數(shù)字信號處理試題

1、數(shù)字信號處理考試題一：試求如下序列的傅里葉變換1 1(1)X2(n) = 2 燈 1)8(n)石燈-1)(2) X3(n)=anu(n)0<a<1解: X2(e'CO44.')- X2 (n)en = e"- 1 e， n 221=1(ej 亠 e j ) = 1 亠 cos -21 / 12# / 12解：:X3® j 二-anu(n)e'nan =011 - ae# / 12# / 12二：設系統(tǒng)的單位脈沖響應h(m =anu(n), 0<a<1,輸入序列為 x(n)= Sn)+2 沁一2)完成下面各題：(1)求出系統(tǒng)輸出

2、序列y(n)；分別求出x(n)、 h(n)和y(n)的傅里葉變換。解 y(n) = h(n) x(n)工 anu(n) Sri)&n - 2)7；anu(n) 2an_2u(n - 2)(2)X (ej )八 Sn) 2 Sn - 2)/ n = 1 2尹n 二一二11- aejoOoCH(ej' anu(n)eT n 八 anj，nn -：n =01 + 2e_j 20Y(ej ) = H(ej ) X(ej )2e1 - ae J已知 x(n)=anu(n), 0<a<1。分別求:(1) x(n)的Z變換；(2) nx(n)的 Z 變換；a n ( n)的Z變換

3、。1 -az解：:X(z)二ZTanu(n)二 ' anu(n)z"n =-：# / 12(2)(3)ZTnx(n) VX(z八占7-oOoO.nn . n «. n n1ZTa u(_n) =、 a za zn Mn1 一 az四:已知線性因果網(wǎng)絡用下面差分方程描述:(1)(2)(3)解:(1)y(n)=0.9y(n 1)+x( n)+0.9x( n 1)y(n )=0.9y( n 1)+x( n)+0.9x(n 1)求網(wǎng)絡的系統(tǒng)函數(shù)H(z)及單位脈沖響應h(n);寫出網(wǎng)絡頻率響應函數(shù)H(ej 3的表達式，并定性畫出其幅頻特性曲線;設輸入x(n)=ej 3 Qn求

4、輸出y(n)。Y；z)=0.9Y(z)z 1+X(z)+0.9X(z)z 1h(n)二+jcH(z)zf令 F(z) = H(z)znJz 0.9 nJ z z-0.9nl時,c內(nèi)有極點0.9,z 0.9_“ “ n 1h(n) =ResF(z),0.9 =z (z - 0.9)z 0.9z=0.9 = 2 0.9nn=0時，c內(nèi)有極點0.9 ,0,h(n) = ResF(z),0.9 ResF(Z),Oz 0.9ResF，0.9"iT(z79)z+ 0.9z=0.9 二 2Res(F(z),0=z(z - 0.9)z h(n)=2 O.9nu(n 1)+ 旳)1 +0.9zz=0

5、八1最后得到(2) H(e ')二 FTh(n),1 -0.9z10.9ej1 -0.9e j極點為z仁0.9,零點為z2= 0.9。極零點圖如題 24解圖所示。按照極零點圖定性畫出的x(n)二 ej 0n幅度特性如題24解圖（b）所示。(3)y(n) =ej0nH(ej0) =ej0n10.9ej01 - 0.9e001.計算以下序列的N點DFT,在變換區(qū)間OW nH內(nèi)，序列定義為解:x(n)= 8n( no)N 二X(k)八聾譏財n=0N .1二 Wkn° atn-n。)n =0O<no<NwNkn0k = 0,1, N -1x(n)=Rm (n)0<m

6、<N解:X (k)=陽WNkn = 1ZWWNrn=01 WNn打(m)k(8)x(n)=si nn) RN(n)i nsin. mkN-Rn(QnkN丿sin8)解法一 直接計算：X8（n） =sin（ °n）傀（口）N -1X8(n) = 'X8(n)W品n=01 I N j( 0 -k)n _ £ eN2j *丄22j j( 0-Nk)3/12' -1 一 eNN -1-en R二丄ej 0n°nRN(n)2j1 N.-j2nknv j0n _ e j0 ne 人 2j n =0-j( - 0 2nk)nN1-ej 0Nj 0N_

7、77;_e-j(叱+葺)1 一 e-解法二 由DFT的共軛對稱性求解。因為 X7 (n)二 ej 0n Rn (n)二cos( 0n) j sin( “) Rn (n)所以X8(n)二 sin( °n)RN(n)二 Imx7(n)所以DFTjxs(n)二 DFTjImx7(n) = X7°(k)1 *即X8(k)jX7o(k) j2X7(k)-X7(N -k)(10)x(n)=nRN( n)N 二解：解法一：x(k)八 nWN" k=0,1, ,N -1n =0上式直接計算較難，可根據(jù)循環(huán)移位性質(zhì)來求解X(k)。因為x(n)=nRj(n),所以 x(n) x(n

8、1)nRn(n)+N 3(=Rj(n)等式兩邊進行DFT 得到X(k) X(k)WkN+N=N S (X(k)二NSk) -11 -WNkk =1,2, N -1N(N 1)2N(N -1)X(k)二k1-Wn,k = 0k =1, 2, N -1解法k=0 時,X(k)N八n =n =0N(N -1)2當k=0時，可直接計算得出X(0)為N 4X(0)八 n W(n =0這樣，X(k)可寫成如下形式: kO時，X(k) = 0 W, 2WNk 3WN3k(N -1)WrNN_1)kW(X(k) =0 Wr? 2WN"k(N -2)WNN')k (N -1)N -4X(k)

9、-W,X(k)八 W,m -(N -1)m =1- kn八 Wn _1 _(N -1) = -Nn _0X(k)二-N1 -Wn所以,X(k) =N(N 1)2-Nk-J -Wnk =0k =1,2, N -14.證明DFT的對稱定理，即假設X(k)二DFTx(n),證明DFTX( n) =Nx(N- k)N -J證：因為X(k) = ' x(n)wN"n兇5丿N 二NdZx(m)送 Wm+k)m=0n=0由于NV .A,n(k)L Wn=丿N m = N-kn =00m式N-k,0mN 1所以n=0所以NVDFTX(n)=E X(nWjE Z x(m)WN"n W

10、nDFT :X(n)二Nx(N k)k=0, 1, N 1例4.4.2假設系統(tǒng)函數(shù)如下式，畫出它的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)二-4-2(2-0.379Z )(4-1.24z5.264z )_11 2(1-0.5z )(1-z 0.5z )解:上式的分子分母是因式分解形式,再寫成下式：H =16_2-8 20z-6z(1- 0.5z(1 -z* 0.5z2)上式的第二項已是真分式，可以進行因式分解-8+20z_ - 6z_2(1-0.5z_)(1-zT 0.5z_2)H'z) _-8z2 20z-6_ ABz C5 / 12 z2 2(z-0.5)(z2-Z 0.5) (Z-0.5) (z- z 0.5

11、)8(1 -0.5z)一16 20z， (1 _z0.5z)最后得到：H(z"亠占翁1.已知系統(tǒng)用下面差分方程描述：3 11y ( n) = 3 y(n - 1)- - y(n -2)+ x(n) - x(n - 1)4 8331丫盲丫廠rY(z)z_21 1X ( z - X ( z) z -H (z)二1 tz-31 .2z8(1)按照系統(tǒng)函數(shù)H(z),根據(jù)Masson公式，畫出直接型結(jié)構(gòu)如題A = Res電辺,0.5=電辺(z 0.5) z5 =8zz-H1(z)8Bz C- z (z - 0.5) (z - z 0.5)再根據(jù)等式兩邊同次項系數(shù)必須相等的法則確定系數(shù)B和C,得

12、到B=- 16， C= 20H-(z)=試分別畫出系統(tǒng)的直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。式中x(n)和y(n) 分別表示系統(tǒng)的輸入和輸出信號。解：將原式移項得31y(n) - 廠 y(n -1)(n 一 2)將上式進行Z變換，得到9 / 12# / 121解圖(一)所示。# / 12i 1N *1J1/Sr i(2)將H(z)的分母進行因式分解:# / 12# / 1211 2 z JH (z)-彳31丄121 - z ：；. z -48(11 11z 一3z J )( 1 -z-1)按照上式可以有兩種級聯(lián)型結(jié)構(gòu)1 zJH1 z2畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題1彳1 /1 z41解圖(二)(a)所示。 1H二

13、_2z彳11 z3彳1丄1 - z4畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題1解圖(二)(b)所示。1/41/3/211 / 12# / 12將H(z)進行部分分式展開# / 12# / 12(1)(1_1)# / 12# / 121T)103# / 121 07H(z )33z1z2z10z7zH(z)=33(z 1、)z -12 '44)1(z - 2 )( z 一(z1 z =4141073+3彳 1 1111z1 -z24# / 12# / 12根據(jù)上式畫出并聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題1解圖(三)所示10/3尹一7/3# / 12# / 1222.假設系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為1 2 3 4H( z)=1+2.8 &

14、; +3.404& +1.74z +0.4z要求:(1)畫出系統(tǒng)的直接型結(jié)構(gòu)以及描述系統(tǒng)的差分方程 畫出相應的格型結(jié)構(gòu)， 并求出它的系數(shù)；(3)判斷系統(tǒng)是否是最小相位解：(1)系統(tǒng)的差分方程為y(n)=x( n)+2.88x(n 1)+3.4048x( n 2)+1.74x(n 3)+0.4x( n 4) 它的直接型結(jié)構(gòu)如題22解圖(一)所示。20盤一黑一1z'T ' I '2.88 I 3.4051745.已知模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)如下:13 / 12(1)(2)Ha（S）二12s2 3s 1試采用脈沖響應不變法和雙線性變換法將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。T=2 so用

15、脈沖響應不變法#/ 12#/ 12(1) Ha(s)1s2 s 1直接套用4題（2）所得公式。為了套用公式,先對巴（S）的分母配方,將Ha（s）化成4題中的標準形式:bc 為一常數(shù)= (s a)2 b2 c (1 '2 s 1 二 s I 22由于s2所以Ha(s)1S2 +s+1f 1-sI +- I2 22 33對比可知，1 3a b =2 2套用公式，得2府H（曠丁z leaT sin(bT)1 -aT2 J2aT1 -2z e cos(bT) z eT 二2(2)2、3z'e' sin -一 31 2 21 -2z e cos . 3 z eHa(s)2s2 3

16、s 1ss 121 _1H(z)二一1-廠j 仁1-e2Tz，_e z142-11-e z 1-e z或通分合并兩項得-4-2 -1(e -e )zH(z) -/_3 _21 -(e +e)z +ez15/ 12H.用雙線性變換法(1)®Ha7m1 - zJ1 z，# / 12(1f)2(1 _ z )2(1 _z )(1 z ) (1 z )21 . 21 2z z_2(2)H(z) = Ha(s)| 1二s 1z丄1 2(1+z)2(1-z3(1_z 工)(1 z-1)2_J21 2z z6 -2z頻譜分辨率采樣頻率：Fs>2fc采樣點數(shù)：N>2fc/F記錄時間：Tp

17、>=/F1、譜分辨率F<=10Hz信號最高頻率fc=-2.5kHz,求最小記錄時間Tp min，最少采樣點數(shù)Nmin，若fc不變，要求譜分辨率提高一倍，則 最小采樣點數(shù)和最小記錄時間？Tp>=1F=1/10=0.1s因此 Tp min=0.1s 要求 Fs>=2fc 則Tmax=1(2fc)=1心/2*2500)=0.0002sNmin二 2fc/F=2*2500/10=500提高一倍頻分辨率，則F=5Hz則Nmin二2*2500/5=1000Tp min=15=0.2s2、已知通帶截止頻率fp=5kHz,通帶最大衰減ap=2dB,阻帶截止頻 率fs=12kHz阻帶最小衰減as=30dB,按照以上技術指標設計巴特沃 斯低通濾波器。Jio0 -17 -1解：（1）確定階數(shù)N41.3223N=lg41.3223lg2.4=4.25,取 N=5(2)由 Pk=eA(/12+(2k+1)/2N)K=0,1,2,3,4；N-1P0=eAj*pi3/5,P1=eAj*pi4/5,P2=eAj*pi,