關(guān)于三等分任意角的方法探究

1、三等分任意角的方法探究西工大附中孫開(kāi)鋒三等分任意角的方法探究摘要：三等分角是古希臘幾何三大作圖問(wèn)題之一，本文關(guān)鍵詞：只準(zhǔn)用直角和圓規(guī)，你能將一個(gè)任意的角進(jìn)行兩等分嗎？這可太簡(jiǎn)單了，幾千前的數(shù)學(xué)家們就會(huì)做。紙上任意畫(huà)一個(gè)角，以其頂點(diǎn)O為圓心，任意選一個(gè)長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，找出弧與角的兩邊的交點(diǎn)，分別命名為A和B。然后分別以A點(diǎn)和B點(diǎn)為圓心，以同一個(gè)半徑畫(huà)弧，這個(gè)半徑要大于A、B之間距離的一半。找出兩段弧的相交點(diǎn)C，用直尺把O和C連接起來(lái)，那么直線OC就將角AOB平分成了兩部分。用同樣的方法，我們可以把一個(gè)角任意分成4等分、8等分、16等分，也就是說(shuō)，只要你有耐心，可以把任意一個(gè)角等分為2的任意次方。

2、但是，如果只用直尺和圓規(guī)，并且，這直尺還不能有刻度，你能將任意一個(gè)角三等分嗎？ 早在公元前5世紀(jì)，古希臘的巧辯學(xué)派就提出了在只用直尺畫(huà)直線、圓規(guī)畫(huà)弧的限定下，將任意給定的角三等分的命題。很多偉大的數(shù)學(xué)家如阿基米德、笛卡兒、牛頓等都試圖拿起直尺和圓規(guī)挑戰(zhàn)自己的智力，但終于都以失敗告終。直至公元1837年，法國(guó)數(shù)學(xué)家聞脫茲爾宣布：“只準(zhǔn)使用直尺與圓規(guī)，想三等分一個(gè)任意角是不可能的！”, 才暫時(shí)了結(jié)了這宗長(zhǎng)達(dá)幾千年的數(shù)學(xué)懸案。但是，如果沒(méi)有幾何作圖法的限制，任意角三等分問(wèn)題當(dāng)然可以解決，不妨舉幾個(gè)例子以共享。一 、利用工具三等分任意角如圖1所示，叫做“三等分儀”吧 ，CE=EG=DG,MECD,弧E

3、D是以G為圓心的半圓，故ME與半圓G相切于點(diǎn)E.具體操作：將該儀器置于 的內(nèi)部，使得點(diǎn)C落在OA上，ME經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,半圓G與OB相切于點(diǎn)F,則OE,OG為的三等分線。數(shù)理證明：分別連接OG,GF,故GFOB,而EGOE,所以易證：GOEGOF;同理可證GOECOE;故可得到：COE=GOE=FOG.所以，OE、OG為的三等分線。二、中考中的三等分角題目：（廣東佛山市）三等分一任意角是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名的問(wèn)題，用尺規(guī)不可能“三等分一任意角”。下面是數(shù)學(xué)家帕普斯借助函數(shù)給出的一種“三等分銳角”的方法：將給定的銳角置于直角坐標(biāo)系中，邊OB在x軸上，邊OA與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P，以P為圓心，以2OP為半徑作

4、弧交函數(shù)的圖象于點(diǎn)R，分別過(guò)點(diǎn)P和R作x軸和y軸的平行線，兩直線交于點(diǎn)M，連結(jié)OM得到，則。要明白帕普斯的方法，請(qǐng)研究以下問(wèn)題。（1）設(shè)P（），R（）求直線OM對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式（用含的代表式表示）；（2）分別過(guò)點(diǎn)P和R作y軸與x軸的平行線，兩直線相交于點(diǎn)Q，請(qǐng)證明點(diǎn)Q在直線OM上，并據(jù)此證明；（3）應(yīng)用上述方法得到的結(jié)論，你如何三等分一個(gè)鈍角（用文字簡(jiǎn)要說(shuō)明）。分析：三等分角問(wèn)題是二千四百年前古希臘人提出的幾何三大作圖不能問(wèn)題之一。本題以數(shù)學(xué)家帕普斯借助函數(shù)給出的一種“三等分銳角”的方法為線索，提出了相關(guān)的問(wèn)題，要求學(xué)生研究解決，頗有新意。同時(shí)，引導(dǎo)同學(xué)們了解數(shù)學(xué)史、了解數(shù)學(xué)家的探索過(guò)程，可以

5、幫助同學(xué)們認(rèn)識(shí)自我，建立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。為了減輕同學(xué)們證明中的困難，命題者設(shè)計(jì)了兩道簡(jiǎn)單的小題，用以過(guò)渡。對(duì)前兩道小題，首先用待定系數(shù)法易求得直線OM的解析式為。接著由于點(diǎn)Q的坐標(biāo)（）滿(mǎn)足，因此可得點(diǎn)Q在直線OM上。有了上面的基礎(chǔ)，再證明，就不太困難。簡(jiǎn)證如下：四邊形PQRM是矩形，MQ與PR交于點(diǎn)S。則，即。最后將（3）解答如下：方法（1）因?yàn)殁g角的一半是銳角，所以先把鈍角平分為兩銳角，再利用題給方法把相等的兩銳角都三等分即可。方法（2）可把鈍角分為一個(gè)直角和一個(gè)銳角，然后利用題給方法把銳角三等分后，再將直角利用作等邊三角形（或其它方法）三等分即可。方法（3）若設(shè)已知鈍角為?？上葘⒌难a(bǔ)角三等

6、分得：角，然后從大小為的角中通過(guò)作圖去掉角即可。這道壓軸題的第（3）小題具有一定的開(kāi)放性和個(gè)性化設(shè)計(jì)，它可以根據(jù)自己的理解程度，提出一個(gè)解決的方法，并且為了減緩難度，設(shè)計(jì)了3小題，讓同學(xué)們拾級(jí)而上，入口較寬。這一系列的、有層次的命題設(shè)計(jì)，體現(xiàn)了新課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)的“承認(rèn)差異，尊重個(gè)性，給每一位學(xué)生以充分發(fā)展的空間”的理念。數(shù)學(xué)思想方法在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中具有理念性的地位，這道壓軸題是一道典型的數(shù)形結(jié)合題。近年來(lái)，不少試題，都重視考查同學(xué)們對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解與應(yīng)用，有效抑制了題海戰(zhàn)術(shù)，促進(jìn)了學(xué)生學(xué)習(xí)方式的變革。三、尺規(guī)作圖的方法探究PABOO1KMbc圖3d三等分任意角作圖(如圖3)1.1 用無(wú)刻度尺的直尺作任意角； 1.2 用圓規(guī)作的平分線;1.3 取任意長(zhǎng)半徑，作的內(nèi)切圓；1.4 由d圓周上作b;作c相交于點(diǎn)K;1.5 過(guò)點(diǎn)K作等圓；1.6 過(guò)O點(diǎn)再作的切線OP，則OP就是任意角的三等分線。下面做簡(jiǎn)單的數(shù)理證明： （如圖4）2.1 以O(shè)為圓心，以為半徑作弧;2.2作距離切線OP為d的平行線p與相交于;2.3由作圖知=d，K到OB的距離為2d;過(guò)K點(diǎn)作與OB和c相切且與相交于K,圓心在O的軌跡線上；過(guò)M點(diǎn)作與OB和c相切且與相切于M;圓心在O