廣東省廣州育才中學高三數(shù)學 綜合訓練《不等式》

1、 廣州育才中學高三數(shù)學各類題型綜合訓練系列 不等式 1. 已知f(x)是定義在1，1上的奇函數(shù)，且f(1)=1，若m、n1，1，m+n0時0 (1)用定義證明f(x)在1，1上是增函數(shù)；(2)解不等式 f(x+)f()；(3)若f(x)t22at+1對所有x1，1，a1，1恒成立，求實數(shù)t的取值范圍 2 設(shè)不等式x22ax+a+20的解集為M，如果M1，4，求實數(shù)a的取值范圍 3. 解關(guān)于x的不等式1(a1) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m4. 設(shè)函數(shù)f(x)=ax滿足條件 當x(，0)時，f(x)1；當x(0，1時，不等式f(3mx1)f(1+mxx2)f(m+2)恒成立，求實數(shù)m的

2、取值范圍 5. ，求關(guān)于不等式的解集。6. 解關(guān)于。7.已知求證：（1）；（2）。8.某種商品原來定價每件p元，每月將賣出n件。假若定價上漲，每月賣出數(shù)量將減少y成，而售貨金額變成原來的z倍。（1） 若時的值；（2） 若 ，求使售貨金額比原來有所增加的的取值范圍。9.已知函數(shù)在R上是增函數(shù)，。（1） 求證：如果；（2） 判斷（1）中的命題的逆命題是否成立？并證明你的結(jié)論；（3） 解不等式。10.奇函數(shù)上是增函數(shù)，當時，是否存在實數(shù)m，使對所有的均成立？若存在，求出適合條件的所有實數(shù)m；若不存在，說明理由。11. 設(shè)數(shù)列滿足 （） 證明：對一切正整數(shù)成立；（）令判斷與的大小，并說明理由.12.

3、設(shè)使,，求證：()a0且-2-1；()方程f(x)=0在（0，1）內(nèi)有兩個實根.13. 已知函數(shù),數(shù)列滿足:證明:（）;().14. 已知函數(shù),數(shù)列滿足:,(1)證明:數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列.（2）證明：15. 若關(guān)于的不等式的解集是，求不等式的解集16.設(shè)都是正實數(shù),求證:17、設(shè)，解關(guān)于的不等式 18.過點作直線交正半軸于兩點.(1)若取到最小值,求直線的方程(2)若的面積取到最小值,求直線的方程19.設(shè)函數(shù)正實數(shù)滿足，且（1）求證：; （2）求證：20.已知函數(shù),數(shù)列滿足:,(1)設(shè)證明: （2）證明：21. （1）設(shè)a0，b0且，試比較aabb與abba的大小。（2）已知函數(shù)，試比較與的大

4、小22. 已知實數(shù)a,b,c滿足條件：，其中m是正數(shù)，對于f(x)=ax2+bx+c(1)如果，證明：(2)如果，證明：方程f(x)=0在(0,1)內(nèi)有解。23. 已知函數(shù)滿足下列條件：對任意的實數(shù)x1，x2都有 和，其中是大于0的常數(shù).設(shè)實數(shù)a0，a，b滿足 和()證明，并且不存在，使得；()證明；()證明.24. 己知，（1）（2），證明：對任意，的充要條件是；（3）討論：對任意，的充要條件。25. 某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同。為了保護城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應超過多

5、少輛？答案：1. (1)證明 任取x1x2，且x1，x21，1，則f(x1)f(x2)=f(x1)+f(x2)=(x1x2)1x1x21，x1+(x2)0，由已知0，又 x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x)在1，1上為增函數(shù) (2)解 f(x)在1，1上為增函數(shù)， 解得 x|x1，xR(3)解 由(1)可知f(x)在1，1上為增函數(shù)，且f(1)=1，故對x1，1，恒有f(x)1，所以要f(x)t22at+1對所有x1，1，a1，1恒成立，即要t22at+11成立，故t22at0，記g(a)=t22at，對a1，1，g(a)0，只需g(a)在1，1上的最小值大于等于0，g(1)0，g(

6、1)0，解得，t2或t=0或t2 t的取值范圍是 t|t2或t=0或t2 2. 解 M1，4有兩種情況 其一是M=，此時0；其二是M，此時=0或0，分三種情況計算a的取值范圍 設(shè)f(x)=x2 2ax+a+2，有=(2a)2(4a+2)=4(a2a2)(1)當0時，1a2，M=1，4(2)當=0時，a=1或2 當a=1時M=11，4；當a=2時，m=21，4 (3)當0時，a1或a2 設(shè)方程f(x)=0的兩根x1，x2，且x1x2，那么M=x1，x2，M1，41x1x24即，解得 2a，M1，4時，a的取值范圍是(1，) 3. 解 原不等式可化為 0，當a1時，原不等式與(x)(x2)0同解

7、由于原不等式的解為(，)(2，+) 當a1時，原不等式與(x)(x2) 0同解 由于,若a0，,解集為(，2)；若a=0時，解集為；若0a1，,解集為(2，)綜上所述 當a1時解集為(，)(2，+)；當0a1時，解集為(2，)；當a=0時，解集為；當a0時，解集為(，2） 4. 解 由已知得0a1，由f(3mx1)f(1+mxx2)f(m+2)，x(0，1恒成立 在x(0，1恒成立 整理，當x(0，1)時，恒成立，即當x(0，1時，恒成立，且x=1時，恒成立，在x(0，1上為減函數(shù)，1，m恒成立m0 又，在x(0，1上是減函數(shù)，1 m恒成立m1當x(0，1)時，恒成立m(1，0) 當x=1時，

8、即是m0 、兩式求交集m(1，0）,使x(0，1時，f(3mx1)f(1+mxx2)f(m+2)恒成立，m的取值范圍是(1，0)5.解集為 6、若；若；若。7.證明：（1）， ， （2）首先易證8.解：該商品定價上漲成時，上漲后的定價、每月賣出數(shù)量、每月售貨金額分別是因而有：（2）9.（1） 證明：當（2）（1）中命題的逆命題為： 的逆否命題是： 仿（1）的證明可證成立，又與互為逆否命題，故成立，即（1）中命題的逆命題成立。（2） 根據(jù)（2），所解不等式等價于。10.解：易知， 因此，滿足條件的實數(shù)m存在，它可取內(nèi)的一切值。11. 解析：（）證法一：當時，不等式成立，假設(shè)時，成立當時，時，成立

9、由可知，對一切正整數(shù)成立.證法二：由遞推公式可得上述各式相加并化簡得又時，成立，故（）解法一：故解法二：故.因此12. 解析：()因為,所以又,消去,得,由消去,得所以()拋物線的頂點坐標為又兩邊乘以得,又而所以方程在區(qū)間與內(nèi)分別有一實根,即方程在有兩個實根13. 解析：（）先用數(shù)學歸納法證明當時,由以知,結(jié)論成立.假設(shè)當時,結(jié)論成立,即.因為時.所以在上是增函數(shù).又在上連續(xù),從而即故當時,結(jié)論成立.由可知對一切正整數(shù)都成立.又因為時,所以.綜上所述.()設(shè)函數(shù)由（）知當時,從而.所以在上是增函數(shù),又在上連續(xù),且.所以當時,成立,所以即,故14. 解析：本題以函數(shù)、數(shù)列為載體，考查不等式證明的

10、基本方法，在證明的過程中，要對所證的不等式適當變形、合理放縮.(1)證明:由題意得所以數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列（2）證明：由(1)的證明過程可知，所以 故15.解：由不等式的解集是得是方程的兩個根，故又所以 不等式即或 所以不等式的解集是. 16、證明：因為都是正實數(shù)， 上述各式相加，得： 17、解：設(shè)則原不等式化為當時，所以當時，所以當時，所以綜上所述：即 當時，由得（2）當時，由得 所以，當時，原不等式的解集是當時，原不等式的解集是 18、解：設(shè)直線的方程為：則，（1）當且僅當且時，即時取等號.此時，直線的方程是： （2）當且僅當且時，即時取等號.此時，直線的方程是：. 19、證明：（1）由得，

11、得，所以 （2）由得，得，所以，又 20、證明：（1）因為,數(shù)列滿足:,所以=（所以 ： （2）由（1）得所以即 21. 解：(1)根據(jù)同底數(shù)冪的運算法則，可考慮用比值比較法。當ab0時，,則，于是aabbabba當ba0時，,則，于是aabbabba綜上所述，對于不相等的正數(shù)a,b，都有aabbabba解(2)作差=當時，得=。（2）當時，當時，得=。當時，得。當時，得。當且時0時, 因為,所以若c0,f(0)=c0,所以方程f(x)=0在內(nèi)有解,若c0,所以方程在內(nèi)有解當a0時,同理可證故時,方程f(x)=0在(0,1)內(nèi)有解23. 證法一：（I）任取 和 可知 ，從而 . 假設(shè)有式知不存

12、在（II）由 可知 由式，得 由和式知， 由、代入式，得 （III）由式可知 （用式） （用式）證法二：題目中涉及了八個不同的字母參數(shù)以及它們的抽象函數(shù)值。參數(shù)量太多，讓考生們在短時間內(nèi)難以理清頭緒。因而解決問題的關(guān)鍵就在于“消元”把題設(shè)條件及欲證關(guān)系中的多個參數(shù)量轉(zhuǎn)化為某幾個特定變量來表示，然而再進行運算證明?！跋钡哪Ｊ讲⒉浑y唯一，這里提供一個與標準解答不同的“消元”設(shè)想，供參考。題設(shè)中兩個主要條件是關(guān)于與的齊次式。而點、是函數(shù)圖象上的兩個點，是連接這兩點的弦的斜率。若欲證的不等式關(guān)系也能轉(zhuǎn)化為這樣的斜率表示，則可以借助斜率進行“整體消元”。設(shè)為不相等的兩實數(shù)，則由題設(shè)條件可得：和。令，則對任意相異實數(shù)，有及，即。由此即得；又對任意有，得函數(shù)在R上單調(diào)增，所以函數(shù)是R上的單調(diào)增函數(shù)。如果，則，因為，所以。即不存在，使得。于是，（）的結(jié)論成立?？紤]結(jié)論（）：因為，故原不等式為；當時，左右兩邊相等；當時，且，則原不等式即為：，令，則原不等式化為，即為。因為，則，所以成立，即（）中結(jié)論成立。再看結(jié)論（）：原不等式即，即，注意到，則，則原不等式即為即，令，則原不等式即化為，即，因為，則，所以成立，即（）的結(jié)論成立。在一般的“消元”方法中，