特殊平行四邊形：證明題

1、.基礎(chǔ)篇特殊平行四邊形之證明題題型一：菱形的證明1、如圖，在三角形中，、分別是、上的點(diǎn)，沿線段翻折，使點(diǎn)落在邊上，記為若四邊形是菱形，則下列說法正確的是( ) A.是的中位線B.是邊上的中線C.是邊上的高 D. 是的角平分線2已知：如圖，在中，AE是BC邊上的高，將沿方向平移，使點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，得（1）求證：；（2）若，當(dāng)AB與BC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形是菱形.證明你的結(jié)論ADGCBFEABCDEFD3、將平行四邊形紙片ABCD按如圖方式折疊，使點(diǎn)C與A重合，點(diǎn)D落到D 處，折痕為EF（1）求證：ABEADF；（2）連接CF，判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形.證明你的結(jié)論4.如圖，ABC

2、中，AC的垂直平分線MN交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)O，CEAB交MN于E，連結(jié)AE、CD（1）求證：ADCE；（2）填空：四邊形ADCE的形狀是5如圖，在ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，連結(jié)AD，在AD的延長線上取一點(diǎn)E，連結(jié)BE，CE.（1）求證：ABEACE（2）當(dāng)AE與AD滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形ABEC是菱形.并說明理由.6如圖，將矩形沿對角線剪開，再把沿方向平移得到（1）證明；CBAD（第19題）（2）若，試問當(dāng)點(diǎn)在線段上的什么位置時(shí)，四邊形是菱形，并請說明理由7在菱形中，對角線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)（1）求的周長；（2）點(diǎn)為線段上的點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)求證：AQDEB

3、PCO8如圖，在ABC中，A、B的平分線交于點(diǎn)D，DEAC交BC于點(diǎn)E，DFBC交AC于點(diǎn)F（1）點(diǎn)D是ABC的_心；（2）求證：四邊形DECF為菱形9、如圖,已知:在四邊形ABFC中，=90的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E,且CF=AE(1) 試探究,四邊形BECF是什么特殊的四邊形;(2) 當(dāng)?shù)拇笮M足什么條件時(shí),四邊形BECF是正方形"請回答并證明你的結(jié)論.(特別提醒:表示角最好用數(shù)字)10、如圖，矩形中，是與的交點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與的延長線分別交于（1）求證：；（2）當(dāng)與滿足什么關(guān)系時(shí)，以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.證明你的結(jié)論FDOCBEA型二：正方形的證明題1、四邊形AB

4、CD、DEFG都是正方形，連接AE、CG（1）求證：AE=CG；（2）觀察圖形，猜想AE與CG之間的位置關(guān)系，并證明你的猜想DCABGHFE（2）2、把正方形繞著點(diǎn)，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形，邊與交于點(diǎn)（如圖）試問線段與線段相等嗎.請先觀察猜想，然后再證明你的猜想4、如圖12，B、C、E是同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，四邊形ABCD與四邊形CEFG是都是正方形.連接BG、DE.（1）觀察猜想BG與DE之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.（2）在圖中是否存在通過旋轉(zhuǎn)能夠互相重合的兩個(gè)三角形.若存在，請指出，并說出旋轉(zhuǎn)過程；若不存在，請說明理由.5如圖，四邊形ABCD是正方形, 點(diǎn)G是BC上任意一點(diǎn)，DEAG

5、于點(diǎn)E，BFAG于點(diǎn)F. (1) 求證：DEBF = EF(2) 當(dāng)點(diǎn)G為BC邊中點(diǎn)時(shí), 試探究線段EF與GF之間的數(shù)量關(guān)系， 并說明理由 (3) 若點(diǎn)G為CB延長線上一點(diǎn)，其余條件不變請你在圖中畫出圖形，寫出此時(shí)DE、BF、EF之間的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）7、已知：如圖，在正方形ABCD中，G是CD上一點(diǎn)，延長BC到E，使CECG，連接BG并延長交DE于F（1）求證：BCGDCE；（2）將DCE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到DAE，判斷四邊形EBGD是什么特殊四邊形.并說明理由ABCDEFG9如圖：已知在中，為邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足分別為.（1） 求證：；（2）若，求證：四邊形是正方形

6、. DCBEAF題型五：矩形的證明題1.如圖，在ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長線于點(diǎn)F，且AF=BD，連結(jié)BF。（1） 求證：BD=CD；（2） 如果AB=AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論。2.如圖，在梯形中，兩點(diǎn)在邊上，且四邊形是平行四邊形ADCFEB（1）與有何等量關(guān)系.請說明理由；（2）當(dāng)時(shí)，求證：是矩形3.如圖，四邊形ABCD是矩形，PBC和QCD都是等邊三角形，且點(diǎn)P在矩形上方，點(diǎn)Q在矩形內(nèi)求證：（1）PBA=PCQ=30°；（2）PA=PQACBDPQ4.如圖，ABC中，AB=AC，AD、AE分別是BAC和B

7、AC和外角的平分線，BEAE（1）求證：DAAE；（2）試判斷AB與DE是否相等.并證明你的結(jié)論ABCDEF5、如圖，在ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MNBC，設(shè)MN交BCA的角平分線于點(diǎn)E，交BCA的外角平分線于點(diǎn)F（1）求證：EO=FO；（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形.并證明你的結(jié)論6、如圖，在中，是邊上的一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線交的延長線于，且，連接（1）求證：是的中點(diǎn)；（2）如果，試猜測四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論BAFCED題型六：綜合證明題2.如圖所示，在中，將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)在上，再將沿著所在直線翻轉(zhuǎn)得到連接 （1）求證：四邊形是菱

8、形； （2）連接并延長交于連接請問：四邊形是什么特殊平行四邊形.為什么.ADFCEGB3如圖，中，點(diǎn)是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過作直線，設(shè)交的平分線于點(diǎn)，交的外角平分線于點(diǎn)（1）探究：線段與的數(shù)量關(guān)系并加以證明；（2）當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形會(huì)是菱形嗎.若是，請證明，若不是，則說明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處，且滿足什么條件時(shí)，四邊形是正方形.AFNDCBMEO5、如圖15，平行四邊形中，對角線相交于點(diǎn)，將直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交于點(diǎn)（1）證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為時(shí)，四邊形是平行四邊形；（2）試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段與總保持相等；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形可能是菱形嗎.如果不能，請說明理由；如果能，說明理由并求

9、出此時(shí)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)ABCDOFE提高篇選講四邊形證明經(jīng)典題1.在ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作直線EF、GH，分別交平行四邊形的四條邊于E、G、F、H四點(diǎn)，連結(jié)EG、GF、FH、HE.（1）如圖，試判斷四邊形EGFH的形狀，并說明理由；（2）如圖，當(dāng)EFGH時(shí)，四邊形EGFH的形狀是；（3）如圖，在（2）的條件下，若AC=BD，四邊形EGFH的形狀是；（4）如圖，在（3）的條件下，若ACBD，試判斷四邊形EGFH的形狀，并說明理由.HGFEODCBA圖HGFEODCBA圖ABCDOEFGH圖ABCDOEFGH圖（第1題圖）2.已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC

10、和CD上，AE= AF（1）求證：BE= DF；DA（2）連接AC交EF于點(diǎn)O，延長OC至點(diǎn)M，使OM= OA，連接EM、FM判斷四邊形AEMF是什么特殊四邊形.并證明你的結(jié)論BEFOC3.如圖，為直角，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連結(jié)，作，垂足為，連結(jié)，過點(diǎn)作，交于（1）求證：；（2）在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，四邊形是梯形，并說明理由；ABCDFEM（3）在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，線段上存在點(diǎn)，滿足條件，并說明理由4.如圖，等腰梯形ABCD中，ADBC，點(diǎn)E是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(E與A、D不重合)，G、F、H分別是BE、BC、CE的中點(diǎn) (1)試探索四邊形EGFH的形狀，并說明

11、理由 (2)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形EGFH是菱形"并加以證明(3)若(2)中的菱形EGFH是正方形，請?zhí)剿骶€段EF與線段BC的關(guān)系，并證明你的結(jié)論5.如圖所示，在ABC中，分別以AB、AC、BC為邊在BC的同側(cè)作等邊ABD，等邊ACE、等邊BCF(1)求證：四邊形DAEF是平行四邊形；(2)探究下列問題：(只填滿足的條件，不需證明)當(dāng)ABC滿足_條件時(shí)，四邊形DAEF是矩形；當(dāng)ABC滿足_條件時(shí)，四邊形DAEF是菱形；(第29題圖)CBADFE當(dāng)ABC滿足_條件時(shí)，以D、A、E、F為頂點(diǎn)的四邊形不存在6.如圖，已知正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是AC上一點(diǎn)，過

12、A作AGEB于G，AG交BD于點(diǎn)F，則OEOF，對上述命題，若點(diǎn)E在AC的延長線上，AGEB，交EB的延長線于點(diǎn)G，AG的延長線交DB的延長線于點(diǎn)F，其它條件不變，則結(jié)論“OEOF”還成立嗎.如果成立，請給出證明；如果不成立，說明理由。7、在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，且（0），閱讀下列材料，然后回答下面的問題：如上圖，連結(jié)BD ，EHBD，F(xiàn)GBD連結(jié)AC，則EF與GH是否一定平行，答：；當(dāng)值為時(shí)，四邊形EFGH是平行四邊形；在的情形下，對角線AC和BD只需滿足條件時(shí)，EFGH為矩形；在的情形下，對角線AC和BD只需滿足條件時(shí)，EFGH為菱形；8.如圖

13、，E、F分別是正方形ABCD的邊AB、BC上的點(diǎn)，且EFAC，在DA的延長線上取一點(diǎn)G，使AGAD，EG與DF相交于點(diǎn)H。求證：AHAD。9、如圖，等腰梯形ABCD中，ABCD，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，ACD600，點(diǎn)S、P、Q分別是OD、OA、BC的中點(diǎn)。（1）求證：PQS是等邊三角形；（2）若AB8，CD6，求的值。（3）若45，求CDAB的值。10.將一把三角尺放在邊長為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點(diǎn)P在對角線AC上滑行，直角的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)B，另一邊與射線DC相交于點(diǎn)Q。探究：設(shè)A、P兩點(diǎn)間的距離為。（1）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，線段PQ與線段PB之間有怎樣的關(guān)系.試證明你觀察得到的結(jié)論；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，設(shè)四邊形PBCQ的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域