淺談數(shù)形結合在高中數(shù)學中的應用技巧

1、淺談數(shù)形結合在高中數(shù)學中的應用技巧摘要：數(shù)形結合是數(shù)學教學與學習的一種重要且實用的思想與方法，尤其是在數(shù)學解題中，數(shù)形結合的應用具有明顯的優(yōu)勢，其對于提升學生解題能力、速度以及正確率具有積極的作用。本文就以高中數(shù)學為例，對數(shù)形結合在數(shù)學中的應用技巧進行探討。關鍵詞：數(shù)形結合；高中數(shù)學；應用技巧數(shù)字與圖形是數(shù)學的重要載體與表達工具，基于兩者的本質，決定了兩者之間存在著密切的聯(lián)系；而高中數(shù)學重要的兩個分支課程“代數(shù)與幾何那么進一步證明了數(shù)與形的天然聯(lián)系，故而也就產生了數(shù)形結合思想【1】。而數(shù)形結合那么主要應用于對抽象數(shù)學問題的解決，通過借助圖形所具有的良好表達能力，將數(shù)學關運用圖形直觀、形象地表現(xiàn)

2、出來。因此，將數(shù)形結合應用于高中數(shù)學中，需要做到“以形助數(shù)，實現(xiàn)數(shù)到形形到數(shù)的一一對應轉化，從而將學生的思維邏輯與空間思維相互結合，優(yōu)化數(shù)學解題過程【2】。下面筆者將以高中數(shù)學學習中的集合問題、函數(shù)問題以及證明題為例子，簡單分析數(shù)形結合在高中數(shù)學中的應用技巧。一、數(shù)形結合在集合問題中的應用集合是高中數(shù)學最根本的知識點，通過觀察集合的內在關系交集、并集、補集以及表達形式例如A，B，C，都蘊含著圖形特點。因此，運用數(shù)形結合解決集合問題，能夠將數(shù)學的關系轉化成具體的圖形關系，讓學生能夠更直觀、更具體地認識集合之間存在的包含、交叉等關系。而在應用圖形解決集合問題時，最為常用的圖形表達方法主要有數(shù)軸與韋

3、恩圖；通常前者主要是應用在相對模糊的集合問題上，例如：在對A、B兩個集合的包含關系進行條件判定過程中，涉及了不等式的運算，此時就可以將這兩個集合之間的關系反映在數(shù)軸上進行標注【3】。而韋恩圖那么多用于解決具體化的集合問題，特別是數(shù)型集合問題。例如，在以下這道集合問題中：在一次物理競賽中，一共有甲、乙、丙三道題，競賽參加人數(shù)有25人，在三道題中，每位參賽者至少選做1題；在未解出甲題的參賽者中，能夠解出乙題的為解出丙題人數(shù)的2倍，而甲題解出的人數(shù)比余下人數(shù)多1，所有只解出1道題的參賽者中，只有一半解出甲題；問有多少參賽者解出乙題？在道數(shù)學題中，從文字的表達上看相對復雜，對于邏輯關系分析能力較差的學

4、生而言，要想解答此道題，相對困難。因此，針對這一題，教師可以運用韋恩圖將題目的邏輯關系直觀的表達出來：分別應用3個圓表示解出甲、乙、丙三道題的人數(shù)，運用A、B、C作為區(qū)域代數(shù)符號，分別表示甲、乙、丙三道題的解出人數(shù)；而后再利用a、b、c、d、e、f、g表示被分割的小區(qū)域，以進行劃分；最后根據題目表達進行數(shù)式的逐一羅列、轉化，最終轉變?yōu)閷W生相對熟悉的代數(shù)式計算見圖1。二、數(shù)形結合在函數(shù)問題中的應用函數(shù)是高中數(shù)學教學的重點，在函數(shù)問題中，函數(shù)極值是最為常見、同時也是高中數(shù)學考察的主要內容，更是高考的重點知識。通常，學生在解決一些相對簡單的函數(shù)極值問題時，可以利用數(shù)學公式、根本不等式等進行解答；但對

5、于一些相對復雜的函數(shù)極值問題時，運用數(shù)形結合，將數(shù)字化內容轉換成圖形語言，能夠有效防止純數(shù)理計算的復雜性，使數(shù)學問題在圖形關系的描述下更為直觀，使學生從傳統(tǒng)繁雜的計算中解放出來，省去了大量的數(shù)學運算，從而更容易得到問題答案。例如，在這樣一道函數(shù)極值問題中：x2+y2+2x=0，求x-12+y+12的最小值。這一題如果應用傳統(tǒng)的方法進行解答，我們首先需要根據前面的一個方程式求出x與y的關系或者是取值范圍后，才能對后面需要解答的函數(shù)極值問題進行運算。而這樣的計算方式往往會使得學生在運算時，忽略了x與y的共存性，在取值時很容易偏向兩者單一存在的情況，使得答案擴大化。在這道題中，運用數(shù)形結合的方式，能

6、夠將x與y的共存性表現(xiàn)出來，通過將兩個函數(shù)圖像放在坐標系中進行直觀的表達，從而將極值問題轉變?yōu)閳D像關系問題，其實也就是距離問題，最終能夠結合直觀的圖像進行簡單的單數(shù)運算，從而得到問題答案如圖2所示。三、數(shù)形結合在證明題中的應用在高中數(shù)學學習中，坐標系的引入，不僅拓寬了數(shù)學知識的圖像表達空間，同時，基于函數(shù)圖像下，進一步推動了數(shù)形結合在高中數(shù)學中的應用【4】。而高中數(shù)學中，解方程組或不等式組是最為常見的證明題，同時也是歷年高考數(shù)學必考的重點。對于不等式的證明，方法很多，學生在解題過程中，必須做到具體問題具體分析。而對于一些相對復雜的不等式證明問題，通過數(shù)形結合的方式進行分析，能夠取得更為鮮明的效

7、果，使不等式問題在圖形分析下更容易被證明。例如，在以下這道證明題中：假設a、b、c、d皆為正數(shù)，并且ab=cd，求證：a+bc+d=a2+b2c2+d2.在這樣一道證明題中，教師可以引導學生運用數(shù)形結合的方式進行求證，具體步驟如下：證明：由ab=cd，a2+b2以及c2+d2，能夠作出兩個相似的直角三角形.假設ac，可作一個直角三角形ABC，使得C=90°，而BC=a、AC=b，在ABC的BC邊上取一個D點，使BD=c，而后過D點作一條垂直于BC的直線DE，使DEBC并交AB于E點，具體圖像如圖3所示，進而使得ABCEBD.由于BCAC=BDDE，所以ab=cDE；再由ab=cd，故

8、而DE=d.此時，在BC作延長線CF，使CF=AC，再于直線BC處取G點，使DE=DG，最后連結EG、AF，能夠證明EDGACF.由此可以證明：BFBG=BABE，所以a+bc+d=a2+b2c2+d2.通過圖形結合的方式，使得證明過程變得形象化、直觀化和具體化，在降低學生解題難度的同時，更便于學生對知識的理解與掌握，在提升學生解題能力的同時，提升其對數(shù)學知識的應用能力。四、小結除了上述所列舉的三方面數(shù)學問題的運用以外，數(shù)形結合還能夠應用于復數(shù)、三角函數(shù)、以及立體幾何等數(shù)學問題的解題中。總而言之，在高中數(shù)學的教學中，教師要注重數(shù)形結合思想的滲透，向學生傳授數(shù)形結合在解答數(shù)學問題中的應用技巧，通過提升學生數(shù)形結合能力，進而促進學生數(shù)學解題能力、數(shù)學知識水平以及數(shù)學應用等數(shù)學綜合素質的提升。參考文獻：【1】楊建珍.淺談數(shù)形結合在高中數(shù)學中的應用技巧J.科學咨詢教育科研，20