廣東省東莞市2012-2013學年高二數(shù)學下學期期末考試試題（A） 理（含解析）新人教A版

1、2012-2013學年廣東省東莞市高二（下）期末數(shù)學試卷A（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1（5分）已知aai=b+i，其中i為虛數(shù)單位，a，b為實數(shù)，則a+b=（）A2B1C0D2考點：復數(shù)相等的充要條件專題：計算題分析：利用復數(shù)相等即可得出a，b解答：解：aai=b+i，其中i為虛數(shù)單位，a，b為實數(shù)，解得a=b=1a+b=2故選A點評：熟練掌握復數(shù)相等是解題的關鍵2（5分）函數(shù)f（x）的定義域為開區(qū)間（a，b），導函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)的極值點是（）Ax1，x3，x5Bx2，x3，x4C

2、x1，x5Dx2，x4考點：函數(shù)在某點取得極值的條件專題：導數(shù)的綜合應用分析：根據(jù)極值的定義，觀察圖象知導數(shù)值變化的個數(shù)，即為極值點的個數(shù)解答：解：因為圖象是導函數(shù)的圖象，所以導數(shù)值的符合代表函數(shù)單調(diào)性的變化由圖象可知在x1處，左側導數(shù)為負右側為正，所以在x1處函數(shù)取得極小值在x5處，左側導數(shù)為正右側為負，所以在x1處函數(shù)取得極大值故選C點評：本題主要是通過導函數(shù)的圖象研究函數(shù)的極值問題如果是導函數(shù)，則需要看導數(shù)值的正負變化，如果是原函數(shù)，則看的是函數(shù)的單調(diào)性的變化3（5分）已知服從正態(tài)分布N（，2）的隨機變量在區(qū)間（，+），（2，+2），和（3，+3）內(nèi)取值的概率分別為68.3%，95.4%

3、，和99.7%某校為高一年級1000名新生每人定制一套校服，經(jīng)統(tǒng)計，學生的身高（單位：cm）服從正態(tài)分布（165，52），則適合身高在155175cm范圍內(nèi)的校服大約要定制（）A683套B954套C972套D997套考點：正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義專題：概率與統(tǒng)計分析：變量服從正態(tài)分布N（165，52），即服從均值為165cm，方差為25的正態(tài)分布，適合身高在155175cm范圍內(nèi)取值即在（2，+2）內(nèi)取值，其概率為：95.4%，從而得出適合身高在155175cm范圍內(nèi)校服大約情況，得到結果解答：解：學生的身高（單位：cm）服從正態(tài)分布N（165，52），即服從均值為165cm，方差

4、為25的正態(tài)分布，適合身高在155175cm范圍內(nèi)取值即在（2，+2）內(nèi)取值，其概率為：95.4%，從而得出適合身高在155175cm范圍內(nèi)學生穿的服裝大約套數(shù)是：1000×95.4%=954套故選B點評：本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查曲線的變化特點，本題是一個基礎題，不需要多少運算4（5分）用數(shù)學歸納法證明（a1，nN*），在驗證當n=1時，等式左邊應為（）A1B1+aC1+a+a2D1+a+a2+a3考點：數(shù)學歸納法專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法分析：根據(jù)等式的特點，即可得到結論解答：證明：（a1，nN*），當n=1時，等式左邊應為1+a+a2+a3，故答案

5、為：1+a+a2+a3點評：本題考查數(shù)學歸納法，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題5（5分）的二項展開式中，x2y4項的系數(shù)是（）A45B90C135D270考點：二項式定理專題：計算題；概率與統(tǒng)計分析：先求出二項式展開式的通項公式，再令x的冪指數(shù)等于2，且y的冪指數(shù)等于4，求得r的值，即可求得展x2y4項的系數(shù)解答：解：在的二項展開式中，通項公式為 Tr+1=x6r，令6r=2，且r=4，求得r=4，故x2y4項的系數(shù)是 =135，故選C點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于中檔題6（5分）曲線y=2sinx在點P（，0）處的切線方程為（）

6、Ay=2x+2By=0Cy=2x2Dy=2x+2考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程專題：導數(shù)的概念及應用分析：由求導公式和法則求出導數(shù)，再把x=代入求出切線的斜率，再代入點斜式方程化為斜截式即可解答：解：由題意得，y=2cosx，則點P（，0）處的切線斜率k=2，點P（，0）處的切線方程是：y0=2（x），即y=2x+2，故選A點評：本題考查了導數(shù)的幾何意義，即某點處的切線的斜率是該點出的導數(shù)值，以及點斜式方程的應用7（5分）投擲一枚骰子，若事件A=點數(shù)小于5，事件B=點數(shù)大于2，則P（B|A）=（）ABCD考點：條件概率與獨立事件專題：概率與統(tǒng)計分析：由題意，P（B|A）為投擲一枚骰子，點

7、數(shù)大于2而小于5的概率，從而可得結論解答：解：由題意，P（B|A）為投擲一枚骰子，點數(shù)大于2而小于5的概率，投擲一枚骰子，基本事件有6個，點數(shù)大于2而小于5，基本事件有2個，P（B|A）=故選C點評：本題考查概率的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題8（5分）從n（nN*，且n2）人中選兩人排A，B兩個位置，若其中A位置不排甲的排法數(shù)為25，則n=（）A3B4C5D6考點：排列、組合及簡單計數(shù)問題專題：概率與統(tǒng)計分析：由題意，A位置不排甲，故從其余n1人中選一人排A位置，再從剩下的n1人中選一人排B位置，由此可得結論解答：解：由題意，A位置不排甲，故從其余n1人中選一人排A位置，再從剩

8、下的n1人中選一人排B位置，由題意，A位置不排甲，故從其余n1人中選一人排A位置，再從剩下的n1人中選一人排B位置（n1）2=25n=6故選D點評：本題考查計數(shù)原理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題9（5分）已知某一隨機變量X的概率分布如下，且E（X）=6.9，則a的值為（）X4a9Pm0.20.5A5B6C7D8考點：離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列專題：概率與統(tǒng)計分析：先根據(jù)概率分布表，利用概率之和為1，求出m，再利用期望公式求出a的值解答：解：由分布列性質(zhì)知：m+0.2+0.5=1，m=0.3，E（X）=4×0.3+a×0.2+9

9、15;0.5=6.9，a=6故選B點評：本題主要考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望，考查學生的計算能力，屬于基礎題10（5分）函數(shù)f（x）的定義域為R，f（2）=2013，對任意xR，都有f（x）2x成立，則不等式f（x）x2+2009的解集為（）A（2，2）B（2，+）C（，2）D（，+）考點：函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系專題：導數(shù)的綜合應用分析：構造函數(shù)g（x）=f（x）x22009，利用對任意xR，都有f（x）2x成立，即可得出函數(shù)g（x）在R上單調(diào)性，進而即可解出不等式解答：解：令g（x）=f（x）x22009，則g（x）=f（x）2x0，函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞增，而f（2）=2013

10、，g（2）=f（2）（2）22009=0不等式f（x）x2+2009，可化為g（x）g（2），x2即不等式f（x）x2+2009的解集為（，2）故選C點評：恰當構造函數(shù)和熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解題的關鍵二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）11（5分）若復數(shù)（i是虛數(shù)單位），則z的模|z|=考點：復數(shù)代數(shù)形式的混合運算；復數(shù)求模專題：計算題分析：分子分母同乘以1+2i對復數(shù)化簡，整理成代數(shù)形式，再代入復數(shù)模的公式求解解答：解：由題意得，=1+i，則|z|=，故答案為：點評：本題考查了復數(shù)的除法運算，以及復數(shù)模的公式，屬于基礎題12（5分）若根據(jù)兒童的年齡x（歲）和體重

11、y（kg），得到利用年齡預報體重的線性回歸方程是現(xiàn)已知5名兒童的年齡分別是3，4，5，6，7，則這5名兒童的平均體重大約是20（kg）考點：回歸分析的初步應用專題：概率與統(tǒng)計分析：根據(jù)所給的5名兒童的年齡做出平均年齡，代入線性回歸方程求出縱標，就是要求的平均體重解答：解：5名兒童的年齡分別是3，4，5，6，7，這5名兒童的平均年齡是=5，用年齡預報體重的回歸方程是這5名兒童的平均體重是=20kg故答案為：20點評：本題考查線性回歸方程的應用，考查學生的計算能力，屬于基礎題13（5分）由曲線和直線，x=3及x軸所圍圖形的面積為2ln3考點：定積分在求面積中的應用專題：計算題；導數(shù)的概念及應用分析

12、：作出曲線和直線，x=3的圖象，得出它們的交點橫坐標，可得所求面積為函數(shù)y=在區(qū)間，3上的定積分的值，再用定積分計算公式加以運算即可得到本題答案解答：解：曲線和直線，x=3及x軸所圍圖形的面積S=dx=lnx=ln3ln=2ln3故答案為：2ln3點評：本題求兩條曲線圍成的曲邊圖形的面積，著重考查了定積分的幾何意義和積分計算公式等知識，屬于基礎題14（5分）電腦系統(tǒng)中有個“掃雷”游戲，要求游戲者標出所有的雷，游戲規(guī)則是：一個方塊下面有一個雷或沒有雷，如果無雷，掀開方塊下面就會標有數(shù)字（如果數(shù)字是0，常省略不標），此數(shù)字表明它周圍的方塊中雷的個數(shù)（至多八個），如圖甲中的“3”表示它的周圍八個方塊

13、中有且僅有3個雷圖乙是張三玩的游戲中的局部，根據(jù)圖乙中信息，上方第一行左起七個方塊中（方塊上標有字母），能夠確定下面一定沒有雷的方塊有BDEF，下面一定有雷的方塊有AC（請?zhí)钊胨羞x定方塊上的字母）考點：進行簡單的合情推理專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用分析：根據(jù)掃雷的基本原理，即可分析得到結論解答：解：圖乙中，由第三行最左邊的“1”，可得它的上方必定是雷結合B下方的“3”，可得最左邊的A、B對應的方格中有一個雷；C下方是“1”，故A必定是雷，B必定不是雷，C必定是雷同理可得D，E，F(xiàn)必定不是雷故答案為：BDEF，AC點評：本題考查合情推理，著重考查了掃雷的基本原理和推理與證明的知識，屬于中檔題三、解答

14、題：（本大題共6小題，共80分）15（12分）已知復數(shù)z=bi（bR），是實數(shù)，i是虛數(shù)單位（1）求復數(shù)z；（2）若復數(shù)（m+z）2所表示的點在第一象限，求實數(shù)m的取值范圍考點：復數(shù)代數(shù)形式的混合運算；復數(shù)的基本概念專題：計算題分析：（1）由z=bi（bR），化簡為根據(jù)是實數(shù)，可得，求得 b的值，可得z的值（2）化簡 （m+z）2為 （m24）4mi，根據(jù)復數(shù)f（4）所表示的點在第一象限，可得，解不等式組求得實數(shù)m的取值范圍解答：解：（1）z=bi（bR），=又是實數(shù)，b=2，即z=2i（2）z=2i，mR，（m+z）2=（m2i）2=m24mi+4i2=（m24）4mi，又復數(shù)f（4）所表示

15、的點在第一象限，（10分）解得m2，即m（，2）時，復數(shù)f（4）所表示的點在第一象限點評：本題主要考查復數(shù)的基本概念，兩個復數(shù)代數(shù)形式的乘除法法則的應用，虛數(shù)單位i的冪運算性質(zhì)，屬于基礎題16（12分）在對某校高一學生體育選修項目的一次調(diào)查中，共調(diào)查了160人，其中女生85人，男生75人女生中有60人選修排球，其余的人選修籃球；男生中有20人選修排球，其余的人選修籃球（每人必須選一項，且只能選一項）（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個2×2的列聯(lián)表；（2）能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為性別與體育選修項目有關？參考公式及數(shù)據(jù)：，其中n=a+b+c+dK2k00.500.400.2

16、50.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828考點：獨立性檢驗的應用專題：概率與統(tǒng)計分析：（1）根據(jù)共調(diào)查了160人，其中女生85人，男生75人女生中有60人選修排球，其余的人選修籃球；男生中有20人選修排球，其余的人選修籃球，可得2×2的列聯(lián)表；（2）利用公式，求出K2，與臨界值比較，即可得到結論解答：解：（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，建立一個2×2的列聯(lián)表如下：女生男生合計選排球602080選籃球255580合計8575160（6分）（2），（8分）且30

17、.74510.828，P（K210.828）0.001，（10分）所以能在犯錯誤的概率不超過0.001的情況下認為性別與體育選修項目有關 （12分）點評：本題考查2×2的列聯(lián)表，考查獨立性檢驗知識，考查學生利用數(shù)學知識解決實際問題的能力，屬于中檔題17（14分）已知函數(shù)（a，bR），其圖象在點（1，f（1）處的切線方程為x+y3=0（1）求a，b的值；（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間2，5上的最大值考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程專題：導數(shù)的綜合應用分析：（1）求導函數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義，結合函數(shù)解析式，即可求a，b

18、的值；（2）求導數(shù)，利用導數(shù)的正負，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（3）將函數(shù)的極大值與端點函數(shù)值，比較，即可求函數(shù)f（x）在區(qū)間2，5上的最大值解答：解：（1）由題意，f（x）=x22ax+a21 （1分）又函數(shù)f（x）的圖象在點（1，f（1）處的切線方程為x+y3=0，所以切線的斜率為1，即 f（1）=1，a22a+1=0，解得a=1 （2分）又點（1，f（1）在直線x+y3=0上，f（1）=2，（3分）同時點（1，f（1）即點（1，2）在y=f（x）上，（4分）即，解得 （5分）（2）由（1）有，f（x）=x22x，（6分）由f（x）=0可知x=0，或x=2，所以有x、f（x）、f

19、（x）的變化情況表如下：x（，0）0（0，2）2（2，+）f（x）+00+f（x）極大值極小值（8分）由上表可知，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（，0）和（2，+），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，2）； （10分）函數(shù)f（x）的極大值是，極小值是 （11分）（3）由（2），函數(shù)f（x）在區(qū)間2，5上的極大值是 （12分）又，（13分）函數(shù)f（x）在區(qū)間2，5上的最大值為（14分）點評：本題考查導數(shù)知識的應用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題18（14分）根據(jù)以往資料統(tǒng)計，大學生購買某品牌平板電腦時計劃采用分期付款的期數(shù)的分布列為123P0.40.250.35（

20、1）若事件A=購買該平板電腦的3位大學生中，至少有1位采用1期付款，求事件A的概率P（A）；（2）若簽訂協(xié)議后，在實際付款中，采用1期付款的沒有變化，采用2、3期付款的都至多有一次改付款期數(shù)的機會，其中采用2期付款的只能改為3期，概率為；采用3期付款的只能改為2期，概率為數(shù)碼城銷售一臺該平板電腦，實際付款期數(shù)'與利潤（元）的關系為'123200250300求的分布列及期望E（）考點：離散型隨機變量的期望與方差；相互獨立事件的概率乘法公式專題：概率與統(tǒng)計分析：（1）利用對立事件的概率公式，即可求解；（2）求出實際付款期數(shù)的概率，進而可得利潤的概率，即可求出的分布列及期望E（）解答

21、：解：（1）若事件A=購買該平板電腦的3位大學生中，至少有1位采用1期付款，則事件=購買該平板電腦的3位大學生中沒有1位采用1期付款，（2分） （4分）（2）根據(jù)題意，實際付款期數(shù)的概率為，（10分）而銷售一臺該平板電腦的利潤的可能值為200元，250元，300元 （11分），的分布列為200250300P（12分）的期望（元）（14分）點評：本題考查概率的計算，考查離散型隨機變量的分布列與期望，考查學生的計算能力，屬于中檔題19（14分）下面四個圖案，都是由小正三角形構成，設第n個圖形中所有小正三角形邊上黑點的總數(shù)為f（n）（1）求出f（2），f（3），f（4），f（5）；（2）找出f（n）

22、與f（n+1）的關系，并求出f（n）的表達式；（3）求證：（nN*）考點：歸納推理專題：探究型分析：（1）由圖分別求出f（2），f（3），f（4），f（5）（2）根據(jù)（1）的幾個數(shù)值，歸納出f（n）的表達式（3）利用歸納的f（n）的表達式，將數(shù)列進行化簡求和，然后利用歸納法證明不等式解答：解：（1）由題意有f（1）=3，f（2）=f（1）+3+3×2=12，f（3）=f（2）+3+3×4=27，f（4）=f（3）+3+3×6=48，f（5）=f（4）+3+3×8=75 （2分）（2）由題意及（1）知，f（n+1）=f（n）+3+3×2n=f（n）+6n+3，（4分）即f（n+1）f（n）=6n+3，所以f（2）f（1）=6×1+3，f（3）f（2）=6×2+3，f（4）f（3）=6×3+3，f（n）f（n1）=6（n1）+3，（5分）將上面（n1）個式子相加，得：f（n）f（1）=61+2+3+（n1）+3（n1）=3n23（6分）又f（1）=3，所以f（n）=3n2 （7分）（3）f（n）=3n2 （9分）當n=1時，原不等式成立 （10分）當n=2時，原不等式成立 （11分）當n3時，=，原不等式成立 （13分）綜上所述，對于任意nN*，