shù)與導數(shù)1、指數(shù)式、對數(shù)式指數(shù)式、對數(shù)式：， ，mnmnaa1mnmnaa當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時， . nnnaan,0|,0nna aaaa a15lg2lg3，01(0)aalog(0,1,0)baaNNb a

6、aNbabalog, ,; logaNaN()log()logmnaanbbmlog ()loglogaaaMNMN; logloglogaaaMMNN1loglogabba如：如：的值為_（答：） = （答：1）2log81( )264133)5(lg5lg2lg3)2(lg2 2、一次函數(shù)、一次函數(shù):y=ax+b(a0):y=ax+b(a0) b=0b=0 時奇函數(shù)時奇函數(shù); ;3 3、二次函數(shù)、二次函數(shù)三種形式:一般式 f(x)=ax2+bx+c(對稱軸,a0,頂點);頂點abx2)44,2(2abacab式 f(x)=a(x-h)2+k;零點式 f(x)=a(x-x1)(x-x2)(對

7、稱軸);b=0 偶函數(shù);221xxx區(qū)間最值:配方后一看開口方向,二討論對稱軸與區(qū)間的相對位置關系; 如：如：(1) 已知函數(shù)在區(qū)間上有最小值 3，求的 224422aaaxxxf 2 , 0a值 (答:)105 ,21a（2）若函數(shù)的定義域、值域都是閉區(qū)間，則 （答：42212xxy2 , 2bb2）實根分布:先畫圖再研究開口、開口、00、對稱軸與區(qū)間關系對稱軸與區(qū)間關系、區(qū)間端點函數(shù)值符區(qū)間端點函數(shù)值符號號;4 4、反比例函數(shù)、反比例函數(shù): :平移平移(中心為(b,a) ，對勾函數(shù)是奇)0 x(xcybxcayxaxy函數(shù),， 上為增函數(shù)，在區(qū)間時)0(),0(,0a遞減，在時)0 ,0(

8、,0aaa遞增，在),a,a(5 5、冪、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)：、冪、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)：（1）若，,0.52a log 3b 22log sin5c 則的大小關系為 （答：）cba,abc（2）設，則使函數(shù)的定義域為且為奇函數(shù)的所有值為 1 或 311132a ，ayxRa4（3）不等式的解集是 方程的解是 1) 1lg(x)11, 1 (07369xx）7log3（4）函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點個數(shù)是 2441( )431xxf xxxx， ，2( )logg xx（答：3 個）（5）、冪函數(shù) y=，當取不同的正數(shù)時，在區(qū)間0，1上它們的圖像是一族美麗的x曲線（如圖）設點

9、A（1，0），B（0，1），連接 AB，線段 AB 恰好被其中的兩個冪函數(shù) y=，y=的圖像三等分，即有xxBM=MN=NA那么，=_ （答：1）（6）、設二元一次不等式組2190802140 xyxyxy所表示的平面區(qū)域的圖象沒有經(jīng)過域的取值范圍 (0 xMyaa為，若函數(shù),1)a ,Ma則（答：）9, 21 , 10aaa6 6、單調(diào)性、單調(diào)性定義法;導數(shù)法. （1）設那么2121,xxbaxx上是增函數(shù)；1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是減函數(shù).1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在(

10、2)設函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導，如果，則為增函數(shù)；如果)(xfy 0)( xf)(xf，則為減函數(shù).0)( xf)(xf如：如：（1）已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是_ 3( )f xxax1,)a(答：)；(,3(2) 函數(shù)在上為增函數(shù)，則的取值范圍為_（答：|)(axxxf), 0 a）0a注意注意：能推出為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)在0)( xf)(xf3)(xxfNMyBAx5上單調(diào)遞增，但，是是為增函數(shù)的充分不必要條件。為增函數(shù)的充分不必要條件。),(0)( xf0)( xf)(xf注意注意：函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的逆用嗎?（比較大?。唤獠坏仁?；求參數(shù)范圍）.如：如：已知奇函數(shù)是定

11、義在上的減函數(shù),若，求實)(xf)2 , 2(0) 12() 1(mfmf數(shù)的取值范圍。（答：）m1223m復合函數(shù)由同增異減判定 圖像判定. 作用:比大小,解證不等式. 如：如：（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_(答：（1,2）)。212log2yxx（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取) 10)(log)(3aaxxxfa)0 ,21(a值范圍是_(答： ) 1 ,437 7、奇偶性：、奇偶性：f(x)是偶函數(shù)f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函數(shù)f(-x)=-f(x);定義域定義域含零的奇函數(shù)過原點含零的奇函數(shù)過原點(f(0)=0);(f(0)=0);定義域關于原點對稱是為奇函數(shù)

12、或偶函數(shù)的必要而不充分定義域關于原點對稱是為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要而不充分的條件的條件。 如：如：（1）若函數(shù)（a為常數(shù)）在定義域上為奇函數(shù)，則k= （答：2( )12xxkf xk）1k（2）定義在 R 上的偶函數(shù)在上是減函數(shù)，若，則的)(xf0 ,()2() 1(afafa取值范圍是_ （答：）23a（3）已知函數(shù)y=f(x),x1，1的圖象是由以原點為圓心的兩段圓弧及原點構(gòu)成（如圖所示）, 則不等式的()( )2 3fxf xx的解集為 （答：）)21, 0()21, 1（4）已知函數(shù)是定義在 R 上的奇函數(shù)，)(xf0) 1 (f，則不等式的解集是 （答：0)()(2xxfxf x）（0

13、 x0)(2xfx）), 1 ()0 , 1(8 8、周期性。、周期性。（1）類比“三角函數(shù)圖像”得：6如：如：已知定義在上的函數(shù)是以 2 為周期的奇函數(shù)，則方程在R( )f x( )0f x 上至少有_個實數(shù)根（答：5） 2,2（2）由周期函數(shù)的定義“函數(shù)滿足，則是周期為( )f x xafxf(0)a ( )f x的周期函數(shù)”得：a函數(shù)滿足，則是周期為 2的周期函數(shù)；( )f x xafxf( )f xa若恒成立，則；1()(0)( )f xaaf x2Ta若恒成立，則.1()(0)( )f xaaf x 2Ta如：如：(1) 設是上的奇函數(shù)，當時，)(xf),()()2(xfxf10 x

14、，則 等于_(答：)；xxf)()5 .47(f5 . 0（2）若是 R 上的偶函數(shù)，是 R 上的奇函數(shù)，則與的大)(xf) 1( xf)4( xf)(xf小關系為_ （答：）)()4(xfxf（3）定義在上的偶函數(shù)滿足，且在上是減函數(shù)，R( )f x(2)( )f xf x 3, 2若是銳角三角形的兩個內(nèi)角，則的大小關系為_ , (sin),(cos)ff(答：)(sin)(cos)ff9、常見的圖象變換常見的圖象變換函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸向左或向右axfy xfy x)0(a平移個單位得到的。)0( aa如如：（1）要得到的圖像，只需作關于_軸對稱的圖像，)3lg(xyxylg再向_

15、平移 3 個單位而得到(答：；右)；y（2）函數(shù)的圖象與軸的交點個數(shù)有_個(答：2)( )lg(2) 1f xxxx函數(shù)+的圖象是把函數(shù)助圖象沿軸向上或向下 xfy a xfy y)0(a平移個單位得到的；)0( aa函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸伸縮為原來的得 axfy )0(a xfy xa1到的。如：如：（1）將函數(shù)的圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變），再( )yf x13將此圖像沿軸方向向左平移 2 個單位，所得圖像對應的函數(shù)為_(答：)；x(36)fx7（2）如若函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的對稱軸方程是_(答：(21)yfx(2 )yfx)12x 函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸伸縮為

16、原來的倍得 xafy )0(a xfy ya到的.1010、函數(shù)的對稱性、函數(shù)的對稱性滿足條件的函數(shù)的圖象關于直線對稱。f xaf bx2abx如：如：已知二次函數(shù)滿足條件且方程)0()(2abxaxxf)3()5(xfxf有等根，則_ (答：)； xxf)()(xf212xx點關于軸的對稱點為；函數(shù)關于軸的對稱曲線方程為( , )x yy(, )x y xfy y；xfy點關于軸的對稱點為；函數(shù)關于軸的對稱曲線方程為( , )x yx( ,)xy xfy x； xfy點關于原點的對稱點為；函數(shù)關于原點的對稱曲線方程為( , )x y xfy ； xfy點關于直線的對稱點為；曲線( , )x

17、yyxa (,)xy( (),)yaxa 關于直線的對稱曲線的方程為。( , )0f x y yxa ( (),)0fyaxa 特別地，點關于直線的對稱點為；曲線關于直線( , )x yyx( , )y x( , )0f x y 的對稱曲線的方程為；點關于直線的對稱點為；yx( , )0f y x ( , )x yyx (,)yx曲線關于直線的對稱曲線的方程為。( , )0f x y yx (,)0fyx如：如：己知函數(shù),若的圖像是,它關于直線33( ),()232xf xxx) 1( xfy1C對稱圖像是關于原點對稱的圖像為對應的函數(shù)解析式是yx22,CC33,CC 則_（答：）；221xy

18、x 若 f(ax)f(b+x),則 f(x)圖像關于直線 x=對稱;兩函數(shù) y=f(a+x)與 y=f(b-x)圖2ba 像關于直線 x=對稱。2ab 提醒提醒：證明函數(shù)圖像的對稱性，即證明圖像上任一點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在圖像上；如：如：已知函數(shù)。求證：函數(shù)的圖像關于點)(1)(Raxaaxxf)(xf成中心對稱圖形。( , 1)M a 曲線關于點的對稱曲線的方程為。( , )0f x y ( , )a b(2,2)0faxby如：如：若函數(shù)與的圖象關于點（-2，3）對稱，則xxy2)(xgy 8_（答：）)(xg276xx形如的圖像是雙曲線，對稱中心是點。(0,)axbycad

19、bccxd(, )d ac c如：如：已知函數(shù)圖象與關于直線對稱，且圖象C2: (1)1C y xaaxayx關于點（2，3）對稱，則a的值為_ （答：2）C（1）的圖象先保留原來在軸上方的圖象，作出軸下方的圖象)(xfy ( )f xxx關于軸的對稱圖形，然后擦去軸下方的圖象得到；xx（2）的圖象先保留在軸右方的圖象，擦去軸左方的圖象，然)( xfy ( )f xyy后作出軸右方的圖象關于軸的對稱圖形得到。yy如：如：（1）作出函數(shù)及的圖象；2|log (1)|yx2log |1|yx（2）若函數(shù)是定義在 R 上的奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象)(xf)()()(xfxfxF關于_對稱 （答：軸）y1

20、111、求解抽象函數(shù)問題的常用方法是：、求解抽象函數(shù)問題的常用方法是：（1）借鑒模型函數(shù)進行類比探究。幾類常見的抽象函數(shù) ：正比例函數(shù)型： -；( )(0)f xkx k()( )( )f xyf xf y冪函數(shù)型： -，；2( )f xx()( ) ( )f xyf x f y( )( )( )xf xfyf y指數(shù)函數(shù)型： -，； ( )xf xa()( ) ( )f xyf x f y( )()( )f xf xyf y對數(shù)函數(shù)型： -，；( )logaf xx()( )( )f xyf xf y( )( )( )xff xf yy三角函數(shù)型： - 。( )tanf xx( )( )()

21、1( ) ( )f xf yf xyf x f y如：如：已知是定義在 R 上的奇函數(shù)，且為周期函數(shù)，若它的最小正周期為 T，則)(xf_（答：0）)2(Tf1212、反函數(shù)、反函數(shù): :互為反函數(shù)的兩函數(shù)圖像關于 y=x 對稱.互為反函數(shù)的兩函數(shù)具相同單調(diào)性原函數(shù)定義域是反函數(shù)的值域,原函數(shù)值域是反函數(shù)的定義域。如：如：已知函數(shù)的圖象過點(1,1),那么的反函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點( )yf x4fx_（答：（1,3）；1313、題型方法總結(jié)、題型方法總結(jié)（）判定相同函數(shù)判定相同函數(shù):定義域相同且對應法則相同（）求函數(shù)解析式的常用方法：求函數(shù)解析式的常用方法：（1）待定系數(shù)法已知所求函數(shù)的類型（

22、二次函數(shù)的表達形式有三種：一般式：；頂點式：；零點式：2( )f xaxbxc2( )()f xa xmn）12( )()()f xa xxxx如：如：已知為二次函數(shù)，且 ，且 f(0)=1,圖象在 x 軸上截( )f x)2()2(xfxf9得的線段長為 2,求的解析式 。 （答：2( )f x）21( )212f xxx（2）代換（配湊）法已知形如的表達式，求的表達式。( ( )f g x( )f x如：如：（1）已知求的解析式 （答：,sin)cos1 (2xxf 2xf）；242()2,2,2f xxxx （2）若，則函數(shù)=_ （答：221)1(xxxxf) 1( xf）；223xx（

23、3）若函數(shù)是定義在 R 上的奇函數(shù)，且當時，)(xf), 0( x，那么當時，=_ )1 ()(3xxxf)0 ,(x)(xf（答：）. 3(1)xx（3）方程的思想對已知等式進行賦值，從而得到關于及另外一個函數(shù)的方程( )f x組。如：如：（1）已知，求的解析式 （答：( )2 ()32f xfxx）；2( )33f xx （2）已知是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且+= ,則( )f x)(xg( )f x( )f x)(xg11x= （答：）。( )f x122x（）求定義域）求定義域:使函數(shù)解析式有意義解析式有意義(如:分母?;偶次根式被開方數(shù)?;對數(shù)真數(shù)?，底數(shù)?;零指數(shù)冪的底數(shù)?);實際問題有

24、意義實際問題有意義;若 f(x)定義域為a,b,復合函數(shù) fg(x)定義域由ag(x)b 解出；若 fg(x)定義域為a,b,則 f(x)定義域相當于 xa,b時 g(x)的值域；如：如：（1）若函數(shù)的定義域為，則的定義域為_（答：)(xfy 2 ,21)(log2xf）；42| xx（2）若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為_ （答：2(1)f x 2,1)( )f x1,5）（）求值域）求值域: 配方法：如：如：求函數(shù)的值域 （答：4,8）；225, 1,2yxxx 逆求法（反求法）：10如：如：通過反解，用來表示，再由的取值范圍，通過解不等式，得31 3xxy y3x3x出的取值范圍（答：

25、（0,1）；y 換元法：如：如：（1）的值域為_（答：）；22sin3cos1yxx17 4,8（2）的值域為_（答：）（令，211yxx 3,1xt 。0t 運用換元法時，要特別要注意新元運用換元法時，要特別要注意新元 的范圍的范圍；t三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運用三角函數(shù)有界性來求值域；如：的值域 （答：）；2sin11cosy3(, 2不等式法利用基本不等式求函數(shù)的最值。2( ,)abab a bR如：如：設成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的取值范圍是12,x a ay12,x b by21221)(bbaa _.（答：）。(,04,)單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性

26、求值域。如：如：求，的值1(19)yxxx229sin1 sinyxx232log5xyx域為_（答：、）；80(0,)911,920,數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來求值域。如：如：（1）已知點在圓上，求及的取值范圍（答：( , )P x y221xy2yx2yx、）；33,335, 5（2）求函數(shù)的值域（答：）；22(2)(8)yxx10,) 判別式法：如：如：（1）求的值域 （答：）；21xyx1 1,2 2（2）求的值域（答：）211xxyx(, 31,) 11導數(shù)法;分離參數(shù)法;如：如：求函數(shù)，的最小值。（答：48）32( )2440f xxxx 3,3x 用 2

27、種方法求下列函數(shù)的值域：32( 1,1)32xyxx ；)0 ,(,32xxxxy)0 ,(,132xxxxy（V V）解應用題）解應用題:審題(理順數(shù)量關系)、建模、求模、驗證.(VI)(VI)恒成立問題恒成立問題:分離參數(shù)法;最值法;化為一次或二次方程根的分布問題.af(x)恒成立af(x)max,; af(x)恒成立af(x)min; 如：如：（1）若不等式對恒成立，則 a 的取值范圍是04)2(2)2(2xaxaRx_（答：）2 , 2(2)對于任意，函數(shù)的值恒大于零，那么 1,1a 2( )(4)42f xxaxa的取值范圍是 （答：）x), 3() 1 ,(（3）已知：不等式0lo

28、g2xxm.在210 x上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_（答：）) 1 ,161(4)設函數(shù)，若時，恒成立，則實數(shù)的取xxxf3)(02(cos )(1)0f mfm值范圍是 _（答;m0)成等比； 若bn(bn0)等比,則logcbnnb1nnba nac(c0 且 c1)等差。如：如：（1）若是等比數(shù)列，且，則 （答：1）na3nnSrr（2）已知是等比數(shù)列，則=_ na22a84a1433221nnaaaaaaaa（答：）3)41 (2n（3）數(shù)列滿足 na.27),2,( 12231anNnaannn（1）求的值； （答：）21,aa9, 221aa（2）是否存在一個實數(shù) t，使得且數(shù)

29、列為等差數(shù)列？),)(21Nntabnnn nb若存在，求出實數(shù) t；若不存在，請說明理由。 （答:）1t3 3、首項正的遞減、首項正的遞減( (或首項負的遞增或首項負的遞增) )等差數(shù)列等差數(shù)列前 n 項和最大(或最小)問題,轉(zhuǎn)化為解不等式,或用二次函數(shù)處理;(等比前 n 項積?)，)00(0011nnnnaaaa或由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項嗎？ 如如: :（1）等差數(shù)列中，問此數(shù)列前多少項和最大？并求此最大值。（答：前na125a 917SS13 項和最大，最大值為 169）；（2）若是等差數(shù)列，首項，則使前n項和na10,a 200320040aa200320040aa成立的最大

30、正整數(shù)n是 （答：4006）0nS 15（3）設為等差數(shù)列的前 n 項和，若,則中最小的是nSna0, 0993Saa,321SSS_(答)5S（4）已知為等差數(shù)列，若，且它的前 n 項和 Sn有最大值，那么當 Sn取得最小正值時，na11011aan=_（答：19）（5）等差數(shù)列滿足，且，為的前 n 項和，則 Sn中的最大項是 na13853aa 01anSna（答：）20S4 4、基本量方法：、基本量方法：等差數(shù)列中 an=a1+(n-1)d; Sn=dnnna2) 1(12)(1naan等比數(shù)列中 an= a1 qn-1; 當 q=1,Sn=na1 當 q1,Sn=qqan1)1 (1q

31、qaan11如：如：數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，并且，是等比數(shù)列的相鄰三項，若， na5a8a13a nb25b 則等于 （答：）nb2)35(5nnb5 5、利用等差（比）數(shù)列的性質(zhì)：、利用等差（比）數(shù)列的性質(zhì)：等差數(shù)列中, （1）an=am+ (nm)d, ;nmaadnm（2）當 m+n=p+q,am+an=ap+aq；若，則2mnp2mnpaaa（3）任意連續(xù) m 項的和構(gòu)成的數(shù)列 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍為等差數(shù)列.（4）等差數(shù)列an,項數(shù) 2n 時,S偶-S奇nd;項數(shù) 2n-1 時,S奇-S偶an ; 項數(shù)為 時，則;項n2qSS奇偶數(shù)為奇數(shù)時，

32、21n1SaqS奇偶等比數(shù)列中，（1）; n mnmaa qmnmnqaa（2）若，則;若，則；2mnp2pmnaaa（3）等比數(shù)列的任意連續(xù)項的和且不為零時不為零時構(gòu)成的數(shù)列nam仍為等比數(shù)列. 如：公比為-1 時，、-、-23243mmmmmmmSSSSSSS、4S8S4S12S、不成等比數(shù)列。8S如：如：（1）在等比數(shù)列中，公比 q 是整數(shù)，則=_（答：na3847124,512aaa a 10a512）；16（2）各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則 na569aa3132310logloglogaaa（答：10）。（3） 一個等差數(shù)列共n項，其和為 90，這個數(shù)列的前 10 項的和為 2

33、5，后 10 項的和為 75，則項數(shù)為_ （答：18）n（4）等比數(shù)列中，前四項之和為 240，第二、第四項之和為 180，則首項為 na（答：6）（5） 等差數(shù)列的前 12 項的和是 98，前 98 項的和是 12，則的前 110 項的和為nana_ （答：）110（6）設等比數(shù)列的公比為，前 n 項和為，若成等差數(shù)列，則的值為naqnS21,nnnSSSq_（注意在運用等比求和公式時對公比進行討論） （答：q）2q（7）設等差數(shù)列的前項和為，已知nannS, 1) 1(2009) 1(232aa，則下列結(jié)論正確的是_1) 1(2009) 1(200832008aa（1） （2）220082

34、009,2009aaS220082009,2009aaS （3） （4）220082009,2008aaS220082009,2008aaS6 6、 等差三數(shù)等差三數(shù)為 a-d,a,a+d;四數(shù) a-3d,a-d,a+d,a+3d;等比三數(shù)可設 a/q,a,aq；四個數(shù)成等比的錯誤設法：a/q3,a/q,aq,aq3 (為什么？) 如：如：有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個成等比數(shù)列，且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是 16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和為 12，求此四個數(shù)。 （答：15，,9，3,1 或 0,4，8,16）7 7、求數(shù)列、求數(shù)列aan n 的最大、最小項的方法（函數(shù)思想）：的最大、最

35、小項的方法（函數(shù)思想）：an+1-an= 如如 an= -2n2+29n-3 (an0) 如如 an= 答： 0001111nnaannn10) 1(9109aa an=f(n) 研究函數(shù) f(n)的增減性 如如 an= （答：）1562nn1312aa8 8、求通項常法求通項常法: : （1）已知數(shù)列的前 n 項和,求通項，可利用公式:nsna2)(n SS1)(n Sa1nn1n如：如：數(shù)列滿足，求（答：）na12211125222nnaaanna114,12,2nnnan（2）先猜后證17（3）遞推式為f(n) (采用累加法)；f(n) (采用累積法)；1nana1nana如：如：已知數(shù)

36、列滿足，則=_（答：na11a nnaann111(2)n na）121nan （4）構(gòu)造法形如形如、（為常數(shù)）的遞推數(shù)列1nnakab1nnnakab, k b如：如：已知，求 （答：）；111,32nnaaana1321nna （5）涉及遞推公式的問題，常借助于“迭代法”解決，適當注意以下 3 個公式的合理運用 an（anan-1）+(an-1an-2)+（a2a1）a1 ； an1122n1n1nnaaaaaaa如：如：數(shù)列an中,已知,則=_ （答：11a 2) 1(1nnannana）23 nan（6）倒數(shù)法形如的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項。11nnnaakab如：如：（1）已知，

37、求 （答：）；1111,31nnnaaaana132nan（2）已知數(shù)列滿足=1，求 （答：）1a11nnnnaaa ana21nan9 9、數(shù)列的求和、數(shù)列的求和數(shù)列求和的常用方法：關鍵找通項公式，確定項數(shù)。 公式法： 等差數(shù)列的求和公式， 等比數(shù)列的求和公式 分組求和法：在直接運用公式求和有困難時常，將“和式”中的“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和（如：通項中含因式，周期數(shù)列等等）n(-1)如：如：已知數(shù)列,滿足 an=，求 nan32 nnS倒序相加法：在數(shù)列求和中，如果和式到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列的通項與組合數(shù)相關聯(lián)，那么?？煽紤]選用倒序相加法，（等差數(shù)列求和公式）如

38、：如：（1）設，則11log)(2xxxfNnnnfnfnfan),1()2()1(=_ 2013a （2）已知，則_22( )1xf xx111(1)(2)(3)(4)( )( )( )234fffffff72錯位相減法：（“差比數(shù)列”的求和）如：如：已知數(shù)列,滿足 an=(2n-1)2n ，求nanS 裂項相消法：如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關聯(lián)，那么常選用裂項相消法求和，常用裂項形式有：（1）11 11()()n nkk nnk18（2） 2211111()1211kkkk211111111(1)(1)1kkkkkkkkk（3） （4）1111(1)(2)2(

39、1)(1)(2)n nnn nnn12(1)2(1)nnnnn 如：如：求和： （答：）111112123123n21nn四、三角函數(shù)四、三角函數(shù)1 1、三角函數(shù)的基本概念、三角函數(shù)的基本概念角度制與弧度制的互化：弧度，弧度， 弧度18018011)180(1857弧長公式：；扇形面積公式：。RlRlRS21212 如：如：已知扇形 AOB 的周長是 6cm，該扇形的中心角是 1 弧度，求該扇形的面積。 （答：2） 2cm2 2、函數(shù)、函數(shù) y=y=b b（） 五點法作圖;)sin(xA0, 0A振幅?相位?初相?周期 T=,頻率?=k 時奇函數(shù);=k+時偶函數(shù).單調(diào)增（減）區(qū)間，如增區(qū)22間

40、可有（）來求出的范圍2222kxkx對稱軸處對稱軸處 y y 取最值取最值,對稱中心處值為 0;余弦正切可類比. 如：如：（1）函數(shù)的奇偶性是_ （答：偶函數(shù)）；522ysinx（2）已知函數(shù)為常數(shù)），且，則_5_ 31f( x)axbsin x(a,b57f( )5f()（3）函數(shù)的圖象的對稱中心和對稱軸分別是_、_ )cos(sincos2xxxy、；128k(, )(kZ )28kx(kZ )（4）已知為偶函數(shù)，求的值。3f( x)sin( x)cos( x)6k(kZ )（5）函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是_ _（錯因不注意內(nèi)層函數(shù)的), 0)(26sin(2xxy單調(diào)性。）（答：）65,319

41、 (6) 已知函數(shù),設為常數(shù)，若在區(qū)間2( )4sin sin ()cos242xf xxx 0 ()yfx 上是增函數(shù)，求的取值范圍 (答：)2,23 w430變換: 正左移負右移；b 正上移負下移; )sin()sin(sin1|xyxyxy倍橫坐標伸縮到原來的左或右平移)sin(sinsin|1xyxyxy左或右平移倍橫坐標伸縮到原來的bxAyxAybA)sin()sin(|上或下平移倍縱坐標伸縮到原來的（1）要得到函數(shù)的圖像，只需將的圖像向左平移 個單位 )42cos(xyxy2sin（答：）8（2）將函數(shù)的圖像沿軸向右平移個單位（）所得的圖像關于xxy2cos32sinxa0a軸對稱

42、，求的最小值是 （答：）ya123 3、同角基本關系：、同角基本關系：，=，.22sincos1tancossintan1cot如：如：已知，則_；_（；11tantancossincos3sin2cossinsin235）；5134 4、正弦、余弦的誘導公式，、正弦、余弦的誘導公式，誘導公式簡記誘導公式簡記: :奇變偶不變奇變偶不變, ,符號看象限符號看象限( (注意：公式中始終視注意：公式中始終視 為銳角為銳角) )212( 1) sin ,sin()2( 1)s ,nnnco 212( 1)s ,s()2( 1)sin,nnconco(n 為偶數(shù))(n 為奇數(shù))(n 為偶數(shù))(n 為奇數(shù)

43、)20如：如：若，則角的終邊在第_象限。54)2sin(53)22sin(5 5、（、（1 1）和（差）角公式）和（差）角公式 ;sincoscossin)sin(;sinsincoscos)cos(.tantan1tantan)tan(tantantan()(1tantan)如：如：已知 tan tan是方程 x2+3x+4=0 的兩根，若，(-)，則+=_ （答：32,2）32錯因：沒有準確限制角的范圍。（2 2）二倍角公式）二倍角公式；cossin22sin2222sin211cos2sincos2cos；2tan1tan22tan變形公式： 22cos1sin22cos1cos2222

44、sin22cos1cos22cos1 1sincossin222sin2cos)2sin2(cossin12如：如：（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為255 3f( x)sinxcos xcos x532( xR)_（答：）51212k,k(kZ )（2） （答：2）40cos270tan10sin310cos20cot（3）已知，那么的最大值和最小值分別是_ 2sin6cosy（答：7 或）5（4）已知,則的取值范圍是_ cos4cos4cos52222coscos21（答：）2516, 0巧變角：巧變角：如，()()2()()，等），2()()22222如：如：（1）已知，那么的值是_ （答：2t

45、an()51tan()44tan()4）；322（2）已知為銳角，則與的函數(shù)關, sin,cosxy3cos()5 yx系為_（答：）23431(1)555yxxx 6 6、輔助角公式中輔助角的確定：、輔助角公式中輔助角的確定：(其中) 22sincossinaxbxabxtanba如：如：如果是奇函數(shù)，則= (答：2)； sin2cos()f xxxtan7 7、正弦定理、正弦定理: :2R=; （是外接圓直徑）AasinBbsinCcsinR2ABC； CBAcbasin:sin:sin:111sinsinsin222SabCbcAcaB； 內(nèi)切圓半徑 r=CRcBRbARasin2,si

46、n2,sin2cbaSABC2余弦定理：余弦定理：a =b +c -2bc;； ABC 中，222AcosbcacbA2cos222sinsinABABba 三角形內(nèi)角和定理 ：在ABC 中，有()ABCCAB. 222CAB222()CAB術(shù)語:坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基準方向為起點（一般為北方），依順時針方式旋轉(zhuǎn)至指示方向所在位置，其間所夾的角度稱之。方位角 的取值范圍是：0360如：如：（1）已知銳角三角形中，邊長滿足，且，ABC, a b2 3,2abab2sin()30AB則另一邊長= 答：c6（2）在中，分別是的對邊長，已知.ABCcba,CBA,AAcos3sin2()若

47、,求實數(shù)的值; （答：）mbcbca222m1m22()若,求面積的最大值. （答：）3aABC433maxS五、平面向量五、平面向量1 1、向量定義、向量模、零向量、向量定義、向量模、零向量、單位向量、相反向量(長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相a反向量是。)、共線向量、相等向量a如：如：與向量平行的單位向量_，垂直的單位向量_。5 ,12a（答：（）；（）1251313，5121313，2 2、向量加法與減法運算、向量加法與減法運算代數(shù)運算：(1) ;；BCABACACABCB nnnAAAAAAAA113221(2)若=（）, =（）則=（）a11, yxb22, yxab2121

48、,yyxx幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則。以向量=、=為鄰邊作平行四邊形 ABCD，則兩條對角線的向量=+,AB aAD bAC a b=,=.且有+BD ba DB abababab如：如：已知在平面直角坐標系中，O (0,0), M (1,21), N (0,1), Q (2,3), 動點P (x,y)滿足： 0OPOM1,0OPON1,則OPOQ的最大值為 （答：4）233 3、實數(shù)與向量的積：、實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量。a=；aa(1) 當0 時，與的方向相同；當0 時，與的方向相反；當=0 時，aaaa= a 0 (2)若=（），則=（）a11, yxa11,

49、yx兩個向量共線的充要條件：(1) 向量與非零向量共線的充要條件是：有且僅有一個實數(shù)，使得=baba(2) 若=（）, =（）則a11, yxb22, yxab01221yxyx4 4、向量的數(shù)量積、向量的數(shù)量積向量的夾角：已知兩個非零向量與，作=, = ,則AOB= （abOA aOBb）叫做向量與 的夾角（兩個向量必須有相同的起點）。001800ab兩個向量的數(shù)量積：兩個非零向量與，它們的夾角為，ab則=cos abab其中向量在方向上的投影為cos且cosbabbaba向量的數(shù)量積的性質(zhì)：若=（）, =（）a11, yxb22, yx（1）=cos (為單位向量)；ea aeae（2）=

50、0；ab ab02121yyxx（3）= ； （4）cos= =a2211a axy a bab 222221212121yxyxyyxx向量的數(shù)量積的運算律：= ； ()=()=()； ()=+ abbaababababcac24bc注意：與向量垂直且模相等的向量為或；),(nma ),(mnb),(mnb在平分線上的向量可以記為AOB)|(OBOBOAOAOC)0(向量與向量夾角為銳角且、不共線；ab ab0ab向量與向量夾角為鈍角且、不共線。ab ab0ab如：如：已知，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是 )2 ,(a)2 ,3(bab（答：或且）；43 0135 5、平面向量基本定理、

51、平面向量基本定理（1）若、是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有有且只有1e2e a一對實數(shù)，使得=+ 12a11e22e （2）有用的結(jié)論：若、是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，若一對實數(shù)，使得 1e2e 121+ =，則=0.1e22e 012特別：特別：則是三點 P、A、B 共線的充要條件如充要條件如平面直角坐標系中，OP12OAOB 121為坐標原點O如：如：已知兩點,若點滿足,其中且) 1 , 3(A)3 , 1(BCOCOBOA21R21,則點的軌跡是_ _ （答：直線 AB）121C6 6、三角形中一些向量結(jié)論、三角形中一些向量結(jié)論：在中，ABC為的重心

52、，特別地為的1()3PGPAPBPC GABC0PAPBPCP ABC重心；為的垂心； PA PBPB PCPC PAP ABC向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；()(0)|ACABABAC ABCBAC如：如：（1）若 O 是所在平面內(nèi)一點，且滿足，則ABC2OBOCOBOCOA 25的形狀為_ _ABC（答：直角三角形）（2）若為的邊的中點，所在平面內(nèi)有一點，滿足DABCBCABCP，設，則的值為_ _ 0PABPCP |APPD （答：2）（3）設點O在ABC的內(nèi)部且滿足:，現(xiàn)將一粒豆子隨機撒在ABC中，04OCOBOA則豆子落在OBC中的概率是_ （答：）32（4）若點是的

53、外心，且，則的內(nèi)角為_ _ OABC0OAOBCO ABCC（答：）120（5）O 是平面上一定點,A,B,C 是平面上不共線的三個點,動點 P 滿足,則 P 的軌跡一定通過ABC 的 心 ), 0),|(ACACABABOAOP（答：內(nèi)心）（6）為平面上的定點，A、B、C 是平面上不共線的三點，若( -)(+-2OOB OCOB OC)=0，則ABC 是 三角形 （答:等腰三角形）OA（7）已知是平面上不共線三點，設為線段垂直平分線上任意一點，若，,O A BPAB| 7OA ，則的值為 （答：12）| 5OB )(OBOAOP（8）等邊三角形 ABC 中，P 在線段 AB 上,且APAB

54、，若CP ABPA PB ，則實數(shù)的值是_ （答：）2217 7、 P P 分分的比為的比為,則=,0 內(nèi)分;0 且-1 外分.21PPPP12PP若 1 則(+);設 P(x,y),P1(x1,y1)，中點（x,y） 重心（x,y）OP211OP2OP.2,22121yyyxxx.3yyyy,3xxxx321321268 8、點、點按按平移得平移得,則 或 函數(shù)按平),(yxP),(kha ),(yxPPPakyyhxx)(xfy ),(kha 移得函數(shù)方程為：)(hxfky如：如：（1）按向量把平移到，則按向量把點平移到點_（答：a(2, 3)(1, 2)a( 7,2)（，）；（2）函數(shù)的

55、圖象按向量平移后，所得函數(shù)的解析式是，則xy2sina12cosxy_（答：）a) 1 ,4(六、不等式六、不等式1 1、注意課本上的幾個性質(zhì)，另外需要特別注意：、注意課本上的幾個性質(zhì)，另外需要特別注意：若 ab0，則。即不等式兩邊同號時，不等式兩邊取倒數(shù)，不等號方向要改變。ba11如果對不等式兩邊同時乘以一個代數(shù)式，要注意它的正負號，如果正負號未定，要注意分類討論。如：已知，則的取值范圍是_（答：11xy 13xy3xy）；137xy2、比較大小的常用方法：（1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果；（2）作商（常用于分數(shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；（3）分析法；（4）平方法；（5

56、）分子（或分母）有理化；（6）利用函數(shù)的單調(diào)性；（7）尋找中間量與“0”比，與“1”比或放縮法 ；(8)圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。如：如：（1）設，比較的大小 （答：當時，0, 10taa且21loglog21ttaa和1a （時取等號）；當時，（時取等11loglog22aatt1t 01a11loglog22aatt1t 號）；（2）設，試比較的大小 （答：）2a 12paa2422aaqqp,pq3 3、常用不等式：、常用不等式：若，（1）（當且僅當時取等號） 0,ba2222211ababababba ；（2）a、b、cR R，（當且僅當時，取等號）；222abc

57、abbccaabc（3）若，則（糖水的濃度問題）。0,0abmbbmaam如：如：如果正數(shù)、滿足，則的取值范圍是_ （答：）ab3baabab9,27基本變形： ； ；ba2)2(ba注意注意：一正二定三取等一正二定三取等；積定和最小,和定積最大。常用的方法為：拆、湊、平方；如：如：函數(shù)的最小值 （答：8）)21(4294xxxy若若，則的最小值是_ （答：）；21xy24xy2 2正數(shù)滿足，則的最小值為_ （答：）；, x y21xyyx1132 24 4、( (何時取等？何時取等？) )；|a|a；|a|abababa5 5、證法、證法:比較法:差比:作差-變形(分解或通分配方)-定號.另

58、:商比 綜合法-由因?qū)Ч? 分析法-執(zhí)果索因; 反證法-正難則反。 放縮法方法有：添加或舍去一些項，如：；aa12nnn ) 1(將分子或分母放大（或縮小）利用基本不等式，如：；4lg16lg15lg)25lg3lg(5lg3log22) 1() 1(nnnn利用常用結(jié)論：、；kkkkk21111、 ； （程度大）kkkkk111) 1(112111) 1(112kkkkk、 ； （程度?。?1111(21) 1)(1(111122kkkkkk換元法：常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。如：已知，可設；222ayxsin,cosayax已知，可設()；122 yxsin,cosryrx10 r已知

59、，可設；12222byaxsin,cosbyax已知，可設；12222byaxtan,secbyax28最值法,如：afmax(x),則 af(x)恒成立.6 6、解絕對值不等式、解絕對值不等式: :幾何法(圖像法)定義法(零點分段法);兩邊平方公式法：|f(x)|g(x) ;|f(x)|0)直徑式方程(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0。 確定圓的幾何要素（圓心和半徑、不在同一條直線上的三個點等）2 2、點與圓，直線與圓以及圓與圓的位置關系：、點與圓，直線與圓以及圓與圓的位置關系：（1）P(x0,y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2內(nèi)(上、外)(x0-a)2+(y0-

60、b)2r2) 設圓的直徑為 AB，則90 (90 ,90 )APBAPBAPB0(0,0)PA PBPA PBPA PB （2）直線與圓相交（相切，相離）有兩（一，零）個公共點(,)dr dr dr（3）圓與圓的位置關系轉(zhuǎn)化為圓心距與半徑的關系。設圓心距為 d,兩圓半徑分別為 r,R,則 dr+R兩圓相離;dr+R兩圓相外切;|Rr|dr+R兩圓相交;d|Rr|兩圓相內(nèi)切;db0);參數(shù)方程1byax2222sinbycosax定義:=e2c e=,a2=b2+c2 長軸長為 2a2a，短軸長為 2b2b相應d|PF|22ab1ac焦半徑左 PF1=a+ex,右 PF2=a-ex;左焦點弦,右