八年級數(shù)學(xué)因式分解拓展提高練習(xí)匯總

1、八年級數(shù)學(xué)因式分解拓展提高練習(xí)匯總板塊一： 換元法例 1分解因式：( x2 4x 8)2 3x(x2 4x 8) 2x2例 2分解因式：22( x2 5 x 2)( x2 5x 3) 12分解因式： (x 1)(x 3)(x 5)(x 7) 15分 解因式：(x2 x 1)(x2 x 2) 12例 3.證明：四個連續(xù)整數(shù)的乘積加1 是整數(shù)的平方若 x ， y 是整數(shù)，求證：4x y x 2y x 3y x 4y y 是一個完全平方數(shù)例 4 分解因式 (2a 5)(a分解因式： (a b 2ab)( a b 2) (1 ab)2 9)(2a 7) 91分 解因式 (x223x 2)(3 8x 4

2、x ) 90例 5 分解因式：22224(3x 2 x 1)(x2 2x 3) (4x2 x 4)2例6分解因式：(x 1)4 (x 3)4 272【鞏固】分解因式：a4 44 (a 4)4板塊二：因式定理a是該多項因式定理：如果x a時，多項式anxn an ixn 1 . ax a0的值為0,那么x 式的一個因式.有理根：有理根c E的分子p是常數(shù)項注的因數(shù)，分母q是首項系數(shù)4的因數(shù) q例7分解因式：2x3 x2 5x 2分 解因式：65432x 2x 3x 4x 3x 2x 1分 解因式：3223x 9x y 26xy 24y例 8 分解因式： x3分 解因式：2(a b c)x (ab

3、 bc ca)x abc32(l m)x (3l 2m n)x (2l m 3n)x 2(m n)板塊三： 待定系數(shù)法如果兩個多項式恒等，則左右兩邊同類項的系數(shù)相等.1b1 xb0nn1n21nn1n2即，如果anx an 1xan2x La1xa0bnxbn1xbn 2x L那么 anbn , an 1bn 1 ,，& B ,a。bo.例 9 用待定系數(shù)法分解因式：x5x 1x4 x2 1 是否能分解成兩個整系數(shù)的二次因式的乘積x6 x3 1 能否分解為兩個整系數(shù)的三次因式的積板塊四：輪換式與對稱式例 11 分解因式：x2( yz) y2(z x)z2 (x y)例 12 分解因式：

4、xy(x2 y2 ) yz(y2 z2) zx(z2 x2)家庭作業(yè)練習(xí) 1 分解因式： 4(x 5)(x 6)(x 10)( x 12) 3x2練習(xí) 2要使 x 1 x 3 x 4 x 8m 為完全平方式，則常數(shù) m 的值為 練習(xí) 3 分解因式： (x2 6x 8)(x2 14x 48) 12練習(xí) 4 分解因式： (x2 xy y2 )24xy(x2y2)練習(xí) 6 分解因式：x3 6x2 11x 64, .一一7333練習(xí)8.分解因式：a (b c) b (c a) c (a b)補(bǔ)充題【備選1】分解因式：(a 1)(a 2)(a 3)(a 4) 2412【備選 2】分斛因式：xy(xy 1

5、) (xy 3) 2(x y 2) (x y 1)3 】分解因式：6x4 5 x3 3x2 3x 2因式分解拓展題解板塊一： 換元法例 1 分解因式： (x2 4x 8)2 3x(x2 4x 8) 2x2【解析】 將 x2 4x 8 u 看成一個字母，可利用十字相乘得原式 u2 3xu 2x2 (u x)(u 2x)(x2 4x 8 x)(x2 4x 8 2x)222(x 5x8)(x 6x8)(x2)(x4)(x 5x 8)22例 2 分解因式： (x5x 2)( x 5x3)12【解析】 方 法 1：將x2 5x 看作一個整體，設(shè)x25x t ，則22原式 = (t 2)(t 3) 12

6、t2 5t 6 (t 1)(t 6) (x 2)(x 3)(x2 5x 1)方法2 ：將x25x 2 看作一個整體，設(shè)x2 5x 2 t ，則22原式 =t(t 1) 12 t2 t 12 (t 3)(t 4) (x 2)(x 3)(x2 5x 1)2方法3 ：將x25x 3 看作一個整體，過程略.如果學(xué)生的能力到一定的程度，甚至2連換元都不用，直接把x2 5x 看作一個整體，將原式展開，分組分解即可，則原式(x2 5x)2 5(x2 5x) 6 (x2 5x 1)(x2 5x 6) (x 2)(x 3) (x2 5x 1).分解因式： (x 1)(x 3)(x 5)(x 7) 15【解析】(

7、x 2)(x 6)( X2 8x 10)【鞏固】 分解因式：(X2 x 1)(x2 x 2) 12【解析】(x 1)(x 2)(x2 x 5)例3證明：四個連續(xù)整數(shù)的乘積加 1是整數(shù)的平方.5x 4)(x2 5x 6) 1221 1 (x 5x 5)【解析】設(shè)這四個連續(xù)整數(shù)為：x 1、x 2、x 3、x 4(x 1)(x 2)( x 3)(x 4) 1(x 1)(x 4)( x 2)( x 3) 1 (x2u x2 5x U 2原式(x2 5x 5) 1(x2 5x 5) 1 1(x2 5x 5)2【鞏固】若x, y是整數(shù)，求證： x y x 2y x 3y x 4yy4是一個完全平方數(shù)【解析

8、】x y x 2y x 3y x 4yy4x y x 4y x 2y x 3yy42222、4(x 5xy 4y )(x 5xy 6y ) y人 22令 x 5xy 4y u2、 4,2.2z 22、2上式 u(u 2y )y(uy )(x5xy 5y )即 x y x 2y x 3y x 4y y4 (x2 5xy 5y2)22例 4 分解因式(2a 5)(a9)(2a 7) 91【解析】原式(2 a 5)(a 3)( a 3)(2a 7) 91 (2a2 a 15)(2a2 a 21) 912設(shè) 2a a 15 x ,原式 x(x 6) 91 x2 6x 91 (x 13)(x 7) (2

9、a2 a 28)(2a2 a 8)2(a 4)(2a 7)(2a a 8)22【鞏固】分解因式(x 3x 2)(3 8x 4x ) 90【解析】 原式 (x 1)(x 2)(2 x 1)(2x 3) 90 (2x2 5x 3)(2x2 5x 2) 902y 2x 5x原式(y 3)(y 2)902-_ 2y 5y 84 (y 12)( y 7) (2x5x 12)(2 x 7)( x 1)【解析】由于題中以整體形式出現(xiàn)的式子有兩個, 計算過程，不妨設(shè)a b x, ab y,共4個地方，故采取換元法后會大大簡化【解析】則原式=(x 2y)(x 2) (1 y)2 x222xy y 2y 2x2_

10、21 (x y) 2(x y) 1 (x y 1)222(a b ab 1)(1 a) (1 b)例6分解因式：(x 1)4 (x 3)4 272x 2 ,則原式=(y 1)44_ _4(y 1)272 2( y2_ _6y 1) 272422(y 6y 135)222(y9)( y215) 2( y 3)( y 3)(y15)22(x 5)(x 1)(x 4x 19)【鞏固】分解因式：a4 44 (a 4)4【解析】為方便運算，更加對稱起見，我們令 x a 2444444a 4 (a 4) (x 2) (x 2)4,2、2(x 4x 4)224(x 4x 4)4422(x24x16) 256

11、 4-2,、2(x24x144)22222(x12)2(a 2)12222(a 4a 16)例 5 分解因式：4(3x2 x 1)(x2 2x 3) (4x2 x 4)2【解析】咋一看，很不好下手，仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)：(3x2 x 1) (x2 2x 3) 4x2 x 4,2故可設(shè) 3x x 1 A,x 2x 3 B ,則 4x x 4 A B.故原式=4AB (A B)2A2 B2 2AB (A B)222_2_ 2_ 2(3x x 1) (x 2x 3)(2x 3x 2).板塊二：因式定理因式定理：如果x a時，多項式anxn an 1xn 1 式的一個因式.&x a0的值為0,那么x

12、a是該多項有理根：有理根c R的分子p是常數(shù)項a0的因數(shù)，分母q是首項系數(shù) qan的因數(shù).2x2_3x_2x 1 2x3 x2 5x 22x3 2x23x2 5x3x2 3x2x 22x 2【鞏固】分解因式：(a b 2ab)(a b 2) (1 ab)2例7分解因式：2x3 x2 5x 2【鞏固】ao2的因數(shù)是 1, 2, a。 2的因數(shù)是 1, 2.因此，原式的有理根只可能是1, 2(分母為1),-.2因為 f (1) 2 1 5 26 , f ( 1)2 1 5 2 0,于是1是f(x)的一個根，從而x 1是f(x)的因式，這里我們可以利用豎式除法，此時一般將被除式按未知數(shù)的降哥排列，沒

13、有的補(bǔ)0:2可得原式(2x 3x 2)(x 1) (x 2)(2 x 1)(x 1)點評：觀察，如果多項式f(x)的奇數(shù)次項與偶數(shù)次項的系數(shù)和互為相反數(shù)，則說明f(1) 0；如果多項式的奇數(shù)次項與偶數(shù)次項的系數(shù)和相等，則說明 f( 1) 0.【鞏固】分解因式：x6 2x5 3x4 4x3 3x2 2x 1解析：本題有理根只可能為 1. 1當(dāng)然不可能為根(因為多項式的系數(shù)全是正的)，經(jīng)檢驗1 是根，所以原式有因式 x 1,原式(x 1)(x5 x3 4_ 3_&2x 2x x 1)容易驗證1也是x5 x4 2x322x x 1的根,5432)x x 2x 2x x 14_222(x 1)

14、(x 2x 1) (x 1)(x1),所以 x6 2x5 3x4 4x32_2223x 2x 1 (x 1) (x 1)【鞏固】分解因式：x3 9x2 y 26xy2 24 y33223斛析：x 9x y 26xy 24y (x 2y)(x 3y)(x 4y)32例 8 分斛因式：x (a b c)x (ab bc ca)x abc【解析】常數(shù)項abc的因數(shù)為 a, b,abc把x a代入原式，得32a ba222ca a b abc a c abc323a (a b c)a (ab bc ca)a abc a所以a是原式的根，x a是原式的因式，并且3,、2x (a b c)x (ab bc

15、 ca)x abc322(x ax ) (b c)x a(b c)x (bcx abc)2(x a) x(b c)xbc (xa)(xb)(x c).如 果多項式的系數(shù)的和等于和減去奇次項系數(shù)的和等于0 ， 那么 1 一定是它的根； 如果多項式的偶次項系數(shù)的0 ，那么 1 一定是它的根現(xiàn)在正是這樣：(l n) (3l 2m n) (2l m 3n) 2(m n) 0所以 x 1 是原式的因式，并且32(l m)x (3l 2m n)x (2l m 3n)x 2(m n)322(lm)x (lm)x (2l mn)x (2lmn)x 2(mn)x 2(mn)2(x1)( lm)x (2lm n)

16、x2(mn)(x1)(x 2)(lxmx m n)板塊三： 待定系數(shù)法如果兩個多項式恒等，則左右兩邊同類項的系數(shù)相等.nn1n21nn1n21即，如果anxan1x an 2x L a1xa0bnxbn1x bn2xLb1xb0那么 anbn , an 1 bn 1 ,，現(xiàn)b1 ， a0b0 .例 9 用待定系數(shù)法分解因式： x5 x 1原 式的有理根只可能為1 ，但是這 2 個數(shù)都不能使原式的值為 0 ，所以原式?jīng)]有有理根，因而也沒有( 有理系數(shù)的 ) 一次因式52325故 x x 1 (x ax 1)(x bx cx 1)或 x x 1232(x ax 1)(x bx cx 1)23254

17、x 1 (x ax 1)(x bx cx 1) x (a b)x32(ab c 1)x (ac b 1)x (a c)x 1ab0c ab 1故ac b 1ac1a0，解得 b0c11 ，所以x52x 1 (x32x 1)(x x 1)事實上，分解式是惟一的，所以不用再考慮其它情況【鞏固】x4x21 是否能分解成兩個整系數(shù)的二次因式的乘積解析： 我們知道 x4 x2 1 ( x2x1)(x2x 1) .4222那 么 一 定 分 解 為 (x ax 1)(x bx 1) 或x4 x2 1 不能分解成兩個整系數(shù)的二次因式的乘積如 果 x4 x2 1 能 夠 分 解 ，22(x ax 1)(x b

18、x 1)比較x3與x2的系數(shù)可得ab0ab 21(1)(2)1 ，沒有整數(shù) a 能滿足這兩個方程由得b a,代入(2)得a22 1 ,即a2 3或a2所以，x4x21 不能分解成兩個整系數(shù)的二次因式的積(從而也不能分解成兩個有理系數(shù)的二次因式的積) 【鞏固】 x6x3 1 能否分解為兩個整系數(shù)的三次因式的積?解析： 設(shè) x6x31 (x3 ax2 bx 1)(x3cx2dx1) ，ac0比較x5, x3及x的系數(shù)，得 ad bc 1bd0由第一個方程與第三個方程可得c a ， d b ,再把它們代入第二個方程中，得ab ab 1 矛盾 !所以，x6x31 不可能分解為兩個整系數(shù)的三次因式的積例

19、 10 分解因式：x4 x3 2x2 x 3原 式的有理根只可能為 1 ，3 ，但是這四個數(shù)都不能使原式的值為 0 ，所以原式?jīng)]有有理根，因而也沒有(有理系數(shù)的)一次因式我們設(shè)想x4x3 2x2 x 3可以分為兩個整系數(shù)的二次因式的乘積由于原式是首1 的(首項系數(shù)為 1)，兩個二次因式也應(yīng)當(dāng)是首1 的43222于是，設(shè) x x 2x x 3 (x ax b)(x cx d) 其中整系數(shù)a、 b、 c、 d 有待我們?nèi)ゴ_定比較式兩邊x3 ， x2 ， x 的系數(shù)及常數(shù)項，得ac1 b d ac 2 bc ad 1 bd 3(2)(3)(4)(5)這樣的方程組，一般說來是不容易解的不過，別忘了b、

20、 d 是整數(shù) !根據(jù)這一點，從 (5) 可以得出 b 1 或 b 1 ，當(dāng)然也可能是b 3 或 b 3d3 d 3d1 d 1在這個例子中由于因式的次序無關(guān)緊要，b1b1我們可以認(rèn)為只有或 這兩種情況d3d3將b 1 , d 3,代入(4)，得c 3a 1將與相減得 2a 2 ，于是 a 1 ，再由 得 c 2這一組數(shù)(a 1 ， b 1 ， c 2 ， d 3)不僅適合、 、 ，而且適合 因此 x4 x3 2x2 x 3 (x2 x 1)(x2 2x 3) d 3 ，代人 ，得 c 3a 1將 與 相加得 2 a 0 . 于是 a 0 ，再由 得 c 1.這一組數(shù) ( a 0 ， b 1 ，

21、 c 1 ， d 3 )，雖然適合 、 、 ，卻不適合 ，43222因而 x x 2x x 3 (x 1)(x x 3) .事實上，分解式是惟一的，找出一組滿足方程組的數(shù)，就可以寫出分解式 ，考慮有沒有其他的解純屬多余，毫無必要板塊四：輪換式與對稱式對稱式：x、y 的多項式 x y , xy ,x2y2, x3y3,x2yxy2,在字母x與y互換時，保持不變.這樣的多項式稱為x、y的對稱式.類似地， 關(guān)于x、 y、 z 的多項式 x y z ， x2y2 z2 ， xy yz zx ， x3 y3 z3 ，222222x y xz y z y x zx z y , xyz,在子母 x、y、z中

22、任息兩子互換時，保持不變.這樣的多項式稱為 x、 y z 的對稱式輪 換式 ： 關(guān) 于 x、 y、 z 的 多 項 式 x y z ， x2 y2z2 ， xy yz zx ，x3y3z3 ，222222x y y z z x , xy yz zx) xyz 在將字母x、y、z輪換(即將x換成y , y換成z , z換成x )時，保持不變.這樣的多項式稱為x、 y、 z 的輪換式 顯然， 關(guān)于 x、 y、 z 的對稱式一定是x、 y、 z 的輪換式但是，關(guān)于x、 y ， z 的輪換式不一定是對稱式例如， x2y y2z z2x 就不是對稱式次數(shù)低于 3 的輪換式同時也是對稱式兩個輪換式(對稱式

23、)的和、差、積、商(假定被除式能被除式整除) 仍然是輪換式(對稱式) 222例 11：分解因式： x ( y z) y ( z x) z (x y)222解析： x (y z) y (z x) z (x y) 是關(guān)于x、 y、 z 的輪換式222如果把 x (y z) y (z x) z (x y) 看作關(guān)于 x 的多項式，那么在 x y 時，222它的值為 y (y z) y (z y) z (y y) 0 .因此， x y 是 x2 (y z) y2 (z x) z2 (x y) 的因式由于x2(yz)y2(zx)z2(xy) 是x、y、z 的輪換式，可知y z與z x也是它的因式.從而它

24、們的積(x y)(y z)(z x) 222是 x (y z) y (z x) z (x y) 的因式由于 、 都是x、 y、 z 的三次多項式， 所以兩者至多相差一個常數(shù)因數(shù) k ， 即有222x (y z) y (z .x) z (x y) k(x y)(y z)(z x) 現(xiàn)在我們來確定常數(shù)k 的值為此，比較 的兩邊x2y 的系數(shù)：左邊系數(shù)為1，右邊系數(shù)為 k 因此， k 1 222于是 x (y z) y (z x) z (x y) (x y)(y z)(z x)思路 2：利用 y-z=(y-x)-(z-x).222222例 12 分解因式： xy(x y ) yz(y z ) zx(

25、z x )【解析】此式是關(guān)于x, y, z的四次齊次輪換式，注意到 x y時，原式 0,故x y是 原式的一個因式.同理，y z , z x均是原式的因式， 而(x y)(y z)(z x)是三次輪換式，故還應(yīng)有一個一次輪換式，設(shè)其為 k(x y z) ，故原式k(xyz)(xy)(yz)(zx) ，展開并比較系數(shù)可知，k 1 ，故原式(xyz)(xy)( yz)(zx) .思路 2：利用 x2-y2= (x2-z2)+(z2-y2).家庭作業(yè)練習(xí) 1 分解因式： 4(x 5)(x 6)(x 10)( x 12) 3x2222222原式4(x217x60)(x216x 60)3x24(x216

26、x 60) x(x216x 60) 3x222224(x2 16x 60)2 4x(x2 16x 60) 3x2222( x2 16x 60) x2( x2 16x 60) 3x222(2x2 31x 120)(2 x2 35x 120)(2x 15)( x 8)(2 x2 35x 120)練習(xí) 2 要使 x 1 x 3 x 4 x 8 m 為完全平方式，則常數(shù) m 的值為 【解析】 x 1 x 3 x 4 x 8 m22222(x 5x 4)(x 5x 24) m (x 5x)20(x5x) 96 m ，則 m 19622練習(xí)3 分解因式： (x6x 8)(x14x 48) 1222【解析】

27、 原式 (x 2)(x 4)(x 6)(x 8) 12 (x10x 16)( x 10x 24) 12設(shè) t x2 10x 16 ，則22原式 t(t 8) 12 (t 2)(t 6) (x2 10x 18)(x2 10x 22)練習(xí)4分解因式：(x2xyy2 )24xy(x2y2)【解析】 設(shè) x2y2a ， xy b ，則原式(a b)2 4ab (a b)2 (x2y2 xy)2 .練習(xí)5分解因式：2x3x25x232【解析】2x x5x 2(x 2)(2 x1)(x 1)練習(xí)6分解因式：x36x211x6【解析】x36x211x 6(x 1)(x25x 6)(x 1)(x 2)(x 3)練習(xí)7用待定系數(shù)法分解：x5x4 1原 式的有理根只可能為 1 ，但是這 2 個數(shù)都不能使原式的值為 0 ，所以原式?jīng)]有有理根，因而也沒有542故 x x 1 (x( 有理系數(shù)的 ) 一次因式232(x ax 1)(x bx cx 1)3254ax 1)(x bx cx 1) 或 x x 1x123(x ax 1)(x254bx cx 1) x (a b)x32(ab c 1)x (ac b 1)x (a c)x 1ab1c ab 1 故ac b 1ac0a0，解得 b0c10 ，所以x5x4