8.第八講:平面向量的坐標(biāo)表示與線性運(yùn)算_第1頁
8.第八講:平面向量的坐標(biāo)表示與線性運(yùn)算_第2頁
8.第八講:平面向量的坐標(biāo)表示與線性運(yùn)算_第3頁
8.第八講:平面向量的坐標(biāo)表示與線性運(yùn)算_第4頁
8.第八講:平面向量的坐標(biāo)表示與線性運(yùn)算_第5頁
已閱讀5頁,還剩2頁未讀, 繼續(xù)免費(fèi)閱讀

下載本文檔

版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進(jìn)行舉報或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡介

1、第八講 平面向量的坐標(biāo)表示與線性運(yùn)算一、引言本節(jié)主要內(nèi)容:平面向量的基本定理、平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量共線的坐標(biāo)表示等內(nèi)容通過本節(jié)學(xué)習(xí),進(jìn)一步加深對平面向量的認(rèn)識,掌握通過向量的坐標(biāo)表示,將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決的方法,領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識間的內(nèi)在聯(lián)系和數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想本節(jié)學(xué)習(xí)要求:了解平面向量的基本定理及其意義,掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示;會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算,理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件,靈活運(yùn)用平面向量的基本定理和平面向量的坐標(biāo)表示解決相關(guān)問題,發(fā)展運(yùn)算能力和數(shù)形結(jié)合解決問題的能力本節(jié)高考的熱點(diǎn)是向量的概念、加法、

2、減法,平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,兩個非零向量平行的充要條件;試題多以選擇題、填空題為主,考查基本概念、基本運(yùn)算在解答題中,一般是將某些基本概念、公式作為中間步驟來考查,難度適中在高考試題中,對平面向量的考查主要有:1主要考查平面向量的概念、性質(zhì)和運(yùn)算法則,理解和運(yùn)用其直觀的幾何意義;2考查向量坐標(biāo)表示,向量的線性運(yùn)算;3和其他知識結(jié)合在一起,在知識的交匯點(diǎn)設(shè)計試題,考查向量與學(xué)科知識間綜合運(yùn)用能力;4考查以向量為工具,即構(gòu)造向量解決有關(guān)數(shù)量問題,側(cè)重體現(xiàn)向量的工具性作用二、考點(diǎn)梳理1平面向量基本定理:如果、是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對實(shí)數(shù)、,使我們把不共線向

3、量、做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底注意:(1)基底不惟一,關(guān)鍵是不共線;(2)由定理可將平面內(nèi)的任一向量在給出基底、的條件下進(jìn)行分解;(3)基底給定時,分解形式惟一,、是被,唯一確定的數(shù)2兩個向量的夾角已知兩個非零向量和,作,則叫做向量和的夾角說明:(1)向量和的夾角的范圍是當(dāng)時,和同向;當(dāng)時,和反向;(2)當(dāng)時,我們說向量和垂直,記作3平面向量的正交分解和坐標(biāo)表示(1)平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量正交分解正交分解是向量分解中常見的一種情形(2)在直角坐標(biāo)系內(nèi),如圖,我們分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底對于平面內(nèi)的一個向量,由平面向量基本定

4、理知,有且只有一對實(shí)數(shù)、,使得,這樣,平面內(nèi)的任一向量都可以由、唯一確定,我們把有序數(shù)對叫做向量的(直角)坐標(biāo),記作:其中叫做在軸上的坐標(biāo),叫做在軸上的坐標(biāo),叫做向量的坐標(biāo)表示與相等的向量的坐標(biāo)也為特別地,如圖,在直角坐標(biāo)平面內(nèi),以原點(diǎn)為起點(diǎn)作,則點(diǎn)的位置由唯一確定設(shè),則向量的坐標(biāo)就是點(diǎn)的坐標(biāo);反過來,點(diǎn)的坐標(biāo)也就是向量的坐標(biāo)因此,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),每一個平面向量都是可以用一有序?qū)崝?shù)對唯一表示4平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)若,則,由向量線性運(yùn)算的結(jié)合律和分配律,可得:,即,同理可得即兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差,即即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)

5、(2)若,則即一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)若是線段的中點(diǎn),則由向量的線性運(yùn)算可知:,即點(diǎn)的坐標(biāo)為5平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè),其中我們知道,、共線當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù),使如果用坐標(biāo)表示,可以寫為,即消去后得這就是說,當(dāng)且僅當(dāng)時,向量、共線注意:(1)消去時不能兩式相除,因?yàn)椋锌赡転?,中至少有一個不為0;(2)充要條件不能寫成,因?yàn)椋锌赡転?;三、典型例題選講例1 已知是以點(diǎn)為起點(diǎn),且與向量平行的單位向量,則向量的終點(diǎn)坐標(biāo)是解:方法一:設(shè)向量的終點(diǎn)坐標(biāo)是,則,則題意可知,解得:或,故填或方法二:與向量平行的單位向量是,故可得,從而向量的終點(diǎn)坐標(biāo)是,便可得結(jié)果歸納

6、小結(jié):向量的概念較多,且容易混淆,在學(xué)習(xí)中要分清、理解各概念的實(shí)質(zhì),注意區(qū)分共線向量、平行向量、同向向量、反向向量、單位向量等概念;與平行的單位向量例2 給出下列命題:若|,則=;若,是不共線的四點(diǎn),則是四邊形為平行四邊形的充要條件;若=,=,則=;=的充要條件是|=|且/;若/,/,則/,其中正確的序號是 解析:不正確兩個向量的長度相等,但它們的方向不一定相同正確,且,又,D是不共線的四點(diǎn),四邊形為平行四邊形;反之,若四邊形為平行四邊形,則,且,因此,正確=,的長度相等且方向相同;又,的長度相等且方向相同,的長度相等且方向相同,故不正確當(dāng)/且方向相反時,即使|=|,也不能得到=,故|=|且/

7、不是=的充要條件,而是必要不充分條件不正確考慮=這種特殊情況綜上所述,正確命題的序號是歸納小結(jié):本例主要復(fù)習(xí)向量的基本概念,向量的基本概念較多,因而容易遺忘,為此,復(fù)習(xí)時一方面要構(gòu)建良好的知識結(jié)構(gòu),另一方面要善于與物理中、生活中的模型進(jìn)行類比和聯(lián)系,幫助理解,加深記憶例3(08海南寧夏卷)平面向量,共線的充要條件是( )A,方向相同 B,兩向量中至少有一個為零向量C,D存在不全為零的實(shí)數(shù),解析:若均為零向量,則顯然符合題意,且存在不全為零的實(shí)數(shù)使;若,則由兩向量共線知,存在,使得,即,符合題意,故選歸納小結(jié):概念定理性的問題往往是看似簡單,實(shí)則處處陷阱,所以應(yīng)加強(qiáng)對基礎(chǔ)概念、定理的深入理解,明

8、確問題關(guān)鍵之處,體會本質(zhì)例4 平面直角坐標(biāo)系中,為坐標(biāo)原點(diǎn),已知兩點(diǎn),若點(diǎn)滿足,其中,且,則點(diǎn)的軌跡方程為( )ABC D解析:解法1:設(shè),則. 又,消去參數(shù),得點(diǎn)的軌跡方程為解法2:利用向量的幾何運(yùn)算,考慮定比分點(diǎn)公式的向量形式,結(jié)合條件知:,三點(diǎn)共線,故點(diǎn)的軌跡方程即為直線的方程,故本題應(yīng)選D歸納小結(jié):本題主要考查向量的運(yùn)算(幾何形式或坐標(biāo)形式)及直線的方程,把向量聯(lián)系起來,使問題立意更新,情景更好,內(nèi)容更豐富例5 如圖,在中,、是的三等分點(diǎn),則= ,= 分析:以,為基底,借助、是的三等分點(diǎn),由平面向量的基本定理可以將、線性表出解:因?yàn)椤⑹堑娜确贮c(diǎn),所以,歸納小結(jié):若是的中點(diǎn),則的結(jié)論是

9、顯然的,這里給出了的三等分點(diǎn)、,向量、與、的關(guān)系,從中我們不難猜想的四等分點(diǎn)、五等分點(diǎn),時的情況,這些規(guī)律可以作為結(jié)論記下來例6(2009北京卷理)已知向量、不共線,如果,那么( )A且與同向 B且與反向C且與同向 D且與反向解析:解法一:取,若,則,顯然,與不平行,排除A、B若,則,即且與反向,排除C,故選D解法二:若,則存在,使得,即,從而有,因?yàn)橄蛄?、不共線,由平面向量基本定理可得,即,且與反向故選D歸納小結(jié):本題主要考查向量的共線(平行)、向量的加減法屬于基礎(chǔ)知識、平面向量基本定理等基礎(chǔ)知識,側(cè)重基本方法、基本運(yùn)算的考查例7 已知平面上三點(diǎn)、,求點(diǎn)的坐標(biāo),使得這四點(diǎn)能夠成平行四邊形的四

10、個頂點(diǎn)分析:本題沒有指明所構(gòu)成的平行四邊形的頂點(diǎn)順序,故應(yīng)分三種情況分別求解解:(1)當(dāng)平行四邊形為時,因?yàn)椋运?,即;?)當(dāng)平行四邊形為時,因?yàn)?,所以所以,即;?)當(dāng)平行四邊形為時,因?yàn)椋运?,即歸納小結(jié):沒有指明平行四邊形頂點(diǎn)順序時,要分情況討論例8 設(shè)、分別為非等邊三角形的重心與外心,且(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;(2)過點(diǎn)作直線與曲線交于點(diǎn)、兩點(diǎn),設(shè),是否存在這樣的直線,使四邊形是矩形?若存在,求出直線的方程;若不存在,試說明理由分析:(1)通過向量的共線關(guān)系得到坐標(biāo)的等量關(guān)系;(2)根據(jù)矩形應(yīng)該具備的充要條件,得到向量垂直關(guān)系,結(jié)合韋達(dá)定理,求得的值解:()由已知得,又,即(2)設(shè)方程為,代入曲線得:.設(shè),則x1+x2=,x1x2=,四邊形是平行四邊形若四邊形是矩形,則,得直線為:歸納小結(jié):這是一道平面幾何、解析幾何、向量三者之間巧妙結(jié)合的問題,注重數(shù)學(xué)知識之間聯(lián)系的考查,

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評論

0/150

提交評論