數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法模型

1、數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法數(shù)據(jù)包絡(luò)分析是一種基于線性規(guī)劃的用于評(píng)價(jià)同類型組織（或項(xiàng)目）工作績(jī)效相對(duì)有效性的特殊工具手段。這類組織例如學(xué)校、醫(yī)院、銀行的分支機(jī)構(gòu)、超市的各個(gè)營(yíng)業(yè)部等，各自具有相同（或相近）的投入和相同的產(chǎn)出。衡量這類組織之間的績(jī)效高低，通常采用投入產(chǎn)出比這個(gè)指標(biāo)，當(dāng)各自的投入產(chǎn)出均可折算成同一單位計(jì)量時(shí)，容易計(jì)算出各自的投入產(chǎn)出比并按其大小進(jìn)行績(jī)效排序。但當(dāng)被衡量的同類型組織有多項(xiàng)投入和多項(xiàng)產(chǎn)出，且不能折算成統(tǒng)一單位時(shí)，就無法算出投入產(chǎn)出比的數(shù)值。例如，大部分機(jī)構(gòu)的運(yùn)營(yíng)單位有多種投入要素，如員工規(guī)模、工資數(shù)目、運(yùn)作時(shí)間和廣告投入，同時(shí)也有多種產(chǎn)出要素，如利潤(rùn)、市場(chǎng)份額和成長(zhǎng)率。在這些情況下，

2、很難讓經(jīng)理或董事會(huì)知道，當(dāng)輸入量轉(zhuǎn)換為輸出量時(shí)，哪個(gè)運(yùn)營(yíng)單位效率高，哪個(gè)單位效率低。1.1 數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法的主要思想一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)或者一個(gè)生產(chǎn)過程可以看成一個(gè)單元在一定可能范圍內(nèi)，通過投入一定數(shù)量的生產(chǎn)要素并產(chǎn)出一定數(shù)量的“產(chǎn)品”的活動(dòng)。雖然這些活動(dòng)的具體內(nèi)容各不相同，但其目的都是盡可能地使這一活動(dòng)取得最大的“效益”。由于從“投入”到“產(chǎn)出”需要經(jīng)過一系列決策才能實(shí)現(xiàn)，或者說，由于“產(chǎn)出”是決策的結(jié)果，所以這樣的單元被稱為“決策單元”（DecisionMakingUnits，DMU）?？梢哉J(rèn)為每個(gè)dmUW弋表一定的經(jīng)濟(jì)含義，它的基本特點(diǎn)是具有一定的輸入和輸出，并且在將輸入轉(zhuǎn)換成輸出的過程中，努力

3、實(shí)現(xiàn)自身的決策目標(biāo)。1.2 數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法的基本模型我們主要介紹DEA中最基本的一個(gè)模型一一C2R模型。設(shè)有n個(gè)決策單元（j=1,2,，n）,每個(gè)決策串元有相同的m項(xiàng)投入（輸入），輸入向量為每個(gè)決策單元有相同的s項(xiàng)產(chǎn)出（輸出），輸出向量為即每個(gè)決策單元有m種類型的“輸入”及s種類型的“輸出”。xij表示第j個(gè)決策單元對(duì)第i種類型輸入的投入量；yij表示第j個(gè)決策單元對(duì)第i種類型輸出的產(chǎn)出量；為了將所有的投入和所有的產(chǎn)出進(jìn)行綜合統(tǒng)一，即將這個(gè)生產(chǎn)過程看作是一個(gè)只有一個(gè)投入量和一個(gè)產(chǎn)出量的簡(jiǎn)單生產(chǎn)過程，我們需要對(duì)每一個(gè)輸入和輸出進(jìn)行賦權(quán)，設(shè)輸入和輸出的權(quán)向量分別為：vv1,v2,L,vmT,uu1

4、,u2,L,usT。vi為第i類型輸入的權(quán)重，ur為第r類型輸出的權(quán)重。ms這時(shí)，則第j個(gè)決策單元投入的綜合值為vixij，產(chǎn)出的綜合值為uryrj，i1r1我們定義每個(gè)決策單元DMUj的效率評(píng)價(jià)指數(shù):模型中xij，yij為已知數(shù)（可由歷史資料或預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)得到），于是問題實(shí)際上是確定一組最佳的權(quán)向量v和u,使第j個(gè)決策單元的效率值hj最大。這個(gè)最大的效率評(píng)價(jià)值是該決策單元相對(duì)于其他決策單元來說不可能更高的相對(duì)效率評(píng)價(jià)值。我們限定所有的hj值(j=1,2,n)不超過1,即maxhj&1。這意味著，若第k個(gè)決策單元hk=1,4該決策單元相對(duì)于其他決策單元來說生產(chǎn)I最高，或者說這一系統(tǒng)是相對(duì)而

5、言有效的；若hk<1,那么該決策單元相對(duì)于其他決策單元來說，生產(chǎn)率還有待于提高，或者說這一生產(chǎn)系統(tǒng)還不是有效的。根據(jù)上述分析，第j0個(gè)決策單元的相對(duì)效率優(yōu)化評(píng)價(jià)模型為：這是一個(gè)分式規(guī)劃模型，我們必須將它化為線性規(guī)劃模型才能求解。為此令tur , witVii1vixij0則模型轉(zhuǎn)化為：寫成向量形式有：線性規(guī)劃中一個(gè)十分重要，也十分有效的理論是對(duì)偶理論，通過建立對(duì)偶模型更易于從理論及經(jīng)濟(jì)意義上作深入分析，其對(duì)偶問題為：進(jìn)一步引入松弛變量s和剩余變量s,將上面的不等式約束化為等式約束：、一.、一一I一一一，一、*設(shè)上述問題的最優(yōu)解為，s,則有如下結(jié)論與經(jīng)濟(jì)含義：，一、rr，*.*-一-一、一

6、(1)右1,且s0,s0,則決策單兀DMUj0為DEA有效，即在原線性規(guī)劃的解中存在w*0,*0,并且其最優(yōu)值h*01。此時(shí)，決策單元DMUj。的生產(chǎn)活動(dòng)同時(shí)為技術(shù)有效和規(guī)模有效。(2),但至少有某個(gè)輸入或者輸出松弛變量大于零。則此時(shí)原線性規(guī)劃的最優(yōu)值h*01,稱DMUj0為弱DEA有效，它不是同時(shí)技術(shù)有效和規(guī)模有效。(3)若*1,決策單元DMUj0不是DEAt效。其生產(chǎn)活動(dòng)既不是技術(shù)效率最佳，而不是規(guī)模效率最佳。(4)另外，我們可以用c2r模型中j的最優(yōu)值來判別DMU勺規(guī)模收益情況。若存在*j1,2,L,n，使*1成立，則DMUj0為規(guī)模效益不變；若不存在*j1,2,L,n,使;1成立，則若

7、*1,那么DMUj。為規(guī)模效益遞增；若不存在*j1,2,L,n,使*1成立，則若*1,那么DMUj0為規(guī)模效益遞減。技術(shù)有效：輸出相對(duì)輸入而言已達(dá)最大，即該決策單元位于生產(chǎn)函數(shù)的曲線上。規(guī)模有效：指投入量既不偏大，也不過小，是介于規(guī)模收入收益由遞增到遞減之間的狀態(tài)，即處于規(guī)模收益不變的狀態(tài)。DMU1DMU2DMU3都處于技術(shù)有效狀態(tài)；DMU體為規(guī)模有效，實(shí)際上它處于規(guī)模收益遞增狀態(tài)；DMU3不為規(guī)模有效，實(shí)際上它處于規(guī)模收益遞減狀態(tài)；DMU2是規(guī)模有效的。如果用DEA模型來判斷DEA有效性，只有DMU2寸應(yīng)的最優(yōu)值8°=1?？梢?，在C2R模型下的DEA有效，其經(jīng)濟(jì)含義是：既為“技術(shù)有效”,也為“規(guī)模有效”。例題：下面是具有3個(gè)決策單元的單輸入數(shù)據(jù)和單輸出數(shù)據(jù).相應(yīng)決策單元所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)以A,B,C表示，其中點(diǎn)AC在生產(chǎn)曲線上，點(diǎn)B在生產(chǎn)曲線下方。由3個(gè)決策單元所確定的生產(chǎn)可能集T也在圖中標(biāo)出來。對(duì)于決策點(diǎn)A,它是“技術(shù)有效”和“規(guī)模有效”，它所對(duì)應(yīng)的C2R模型為其最優(yōu)解為：0(1,0,0)T,01對(duì)于決策點(diǎn)B,它不是“技術(shù)有效”，因?yàn)辄c(diǎn)B不在生產(chǎn)函數(shù)曲線上，也不是“規(guī)模有效”，這是因?yàn)樗耐顿Y規(guī)模太大.其對(duì)應(yīng)的C2R模型如下：其最優(yōu)解為0(1/2,0,0)T,01/4:3由于8<1,故B點(diǎn)不是DEA有效，由j0-1,知該部門的規(guī)模收益是遞ji2增的.,它是