八年級數學下冊10.5分式方程《分式方程》復習指導素材(新版)蘇科版

1、分式方程7、課標要求1、了解分式方程的概念，會解可化為一元一次方程的分式方程。2、了解產生增根的原因，會檢驗一個數是不是分式方程的增根。3、能將實際問題中的等量關系用分式方程表示，體會分式方程的模型思想。4、通過實際問題抽象、概括分式方程這一 “數學化”的思想，培養(yǎng)我們努力尋找解決 問題的方法的進取心，體會數學的應用價值。、知識網絡L概念基本方法分式方程分式方程|SS注意的問題分式方程的應用實際問題數學%分貳方程轉化,后式方程1警式方程的解 檢驗 分式方程的解二、知識要點回顧1、分式方程的概念分式方程是分母中含有未知數的方程。分母中是否含有未知數是分式方程與整式方程的根本區(qū)別，是區(qū)分分式方程和

2、整式方x2, 一 一.、一、.，一 ,、一，一， 、一、程的依據，如 一 =1和x=1是不同的方程，前者是分式方程，后者是整式方程（一元一次方x程）。判斷一個方程是不是分式方程，應看這個方程的分母中是否含有未知數，而不是含不x含有宇母。如萬程 一=1 （a是常數，且aw0, x是未知數）就不是分式方程。 a2、分式方程的解的意義使分式方程左右兩邊相等的值叫做分式方程的解，也可以叫做根。注意：由于分式方程都可以化為一元一次的整式方程，故它的解至多一個， 也可能無解；可用代入法檢驗一個數是否是分式方程的解，或進一步確定待定常數。3、如何解分式方程？（ 1）解分式方程的基本思想“轉化”思想，即把分式

3、方程的分母去掉，使分式方程化為整式方程，就可以利用整式方程的解法求解了。（ 2）解分式方程的步驟：分式方程是轉化為一元一次方程來求解， 它是通過去分母實現(xiàn)轉化的。 主要步驟： 去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化為 1 ，檢驗。因為解分式方程可能產生增根，所以解分式方程最后一步“檢驗” ，檢查所解整式方程的根到底是不是分式方程的根。4、去分母的技巧去分母是解分式方程的第一步， 也是關鍵的一步， 當分式方程中分式的分母是一次式時，可直接確定最簡公分母， 方程兩邊同乘以最簡公分母后實現(xiàn)去分母； 當各分式的分母中有二次式時，要先進行因式分解，再確定最簡公分母，然后再去分母。5、 “增根”是怎樣產

4、生的？解分式方程時，由于在方程的左右兩邊同時乘含有未知數的公分母（ 含未知數的整式） ，得到了一個整式方程， 從而使原分式方程中未知數的取值范圍擴大了。 對于分式方程， 當分式中分母的值為零時沒有意義。 所以分式方程不允許末知數取那些使分母的值為零的值。 即分式方程本身隱含著分母不為零這一條件， 當我們通過去分母把分式方程轉化為一元一次方程時，這種限制被取消了，于是就可能出現(xiàn)使原分式方程的分母為零的根，即“增根” 。因此，在解分式方程時必須驗根。6、驗根的方法：因為解分式方程可能出現(xiàn)增根， 所以驗根是必要的。 驗根的方法有兩種： 一種是把求得的未知數的值代入原方程進行檢驗， 這種方法道理簡單，

5、 而且可以檢查解方程時有無計算錯誤； 另一種是把求得的末知數的值代入最簡公分母， 看分母的值是否為零， 如果使最簡公分母為零，那么這個解就是原方程的增根， 故必須舍去。這種方法比較簡便， 但不能檢查解方程過程中出現(xiàn)的計算錯誤。7 、注意的問題：把分式方程“轉化”為整式方程的條件是去掉分式方程中的分母。如何去掉分式方程中的分母是解分式方程的“關鍵”步驟。用分式方程中各項的最簡公分母乘方程的兩邊， 從而約去分母。 但要注意用最簡公分母乘方程兩邊各項時，切勿漏項。解分式方程可能產生“增根”的情況，那么驗根就是解分式方程的必要步驟。8、列分式方程解應用題的方法步驟：(1)審：弄清題中涉及哪些量？已知量

6、和未知量各有幾個？量與量之間的基本關系是什么？(2)設：設恰當的未知數；設未知數，找出盡可能多的相等關系，用含有未知數的代 數式表示其他未知量。注意，所設未知量的單位要明確。(3)歹U:抓住題中含有相等關系的語句，將此語句抽象為含有未知數的等式，這就是方程.(4)解：求出所列方程的解；(5)驗：用分式方程解決實際問題時，必須進行檢驗。這里的檢驗應包括兩層含義， 第一，檢驗得到的根是不是分式方程的增根；第二，檢驗得到的根是否符合實際問題的題意。(6)答：寫出答案。三、思想方法：類比和轉化的思想。四、常見誤區(qū)提示(一)忽視檢驗例1解方程一2+旦=二一x 1 x -1 x -1錯解：去分母，得2(x

7、 -1) 3(x 1)-6解這個整式方程，得 x=1所以，原方程的解為 x=1點評：錯誤的原因就是沒有驗根， 這是與解整式方程最大的區(qū)別，也是同學們最容易出現(xiàn)錯誤的地方，大家應該引起注意。正確解答：在添加檢驗這一環(huán)節(jié)就可以拉。經檢驗，得：x=1能夠使原方程的分母得 0,所以，x=1是增根，舍去，故原方程沒 有實數根。(二)檢驗方法不正確例2解方程-2- + = Yx 1 x -1 x -1錯解：去分母，得2(x -1) 3(x 1)=6解這個整式方程，得 x-1檢驗：把 x = 1 代入 2(x1)+3(x + 1) = 6中，左邊=2 (1 -1) 3(1 2) =6=右邊所以，x=1是原方

8、程的解。點評：本解答看似進行了驗根，但由于驗根的方法不對，應把所求得的整式方程的根代入所乘的最簡公分母或代入原方程中去，而不能代入由分式方程化簡后得到的整式方程中去檢驗。正解解答：去分母，得 2（ x 一 1） 3（ x 1） = 6解這個整式方程，得 x =1檢驗：把x=1代入原方程，原方程無意義，故 x = 1是增根，原方程無解。（三）忽視分子為零解方程二 一x -2 x -112x-4 x-3錯解：方程兩邊分別通分并整理，得5 - x5 - xx2 -3x 2 - x2 -7x 12由于等式左右兩邊都是分式，而且這兩個分式的分子相等，所以分母也應該相等，故有 x2 -3x ,2=x2-7

9、x，125解之，得x = 52，一 5檢驗：把x=代入原方程，原方程左、右兩邊的值相等，2一,5所以，x=一是原方程的根.2點評：兩個分式相等，可能是分子、分母分別相等，還可能是分子的值等于零（此時， 分母的值可以相等，也可以不相等）。上面的解答就忽視了 “分子為零”這種情況，從而導致了失根。正解：方程兩邊分別通分并整理，得5 - x _5 - x22x2 -3x 2 x2 -7x 12當 5x=0 時，得 x = 5;當 5x#0 時，則有 x2 3x+2 = x2 -7x+12.一 5解之，得x=5 .25經檢驗知x=5, x=都是原方程的根。2（四）考慮問題不全面例4若關于x的分式方程

10、空1 = 2的解為正數，則 m的取值范圍是（）x-1A. m -1B. m#1C. mA1且m/-1D. mA-1且m1錯解：把方程的兩邊同時乘以x 1,得：m1=2（x1）解這個方程，得x=m-J2因為方程的解為正數，所以m1 0,則m 12故當m 1時，原方程的解為正數.點評：以上錯解沒有考慮 x =巴口是否為原方程的增根的情況，我們應當從m - 12的范圍內排除能使 x=m口為增根的m的值。2正解：把方程的兩邊同時乘以x1,得：m1=2（x1）m 1解這個方程，得x = m2m原方程的增根只能是 x=1 ,當 m-1=1時，得m=1m 1所以，當m=1時，x =才是原萬程的根.2又因為原

11、方程的解為正數，m -1所以，m- 0,則 m 12綜上所述，當 m-1且m#1時，原方程的解為正，故選擇D。（五）沒有真正理解分式方程有“增根”的含義ax 1例5若關于x的方程ax-p 1=0有增根，則a的值為?！鞍?，一2錯解：原方程可化為（a 1） x+2=0,所以，x= a -1因為，方程有增根，所以 xW1,rr - 2LL ,、，即w1,所以，aw1a -1分析：方程有增根應是分母為。的x值，即x=1,而不是xW1。正確解答：原方程可化為（a1） x+2=0,而原方程的增根為使 x 1=0的x的值，即x=1 ,把x=1代入得a=- 1點評：當我們通過去分母把分式方程轉化為一元一次方程

12、時，出現(xiàn)了使原分式方程的分母為零的根，即“增根” ,因此，在解答有關“增根”問題時，應該把增根的值代入原分式 方程的分母中來解答。(六)去分母時漏乘不含分母的項. 、一 x3例6解方程= 2+、一x -3 x - 3錯解：去分母，得 x=2+3,即x=5檢驗：當x=5時，x-3w0.所以x=5是原方程的根。點評：去分母時，整數2漏乘最簡公分母x-3。正確解答：去分母，得 x=2(x-3)+3,x=2x-6+3解這個方程得x=3把x=3代入x-3=0 ,.x=3是原方程的增根。所以原方程無解。(七)解分式方程錯符號加十工口 116 - x解萬程=2-x x-2 3x2-12錯解：方程兩邊同乘以最簡公分母3 (x+2) (x-2),得：3 (x+2) =3 (x+2) -6-x,以下步驟略。1 一、一點評：去分母時有兩處錯誤： 萬程左邊一項 乘以3 (x+2