泛函分析期中復習題

1、2泛函分析期中復習題§第七章一度量空間的概念.1. 判斷正誤.(1) 度量空間中任意有界序列有收斂子列.()a,b上的多項式函數(shù)空間Pa,b在度量(，“)=maxtea?fc |©(上)一 "|下是。血切中的閉集.()2. 在實數(shù) R2 ±,對無=(1,2), y = ("1,92),令 d(H,y)=(叼一列尸+ (切一如)2)匕當p為何值時,(R2,d)是度量空間.3. 若(X，d)是度量空間，證明di = min(d, 1), d2 = 也是X上的 度量.二. 可分性.1. 判斷正誤.(1) 連續(xù)函數(shù)空間Ca,b是可分的.()(2) a,

2、 6上的多項式函數(shù)空間Pa, b在度量d(x(f), ?/(i) = maxt日砧怡-譏t)|下可分.()2. 證明：卩(1 <p<oo)是可分空間.三. 連續(xù)性.1. 判斷正誤.(1) T是度量空間X到度量空間Y的連續(xù)映射，則T把開集映射為開34集.()(2) T是度量空間X到度量空間Y的連續(xù)映射，則T把閉集映射為閉 集.()U9完備性.1. 判斷正誤.(1) 完備度量空間的閉子空間完備.()(2) 任意度量空間可以完備化.()(3) 在實數(shù)展上定義度量d.如果從(R,d)到任意度量空間的任意函數(shù)都是連續(xù)的，則(DM)完備.()a,b上的多項式函數(shù)空間Pa, &在度量(忑

3、崩)=maxte(a?5怡- 火)|下完備.()2. 證明：有界數(shù)列集合組成的空間產(chǎn)是完備的.3. 記C(a,b)是閉區(qū)間a.b上連續(xù)函數(shù)全體構(gòu)成的集合,在C(a,6) 上定義距離如下：必(人9)= 1/3)-93)|如WJ aC(a,b)按di是否完備？4設(shè)X盤0為線性賦范空間，試證X是Banach空間當II僅當單位 球面x E X : |rr| = 1是完備的.五.壓縮映射原理.1. 填空.(1)設(shè)正數(shù)列xn對任意71 > 1滿足聽+1 = y/2 + Xn,則lim72Too無n =2. 在C0,6上定義算子T為£(/)(© = maxu(F(x) - y) +

4、 S /(“)： ?/ e 0, F(rr),其中ux和F(©)都是連續(xù)有界函數(shù)，0<6 <1.求證T有唯一不動 點.3. 設(shè) |A| < 1,考慮 C0.1上的積分方程無(s) = Asinx(t)dt + t/(s)其中“ W C0,l,證明此方程存在唯一連續(xù)解.4. 考慮Ca, 6上的非線性積分方程=(s) = J： K(t、s衛(wèi)(ty)dt + Q(s) 其中 0W Ca,b, K(t,sw(s)是a.b x a.b x R 的連續(xù)函數(shù)，滿足|K(t,s,3i(s) K(t,s,32(s)| < fc|u；i -cj2|.證明當|A|足夠小時,此方程存

5、在唯一解xo Ca,b.5. 設(shè)dij(i,j = 1,2, ,n)是一組實數(shù)，滿足條件n0 鷗)2 V 1,彷=1其中如=(h "=人證明代數(shù)方程組J I 0, ijn。巧叼=九(2 = 1? 2, , ti)J=i對任何b =bjT e R都存在唯一解.6六.線性空間和范數(shù)的概念.1. 判斷正誤.(1)線性空間上任意兩種范數(shù)相互等價.()2 填空.設(shè)M和N是線性空間X的兩個子空間，且X = MN.則 MQN =3. 設(shè)Cka,b表示定義于a.b上k階連續(xù)可微函數(shù)的全體：按通常函 數(shù)的加法與數(shù)乘，已知是線性空間.對© W Cka,b,定義iiii = E«=0m

6、axa<t<6其中表示xt求證Cka,b成為賦范空間.4設(shè)A;是非負整數(shù)，證明a.b上次數(shù)不超過k的多項式全體Pka,b 是Ca,b的閉子空間.5.對咱)e C0,l,令I(lǐng)klli = (II創(chuàng)2 = (/ (1 十t)xi)dt.JoJo求證II- 111和II- |2是C0： 1中兩個等價的范數(shù).七.Holder不等式和Minkowski不等式.1. 判斷正誤.(1) 若 1 <P<q,則卩UH()(2) 設(shè)a.b是有界區(qū)間.若 1 <p<q,則 Lpa.b C La.b.()2. 設(shè) fc(t, s) G L2(a, b x a, &),令 T

7、 : L2a, 6 T L2a, &為=L k(t, s)xs)ds.1證明阿5(化/仲)|2畑廣§第八章一. 有界算子和連續(xù)算子.1. 設(shè)X, Y是線性賦范空間，T : X t Y是線性算子，則T不是連續(xù) 的，當且僅當日聽 X：使得zn T 0,但Txn T oc.2. 設(shè)a(i)是a.b上的實函數(shù)，對 嘆) Ca,b,令(Tx)(t) = a(i)rr(t),£ a川.證明T:Ca,b t Ca, b是有界算子等價于a(i) e Ca,b.二. 算子的范數(shù).1.填空.設(shè)恥中有范數(shù)(：)=nmx|a|,|b|.矩陣4=(；：)作為從展2到自身的算子，其詼|/|=.

8、(2)對于每個有界序列(an),定義線性算子T : 1卩T IP為（忑1,忑2,）T （&1彷1，2©2廠）7W'J T= 空間C-l，1上的線性泛函1 x(tdt - Q x(t)dt的范數(shù)2設(shè)無窮矩陣(aij)滿足ooatj < oc.J=1定義T :產(chǎn)I l°°為：對rr = (&) e Z°°, Tx =(譏其中/二 oooo£ (Vz > 1).證明：|T| = sup? £ aij j=i j=i3. 設(shè) kt. s) e C(a,b x a,b)，定義 T : Ca, b T Ca,b為S)(t) =L k(t, s)x(<s)ds.證明：|T| = maxa<t<6 |/c(«,5)| dt.三. 共輒空間.1填空.(1)設(shè)c0是所有極限為0的序列組成的集合.對任意c0中元素x = &&,)，|k| = maxi |叭|則 =2.