關(guān)于三等分任意角的方法探究

1、三等分任意角的方法探究西工大附中孫開鋒三等分任意角的方法探究摘要：三等分角是古希臘幾何三大作圖問題之一，本文關(guān)鍵詞：只準(zhǔn)用直角和圓規(guī)，你能將一個任意的角進(jìn)行兩等分嗎？這可太簡單了，幾千前的數(shù)學(xué)家們就會做。紙上任意畫一個角，以其頂點(diǎn)O為圓心，任意選一個長度為半徑畫弧，找出弧與角的兩邊的交點(diǎn)，分別命名為A和B。然后分別以A點(diǎn)和B點(diǎn)為圓心，以同一個半徑畫弧，這個半徑要大于A、B之間距離的一半。找出兩段弧的相交點(diǎn)C，用直尺把O和C連接起來，那么直線OC就將角AOB平分成了兩部分。用同樣的方法，我們可以把一個角任意分成4等分、8等分、16等分，也就是說，只要你有耐心，可以把任意一個角等分為2的任意次方。

2、但是，如果只用直尺和圓規(guī)，并且，這直尺還不能有刻度，你能將任意一個角三等分嗎？ 早在公元前5世紀(jì)，古希臘的巧辯學(xué)派就提出了在只用直尺畫直線、圓規(guī)畫弧的限定下，將任意給定的角三等分的命題。很多偉大的數(shù)學(xué)家如阿基米德、笛卡兒、牛頓等都試圖拿起直尺和圓規(guī)挑戰(zhàn)自己的智力，但終于都以失敗告終。直至公元1837年，法國數(shù)學(xué)家聞脫茲爾宣布：“只準(zhǔn)使用直尺與圓規(guī)，想三等分一個任意角是不可能的！”, 才暫時了結(jié)了這宗長達(dá)幾千年的數(shù)學(xué)懸案。但是，如果沒有幾何作圖法的限制，任意角三等分問題當(dāng)然可以解決，不妨舉幾個例子以共享。一 、利用工具三等分任意角如圖1所示，叫做“三等分儀”吧 ，CE=EG=DG,MECD,弧E

3、D是以G為圓心的半圓，故ME與半圓G相切于點(diǎn)E.具體操作：將該儀器置于 的內(nèi)部，使得點(diǎn)C落在OA上，ME經(jīng)過點(diǎn)O,半圓G與OB相切于點(diǎn)F,則OE,OG為的三等分線。數(shù)理證明：分別連接OG,GF,故GFOB,而EGOE,所以易證：GOEGOF;同理可證GOECOE;故可得到：COE=GOE=FOG.所以，OE、OG為的三等分線。二、中考中的三等分角題目：（廣東佛山市）三等分一任意角是數(shù)學(xué)史上一個著名的問題，用尺規(guī)不可能“三等分一任意角”。下面是數(shù)學(xué)家帕普斯借助函數(shù)給出的一種“三等分銳角”的方法：將給定的銳角置于直角坐標(biāo)系中，邊OB在x軸上，邊OA與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P，以P為圓心，以2OP為半徑作

4、弧交函數(shù)的圖象于點(diǎn)R，分別過點(diǎn)P和R作x軸和y軸的平行線，兩直線交于點(diǎn)M，連結(jié)OM得到，則。要明白帕普斯的方法，請研究以下問題。（1）設(shè)P（），R（）求直線OM對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式（用含的代表式表示）；（2）分別過點(diǎn)P和R作y軸與x軸的平行線，兩直線相交于點(diǎn)Q，請證明點(diǎn)Q在直線OM上，并據(jù)此證明；（3）應(yīng)用上述方法得到的結(jié)論，你如何三等分一個鈍角（用文字簡要說明）。分析：三等分角問題是二千四百年前古希臘人提出的幾何三大作圖不能問題之一。本題以數(shù)學(xué)家帕普斯借助函數(shù)給出的一種“三等分銳角”的方法為線索，提出了相關(guān)的問題，要求學(xué)生研究解決，頗有新意。同時，引導(dǎo)同學(xué)們了解數(shù)學(xué)史、了解數(shù)學(xué)家的探索過程，可以

5、幫助同學(xué)們認(rèn)識自我，建立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。為了減輕同學(xué)們證明中的困難，命題者設(shè)計(jì)了兩道簡單的小題，用以過渡。對前兩道小題，首先用待定系數(shù)法易求得直線OM的解析式為。接著由于點(diǎn)Q的坐標(biāo)（）滿足，因此可得點(diǎn)Q在直線OM上。有了上面的基礎(chǔ)，再證明，就不太困難。簡證如下：四邊形PQRM是矩形，MQ與PR交于點(diǎn)S。則，即。最后將（3）解答如下：方法（1）因?yàn)殁g角的一半是銳角，所以先把鈍角平分為兩銳角，再利用題給方法把相等的兩銳角都三等分即可。方法（2）可把鈍角分為一個直角和一個銳角，然后利用題給方法把銳角三等分后，再將直角利用作等邊三角形（或其它方法）三等分即可。方法（3）若設(shè)已知鈍角為?？上葘⒌难a(bǔ)角三等

6、分得：角，然后從大小為的角中通過作圖去掉角即可。這道壓軸題的第（3）小題具有一定的開放性和個性化設(shè)計(jì)，它可以根據(jù)自己的理解程度，提出一個解決的方法，并且為了減緩難度，設(shè)計(jì)了3小題，讓同學(xué)們拾級而上，入口較寬。這一系列的、有層次的命題設(shè)計(jì)，體現(xiàn)了新課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)的“承認(rèn)差異，尊重個性，給每一位學(xué)生以充分發(fā)展的空間”的理念。數(shù)學(xué)思想方法在解決數(shù)學(xué)問題中具有理念性的地位，這道壓軸題是一道典型的數(shù)形結(jié)合題。近年來，不少試題，都重視考查同學(xué)們對數(shù)學(xué)思想方法的理解與應(yīng)用，有效抑制了題海戰(zhàn)術(shù)，促進(jìn)了學(xué)生學(xué)習(xí)方式的變革。三、尺規(guī)作圖的方法探究PABOO1KMbc圖3d三等分任意角作圖(如圖3)1.1 用無刻度尺的直尺作任意角； 1.2 用圓規(guī)作的平分線;1.3 取任意長半徑，作的內(nèi)切圓；1.4 由d圓周上作b;作c相交于點(diǎn)K;1.5 過點(diǎn)K作等圓；1.6 過O點(diǎn)再作的切線OP，則OP就是任意角的三等分線。下面做簡單的數(shù)理證明： （如圖4）2.1 以O(shè)為圓心，以為半徑作弧;2.2作距離切線OP為d的平行線p與相交于;2.3由作圖知=d，K到OB的距離為2d;過K點(diǎn)作與OB和c相切且與相交于K,圓心在O的軌跡線上；過M點(diǎn)作與OB和c相切且與相切于M;圓心在O