概率論第二章習(xí)題課ppt課件

1、第第 二二 章章 習(xí)習(xí) 題題 課課主要內(nèi)容：主要內(nèi)容： 分布函數(shù)、分布列、分布函數(shù)、分布列、 密度函數(shù)及概率密度函數(shù)及概率的計(jì)算問題，期望和方差的性質(zhì)和計(jì)算，常用分布的計(jì)算問題，期望和方差的性質(zhì)和計(jì)算，常用分布的運(yùn)用，隨機(jī)變量函數(shù)的分布，其他特征數(shù)的計(jì)算的運(yùn)用，隨機(jī)變量函數(shù)的分布，其他特征數(shù)的計(jì)算. . 學(xué)習(xí)重點(diǎn)：分布函數(shù)、分布列、密度函數(shù)及概率的學(xué)習(xí)重點(diǎn)：分布函數(shù)、分布列、密度函數(shù)及概率的計(jì)算，期望和方差的性質(zhì)和計(jì)算，常用分布的運(yùn)用，計(jì)算，期望和方差的性質(zhì)和計(jì)算，常用分布的運(yùn)用，隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布. .學(xué)習(xí)難點(diǎn)：學(xué)習(xí)難點(diǎn)： 隨機(jī)變量函數(shù)的分布，常用分布的運(yùn)用隨機(jī)變量函數(shù)的分

2、布，常用分布的運(yùn)用. . 一、隨機(jī)變量的分布一、隨機(jī)變量的分布 2.12.1P73P734 4、9 9、1616 4 4、有、有3 3個(gè)盒子，第一個(gè)盒子裝了個(gè)盒子，第一個(gè)盒子裝了1 1個(gè)白球，個(gè)白球，4 4個(gè)黑球；個(gè)黑球；第二個(gè)盒子裝了第二個(gè)盒子裝了2 2個(gè)白球，個(gè)白球，3 3個(gè)黑球；第三個(gè)盒子裝了個(gè)黑球；第三個(gè)盒子裝了3 3個(gè)白球，個(gè)白球，2 2個(gè)黑球?，F(xiàn)任取一個(gè)盒子，從中取個(gè)黑球?，F(xiàn)任取一個(gè)盒子，從中取3 3個(gè)球，個(gè)球，以以X X表示取到的白球數(shù)。表示取到的白球數(shù)。求求X X的概率分布列；的概率分布列； 取到的白球數(shù)不少于取到的白球數(shù)不少于2 2個(gè)的概率是多少？個(gè)的概率是多少？解：記解：記

3、AiAi為取到第為取到第i i個(gè)盒子，個(gè)盒子，X X的能夠取值為的能夠取值為0 0，1 1，2 2，3.3.(1)(0)P X 112233() (0)() (0)() (0)P A P XAP A P XAP A P XA 16 131(1), (2), (3).21030P XP XP X 同同樣樣可可求求得得：X從從而而， 的的分分布布列列為為01231131621030XP(2)(2)(2)(3)P XP XP X 13 9 9： 從從1 1，2 2，3 3，4 4，5 5這五個(gè)數(shù)中任取這五個(gè)數(shù)中任取3 3個(gè)，按大小個(gè)，按大小 1232,.xxxXxX 記記為為，令令求求 的的分分布布

4、函函數(shù)數(shù)解：解：X X的能夠取值為的能夠取值為2 2、3 3、4.4.2X 3124,5(2)P X 3533;10C 3X 143,25(3)P X 3544;10C 4X 1245,33533(2).10P XC X從從而而， 的的分分布布列列為為2340.30.40.3XPX的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為0,2;0.3, 23;( )0.7, 34;1,4.xxF xxx 016( )( )0,()1( )0.5( ).aXp xF xaFaF ap x dx 設(shè)設(shè) 的的密密度度函函數(shù)數(shù)是是偶偶函函數(shù)數(shù)，為為分分布布函函數(shù)數(shù)，則則對(duì)對(duì)有有()( )aFap x dx 證證：() ()axtpt

5、 dt ( )ap t dt ()P Xa1()P Xa 1( )F a (0)(0)P XP X由由0.5, 00( )( )0.5p x dxp x dx 00.5( )ap x dx 00( )( )( )aap x dxp x dxp x dx ()P Xa二、期望和方差二、期望和方差 2.22.2P81P815 5、1313、1616；2.32.3P88P886 6、9.9.2.22.2P81P81 5 5、用天平稱量某種物品的質(zhì)量，現(xiàn)有、用天平稱量某種物品的質(zhì)量，現(xiàn)有三組砝碼：甲三組砝碼：甲1 1，2 2，2 2，5 5，1010g g；乙；乙1 1，2 2，3 3，4 4，101

6、0g g；丙；丙1 1，1 1，2 2，5 5，1010g g，稱量時(shí)只能運(yùn)用一組砝碼。當(dāng)要稱量的物質(zhì)量量是稱量時(shí)只能運(yùn)用一組砝碼。當(dāng)要稱量的物質(zhì)量量是1 1，2 2，10g10g的概率一樣時(shí)，用哪一組砝碼平均所用的概率一樣時(shí)，用哪一組砝碼平均所用的砝碼數(shù)最少？的砝碼數(shù)最少？解：記解：記X X、Y Y、Z Z表示三組砝碼稱重時(shí)所用的砝碼數(shù)，那么表示三組砝碼稱重時(shí)所用的砝碼數(shù)，那么 用甲組砝碼時(shí)：用甲組砝碼時(shí)：1 1個(gè)砝碼可以稱個(gè)砝碼可以稱4 4種物品種物品1 1，2 2，5 5，1010，2 2個(gè)砝碼可以稱個(gè)砝碼可以稱4 4種物品種物品3 3，4 4，6 6，7 7，3 3個(gè)砝碼可以稱個(gè)砝碼可

7、以稱2 2種物品種物品8 8，9 9，從而得到，從而得到 X X的分布的分布. .1230.40.40.2XP1230.40.40.2XP同樣可得同樣可得1230.50.30.2YP12340.40.30.20.1ZP1.8;1.8;2.0.EXEYEZ 21cos,0;13.( )220 ,./3() .xxXp xXYE Y 設(shè)設(shè)對(duì)對(duì) 獨(dú)獨(dú)立立重重復(fù)復(fù)觀觀測(cè)測(cè)其其他他4 4次次， 表表示示觀觀測(cè)測(cè)值值大大于于的的次次數(shù)數(shù)，求求()3P X 解解：311cos22xdx 0.5 (4, 0.5).YB422440()0.5 (10.5)kkkkE Yk C 5 或者，或者，22()( )()

8、E YD YEY240.50.5(40.5)5 1616、設(shè)延續(xù)型隨機(jī)變量、設(shè)延續(xù)型隨機(jī)變量X X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為( ),F xEX存存在在，求求證證：00()1( )( ).E XF x dxF x dx ()( )E Xxp x dx 證證：00( )( )xp x dxxp x dx 0( )xp x dx 化化為為二二重重積積分分00) ( )xdy p x dx ( (改改變變積積分分次次序序0( )yp x dx dy ( (0( )F y dy xy000( )() ( )xxp x dxdy p x dx 同同樣樣得得0( )yp x dx dy 01( )F y dy

9、 01( )F x dx xy2882.36(),()() .PcEXD XE Xc 證證明明：對(duì)對(duì)有有2()()D XE XEX 證證：2()()EXcEXc22()()E XcEXc 2() .E Xc ()E XcEXc X證證： 若若 為為連連續(xù)續(xù)的的，()( )P Xp x dx ( )( ),( )g xp x dxg ( )( )g xg ( )( )( )g xp x dxg ().( )E g Xg 離散型類似可證離散型類似可證. .,ABCPPAB補(bǔ)補(bǔ)充充題題： 向向中中隨隨機(jī)機(jī)投投一一點(diǎn)點(diǎn)求求點(diǎn)點(diǎn) 到到的的.X距距離離 的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望和和方方差差A(yù)CB PXxEF(

10、 )()F xP Xx EFBAABCSS 21() .hxh 0 xh 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，22(),0( ).0,hxxhp xh 其其他他222,(),().3618hhhEXE XD Xh三、常用分布三、常用分布 2.42.4P101P1014 4、1111； 2.52.5P115P1153 3、6 6、1010、1717、26262.42.4P101P1014 4、閱歷闡明，預(yù)定餐廳座位而不來、閱歷闡明，預(yù)定餐廳座位而不來就餐的顧客比例為就餐的顧客比例為2020。如今餐廳有。如今餐廳有5050個(gè)座位，但個(gè)座位，但預(yù)定給了預(yù)定給了5252位顧客，問到時(shí)顧客來到餐廳而沒有座位顧客，問到時(shí)顧客來到餐

11、廳而沒有座位的概率是多少？位的概率是多少？52.X解解：記記 為為預(yù)預(yù)定定的的位位顧顧客客中中不不來來就就餐餐的的人人數(shù)數(shù)(52, 0.2) .XB則則所所求求概概率率為為(1)P X (0)(1)P XP X 52510.8520.80.2 0.0001279 1111、某種產(chǎn)品上的缺陷數(shù)、某種產(chǎn)品上的缺陷數(shù)X X服從以下分布服從以下分布 11(),0,1,2,2kP Xkk 求此種產(chǎn)品上的平均缺陷數(shù)。求此種產(chǎn)品上的平均缺陷數(shù)。留意：幾何分布的分布列為留意：幾何分布的分布列為1()(1),1,2,kP Xkppk 11( ),.2YXGe pp 其其中中12.EYp(1)EXE Y 11.E

12、Y 注：也可以直接按數(shù)學(xué)期望的定義計(jì)算注：也可以直接按數(shù)學(xué)期望的定義計(jì)算, ,另解如下另解如下 1111、某種產(chǎn)品上的缺陷數(shù)、某種產(chǎn)品上的缺陷數(shù)X X服從以下分布服從以下分布 11(),0,1,2,2kP Xkk 求此種產(chǎn)品上的平均缺陷數(shù)。求此種產(chǎn)品上的平均缺陷數(shù)。1112kkEXk 234111123222 211122kkEXk 345111123222 23451111122222EX 21121212 1.EX 作差作差補(bǔ)充題：設(shè)某商店中每月銷售某商品的數(shù)量補(bǔ)充題：設(shè)某商店中每月銷售某商品的數(shù)量X X服從服從參數(shù)為參數(shù)為7 7的泊松分布，問在月初應(yīng)進(jìn)貨多少件，才的泊松分布，問在月初應(yīng)進(jìn)

13、貨多少件，才能保證當(dāng)月不脫銷的概率不小于能保證當(dāng)月不脫銷的概率不小于0.900.90？解：設(shè)解：設(shè)k k為月初的進(jìn)貨件數(shù)，為月初的進(jìn)貨件數(shù)，()0.9.P Xk(9)0.830,(10)0.901.P XP X 查查表表知知：所以月初至少應(yīng)進(jìn)貨所以月初至少應(yīng)進(jìn)貨1010件。件。11522.53()(1, 6)10.PkxKx 設(shè)設(shè)服服從從上上的的均均勻勻分分布布，求求方方程程有有實(shí)實(shí)根根的的概概率率解：方程有實(shí)根的充要條件為解：方程有實(shí)根的充要條件為 0 240K 22KK ()P方方程程有有實(shí)實(shí)根根 22= P XP X 440.556 6、設(shè)某種商品每周的需求量、設(shè)某種商品每周的需求量X

14、X服從服從1010，3030上的上的均勻分布，而商店進(jìn)貨數(shù)為均勻分布，而商店進(jìn)貨數(shù)為1010，3030中的某一數(shù)，中的某一數(shù)，商店每銷售商店每銷售1 1單位商品可獲利單位商品可獲利500500元；假設(shè)供大于求那么元；假設(shè)供大于求那么削價(jià)處置，每銷售削價(jià)處置，每銷售1 1單位商品虧損單位商品虧損100100元；假設(shè)供不應(yīng)元；假設(shè)供不應(yīng)求，那么可從外部調(diào)劑供應(yīng)，每銷售求，那么可從外部調(diào)劑供應(yīng)，每銷售1 1單位商品可獲利單位商品可獲利300300元。為使商店所獲利潤的期望不少于元。為使商店所獲利潤的期望不少于92809280元，試元，試確定最少進(jìn)貨量。確定最少進(jìn)貨量。,aY解解： 設(shè)設(shè)進(jìn)進(jìn)貨貨量量為

15、為利利潤潤為為則則有有500100(),10500300(),30XaXXaYaXaaX 600100 ,10300200 ,30XaXaXaaX 27.53505250EYaa 9280 220263a故至少應(yīng)進(jìn)貨故至少應(yīng)進(jìn)貨21 21 數(shù)量單位。數(shù)量單位。1010、某種設(shè)備的運(yùn)用壽命、某種設(shè)備的運(yùn)用壽命X X以年計(jì)服從指數(shù)分布，以年計(jì)服從指數(shù)分布，其平均壽命為其平均壽命為4 4年。制造此種設(shè)備的廠家規(guī)定，假設(shè)設(shè)年。制造此種設(shè)備的廠家規(guī)定，假設(shè)設(shè)備在運(yùn)用備在運(yùn)用1 1年內(nèi)損壞，那么可予以互換。假設(shè)售出一臺(tái)年內(nèi)損壞，那么可予以互換。假設(shè)售出一臺(tái)設(shè)備可贏利設(shè)備可贏利100100元，而互換一臺(tái)設(shè)備

16、需破費(fèi)元，而互換一臺(tái)設(shè)備需破費(fèi)300300元。元。求每臺(tái)設(shè)備的平均利潤。求每臺(tái)設(shè)備的平均利潤。( ),XExp 14EX 1.4 設(shè)設(shè)Y Y為一臺(tái)設(shè)備在一年內(nèi)損壞的設(shè)備數(shù)，為一臺(tái)設(shè)備在一年內(nèi)損壞的設(shè)備數(shù)， 那么那么Y Y服從二項(xiàng)分布服從二項(xiàng)分布B(1,p)B(1,p)0 01 1分布分布. .(1)pP XZ為為一一臺(tái)臺(tái)設(shè)設(shè)備備的的利利潤潤，100300 .ZY 10.25401(1)10.22124xpP Xedxe 1( ),4XExp(1,)YBP100300 .ZY (100300 )EZEY 1003000.221233.64 2217.( ,),(70)0.5(60)0.25,(1

17、),;(2)52XNP XP X 某某地地區(qū)區(qū)的的成成年年男男子子的的體體重重若若已已知知，求求的的值值從從這這個(gè)個(gè)地地區(qū)區(qū)隨隨機(jī)機(jī)抽抽取取 名名成成年年男男子子，至至少少 人人體體重重超超過過6 65 5k kg g的的概概率率是是多多少少？65(5, ).YkgYBp記記 為為人人中中體體重重超超過過的的人人數(shù)數(shù)，則則0.5(70)P X 70,( (0)0.5); 0.25(60)P X10() 14.81. 7065(65)()0.6324,14.81pP X (2)P Y 1(1)(0)0.94.P YP Y 22121226.( ,4 ),( ,5 )(4),(5),.XNYNpP

18、 XpP Ypp 設(shè)設(shè)， 比比較較的的大大小小1(4)pP X 解解：4()4P U( 1) 2(5)pP Y 5()5P U 1(1) 12.pp 即即有有 四、隨機(jī)變量函數(shù)的分布四、隨機(jī)變量函數(shù)的分布 2.62.6P123P1235 5、11115.(,),cos22XUYX 設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量求求的的密密度度函函數(shù)數(shù). .1,( )220,Xxpx ；解解：其其他他. .cos01.YXy的的可可能能取取值值范范圍圍是是2 2 012 2 01( )()YFyP Yy (cos)PXy (arccosarccos)22PXyyX 或或(2arccos )/y 22,01( )10,Yypyy 其其他他01y當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，arccosyarccosy y1111、設(shè)隨機(jī)變量、設(shè)隨機(jī)變量X X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 23, 11;( )20 ,.Xxxpx 其其他他求以下隨機(jī)變量的分布求以下隨機(jī)變量的分布 21233,3,.YXYXYX 1(1)3( 3, 3).YX 解解：的的取取值值范范圍圍是是( )(3)YFyPXy (/3)P Xy /