合理分派與會(huì)成員的數(shù)學(xué)模型

1、2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）： 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名

2、號(hào)的話）： 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜?參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 日期： 年 月 日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號(hào) 專 用 頁賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國前編號(hào)）：全國評(píng)閱編號(hào)（由全國組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：合理分派與會(huì)成員的數(shù)學(xué)模型摘要 本文在合理的假設(shè)之下，給出了兩種可行的分配方案（方案和方案），解決了關(guān)于多次合理分派與會(huì)成員的問題。按照問題的要求，確定了均衡分派原

3、則和分配比例原則及相應(yīng)的權(quán)值。方案是按照均衡分派原則給出了各會(huì)議小組的分配方案，計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果表明，這種分派方案是穩(wěn)定的，實(shí)際中葉很容易實(shí)現(xiàn)和調(diào)整。方案是按照分配比例原則，將內(nèi)部（在職）董事和外部董事按一定比例進(jìn)行分派，從而給出了合理的分派方案。并且，這種分派方案在我們?nèi)粘Ｉ钪杏兄鴱V泛的應(yīng)用。利用計(jì)算機(jī)模擬證明了在參加會(huì)議的人數(shù)很多，而分組數(shù)又相對(duì)較少的時(shí)候，應(yīng)用這種方案非常理想。如果通過適當(dāng)調(diào)整，則這種分派方案又可以應(yīng)用于許多不類型的分組會(huì)議的情況。最后，對(duì)有些董事在會(huì)議開始的最后一刻因故不能參見會(huì)議，或有些不在會(huì)議計(jì)劃名單上的成員要來參加會(huì)議的情況，都作了十分詳細(xì)的討論，并對(duì)可能出項(xiàng)的上

4、述兩種情況給出了簡單易行的調(diào)整方案。更進(jìn)一步，對(duì)這幾種方案的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行了分析。實(shí)際中希望綜合運(yùn)用這幾種分派方案，得到令人滿意的效果。1問題的重述為了討論重大問題，特別是像制定長遠(yuǎn)規(guī)劃的問題，召開小組討論會(huì)正變得越來越普遍。一般認(rèn)為，由多人參加的大會(huì)很難取得建設(shè)性的成果，甚至討論結(jié)果容易被某一位占支配地位的人控制或操縱。因此，在公司召開董事會(huì)議時(shí)，應(yīng)首先召集全體董事召開一些討論有關(guān)事務(wù)的小組會(huì)議，這些較小規(guī)模的分組會(huì)議仍然有被某一位占支配地位的人控制的危險(xiǎn)。為降低這種危險(xiǎn)，常用的辦法是安排每個(gè)小組開幾次會(huì)，每次會(huì)有不同的人參加。AnTostal公司的會(huì)議，參加者為29為公司董事會(huì)成員，其中9位是

5、在職董事（即公司的雇員）。會(huì)議要開一天，每個(gè)小組商務(wù)開三段，下午開四段，每段會(huì)議開45分鐘，從上午9:00到下午4:00沒整點(diǎn)開始開會(huì)，中午12:00午餐。上午的每段會(huì)議都有6個(gè)小組討論會(huì)，每個(gè)小組討論會(huì)都由公司的一位資深高級(jí)職員來支持討論，這些資深高級(jí)職員都不是董事會(huì)的成員。因此，每位資深高級(jí)職員都要主持三個(gè)不同的小組討論會(huì)。這些資深高級(jí)職員不參加下午的討論會(huì)，而且下午的每段會(huì)議只有4個(gè)不同的小組討論會(huì)。公司董事長需要一份由公司董事參加的7段分組會(huì)議的每個(gè)小組的分配名單。這份搭配名單要盡可能多地把董事均勻搭配。理想的搭配應(yīng)是任意兩位董事同時(shí)參加一個(gè)小組討論會(huì)的次數(shù)相同，一次同時(shí)，要使在不同時(shí)

6、段的小組會(huì)中同在一起開過會(huì)的董事總數(shù)達(dá)到最小。名單中的搭配還應(yīng)滿足下列兩個(gè)準(zhǔn)則：（1） 在上午的討論會(huì)上，不允許一位董事參加由同一位資深高級(jí)職員主持的兩次會(huì)議；（2） 每個(gè)分組討論會(huì)都應(yīng)將在職董事均勻分配到各小組中。給出一份19號(hào)在職董事、1029號(hào)董事、16號(hào)公司資深高級(jí)職員的分組搭配名單，說明該名單在多大程度上滿足里前面提出的各種要求和規(guī)則，因?yàn)橛械亩驴赡茉谧詈笠环昼娦疾粎⒓訒?huì)議，也可能不在名單上的董事將出席會(huì)議。一次，一個(gè)能使秘書在會(huì)前一小時(shí)接到參會(huì)與否的同時(shí)情況下，來調(diào)整搭配分組的算法肯定會(huì)得到贊賞。如果算法還能用于不同水平的與會(huì)者與參加后面會(huì)議中的每一類與會(huì)者搭配的話，就更理想了

7、。2模型的假設(shè)與符號(hào)說明2.1模型的假設(shè)（1）各場會(huì)議之間及各個(gè)小組之間是相對(duì)獨(dú)立的；（2）所有的高級(jí)職員和董事會(huì)成員都嚴(yán)格遵守派遣方案；（3）若能滿足每位董事出席會(huì)議的次數(shù)都相等，則模型被一位是最理想的；（4）6為資深高級(jí)職員之間無差異，同樣9位在職董事之間、20位外部董事之間也無差異。2.2符號(hào)的說明O=表示6位資深高級(jí)職員（i=1,2，6）的集合；M=表示所有董事會(huì)成員(i=1,2，29)的集合；I（9）=表示在職董事會(huì)成員(i=1,2，9)的集合；E（20）=M-I（9）表示外部董事成員(i=10,11，29)的集合；G表示在一次分組會(huì)議中第n組與會(huì)成員的集合；G表示分組會(huì)議的第n組經(jīng)

8、第次分派（每次分派一名成員）后的會(huì)議成員集合；表示董事會(huì)第i位成員與第j位成員分在同一組的次數(shù)；表示兩位董事會(huì)成員分在同一組時(shí)所賦予的權(quán)重；表示資深高級(jí)職員與董事會(huì)成員 (j=1,2，29)在此之前是否同組的指標(biāo)，即當(dāng)屬于同一組時(shí)取值為1，否則取值為0；R=表示在中在職董事的數(shù)量；表示理事會(huì)兩位內(nèi)部成員在同一個(gè)討論組中達(dá)到i次的對(duì)數(shù)；表示第i組中內(nèi)部董事數(shù)與外部董事數(shù)之比.3.模型的分析該問題需要我們對(duì)于安排不同的分組會(huì)議給出合理的分派方案，以有效降低會(huì)議被某一個(gè)人員支配控制的風(fēng)險(xiǎn)，從而確保討論的充分性。由上述假設(shè)易知，每位資深高級(jí)職員或董事會(huì)成員被分派到人一組的可能性事一樣的，同時(shí)，他們中的

9、任何讓人都不能根據(jù)其醫(yī)院選擇會(huì)議討論組。根據(jù)問題要求，我們總結(jié)出兩個(gè)分派原則：（1） 均衡分派原則：盡可能使得各討論組成員人數(shù)相等。（2） 分派比例原則：各會(huì)議討論組在職董事和外部董事的比例大致相等。于是，設(shè)想給出下面的兩種分派方案：方案. 如果公司總裁希望使個(gè)討論組的人數(shù)盡可能相等，則建議采用這個(gè)方案。顯然，這個(gè)問題絕對(duì)理想的結(jié)果是不存在的，但可以按如下方法使得結(jié)果盡可能達(dá)到理想狀態(tài)：每場上午的分組會(huì)議共分為6組，一個(gè)組由4位董事成員租場，其他5個(gè)組每組由5位董事成員組成。其中3個(gè)組每組有2位在職董事，而另外3個(gè)組每組只有1位在職董事。具體對(duì)于每個(gè)組成員的分派都是隨機(jī)的。方案. 在實(shí)際中的很

10、多情況下，不同類型與會(huì)者的比例是非常重要的，基于這一點(diǎn)，我們提出方案.由均衡分派原則，每組中在職董事和尾部董事的比例應(yīng)該近似相等，即應(yīng)大致為9/20=0.45,.由所給數(shù)據(jù)和題目要求可知，不存在恰好比例為9/20的分派方案，但可以從以下結(jié)果中挑選最接近的方案.上午： 或者下午：4.模型和建立4.1 模型：第一種分派方案第一步.上午第一場會(huì)議的分派方案.首先，隨即地把29位董事會(huì)成員大致均勻地分成6組，其中一個(gè)組由4位成員組成，其他5個(gè)組每組有5位成員.然后，隨即地將集合O中的6位資深高級(jí)職員分配到每一個(gè)組中，分別記為（i=1,2，6）.從而完成了第一場會(huì)議的分派.第二步.上午第二場會(huì)議的分派方

11、案.首先，隨機(jī)任取一個(gè)，將其分到中，即（i=1,2，6），從而使每個(gè)組都由一位資深高級(jí)職員（i=1,2，6）作為主持.然后，按下面的方法分派董事會(huì)成員：（1） 先為每一組分派第一個(gè)董事會(huì)成員.對(duì)于任一個(gè).若=0，則令.否則，隨機(jī)選擇另一個(gè)，直到并令，i=1,2,，6.這樣，就為每一個(gè)組分派了第一位董事會(huì)成員.（2） 假設(shè)已為每一個(gè)組分派了k-1位董事會(huì)成員，即已確定.要分派第k位董事會(huì)成員給，即確定= 隨機(jī)選擇一個(gè)計(jì)算的值，根據(jù)或分別考慮. 如果則考慮一下兩種情況：情況1.若即為在職董事會(huì)成員，并確定（）,則令集合（a）若<2，則令集合（b）若=2，選擇另外一位董事會(huì)成員直到且<2

12、為止，則令集合.情況2.如果即為外部董事會(huì)成員，記C=為所有候選的外部董事會(huì)成員的集合，對(duì)于每個(gè)C,計(jì)算q()=,在集合C中求出使得q()=的,并且令集合=，.如果=1,則可以選擇另一位董事會(huì)成員mM-G,直到b=0,同樣適用上述方法，也能確定集合G.G= G，i=1,2,，6,從而得到第二場會(huì)議的分派結(jié)果.第三步.類似上述方法分派上午第三場會(huì)議的分組結(jié)果.第四步.下午分組會(huì)議的分派方案安排：隨即任意選擇,M,作為下午的第一位成員.重復(fù)上面的第二步和第三步，注意在這里在職董事成員四個(gè)組的分配比例為2:2:2:3.這樣,就可以得到下午每場會(huì)議的分派方案.4.2模型II：第二種分派方案根據(jù)上面分析

13、,我們采用下面的分派方案將會(huì)得到最佳的比例,即有最理想的均衡性.在上午每一場討論會(huì)議的六個(gè)組中,取在職董事會(huì)成員與外部成員的比例分別為(A):1:2,1:2，1:2，2:4，2:5和2:5;或者(B) 1:2,1:2，1:3,2:4,2:4和2:5;在下午的會(huì)議四個(gè)組中,二者的比例均為2:4,2:4,2:5和3:7.上午會(huì)議的分派方案 首先考慮在職董事與外部董事的比例為1:2,1：2,1:2,2:4,2:4和2:5的情況.將6名資深高級(jí)職員隨機(jī)地分派到六個(gè)組中去.按照如下的方法分派各討論組的第一位成員:從9位在職董事成員中隨機(jī)選取mI(9),如果b=0,則令G= m；否則，另取I(9)（jj）

14、,并且b=0,則令G= m.將剩余的三位在職董事成員隨機(jī)分配到任意三個(gè)組中，就可以得到G.用模型I中第二步的方法進(jìn)行分派，我們給每個(gè)組分派兩位外部董事會(huì)成員.將剩下的E(20)中的8位成員，依照2:3:3的比例分配到包含兩位在職董事的三個(gè)組中去，并保證R=2。按照上面步驟，我們就可以得到上午三場會(huì)議的分組方案.對(duì)于在職董事與外部董事的比例為1:2,1:2，1:3,2:5，2:4,2:4的情況,上述方法仍適用.只需注意在步驟(4)中,將剩余8位外部董事中的7位依照2:2:3的比例分派到使R=1的組中去即可.下午會(huì)議的分派方案 在這里取在職董事會(huì)成員與外部董事會(huì)成員的比例分別為2:4,2:4,2:

15、5,3:7.(1) 隨機(jī)選取4位在職董事會(huì)成員,I(9),并令G= m，再選取m, m,m,mI(9)- G,使w()最小，同時(shí)令G=m,m,1j,j9,且j j，i=1,2,3,4.最后，將I(9)中最后剩下的一位在職董事會(huì)成員分派到能使w()最小得那一組中去.（2）同樣應(yīng)用模型I中的第二步方法，將使R=3或者1的組作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整使恰好為R=2.（3）將剩余6位外部董事會(huì)成員用模型I中第二步的方法較均勻地分派到四個(gè)討論組中去.5. 模型的求解結(jié)果 利用計(jì)算機(jī)模擬求解可以得到兩個(gè)模型的求解結(jié)果，即分組討論會(huì)的分派方案. 方案I.對(duì)于權(quán)值w(0)=0,w(1)=1,w(2)=3,w(3)=6,w(

16、4)=40,w(5)=100.具體的分組方案如下表3-1所示. 方案II. w(0)=0,w(1)=1,w(2)=3,w(3)=6,w(4)=40,w(5)=100. (A)上午分組比例1:2,1:2,2;4,2:5,2:5;下午分組比例2:4,2:4,2:5,3:7.具體分組方案如下表3-2所示.表3-1 方案的分組結(jié)果第一場會(huì)議分組第二場會(huì)議分組第三場會(huì)議分組第四場會(huì)議分組第五場會(huì)議分組第六場會(huì)議分組第七場會(huì)議分組表32 方案的分組方式（A）的分組結(jié)果第一場會(huì)議分組第二場會(huì)議分組第三場會(huì)議分組第四場會(huì)議分組第五場會(huì)議分組第六場會(huì)議分組第七場會(huì)議分組（B）上午分組比例1:2.，1:2,1:3

17、,2:4,2:5,2:5；下午分組比例2:4,2:4,2:5,3:7.具體分組結(jié)果如表3-3所示.表3-3方案的分組方式（B）的分組結(jié)果第一場會(huì)議分組第二場會(huì)議分組第三場會(huì)議分組第四場會(huì)議分組第五場會(huì)議分組第六場會(huì)議分組第七場會(huì)議分組6.模型的檢驗(yàn)與分析方案由計(jì)算機(jī)模擬的結(jié)果顯示：（=0，1，5）的變化對(duì)/2有一定的影響，但對(duì)期望E=和方差D=幾乎沒有影響。例如：如果對(duì)于權(quán)值=3，則計(jì)算結(jié)果為E1.310，D0.445。如果對(duì)于權(quán)值則計(jì)算結(jié)果為E1.306，D0.442。上面的結(jié)果表明方案的穩(wěn)定性令人滿意。通過大量的計(jì)算機(jī)模擬可以發(fā)現(xiàn)：都比較接近0，也較小，而，稍大，這也表明按現(xiàn)在題目的要求方

18、案是理想的。而當(dāng)與會(huì)者的人數(shù)較多，但分組數(shù)量較小時(shí)，該方案就不是十分理想了。方案.通過1000次的計(jì)算機(jī)仿真，我們發(fā)現(xiàn)的變化對(duì)/2幾乎沒有影響。如果對(duì)于權(quán)值，則計(jì)算結(jié)果為，E1.40，D0.75。如果對(duì)于權(quán)值則計(jì)算結(jié)果為E1.41，D0.74。這足以說明這個(gè)方案是穩(wěn)定的，也是理想的。方案在社會(huì)活動(dòng)中有廣泛的應(yīng)用，適當(dāng)?shù)男薷姆桨钢械呐汕卜绞?，就可以使之適用于各種不同類型的會(huì)議分組問題。如果與會(huì)者數(shù)目較大而分組數(shù)量較小，該方案較方案理想。7模型的進(jìn)一步討論如果出現(xiàn)了某些人臨時(shí)不能到會(huì)，或者事先，沒有預(yù)約的人來參加會(huì)議的情況，則可以采用下面的方法來調(diào)整會(huì)議的分組。1 一個(gè)理事會(huì)成員 因故不能出席分組

19、會(huì)議方案.若且=0，則從=2）中隨機(jī)選取，將其安排到中。否則，即=1，則無需調(diào)整。若且=2，則從中隨機(jī)選取，將其安排到中。否則就=無需調(diào)整。方案.若，且，使,則任意選取一個(gè)，將其安排到使的組中?；蛘呷稳“才诺街?。若，則可作類似調(diào)整。2 出現(xiàn)了一個(gè)事先沒有預(yù)約的成員（用表示）來參加會(huì)議方案.若是董事會(huì)內(nèi)部成員，則將其安排到中，使得=1。同時(shí)，我們將從（ji）中隨機(jī)選取，并將其安排到中。 若不是董事會(huì)內(nèi)部成員，將其安排到使=3的組中，或者將其安排到使=2的組中。 方案. 若是董事會(huì)內(nèi)部成員，將其安排到使內(nèi)部董事會(huì)與外部董事會(huì)之比最小的組中，否則，將其安排到使內(nèi)部董事會(huì)與外部董事會(huì)之比最大的組中。 當(dāng)有兩個(gè)或更多這種情況時(shí)，處理方法依此類推。參考文獻(xiàn)1姜啟源.數(shù)學(xué)模型（第二