八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)10.5分式方程《分式方程》復(fù)習(xí)指導(dǎo)素材(新版)蘇科版

1、分式方程7、課標(biāo)要求1、了解分式方程的概念，會(huì)解可化為一元一次方程的分式方程。2、了解產(chǎn)生增根的原因，會(huì)檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是不是分式方程的增根。3、能將實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系用分式方程表示，體會(huì)分式方程的模型思想。4、通過(guò)實(shí)際問(wèn)題抽象、概括分式方程這一 “數(shù)學(xué)化”的思想，培養(yǎng)我們努力尋找解決 問(wèn)題的方法的進(jìn)取心，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)L概念基本方法分式方程分式方程|SS注意的問(wèn)題分式方程的應(yīng)用實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)%分貳方程轉(zhuǎn)化,后式方程1警式方程的解 檢驗(yàn) 分式方程的解二、知識(shí)要點(diǎn)回顧1、分式方程的概念分式方程是分母中含有未知數(shù)的方程。分母中是否含有未知數(shù)是分式方程與整式方程的根本區(qū)別，是區(qū)分分式方程和

2、整式方x2, 一 一.、一、.，一 ,、一，一， 、一、程的依據(jù)，如 一 =1和x=1是不同的方程，前者是分式方程，后者是整式方程（一元一次方x程）。判斷一個(gè)方程是不是分式方程，應(yīng)看這個(gè)方程的分母中是否含有未知數(shù)，而不是含不x含有宇母。如萬(wàn)程 一=1 （a是常數(shù)，且aw0, x是未知數(shù)）就不是分式方程。 a2、分式方程的解的意義使分式方程左右兩邊相等的值叫做分式方程的解，也可以叫做根。注意：由于分式方程都可以化為一元一次的整式方程，故它的解至多一個(gè)， 也可能無(wú)解；可用代入法檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是否是分式方程的解，或進(jìn)一步確定待定常數(shù)。3、如何解分式方程？（ 1）解分式方程的基本思想“轉(zhuǎn)化”思想，即把分式

3、方程的分母去掉，使分式方程化為整式方程，就可以利用整式方程的解法求解了。（ 2）解分式方程的步驟：分式方程是轉(zhuǎn)化為一元一次方程來(lái)求解， 它是通過(guò)去分母實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的。 主要步驟： 去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，系數(shù)化為 1 ，檢驗(yàn)。因?yàn)榻夥质椒匠炭赡墚a(chǎn)生增根，所以解分式方程最后一步“檢驗(yàn)” ，檢查所解整式方程的根到底是不是分式方程的根。4、去分母的技巧去分母是解分式方程的第一步， 也是關(guān)鍵的一步， 當(dāng)分式方程中分式的分母是一次式時(shí)，可直接確定最簡(jiǎn)公分母， 方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母后實(shí)現(xiàn)去分母； 當(dāng)各分式的分母中有二次式時(shí)，要先進(jìn)行因式分解，再確定最簡(jiǎn)公分母，然后再去分母。5、 “增根”是怎樣產(chǎn)

4、生的？解分式方程時(shí)，由于在方程的左右兩邊同時(shí)乘含有未知數(shù)的公分母（ 含未知數(shù)的整式） ，得到了一個(gè)整式方程， 從而使原分式方程中未知數(shù)的取值范圍擴(kuò)大了。 對(duì)于分式方程， 當(dāng)分式中分母的值為零時(shí)沒(méi)有意義。 所以分式方程不允許末知數(shù)取那些使分母的值為零的值。 即分式方程本身隱含著分母不為零這一條件， 當(dāng)我們通過(guò)去分母把分式方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程時(shí)，這種限制被取消了，于是就可能出現(xiàn)使原分式方程的分母為零的根，即“增根” 。因此，在解分式方程時(shí)必須驗(yàn)根。6、驗(yàn)根的方法：因?yàn)榻夥质椒匠炭赡艹霈F(xiàn)增根， 所以驗(yàn)根是必要的。 驗(yàn)根的方法有兩種： 一種是把求得的未知數(shù)的值代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn)， 這種方法道理簡(jiǎn)單，

5、 而且可以檢查解方程時(shí)有無(wú)計(jì)算錯(cuò)誤； 另一種是把求得的末知數(shù)的值代入最簡(jiǎn)公分母， 看分母的值是否為零， 如果使最簡(jiǎn)公分母為零，那么這個(gè)解就是原方程的增根， 故必須舍去。這種方法比較簡(jiǎn)便， 但不能檢查解方程過(guò)程中出現(xiàn)的計(jì)算錯(cuò)誤。7 、注意的問(wèn)題：把分式方程“轉(zhuǎn)化”為整式方程的條件是去掉分式方程中的分母。如何去掉分式方程中的分母是解分式方程的“關(guān)鍵”步驟。用分式方程中各項(xiàng)的最簡(jiǎn)公分母乘方程的兩邊， 從而約去分母。 但要注意用最簡(jiǎn)公分母乘方程兩邊各項(xiàng)時(shí)，切勿漏項(xiàng)。解分式方程可能產(chǎn)生“增根”的情況，那么驗(yàn)根就是解分式方程的必要步驟。8、列分式方程解應(yīng)用題的方法步驟：(1)審：弄清題中涉及哪些量？已知量

6、和未知量各有幾個(gè)？量與量之間的基本關(guān)系是什么？(2)設(shè)：設(shè)恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；設(shè)未知數(shù)，找出盡可能多的相等關(guān)系，用含有未知數(shù)的代 數(shù)式表示其他未知量。注意，所設(shè)未知量的單位要明確。(3)歹U:抓住題中含有相等關(guān)系的語(yǔ)句，將此語(yǔ)句抽象為含有未知數(shù)的等式，這就是方程.(4)解：求出所列方程的解；(5)驗(yàn)：用分式方程解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，必須進(jìn)行檢驗(yàn)。這里的檢驗(yàn)應(yīng)包括兩層含義， 第一，檢驗(yàn)得到的根是不是分式方程的增根；第二，檢驗(yàn)得到的根是否符合實(shí)際問(wèn)題的題意。(6)答：寫(xiě)出答案。三、思想方法：類(lèi)比和轉(zhuǎn)化的思想。四、常見(jiàn)誤區(qū)提示(一)忽視檢驗(yàn)例1解方程一2+旦=二一x 1 x -1 x -1錯(cuò)解：去分母，得2(x

7、 -1) 3(x 1)-6解這個(gè)整式方程，得 x=1所以，原方程的解為 x=1點(diǎn)評(píng)：錯(cuò)誤的原因就是沒(méi)有驗(yàn)根， 這是與解整式方程最大的區(qū)別，也是同學(xué)們最容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方，大家應(yīng)該引起注意。正確解答：在添加檢驗(yàn)這一環(huán)節(jié)就可以拉。經(jīng)檢驗(yàn)，得：x=1能夠使原方程的分母得 0,所以，x=1是增根，舍去，故原方程沒(méi) 有實(shí)數(shù)根。(二)檢驗(yàn)方法不正確例2解方程-2- + = Yx 1 x -1 x -1錯(cuò)解：去分母，得2(x -1) 3(x 1)=6解這個(gè)整式方程，得 x-1檢驗(yàn)：把 x = 1 代入 2(x1)+3(x + 1) = 6中，左邊=2 (1 -1) 3(1 2) =6=右邊所以，x=1是原方

8、程的解。點(diǎn)評(píng)：本解答看似進(jìn)行了驗(yàn)根，但由于驗(yàn)根的方法不對(duì)，應(yīng)把所求得的整式方程的根代入所乘的最簡(jiǎn)公分母或代入原方程中去，而不能代入由分式方程化簡(jiǎn)后得到的整式方程中去檢驗(yàn)。正解解答：去分母，得 2（ x 一 1） 3（ x 1） = 6解這個(gè)整式方程，得 x =1檢驗(yàn)：把x=1代入原方程，原方程無(wú)意義，故 x = 1是增根，原方程無(wú)解。（三）忽視分子為零解方程二 一x -2 x -112x-4 x-3錯(cuò)解：方程兩邊分別通分并整理，得5 - x5 - xx2 -3x 2 - x2 -7x 12由于等式左右兩邊都是分式，而且這兩個(gè)分式的分子相等，所以分母也應(yīng)該相等，故有 x2 -3x ,2=x2-7

9、x，125解之，得x = 52，一 5檢驗(yàn)：把x=代入原方程，原方程左、右兩邊的值相等，2一,5所以，x=一是原方程的根.2點(diǎn)評(píng)：兩個(gè)分式相等，可能是分子、分母分別相等，還可能是分子的值等于零（此時(shí)， 分母的值可以相等，也可以不相等）。上面的解答就忽視了 “分子為零”這種情況，從而導(dǎo)致了失根。正解：方程兩邊分別通分并整理，得5 - x _5 - x22x2 -3x 2 x2 -7x 12當(dāng) 5x=0 時(shí)，得 x = 5;當(dāng) 5x#0 時(shí)，則有 x2 3x+2 = x2 -7x+12.一 5解之，得x=5 .25經(jīng)檢驗(yàn)知x=5, x=都是原方程的根。2（四）考慮問(wèn)題不全面例4若關(guān)于x的分式方程

10、空1 = 2的解為正數(shù)，則 m的取值范圍是（）x-1A. m -1B. m#1C. mA1且m/-1D. mA-1且m1錯(cuò)解：把方程的兩邊同時(shí)乘以x 1,得：m1=2（x1）解這個(gè)方程，得x=m-J2因?yàn)榉匠痰慕鉃檎龜?shù)，所以m1 0,則m 12故當(dāng)m 1時(shí)，原方程的解為正數(shù).點(diǎn)評(píng)：以上錯(cuò)解沒(méi)有考慮 x =巴口是否為原方程的增根的情況，我們應(yīng)當(dāng)從m - 12的范圍內(nèi)排除能使 x=m口為增根的m的值。2正解：把方程的兩邊同時(shí)乘以x1,得：m1=2（x1）m 1解這個(gè)方程，得x = m2m原方程的增根只能是 x=1 ,當(dāng) m-1=1時(shí)，得m=1m 1所以，當(dāng)m=1時(shí)，x =才是原萬(wàn)程的根.2又因?yàn)樵?/p>

11、方程的解為正數(shù)，m -1所以，m- 0,則 m 12綜上所述，當(dāng) m-1且m#1時(shí)，原方程的解為正，故選擇D。（五）沒(méi)有真正理解分式方程有“增根”的含義ax 1例5若關(guān)于x的方程ax-p 1=0有增根，則a的值為?！鞍?，一2錯(cuò)解：原方程可化為（a 1） x+2=0,所以，x= a -1因?yàn)?，方程有增根，所?xW1,rr - 2LL ,、，即w1,所以，aw1a -1分析：方程有增根應(yīng)是分母為。的x值，即x=1,而不是xW1。正確解答：原方程可化為（a1） x+2=0,而原方程的增根為使 x 1=0的x的值，即x=1 ,把x=1代入得a=- 1點(diǎn)評(píng)：當(dāng)我們通過(guò)去分母把分式方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程

12、時(shí)，出現(xiàn)了使原分式方程的分母為零的根，即“增根” ,因此，在解答有關(guān)“增根”問(wèn)題時(shí)，應(yīng)該把增根的值代入原分式 方程的分母中來(lái)解答。(六)去分母時(shí)漏乘不含分母的項(xiàng). 、一 x3例6解方程= 2+、一x -3 x - 3錯(cuò)解：去分母，得 x=2+3,即x=5檢驗(yàn)：當(dāng)x=5時(shí)，x-3w0.所以x=5是原方程的根。點(diǎn)評(píng)：去分母時(shí)，整數(shù)2漏乘最簡(jiǎn)公分母x-3。正確解答：去分母，得 x=2(x-3)+3,x=2x-6+3解這個(gè)方程得x=3把x=3代入x-3=0 ,.x=3是原方程的增根。所以原方程無(wú)解。(七)解分式方程錯(cuò)符號(hào)加十工口 116 - x解萬(wàn)程=2-x x-2 3x2-12錯(cuò)解：方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母3 (x+2) (x-2),得：3 (x+2) =3 (x+2) -6-x,以下步驟略。1 一、一點(diǎn)評(píng)：去分母時(shí)有兩處錯(cuò)誤： 萬(wàn)程左邊一項(xiàng) 乘以3 (x+2