力學(xué)數(shù)學(xué)預(yù)備知識微積分及矢量

1、2極極 限限 極限極限對對 y = f (x) ，若，若 x 無限趨近某一數(shù)值無限趨近某一數(shù)值x0 ，f (x) 則無限趨近某一確定數(shù)值則無限趨近某一確定數(shù)值a，則，則a就是函數(shù)就是函數(shù)f (x)在在x趨近趨近x0時(shí)的極限，記作：時(shí)的極限，記作：0lim( )xxf xa3 若函數(shù)若函數(shù) y = f (x) 在某一區(qū)間內(nèi)各點(diǎn)均可導(dǎo)，則其導(dǎo)數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)各點(diǎn)均可導(dǎo)，則其導(dǎo)數(shù) f (x) 也是自變量也是自變量 x 的函數(shù)，稱為導(dǎo)函數(shù)。導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)，稱為導(dǎo)函數(shù)。導(dǎo)函數(shù) f(x) 對對 x 的導(dǎo)數(shù)叫做的導(dǎo)數(shù)叫做 y 對對 x 的二階導(dǎo)數(shù)，定義為：的二階導(dǎo)數(shù)，定義為：()( )00( )limlimyf

2、 xxf xxxxxfx yQPxyx()( )0( )limfxxfxxxfx 函數(shù)函數(shù)y=f(x)對自變量對自變量x的導(dǎo)數(shù)，的導(dǎo)數(shù)， 就是就是y對對x的變化率，定義為：的變化率，定義為：導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù)4微微 分分 若函數(shù)若函數(shù)y = f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x處可導(dǎo)處可導(dǎo), 則導(dǎo)數(shù)則導(dǎo)數(shù)f (x)與自變量與自變量增量增量dx（稱為：（稱為：自變量的微分自變量的微分）的乘積，就叫做）的乘積，就叫做函數(shù)函數(shù) y = f(x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x 處的微分（稱為：處的微分（稱為：函數(shù)的微函數(shù)的微分分） ，記作：，記作： dy = f (x)dx 22dddd( ) ( )()dddd yyyfxfxxxxx（一階

3、微分）（二階微分） 函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)對應(yīng)的微分稱為一階微分；一階微分函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)對應(yīng)的微分稱為一階微分；一階微分 的微分稱為二階微分；二階微分及以上的微分稱為的微分稱為二階微分；二階微分及以上的微分稱為 高階微分。高階微分。 5 極值點(diǎn)的充要條件是在該點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)為零，且極值點(diǎn)的充要條件是在該點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)為零，且在該點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號。因此，令在該點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號。因此，令 f(x) = 0 即即可求出極值點(diǎn)可求出極值點(diǎn)x0 若若 f(x0) 0，則為極大值點(diǎn)，則為極大值點(diǎn) 若若 f(x0) 0，則為極小值點(diǎn)，則為極小值點(diǎn) 函數(shù)的極值點(diǎn)和極值函數(shù)的極值點(diǎn)和極值 xyx1x26導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

4、 導(dǎo)數(shù)定義給出了求導(dǎo)方法導(dǎo)數(shù)定義給出了求導(dǎo)方法 例如，求例如，求 y = x2 的導(dǎo)數(shù)：的導(dǎo)數(shù)：2220()( )0()00()lim lim lim lim(2) 2yxxf xxf xxxxxxxxxxxxx 722221221ln111111111( )0()(sin )cos(cos )sin()sec()csc()ln( )(log)(ln )(arcsin )(arccos )()()nnxxxxaxaxxxxxcxnxxxxxtgxxctgxxaaaeexxxxarctgxarcctgx基本函數(shù)的求導(dǎo)公式基本函數(shù)的求導(dǎo)公式8 (uv) = u v (uv) = u v + v u

5、 (u/v) = (u v - v u)/v2 設(shè)設(shè) y = f(x) 的反函數(shù)為的反函數(shù)為 x = (y) 則則 (y) = 1/ f (x) 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 設(shè)設(shè)y = f(u) , u = (x)，則則 （連鎖律）（連鎖律）導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算法則ddddddyyuxux9例例 題題 dcos()dcos() d()sin()dd()daxbaxbaxbaaxbxaxbx 222222221/21/221/21/21221/21/2121/23/2ddd()ddddd()d()d( 2)(0.52)axaxaxaxaxaxaxaxxexeexxxxeaxxexa

6、xxxexeaxexaxaxxaax2)()22 （xaxaxax/1)(ln)(ln)ln(ln)/ln( 22222)()()(xexexeexexxxxxx 10導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)沿質(zhì)點(diǎn)沿x軸作直線運(yùn)動(dòng)的速度：軸作直線運(yùn)動(dòng)的速度：ddxxvt質(zhì)點(diǎn)沿質(zhì)點(diǎn)沿x軸作直線運(yùn)動(dòng)的軸作直線運(yùn)動(dòng)的加速度：加速度：22ddddxxvxatt電流強(qiáng)度：電流強(qiáng)度：ddqit11不定積分不定積分1、不定積分的定義、不定積分的定義 若若 F (x) = f(x)，則，則 F(x) + c = f(x)，F(xiàn)(x) + c 就叫就叫做做 f(x) 的原函數(shù)，有無窮多個(gè)；函數(shù)的原函數(shù)，有無窮多個(gè)；函數(shù) f(x)

7、 的所有原函的所有原函數(shù)，就叫數(shù)，就叫 f(x) 的不定積分，記為：的不定積分，記為：f(x)dx = F(x) + c 。 其中其中叫做積分號，叫做積分號，f(x)叫做被積函數(shù)，叫做被積函數(shù)，x叫做積分叫做積分變量，變量，f(x)dx叫做被積式，叫做被積式，c叫做積分常數(shù)，求已知函叫做積分常數(shù)，求已知函數(shù)的不定積分的過程叫做對這個(gè)函數(shù)進(jìn)行積分。數(shù)的不定積分的過程叫做對這個(gè)函數(shù)進(jìn)行積分。（積分是微分的逆運(yùn)算，即知道了導(dǎo)函數(shù)，求原函數(shù)）（積分是微分的逆運(yùn)算，即知道了導(dǎo)函數(shù)，求原函數(shù)） (sinx)cossincosxcos dsinxxcx xxc例如：是的原函數(shù)寫成不定積分的形式：12不定積分

8、不定積分.2、性質(zhì)、性質(zhì) (f(x)dx ) = f(x) (先積后導(dǎo)等于自身先積后導(dǎo)等于自身) f (x)dx = f(x) + c (先導(dǎo)后積等于自身加上任意常先導(dǎo)后積等于自身加上任意常數(shù)數(shù))13基本積分公式基本積分公式 adx = ax + c af(x)dx = af(x) dx (uv)dx =udxvdx xndx = xn+1/(n+1) + c (n-1) x-1dx=lnx+caxdx = ax/lna + c exdx = ex+ c sinxdx = - cosx + c cosxdx = sinx + c sec2xdx = tgx + c csc2xdx = - ct

9、gx + c 22darcsinxaxcax2darcsin1xxcx22dxaxarctgcax2d1xarctgxcx14換元積分法與分部積分法換元積分法與分部積分法 換元積分法換元積分法 適當(dāng)變換積分變量，把被積表達(dá)式化成基本積分公式適當(dāng)變換積分變量，把被積表達(dá)式化成基本積分公式中的形式（又稱湊積分）中的形式（又稱湊積分）2221122dd(2 )xxxexexec11sin()dsin()d()cos()aaaxbxaxbaxbaxbc 22313sincos dsind(sin )sinxx xxxxc221/222221222d()d()x xxaxaxacxasindcosddl

10、ncoscoscosxxtgx xxxcxx 15換元積分法與分部積分法換元積分法與分部積分法 分部積分法分部積分法 其基本思路是將不易求得結(jié)果的積分形式，轉(zhuǎn)化為等其基本思路是將不易求得結(jié)果的積分形式，轉(zhuǎn)化為等價(jià)的但易于求出結(jié)果的積分形式。價(jià)的但易于求出結(jié)果的積分形式。 d(uv) = (uv) dx = u vdx + v udx = vdu + udv 兩邊同時(shí)積分，得：兩邊同時(shí)積分，得： uv = vdu + udv 則則udv = uv - vdu16分部積分法分部積分法 例題例題 xexdx = xdex = xex - exdx = xex ex + c lnx dx = x ln

11、x - xdlnx = x lnx - dx = x lnx - x + c17不定積分的應(yīng)用不定積分的應(yīng)用 已知加速度求速度已知加速度求速度 已知速度求位矢（或運(yùn)動(dòng)學(xué)方程）已知速度求位矢（或運(yùn)動(dòng)學(xué)方程）（見教材（見教材P3637）18定積分定積分 定積分概念定積分概念 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f(x) 在區(qū)間在區(qū)間 a,b上連續(xù)，把上連續(xù)，把 a,b分分成寬為成寬為x的的 n個(gè)小區(qū)間，當(dāng)個(gè)小區(qū)間，當(dāng) n 時(shí)，時(shí)，的極限叫函數(shù)的極限叫函數(shù) y = f(x)在區(qū)間在區(qū)間 a,b 上的定積分，上的定積分，記作：記作： niix)x(f11( )dlim( )bniniaf xxf xxyxabxix

12、i+xy=f (x)定積分的幾何意義為曲邊梯形的面積。定積分的幾何意義為曲邊梯形的面積。 19定積分的主要性質(zhì)定積分的主要性質(zhì)( )d( )dbaabf xxf xx ( )d( )dbbaakf xxkf xx()dddbbbaaauvxu xv x( )d( )d( )dbcbaacf xxf xxf xx20牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式 設(shè)設(shè)F(x)為函數(shù)為函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的一個(gè)原函數(shù)上的一個(gè)原函數(shù),即即F(x)=f(x), 則則 ( )d( )d |( )|( )( )bbbaaaf xxf xxF xF bF a稱為稱為牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式（可以證明）

13、（可以證明）。( )d( )( )baf xxF bF a牛頓牛頓- -萊布尼茨公式的意義就在于把不定積分與定積分聯(lián)萊布尼茨公式的意義就在于把不定積分與定積分聯(lián)系了起來，也讓定積分的運(yùn)算有了一個(gè)完善、令人滿意的系了起來，也讓定積分的運(yùn)算有了一個(gè)完善、令人滿意的方法。方法。 21牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式 例題：例題： 1/21/21/2110220001111/222 sin2dsin2d(2)cos2| cos2|(cos0 cos )x xxxxx123 1110330 d|xxx22定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用 計(jì)算平面幾何圖形的面積計(jì)算平面幾何圖形的面積 計(jì)算立體的體積計(jì)算立體的體積

14、 計(jì)算曲線的弧長計(jì)算曲線的弧長 變力的沖量變力的沖量 質(zhì)心計(jì)算質(zhì)心計(jì)算 變力做功變力做功 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量23矢量的概念矢量的概念矢量的初步概念矢量的初步概念 既有大小又有方向，且加法遵從幾何法則的量叫矢量既有大小又有方向，且加法遵從幾何法則的量叫矢量 ，用黑體字母或帶箭頭的字母表示：用黑體字母或帶箭頭的字母表示：A, 。 矢量的大小又叫矢量的模，用矢量的大小又叫矢量的模，用 或或A 表示。表示。 模等于模等于1 的矢量叫單位矢量，用的矢量叫單位矢量，用 表示。在直角表示。在直角坐標(biāo)系中，沿坐標(biāo)系中，沿 x、y、z軸的單位矢量，分別用軸的單位矢量，分別用 表示。表示。 矢量具有平移不變性：矢量

15、的平動(dòng)既不改變矢量的量矢量具有平移不變性：矢量的平動(dòng)既不改變矢量的量值，也不改變矢量的方向。值，也不改變矢量的方向。 A|A|AeA或 , ,i j k24矢量的幾何描述矢量的幾何描述 矢尾矢尾 矢端矢端 單位單位 AAAAA25矢量的加法與減法矢量的加法與減法 矢量加法矢量加法 可用平行四邊形法則、三角形法則可用平行四邊形法則、三角形法則 、多邊形法則、多邊形法則矢量減法矢量減法 用三角形法則求矢量相減最方便，注意：差矢量方用三角形法則求矢量相減最方便，注意：差矢量方向是由減矢量末端指向被減矢量末端向是由減矢量末端指向被減矢量末端 BAC CBAD BAC ABCABCABCDABCB C2

16、6矢量的正交分解矢量的正交分解 矢量的加減在直角坐標(biāo)系中表示為矢量的加減在直角坐標(biāo)系中表示為：AAcos,AAcos,AAcosAAAA,kAjAiAAzyxzyxzyx 222k)BA(j)BA(i)BA()kBjBiB()kAjAiA(BAzzyyxxzyxzyx AxAyAzxyzA27矢量乘法矢量乘法 矢量的數(shù)乘矢量的數(shù)乘 定義：矢量定義：矢量 與實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)m的乘積的乘積m 仍然是矢量，大仍然是矢量，大小是小是 的的|m|倍，方向與倍，方向與 的方向相同或者相反，的方向相同或者相反，取決于取決于m的正負(fù)。的正負(fù)。性質(zhì)：性質(zhì)：AAAA()()()()n mAm nAm ABmAmBmn

17、AmAnA28 矢量的標(biāo)積（點(diǎn)乘積）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)乘積） cosAB)B,Acos(ABBA 定義：定義：CBCAC)BA(ABBA 性性質(zhì)質(zhì)：BAB,A,BA 則則，且且若若000zzyyxxzyxzyxBABABAkBjBiBkAjAiABA )()()ikkjji,kkjjii(01 標(biāo)積的分量表示標(biāo)積的分量表示29 矢量標(biāo)積應(yīng)用矢量標(biāo)積應(yīng)用 功的定義功的定義 功率的定義功率的定義ddAFrPF v30矢量的矢積（叉乘積）矢量的矢積（叉乘積） sin( ,)sin(), ,ABCCABA BABA BCA BA B C 1、定義為一新的矢量，其大小等于以為鄰邊的平行四邊形的面積， 的方向

18、垂直所在平面，且滿足右手螺旋關(guān)系。：CAB 方法：伸開右手，除拇指外的四指并攏、沿方法：伸開右手，除拇指外的四指并攏、沿 的方向伸的方向伸出，并從出，并從 經(jīng)小于經(jīng)小于180的角向的角向 彎曲，則與四指垂直的彎曲，則與四指垂直的拇指的方向即為拇指的方向即為 的方向。的方向。CABA31矢量的矢積（叉乘積）矢量的矢積（叉乘積） ()0,0,0,A BBAABCA CB CA BABAB 2、性質(zhì)：若且則 32矢積的分量表示矢積的分量表示k)BABA(j)BABA(i)BABA(BBBAAAkji)kBjBiB()kAjAiA(BAxyyxzxxzyzzyzyxzyxzyxzyx （按第一行展開）

19、按第一行展開）0 iijjkkijkjkikij （，）ijk33 矢量矢積應(yīng)用矢量矢積應(yīng)用 力矩的定義力矩的定義 角動(dòng)量的定義角動(dòng)量的定義 洛倫茲力的定義洛倫茲力的定義FqvBrFLrp34三個(gè)矢量的混合積三個(gè)矢量的混合積 ()()()AB CABCAB CB CACA B為一標(biāo)量，其幾何意義是以 、 、 為邊的平行六面體的體積。（ABCBA 35雙重矢積雙重矢積 ()()()()()()A BCC A BC B AAB CA C BA B C 記憶方法：“外點(diǎn)內(nèi)，先遠(yuǎn)后近”36矢量的非法運(yùn)算矢量的非法運(yùn)算 1 , , , , ln .ABeAAAAABC非法運(yùn)算：矢量與標(biāo)量不能相等！例如：

20、37矢量函數(shù)（矢函）矢量函數(shù)（矢函） 一個(gè)矢量在某一過程中，若大小、方向都不發(fā)生變化，一個(gè)矢量在某一過程中，若大小、方向都不發(fā)生變化，則為則為恒矢量恒矢量；反之則為；反之則為變矢量變矢量，可有三種情況：大小、，可有三種情況：大小、方向均變化；大小變化，方向不變；大小不變，方向方向均變化；大小變化，方向不變；大小不變，方向變化。變化。 說一個(gè)變矢量說一個(gè)變矢量 是標(biāo)量是標(biāo)量 t 的矢函，意味著對應(yīng)的矢函，意味著對應(yīng) t 的每的每一個(gè)數(shù)值，變矢一個(gè)數(shù)值，變矢 都存在一個(gè)確定的矢量與之對應(yīng)，都存在一個(gè)確定的矢量與之對應(yīng)，記為：記為： 分量表示：分量表示：k)t (Aj)t (Ai)t (A)t (Azyx )t (AA AA38(