第三章大跨屋蓋結(jié)構(gòu)

1、 空間桿系有限元法也稱(chēng)空間桿系有限元法也稱(chēng)空間桁架位移法。空間桁架位移法。 空間桿系有限元法是計(jì)算精度最高的一種方法，空間桿系有限元法是計(jì)算精度最高的一種方法，適用于各種類(lèi)型、各種平面形狀、不同邊界條適用于各種類(lèi)型、各種平面形狀、不同邊界條件的網(wǎng)架，靜力荷載、地震作用、溫度應(yīng)力等件的網(wǎng)架，靜力荷載、地震作用、溫度應(yīng)力等工況均可計(jì)算。工況均可計(jì)算。 能考慮網(wǎng)架與下部支承結(jié)構(gòu)的共同工作能考慮網(wǎng)架與下部支承結(jié)構(gòu)的共同工作 。 計(jì)算程序見(jiàn)下表。計(jì)算程序見(jiàn)下表。3.43.4空間桿系有限元法空間桿系有限元法 網(wǎng)架桿件網(wǎng)架桿件節(jié)點(diǎn)位移節(jié)點(diǎn)位移單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃嚳倓偠染仃嚳倓偠染仃嚳倓偠确匠炭倓偠确匠坦?jié)

2、點(diǎn)位移值節(jié)點(diǎn)位移值桿件內(nèi)力桿件內(nèi)力單元內(nèi)力與節(jié)點(diǎn)位移間關(guān)系單元內(nèi)力與節(jié)點(diǎn)位移間關(guān)系引入邊界條件引入邊界條件節(jié)點(diǎn)平衡及變形協(xié)調(diào)條件節(jié)點(diǎn)平衡及變形協(xié)調(diào)條件基本單元基本未知量3.4.13.4.1網(wǎng)架計(jì)算基本假定網(wǎng)架計(jì)算基本假定 網(wǎng)架的節(jié)點(diǎn)為空間鉸接節(jié)點(diǎn)，桿件只承受軸力；網(wǎng)架的節(jié)點(diǎn)為空間鉸接節(jié)點(diǎn)，桿件只承受軸力； 結(jié)構(gòu)材料為完全彈性，在荷載作用下網(wǎng)架變形很結(jié)構(gòu)材料為完全彈性，在荷載作用下網(wǎng)架變形很小，符合小變形理論。小，符合小變形理論。 奧運(yùn)會(huì)場(chǎng)館奧運(yùn)會(huì)場(chǎng)館鳥(niǎo)巢鳥(niǎo)巢3.4.23.4.2單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?一等截面空間桁架桿件一等截面空間桁架桿件ijij如圖所示，設(shè)局部直角坐標(biāo)如圖所示，設(shè)局部直角

3、坐標(biāo)系為系為 ， 軸與軸與ijij桿平行。桿平行。zyxx圖圖3.24 ij3.24 ij桿的桿端軸力和位移桿的桿端軸力和位移局部直角局部直角坐標(biāo)下坐標(biāo)下 桿端力向量為：桿端力向量為： 桿端位移向量為：桿端位移向量為： 桿端力和位移的關(guān)系可寫(xiě)為桿端力和位移的關(guān)系可寫(xiě)為 結(jié)構(gòu)分析中為方便桿結(jié)構(gòu)分析中為方便桿端力和位移的疊加，端力和位移的疊加，應(yīng)采用統(tǒng)一坐標(biāo)系，應(yīng)采用統(tǒng)一坐標(biāo)系，即結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)即結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)xyzxyz。這樣需對(duì)局部坐標(biāo)系這樣需對(duì)局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃囘M(jìn)下的單元?jiǎng)偠染仃囘M(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。 圖圖3.25 3.25 桿件在整體坐標(biāo)中桿件在整體坐標(biāo)中整體坐標(biāo)整體坐標(biāo)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換坐

4、標(biāo)轉(zhuǎn)換 設(shè)桿件設(shè)桿件ijij （即（即 軸）與整體坐標(biāo)軸）與整體坐標(biāo)x x，y y，z z軸夾軸夾角的余弦分別為角的余弦分別為l l，m m，n n。由圖。由圖2525所示的幾何關(guān)所示的幾何關(guān)系可以得出系可以得出 式中式中l(wèi)ijlijijij桿的長(zhǎng)度桿的長(zhǎng)度 奧運(yùn)會(huì)場(chǎng)所奧運(yùn)會(huì)場(chǎng)所 令令 分別表示桿件分別表示桿件ijij在整在整體坐標(biāo)系中的節(jié)點(diǎn)力，節(jié)點(diǎn)位移和單元?jiǎng)偠染伢w坐標(biāo)系中的節(jié)點(diǎn)力，節(jié)點(diǎn)位移和單元?jiǎng)偠染仃?。陣?在整體坐標(biāo)系中在整體坐標(biāo)系中ijij桿節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移間的關(guān)桿節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移間的關(guān)系力為：系力為： 兩坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為兩坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 式中式中TT坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣坐標(biāo)轉(zhuǎn)

5、換矩陣 坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換和幾何關(guān)系可導(dǎo)出：坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換和幾何關(guān)系可導(dǎo)出： 并注意到并注意到TT-1-1=T=TT T，得到整體坐標(biāo)下，得到整體坐標(biāo)下ijij桿節(jié)點(diǎn)桿節(jié)點(diǎn)力和位移的關(guān)系為：力和位移的關(guān)系為： 得到桿件得到桿件ijij在整體坐標(biāo)系中的單剛矩陣在整體坐標(biāo)系中的單剛矩陣 ：3.4.33.4.3結(jié)構(gòu)總剛度矩陣及總剛度方程結(jié)構(gòu)總剛度矩陣及總剛度方程 建立了桿件建立了桿件單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃囍?，即可按照變形之后，即可按照變形協(xié)調(diào)及節(jié)點(diǎn)內(nèi)外力平衡條件建立結(jié)構(gòu)的協(xié)調(diào)及節(jié)點(diǎn)內(nèi)外力平衡條件建立結(jié)構(gòu)的總剛度總剛度矩陣矩陣及相應(yīng)的總剛度方程。及相應(yīng)的總剛度方程。 對(duì)對(duì)公式公式變換為：變換為：

6、FFi i ，F(xiàn)Fj j 分別為桿件分別為桿件ijij在整體坐標(biāo)系下在整體坐標(biāo)系下i i，j j點(diǎn)的桿端力列陣；點(diǎn)的桿端力列陣； i i ，j j 分別為桿件分別為桿件ijij在整體坐標(biāo)系在整體坐標(biāo)系下下i i，j j點(diǎn)的位移列陣；點(diǎn)的位移列陣； KKijij ，KKjjjj 分別為桿件分別為桿件ijij在在i i端，端，j j端發(fā)端發(fā)生單位位移時(shí)，在生單位位移時(shí)，在i i端，端，j j端產(chǎn)生的內(nèi)力；端產(chǎn)生的內(nèi)力； KKijij ，KKjjjj 分別為桿件分別為桿件ijij在在j j端，端，i i端發(fā)端發(fā)生單位位移時(shí)，在生單位位移時(shí)，在i i端，端，j j端產(chǎn)生的內(nèi)力。端產(chǎn)生的內(nèi)力。 以圖以圖

7、2626所示的空間桁所示的空間桁架節(jié)點(diǎn)架節(jié)點(diǎn) 3 3 為例，說(shuō)為例，說(shuō)明總剛矩陣及總剛方明總剛矩陣及總剛方程的建立。該桁架共程的建立。該桁架共有有9 9個(gè)單元，個(gè)單元，5 5個(gè)節(jié)點(diǎn)，個(gè)節(jié)點(diǎn)，單元及節(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖單元及節(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖示。相交于節(jié)點(diǎn)示。相交于節(jié)點(diǎn)3 3的的桿件有桿件有。圖圖3.26 3.26 單元及節(jié)點(diǎn)編號(hào)單元及節(jié)點(diǎn)編號(hào) 變形協(xié)調(diào)條件為連于同一節(jié)點(diǎn)上的桿端位移相變形協(xié)調(diào)條件為連于同一節(jié)點(diǎn)上的桿端位移相等等 ，即：，即： 內(nèi)外力平衡條件為匯交于同一節(jié)點(diǎn)的桿端內(nèi)力內(nèi)外力平衡條件為匯交于同一節(jié)點(diǎn)的桿端內(nèi)力之和等于該節(jié)點(diǎn)上的外荷載，即：之和等于該節(jié)點(diǎn)上的外荷載，即： 連于節(jié)點(diǎn)連于節(jié)點(diǎn)3 3的桿

8、端力與各節(jié)點(diǎn)位移關(guān)系為的桿端力與各節(jié)點(diǎn)位移關(guān)系為： 整理得：整理得： 上式就是節(jié)點(diǎn)上式就是節(jié)點(diǎn)3 3得內(nèi)外力平衡方程，對(duì)網(wǎng)架中得得內(nèi)外力平衡方程，對(duì)網(wǎng)架中得所有節(jié)點(diǎn)，逐點(diǎn)列出平衡方程，聯(lián)立起來(lái)便為所有節(jié)點(diǎn)，逐點(diǎn)列出平衡方程，聯(lián)立起來(lái)便為結(jié)構(gòu)蹤剛度方程，表達(dá)式為：結(jié)構(gòu)蹤剛度方程，表達(dá)式為： 對(duì)于本例，總剛度矩陣中的第對(duì)于本例，總剛度矩陣中的第7 7行至第行至第9 9行的元行的元素表示如下：素表示如下：u 總剛矩陣具有下列特點(diǎn)：總剛矩陣具有下列特點(diǎn)： 矩陣具有對(duì)稱(chēng)性矩陣具有對(duì)稱(chēng)性，計(jì)算時(shí)不必將所有元素列出，計(jì)算時(shí)不必將所有元素列出，只列出上三角或下三角即可。只列出上三角或下三角即可。 矩陣具有稀疏

9、性矩陣具有稀疏性。 網(wǎng)架結(jié)構(gòu)每一節(jié)點(diǎn)所連桿件數(shù)量有限，總剛矩網(wǎng)架結(jié)構(gòu)每一節(jié)點(diǎn)所連桿件數(shù)量有限，總剛矩陣中除主對(duì)角及其附近元素為非零元素外，其陣中除主對(duì)角及其附近元素為非零元素外，其余均為零元素。余均為零元素。 非零元素集中在主對(duì)角線兩旁的帶狀區(qū)域內(nèi)，非零元素集中在主對(duì)角線兩旁的帶狀區(qū)域內(nèi)，計(jì)算機(jī)存貯時(shí)，按一維變帶寬存放，可有效節(jié)計(jì)算機(jī)存貯時(shí)，按一維變帶寬存放，可有效節(jié)省計(jì)算機(jī)容量，帶寬大小與網(wǎng)架節(jié)點(diǎn)編號(hào)有關(guān)，省計(jì)算機(jī)容量，帶寬大小與網(wǎng)架節(jié)點(diǎn)編號(hào)有關(guān)，進(jìn)行網(wǎng)架節(jié)點(diǎn)編號(hào)時(shí)，應(yīng)盡可能使各相關(guān)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行網(wǎng)架節(jié)點(diǎn)編號(hào)時(shí)，應(yīng)盡可能使各相關(guān)節(jié)點(diǎn)號(hào)差值縮小。號(hào)差值縮小。3.4.43.4.4總剛矩陣中邊界條件的處

10、理方法總剛矩陣中邊界條件的處理方法 未引入邊界條件前，總剛矩陣未引入邊界條件前，總剛矩陣KK是奇異的，不是奇異的，不能進(jìn)行求解。引入結(jié)構(gòu)邊界條件消除剛體位移能進(jìn)行求解。引入結(jié)構(gòu)邊界條件消除剛體位移后，總剛矩陣為正定矩陣。后，總剛矩陣為正定矩陣。 位移為零位移為零 彈性約束彈性約束 指定位移指定位移 處理方法處理方法3.4.53.4.5網(wǎng)架的邊界條件及對(duì)稱(chēng)性利用網(wǎng)架的邊界條件及對(duì)稱(chēng)性利用 u (1)(1)對(duì)稱(chēng)性利用對(duì)稱(chēng)性利用 當(dāng)網(wǎng)架結(jié)構(gòu)當(dāng)網(wǎng)架結(jié)構(gòu)( (包括支座包括支座) )和外荷載有和外荷載有n n個(gè)對(duì)稱(chēng)面時(shí)，個(gè)對(duì)稱(chēng)面時(shí)，可利用對(duì)稱(chēng)條件只分析網(wǎng)架的可利用對(duì)稱(chēng)條件只分析網(wǎng)架的1 12n2n。 計(jì)算

11、時(shí)，對(duì)稱(chēng)面內(nèi)各桿件的截面積應(yīng)取原截面計(jì)算時(shí)，對(duì)稱(chēng)面內(nèi)各桿件的截面積應(yīng)取原截面面積的一半，面積的一半，n n個(gè)對(duì)稱(chēng)面交線上的中心豎桿，其個(gè)對(duì)稱(chēng)面交線上的中心豎桿，其截面面積應(yīng)取原截面面積的截面面積應(yīng)取原截面面積的1 12n2n。 對(duì)稱(chēng)面內(nèi)節(jié)點(diǎn)荷載亦應(yīng)按相同原則取值。在對(duì)對(duì)稱(chēng)面內(nèi)節(jié)點(diǎn)荷載亦應(yīng)按相同原則取值。在對(duì)稱(chēng)荷載作用下，對(duì)稱(chēng)面內(nèi)網(wǎng)架節(jié)點(diǎn)的反對(duì)稱(chēng)位稱(chēng)荷載作用下，對(duì)稱(chēng)面內(nèi)網(wǎng)架節(jié)點(diǎn)的反對(duì)稱(chēng)位移為零，計(jì)算時(shí)應(yīng)在相應(yīng)方向予以約束。移為零，計(jì)算時(shí)應(yīng)在相應(yīng)方向予以約束。 與對(duì)稱(chēng)面相交的桿件，分析時(shí)可將該交點(diǎn)作為與對(duì)稱(chēng)面相交的桿件，分析時(shí)可將該交點(diǎn)作為一個(gè)節(jié)點(diǎn)，并在三個(gè)方向予以約束。一個(gè)節(jié)點(diǎn)，并在三個(gè)方向予以

12、約束。 交叉腹桿或人字形腹桿的交叉點(diǎn)，位于對(duì)稱(chēng)面交叉腹桿或人字形腹桿的交叉點(diǎn)，位于對(duì)稱(chēng)面時(shí)，亦應(yīng)作為一個(gè)節(jié)點(diǎn)，并在兩個(gè)水平方向予時(shí)，亦應(yīng)作為一個(gè)節(jié)點(diǎn)，并在兩個(gè)水平方向予以約束。以約束。 在反對(duì)稱(chēng)荷載作用下，對(duì)稱(chēng)面內(nèi)網(wǎng)架節(jié)點(diǎn)的對(duì)在反對(duì)稱(chēng)荷載作用下，對(duì)稱(chēng)面內(nèi)網(wǎng)架節(jié)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)位移應(yīng)取為零。稱(chēng)位移應(yīng)取為零。u (2)(2)邊界條件邊界條件 有限元計(jì)算中，邊界條件將對(duì)網(wǎng)架結(jié)構(gòu)內(nèi)力及有限元計(jì)算中，邊界條件將對(duì)網(wǎng)架結(jié)構(gòu)內(nèi)力及變形產(chǎn)生較大影響。變形產(chǎn)生較大影響。 網(wǎng)架支承處的邊界條件既和支座節(jié)點(diǎn)構(gòu)造有關(guān)，網(wǎng)架支承處的邊界條件既和支座節(jié)點(diǎn)構(gòu)造有關(guān)，也和支承結(jié)構(gòu)的剛度有關(guān)，支座可以是無(wú)側(cè)移、也和支承結(jié)構(gòu)的剛度有關(guān)，

13、支座可以是無(wú)側(cè)移、單向可側(cè)移和雙向可側(cè)移的鉸接支座，支承結(jié)單向可側(cè)移和雙向可側(cè)移的鉸接支座，支承結(jié)構(gòu)構(gòu)( (柱、梁等柱、梁等) )可以是剛性或彈性的?？梢允莿傂曰驈椥缘?。 當(dāng)支承結(jié)構(gòu)剛度很大可忽略其變形時(shí)，邊界條當(dāng)支承結(jié)構(gòu)剛度很大可忽略其變形時(shí)，邊界條件完全取決于支座構(gòu)造。件完全取決于支座構(gòu)造。 無(wú)側(cè)移鉸接支座，支承節(jié)點(diǎn)在豎向，邊界線切線無(wú)側(cè)移鉸接支座，支承節(jié)點(diǎn)在豎向，邊界線切線和法向都無(wú)位移。和法向都無(wú)位移。 單向可側(cè)移支座，豎向和邊界切線方向位移為零，單向可側(cè)移支座，豎向和邊界切線方向位移為零，而邊界法向?yàn)樽杂?。而邊界法向?yàn)樽杂伞?雙向可側(cè)移的鉸接支座，只有豎向位移為零，兩雙向可側(cè)移的鉸接

14、支座，只有豎向位移為零，兩個(gè)水平方向都為自由。個(gè)水平方向都為自由。 在網(wǎng)架的四角處，至少一個(gè)角上的支座必須是無(wú)在網(wǎng)架的四角處，至少一個(gè)角上的支座必須是無(wú)側(cè)移的，相鄰的兩角可以是單向可側(cè)移的，相對(duì)側(cè)移的，相鄰的兩角可以是單向可側(cè)移的，相對(duì)的角可以是雙向可側(cè)移的。的角可以是雙向可側(cè)移的。 這種做法既防止網(wǎng)架的剛體移動(dòng)，又提供了不少這種做法既防止網(wǎng)架的剛體移動(dòng)，又提供了不少于于6 6根的約束鏈桿數(shù)。在工程實(shí)踐中，如果溫度根的約束鏈桿數(shù)。在工程實(shí)踐中，如果溫度應(yīng)力不大，也可考慮四角都用無(wú)側(cè)移鉸支座。應(yīng)力不大，也可考慮四角都用無(wú)側(cè)移鉸支座。 當(dāng)網(wǎng)架支承在獨(dú)立柱上時(shí)，當(dāng)網(wǎng)架支承在獨(dú)立柱上時(shí)，由于它的彎曲剛

15、度由于它的彎曲剛度不是很大，在采用無(wú)側(cè)移鉸支座時(shí)除豎向仍然不是很大，在采用無(wú)側(cè)移鉸支座時(shí)除豎向仍然看作無(wú)位移外，兩個(gè)水平方向應(yīng)看成彈性支承，看作無(wú)位移外，兩個(gè)水平方向應(yīng)看成彈性支承，支承的彈簧剛度由懸臂柱的撓度公式得出：支承的彈簧剛度由懸臂柱的撓度公式得出： EcEc支承柱的材料彈性模量；支承柱的材料彈性模量； IcyIcy、IcxIcx分別為支承柱繞截面分別為支承柱繞截面y y、x x軸的截面慣軸的截面慣性矩；性矩； H H支承懸臂柱長(zhǎng)度。支承懸臂柱長(zhǎng)度。u (3)(3)斜邊界處理斜邊界處理 斜邊界是指與整體坐標(biāo)斜交的方向有約束的邊界。斜邊界是指與整體坐標(biāo)斜交的方向有約束的邊界。 建筑平面為

16、圓形或多邊形的網(wǎng)架會(huì)存在斜邊界建筑平面為圓形或多邊形的網(wǎng)架會(huì)存在斜邊界( (圖圖3.27a)3.27a)。 矩形平面網(wǎng)架利用對(duì)稱(chēng)性時(shí)，對(duì)稱(chēng)面也存在斜邊界矩形平面網(wǎng)架利用對(duì)稱(chēng)性時(shí)，對(duì)稱(chēng)面也存在斜邊界( (圖圖3.27b3.27b，c)c)。圖圖3.27 3.27 網(wǎng)架的斜邊界約束網(wǎng)架的斜邊界約束 斜邊界有兩種處理方法，一種是根據(jù)邊界點(diǎn)的斜邊界有兩種處理方法，一種是根據(jù)邊界點(diǎn)的位移約束情況位移約束情況設(shè)置具有一定截面積的附加桿，設(shè)置具有一定截面積的附加桿，如節(jié)點(diǎn)沿邊界法線方向位移為零，則該方向設(shè)如節(jié)點(diǎn)沿邊界法線方向位移為零，則該方向設(shè)一剛度很大的附加桿，截面積一剛度很大的附加桿，截面積A=10A=

17、106 610108 8( (圖圖3.27b)3.27b)；如該節(jié)點(diǎn)沿邊界法線方向?yàn)閺椥约s束，；如該節(jié)點(diǎn)沿邊界法線方向?yàn)閺椥约s束，則調(diào)節(jié)附加桿的截面積，使之滿(mǎn)足彈性約束條則調(diào)節(jié)附加桿的截面積，使之滿(mǎn)足彈性約束條件。這種處理方法有時(shí)會(huì)使剛度矩陣病態(tài)。件。這種處理方法有時(shí)會(huì)使剛度矩陣病態(tài)。 另一種方法是對(duì)斜邊界上的節(jié)點(diǎn)位移做坐標(biāo)變另一種方法是對(duì)斜邊界上的節(jié)點(diǎn)位移做坐標(biāo)變換換( (圖圖3.27c)3.27c)，將在整體坐標(biāo)下的節(jié)點(diǎn)位移向量，將在整體坐標(biāo)下的節(jié)點(diǎn)位移向量變換到任意的斜方向，然后按一般邊界條件處變換到任意的斜方向，然后按一般邊界條件處理。理。3.4.6 3.4.6 桿件內(nèi)力桿件內(nèi)力 引入

18、邊界條件后，求解引入邊界條件后，求解公式公式，得出各節(jié)點(diǎn)的位，得出各節(jié)點(diǎn)的位移值，由移值，由公式公式和和公式公式可得出可得出ijij桿端內(nèi)力為桿端內(nèi)力為 將將公式公式展開(kāi)并代入展開(kāi)并代入公式公式整理可得桿件內(nèi)力表達(dá)整理可得桿件內(nèi)力表達(dá)式為式為 式中式中 N N桿件軸力，以拉為正。桿件軸力，以拉為正。 eeTeKT=F )(cos)(cos)cos(ijijijijwwvvuulEAN 3.4.7 3.4.7 空間桿系有限元法計(jì)算步驟空間桿系有限元法計(jì)算步驟 (1)(1)根據(jù)網(wǎng)架結(jié)構(gòu)、荷載對(duì)稱(chēng)性選取計(jì)算簡(jiǎn)圖，根據(jù)網(wǎng)架結(jié)構(gòu)、荷載對(duì)稱(chēng)性選取計(jì)算簡(jiǎn)圖，并對(duì)其節(jié)點(diǎn)和桿件進(jìn)行編號(hào)，為減小總剛矩陣并對(duì)其節(jié)點(diǎn)和桿件進(jìn)行編號(hào)，為減小總剛矩陣帶寬，節(jié)點(diǎn)編號(hào)應(yīng)遵循相鄰節(jié)點(diǎn)號(hào)差最小的原帶寬，節(jié)點(diǎn)編號(hào)應(yīng)遵循相鄰節(jié)點(diǎn)號(hào)差最小的原則。則。 (2)(2)計(jì)算桿件單元長(zhǎng)度及桿件與整體坐標(biāo)軸夾角計(jì)算桿件單元長(zhǎng)度及桿件與整體坐標(biāo)軸夾角余弦；余弦； (3)(3)初選各桿的截面積；初選各桿的截面積； (4)(4)建立局部和整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染?/p>