概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)練習(xí)冊

1、院（系）班 姓名學(xué)號第一章 概率論的基本概念練習(xí)1.1樣本空間、隨機(jī)事件一、寫出以下隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間：1.從兩名男乒乓球選手和三名女乒乓球選手中選拔一對選手參加男女混合雙打，觀察選擇結(jié)果。2.10件產(chǎn)品中有4件次品，其余全是正品，從這10件產(chǎn)品中連續(xù)抽取產(chǎn)品，每次一件，直到抽到次品為止，記錄抽出的正品件數(shù)。二、有三位學(xué)生參加高考，以表示第人考取（）.試用表示以下事實(shí)：1.至少有一個(gè)考?。?.至多64738291有兩人考??；3.恰好有兩人落榜。三、投擲一枚硬幣5次，問下列事件的逆事件是怎樣的事件？1. 表示至少出現(xiàn)3次正面；2. 表示至多出現(xiàn)3次正面；3. 表示至少出現(xiàn)3次反面。四、袋中有十個(gè)

2、球，分別編有1至10共十個(gè)號碼，從其中任取一個(gè)球，設(shè)事件表示“取得的球的號碼是偶數(shù)”， 事件表示“取得的球的號碼是奇數(shù)”， 事件表示“取得的球的號碼小于5”，則分別表示什么事件？五、在某系的學(xué)生中任選一名學(xué)生，令事件A表示“被選出者是男生”；事件B表示“被選出者是三年級學(xué)生”；事件C表示“被選出者是運(yùn)動員”。（1）說出事件的含義；（2）什么時(shí)候有恒等式;(3)什么時(shí)候有關(guān)系式正確;（4）什么時(shí)候有等式成立。院（系）班 姓名學(xué)號練習(xí)1.2 概率、古典概型一、 填空1.已知事件，的概率,積事件的概率,則,.2. 設(shè)為兩個(gè)事件，,則.3. 設(shè)為兩個(gè)任意不相容事件，,則.4. 設(shè)為兩個(gè)事件，,0.2，

3、則.5.已知0，則全不發(fā)生的概率為.二、設(shè)是兩事件，且，,求(1)在什么條件下，取到最大值？ (2)在什么條件下，取到最小值？三、一批產(chǎn)品20件，其中3件次品，任取10件，求(1)其中恰有一件次品的概率；(2)至少有一件次品的概率。四、甲、乙兩艘油輪駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘油輪的碼頭，它們都將在某日8時(shí)至20時(shí)抵達(dá)碼頭。甲輪卸完油要一小時(shí)，乙輪要兩小時(shí)。假設(shè)每艘油輪在8時(shí)到20時(shí)的每一時(shí)刻抵達(dá)碼頭的可能性相同。1.求甲乙兩輪都不需等候空出碼頭的概率；2.設(shè)表示甲、乙同一時(shí)刻抵達(dá)碼頭，問是否是不可能事件，并求。五、某年級有10名大學(xué)生是1986年出生的，試求這10名大學(xué)生中1.至少有兩人是同一天

4、生日的概率；2.至少有一人在十月一日過生日的概率。六、設(shè)求證：七、設(shè)為兩個(gè)事件，,求。院（系）班 姓名學(xué)號練習(xí)1.3 條件概率、全概率公式一、填空1.設(shè)為兩個(gè)事件，,且都是已知的小于1的正數(shù)，則，,，,.2.設(shè)為兩個(gè)事件，,則.3.設(shè)為一完備事件組，且,則,.4.已知為一完備事件組，則 .5.設(shè)為隨機(jī)事件，且,，則 ， .二、一臺電子儀器出廠時(shí)，使用壽命1000小時(shí)以上的概率為0.6，1500小時(shí)以上的概率為0.4，現(xiàn)已使用了1000小時(shí)，求還能使用500小時(shí)以上的概率。三、有十箱產(chǎn)品，已知其中三、二、五箱分別是第一、第二、第三車間生產(chǎn)的，各車間的次品率分別是0.2，0.1，0.05，現(xiàn)在任取

5、一箱，再從中任取一件：1.求此件為次品的概率；2.如果此件為次品，問是哪個(gè)車間生產(chǎn)的可能性最大？四、人群中患肝癌的概率為0.0004.用血清甲胎蛋白法檢查時(shí)，患有此病被確診的概率為0.95，未患被誤診的概率為0.01.問普查時(shí)，任一人被此法診斷為肝癌患者的概率有多大 ？設(shè)此人被此法診斷為肝癌患者，問此人真患有肝癌的概率有多大？比未作檢查時(shí)的概率增大了多少倍？五、有兩箱同型號的零件，箱內(nèi)裝50件，其中一等品10件；箱內(nèi)裝30件，其中一等品18件.裝配工從兩箱中任選一箱，從箱子中先后隨機(jī)地取兩個(gè)零件（不放回抽樣）。求：(1)先取出的一件是一等品的概率；(2)在先取出的一件是一等品的條件下，第二次取

6、出的零件仍是一等品的概率。六、為了防止意外，在礦內(nèi)同時(shí)裝有兩種報(bào)警系統(tǒng)（I）和（II），每種系統(tǒng)單獨(dú)使用時(shí)，系統(tǒng)（I）和系統(tǒng)（II）有效的概率分別為0.92和0.93.在系統(tǒng)（I）失靈的情況下，系統(tǒng)（II）仍有效的概率為0.85，求兩個(gè)警報(bào)系統(tǒng)至少有一個(gè)有效的概率。七、設(shè)一人群中有37.5%的人血型為A型，20.9%為B型， 33.7%為O型，7.9%為AB型，已知能允許輸血的血型配對如下表，現(xiàn)在在人群中任選一人為輸血者，再選 一人為需要輸血者，問輸血能成功的概率是多少？（V：允許輸血；X：不允許輸血）。輸血者受血者A型B型AB型O型A型×B型×AB型O型×

7、15;×院（系）班 姓名學(xué)號練習(xí)1.4 獨(dú)立性一、 填空1. 將一枚骰子獨(dú)立地先后擲兩次，以和分別表示先后擲出的點(diǎn)數(shù)，設(shè)，,則（1）; (2)；（3）。2.設(shè)為兩個(gè)相互獨(dú)立的事件，則。3.,為相互獨(dú)立的事件,則（1）至少出現(xiàn)一個(gè)的概率為；（2）恰好出現(xiàn)一個(gè)的概率為；（3）最多出現(xiàn)一個(gè)的概率為。4.設(shè)，0.6，那么：（1）若為互不相容的事件，則；（2）若為相互獨(dú)立的事件，則；（3）若，則 .二、設(shè)5件產(chǎn)品中2件是次品3件是正品，對每件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，令表示被檢驗(yàn)到的那件產(chǎn)品是次品，則2/5,3/5.對一件產(chǎn)品作檢驗(yàn)可看成一次試驗(yàn)，于是作了5次試驗(yàn)，據(jù)二項(xiàng)概率公式可知，事件恰好發(fā)生2次的概

8、率為.因此這5件產(chǎn)品中恰有2件次品的概率為0.3456，另一方面這5件產(chǎn)品恰有2件次品是已有的事實(shí)，因此其概率為1，從而1=0.3456，請找出理由推翻此“等式”。三、甲、乙、丙三人各自去破譯一個(gè)密碼，他們能譯出的概率分別為1/5,1/3,1/4,試求：(1)恰有一人譯出的概率；（2）密碼能破譯的概率。四、某種電阻的次品率為0.01，作有放回抽樣4次，每次一個(gè)電阻，求恰有2次取到次品的概率和至少有3次取到次的概率。五、某類燈泡使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上的概率為0.2，求三個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)以后最多只有一個(gè)壞了的概率。六、加工某一零件共需要經(jīng)過三道工序，設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別是0

9、.02，0.03，0.05，假設(shè)各道工序是互不影響的，問加工出來的零件是次品的概率是多少？七、甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動員，投籃命中率分別為0.7及0.6，每人各投了3次，求二人進(jìn)球數(shù)相等的概率。八、若事件相互獨(dú)立，證明也相互獨(dú)立院（系）班 姓名學(xué)號自測題（第一章）一、 填空（每空2分）1.幾何概率中，每個(gè)樣本點(diǎn)的發(fā)生具有，而樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是。2.若事件,則稱互斥。 若又,則稱互逆。3.若事件,則,否則.4.設(shè)為兩事件且，則,當(dāng)時(shí)，.5.事件發(fā)生，而事件和至少發(fā)生一個(gè)這一事實(shí)可表示成。事件發(fā)生，必導(dǎo)致事件和至少發(fā)生一個(gè)這一事實(shí)可表示成。6.表示投擲10次錢幣時(shí)，至少出現(xiàn)4次正面，則表示正面或反面。7.在

10、圖書館任取一本書，設(shè)=是數(shù)學(xué)書，=是中文版的，=90年后出版的，則當(dāng)圖書館里時(shí)，有,當(dāng)時(shí)，有.二、判斷正誤（每小題3分）1.若事件的概率,則. ( )2.對任兩事件，有. ( )3.若=男足球隊(duì)員，則=女足球隊(duì)員。 （ ）4.若事件有關(guān)系,則. ( )5.若事件相互獨(dú)立，則也相互獨(dú)立。 ( )6.口袋中有四個(gè)球，其中三個(gè)球分別是紅、白、黃色的，另一個(gè)球染有紅、白、黃三色?，F(xiàn)從口袋中任取一球，觀察其顏色。令=球染有紅色，=球染有白色，=球染有黃色，那么事件相互獨(dú)立。 ( ) 三、寫出以下兩個(gè)試驗(yàn)的樣本空間（每小題5分）1.10件產(chǎn)品有3件是次品，其余均是正品。每次從中任取一件（取后不放回），直到

11、3件次品全取出為止，記錄取的次數(shù)。2.30名學(xué)生進(jìn)行一次考試，觀察平均成績（個(gè)人成績采用百分制）。四、（12分）設(shè)兩相互獨(dú)立的事件都不發(fā)生的概率為1/9，發(fā)生不發(fā)生的概率與發(fā)生不發(fā)生的概率相等，求。五、（10分）一個(gè)班組有7男3女十名工人，現(xiàn)要派4人去學(xué)習(xí)，求4名代表中至少有2名女工的概率。六、（10分）甲、乙、丙三人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能單獨(dú)譯出的概率分別為1/5,1/3,1/4， 求此密碼未被丙譯出而甲、乙至少有一個(gè)譯出的概率。七、（12分）一種產(chǎn)品的正品率為0.96，使用一種簡易方法檢驗(yàn)時(shí)，將正品判為正品的概率為0.98，將次品誤判為正品的概率為0.05。現(xiàn)任取一件用此法檢驗(yàn)。1.求

12、此件被判為正品的概率；2.當(dāng)判為正品時(shí)，求此件確是正品的概率。院（系）班 姓名學(xué)號第二章 隨機(jī)變量練習(xí)2.1 隨機(jī)變量及其分布函數(shù)一、填空1.隨機(jī)變量的分布函數(shù)是事件的概率。2用隨機(jī)變量的分布函數(shù)表達(dá)下述概率：; ; .3.若,，其中,則.二、分析下列函數(shù)中，哪個(gè)是隨機(jī)變量的分布函數(shù)？(1); (2); (3) .三、設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)有如下形式：,試填上(1),(2),(3)項(xiàng)。四、設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為,求（1）與;(2).院（系）班 姓名學(xué)號練習(xí)2.2離散型隨機(jī)變量及其分布一、 填空(1) 設(shè)隨機(jī)變量的分布列為,則.(2)設(shè)隨機(jī)變量的分布列為1 3 6 80.2 0.1 0.4 0.3

13、則=.(3)在一批10個(gè)零件中有8個(gè)標(biāo)準(zhǔn)件，從中任取2個(gè)零件，這2個(gè)零件中標(biāo)準(zhǔn)件的分布列是.(4）已知隨機(jī)變量只能取-1,0,1,2四個(gè)數(shù)值，其相應(yīng)的概率依次為,則=.(5)設(shè)隨機(jī)變量的分布律為,為常數(shù)，試確定=.二、設(shè)在15只同類型的零件中有2只是次品，在其中取3次，每次任取一只作不放回抽樣，以表示取出的次品數(shù)，求的分布列。三、某一設(shè)備由一個(gè)獨(dú)立工作的元件構(gòu)成，該設(shè)備在一次試驗(yàn)中每個(gè)元件發(fā)生故障的概率為0.1。試求出該設(shè)備在一次試驗(yàn)中發(fā)生故障的元件數(shù)的分布列。四、為自然數(shù)）是一隨機(jī)變量的概率分布嗎？為什么？五、一大樓裝有5個(gè)同類型的供水設(shè)備，調(diào)查表明，在任一時(shí)刻每個(gè)設(shè)備被使用的概率為0.1，

14、求在同一時(shí)刻（1）恰有2個(gè)設(shè)備被使用的概率；（2）至少有一個(gè)設(shè)備被使用的概率。六、設(shè)每次射擊擊中目標(biāo)的概率為0.001。如果射擊5000次，試求擊中兩次或兩次以上的概率。七、有2500名同一年齡和同一社會階層的人參加了保險(xiǎn)了保險(xiǎn)公司的人壽保險(xiǎn)。在一年中每個(gè)人死亡的概率為0.002，每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日須交12元保險(xiǎn)費(fèi)，而在死亡時(shí)家屬可以保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元賠償金，求：（1）保險(xiǎn)公司虧本的概率；（2）保險(xiǎn)公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率。院（系）班 姓名學(xué)號練習(xí)2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布一、 填空(1) 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，則.(2)設(shè),且,則。(3)設(shè)隨機(jī)變量

15、的概率密度,則。(4)設(shè)測量某一目標(biāo)的距離時(shí)發(fā)生的隨機(jī)誤差為（米），且，則在一次測量中誤差的絕對值不超過30米的概率為。(5)設(shè)電阻的阻值為一個(gè)隨機(jī)變量，且均勻分布在900歐1100歐，則的概率密度函數(shù)為，分布函數(shù)為。(6)若隨機(jī)變量的概率密度為則, , ,.(7)設(shè)服從正態(tài)分布,則,若,則.(8)已知電氣元件壽命服從指數(shù)分布：假設(shè)儀器裝有5個(gè)這樣元件且其中任一個(gè)元件損壞時(shí)儀器即停止工作，則儀器無故障工作1000小時(shí)以上的概率為.二、某學(xué)生求得一連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為試問該學(xué)生計(jì)算是否正確。三、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為試求分布函數(shù)及.四、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為.求（1）系數(shù); (2);

16、(3)的分布函數(shù)。五、設(shè)某儀器有三只獨(dú)立工作的同型號電子元件，其壽命（小時(shí)）都服從同一指數(shù)分布，概率密度為試求在儀器使用的最初200小時(shí)內(nèi)，至少有一只元件損壞的概率。六、設(shè)隨機(jī)變量在上服從均勻分布，現(xiàn)對進(jìn)行三次獨(dú)立觀測，求至少有兩次的觀測值大于3的概率。七、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為試確定常數(shù),并求其分布函數(shù)院（系）班 姓名學(xué)號練習(xí)2.4 隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、填空1.設(shè)的分布列為012 3 41/12 1/6 1/3 1/12 1/4 1/12 則的分布列為。2.設(shè)可能取值為1，2，并設(shè),令，則的分布列為。3.設(shè)的概率密度為,則的概率密度為。4.設(shè)的概率密度為,則的概率密度為。5.若是正態(tài)總

17、體的一組簡單隨機(jī)樣本，則服從。6.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為則的函數(shù)的概率密度。二、設(shè),求證也服從正態(tài)分布。三、測量球的直徑，設(shè)其值服從上的均勻分布，求球的體積的分布密度。四、設(shè)隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求隨機(jī)變量的分布密度。五、已知離散型隨機(jī)變量的分布列為：-2-10121/51/61/51/1511/30試求：(1); (2) 的分布列。六、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求的概率密度。七、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求的概率密度。院（系）班 姓名學(xué)號自測題（第二章）一、 填空（每小題4分）1.將一枚勻質(zhì)硬幣拋擲三次，設(shè)為三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，則。2.設(shè)在內(nèi)服從均勻分布，則落在內(nèi)的概率為。3.設(shè)的概率密

18、度為則=。4.設(shè)的分布函數(shù)為則的概率密度為。5.若某電話交換臺每分鐘的呼喚次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布，則每分鐘恰有8次呼喚的概率為。二、判斷正誤（每小題4分）1.函數(shù)一定是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)； （ ） 1 2 3 0.3 0.4 0.52.設(shè)則它必為某隨機(jī)變量的分布列； （ ）3.設(shè)的分布密度為，則當(dāng)時(shí)，有; ( )4.若，則也是一隨機(jī)變量，且 ( )三、（12分）設(shè)分布，其分布列為,其中,求的分布函數(shù)，并作出其圖形。四、（13分）設(shè)服從泊松分布，且,求.五、（15分）設(shè)一支步槍擊中飛機(jī)的概率為0.005，試求當(dāng)1000支步槍同時(shí)開火時(shí)，1.飛機(jī)被擊中的概率；2. 飛機(jī)恰中一彈的概率。六、

19、（12分）隨機(jī)變量在內(nèi)的分布密度為,在外為0，求隨機(jī)變量的分布密度。七、（12分）若隨機(jī)變量在內(nèi)服從均勻分布，則方程有實(shí)根的概率為多大？院（系）班 姓名學(xué)號第三章 隨機(jī)向量練習(xí)3.1 二維隨機(jī)向量及其分布一、 填空1.設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為,則 ;2.設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為,則 ;3.設(shè)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為,則二維隨機(jī)變量的概率密度為 ;4.設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為,則二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 ;5.用的聯(lián)合分布函數(shù)表示下述概率：（1） ;（2） ;（3） ;（4） .二、擲二枚硬幣，以表示第一枚硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù)，表示第二枚硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù)，試求二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布。三、設(shè)

20、二維隨機(jī)變量的概率密度,試求。四、設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度,求:(1) 系數(shù); (2) 落在內(nèi)的概率。五、設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律如下表：011/41/421/6試求：（1）的值；（2）的聯(lián)合分布函數(shù).院（系）班 姓名學(xué)號練習(xí)3.2-3.3 二維隨機(jī)變量的邊緣分布和條件分布一、 設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度1. 試確定常數(shù)；2. 求邊緣概率密度。二、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量在以原點(diǎn)為中心，各邊平行于坐標(biāo)軸，邊長為和的矩形內(nèi)服從均勻分布，求：1.的概率密度；2.關(guān)于和的邊緣分布密度。三、已知的概率密度函數(shù)為,而且在及的條件下關(guān)于的條件分布如下表：試求：1.二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律；1231/72/74/71/

21、21/31/6 2.關(guān)于的邊緣分布； 3. 在的條件下關(guān)于的條件分布律。四、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度求條件概率密度.院（系）班 姓名學(xué)號練習(xí)3.4 隨機(jī)變量的獨(dú)立性一、 填空1.設(shè)的聯(lián)合分布律如下表所示，則時(shí)，與相互獨(dú)立。101/1511/521/53/102. 離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為：(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)1/61/91/181/3若與獨(dú)立，則，。二、設(shè)的聯(lián)合分布為0109/256/2516/254/25判斷與是否相互獨(dú)立。三、設(shè)的概率密度為：試求關(guān)于與的邊緣分布密度，且問與是否相互獨(dú)立。四、設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為1/91/91/3若與相互獨(dú)立，

22、求參數(shù)的值。五、設(shè)為上的均勻分布，求1.關(guān)于與的邊緣分布密度；2. 判斷與是否獨(dú)立。六、設(shè)與是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，在（0，0.2）上服從均勻分布，的概率密度是1.求與的聯(lián)合分布密度；2.求.院（系）班 姓名學(xué)號練習(xí)3.5兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布一、 填空1.設(shè)與是相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為,則的分布函數(shù)是，的分布函數(shù)是。2.設(shè)隨機(jī)變量與是相互獨(dú)立，且，則仍具有正態(tài)分布，且有。3.已知隨機(jī)變量，且與是相互獨(dú)立的，則。二、設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量與的分布律分別為130.30.7240.60.4求的分布律。三、兩個(gè)相互獨(dú)立的均勻分布的隨機(jī)變量與的分布密度分別為：求的概率密度。四

23、、設(shè)與是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們分別服從參數(shù)為的泊松分布，證明服從參數(shù)為的泊松分布.五、設(shè)隨機(jī)變量的分布密度為,試求的分布函數(shù)和分布密度。六、設(shè)隨機(jī)變量的分布密度為,求的分布函數(shù)。七、設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且服從同一分布，證明：八、設(shè)某種型號的電子管的壽命（以小時(shí)計(jì)）近似地服從分布，隨機(jī)地選取4只，求其中沒有一只壽命小于180的概率。院（系）班 姓名學(xué)號自測題(第三章)一、填空（每小題4分）1.設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律如表（1），則.2.設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律如表（2），則.0101/61/311/921/181/9123410.100.1020.300.10.2300.200 (1) (2

24、)3設(shè)與的分布律分別為0101,且與相互獨(dú)立，則的分布律為.4.設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量與均在0，1上服從均勻分布，則的概率密度為.二、（15分）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為：(1) 確定常數(shù); (2) 求的分布函數(shù)。三、（10分）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為：，求關(guān)于、的邊緣分布密度。四、（15分）設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且它們的概率密度分別為：, 試求：1.的聯(lián)合分布密度與分布函數(shù)；2.五、（10分）設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為：求的概率密度，且問與是否相互獨(dú)立？六、（10分）設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量與的概率密度分別為：, 試求的分布密度。七、（10分）設(shè)隨機(jī)變量與的聯(lián)合分布是正方形上的均勻分布，試求隨機(jī)

25、變量的概率密度.八、(14分)設(shè)二維隨機(jī)變量的密度函數(shù)為：（1） 確定常數(shù); （2） 求邊緣分布密度;（3） 求的聯(lián)合分布密度；（4） 討論與的獨(dú)立性；（5） 求.院（系）班 姓名學(xué)號a) 隨機(jī)變量的數(shù)字特征練習(xí)4.1 數(shù)學(xué)期望一、 填空1.設(shè)隨機(jī)變量的分布律為：0120.20.10.30.4則; ; .2.隨機(jī)變量的分布函數(shù)為則;.3.設(shè)隨機(jī)變量的分布密度為：則;.4.設(shè)隨機(jī)變量,則.5.設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為則.6.設(shè),則.7.若隨機(jī)變量的期望存在，則.8.設(shè)都服從0，2上的均勻分布，則.9.設(shè)的聯(lián)合分布律如下表所示，則.012-11/101/207/2023/101/101/10二、對一

26、臺儀器進(jìn)行重復(fù)測試，直到發(fā)生故障為止，假定測試是獨(dú)立進(jìn)行的，每次測試發(fā)生故障的概率均為0.1，求試驗(yàn)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望。三、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為,試求數(shù)學(xué)期望.四、對圓的直徑作近似測量，設(shè)其值均勻分布在區(qū)間內(nèi)，求圓面積的數(shù)學(xué)期望。五、平面上點(diǎn)的坐標(biāo)為,其中,過點(diǎn)的直線與軸的夾角為，交軸于點(diǎn)，已知在上均勻分布，求的面積的數(shù)學(xué)期望。六、設(shè)與是相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量，密度函數(shù)分別為：求.院（系）班 姓名學(xué)號練習(xí)4.2 方差一、 填空1.設(shè)為隨機(jī)變量，且,則2.設(shè)，則3.已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且,則二項(xiàng)分布的參數(shù),。4.設(shè)隨機(jī)變量的期望存在，且,為常數(shù)，則.5.設(shè)隨機(jī)變量服從某一區(qū)間上的均勻分布，且

27、，則的概率密度為, ,.6.設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布，且,則,.7.設(shè)為一隨機(jī)變量，若,則.8.設(shè)隨機(jī)變量的期望為一非負(fù)值，且,則。9.若隨機(jī)變量,則服從分布。10.若隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且服從相同的兩點(diǎn)分布，則服從分布，且,.二、設(shè)隨機(jī)變量的分布律為其中為常數(shù)，求。三、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，其中的常數(shù)，求。四、（1）設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且有設(shè),求.(2)設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且求的分布。五、證明事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生次數(shù)的方差不超過1/4.六、設(shè)的聯(lián)合分布律如下表所示，求123-101/153/1502/155/154/15院（系）班 姓名學(xué)號練習(xí)4.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)一、 填空1.設(shè)

28、，則.2.設(shè)兩隨機(jī)變量與的方差分別為25和16，相關(guān)系數(shù)為0.4，則；。3.設(shè)與是兩相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率分布分別為：,在（，1）上服從均勻分布，則。4.如果存在常數(shù),使,且,那么為。5.如果與滿足,則必有與。二、設(shè)隨機(jī)變量具有概率密度,求。三、設(shè)隨機(jī)變量與的方差分別為25和36，相關(guān)系數(shù)為0.4，求及.四、已知三個(gè)隨機(jī)變量、中，,設(shè),求.五、設(shè)隨機(jī)變量具有概率密度,試證與是不相關(guān)的，但是與不是相互獨(dú)立的。六、設(shè)與是兩個(gè)隨機(jī)變量，已知, , , , , 求：（1），;（2），.七、假設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間0,2上均勻分布，求與的相關(guān)系數(shù)院（系）班 姓名學(xué)號第五章 大數(shù)定律和中心極限定理一、設(shè)隨機(jī)

29、變量的方差為2.5，試?yán)们斜妊┓虿坏仁焦烙?jì)概率的值。二、設(shè)某批產(chǎn)品的次品率為,現(xiàn)從這批產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取1000件，求抽得次品數(shù)在90到100件的概率。三、設(shè)某單位有200臺電話機(jī)，每臺電話大約有5%的時(shí)間要使用外線通話，若每臺電話是否使用外線是相互獨(dú)立的，問該單位總機(jī)至少需要安裝多少條外線，才能以90%以上的概率保證每臺電話機(jī)需要使用外線時(shí)不被占用。四、設(shè)一大批電子元件中，合格品占，從中任意選購6000個(gè)，試問把誤差限定為多少時(shí)，才能保證合格品的頻率與概率之差的絕對值不大于的概率為0.99？此時(shí)，合格品數(shù)在哪個(gè)范圍內(nèi)？五、如果為正的單調(diào)遞增函數(shù)，而存在，試證明.六、擲均勻硬幣4000次，求正

30、面出現(xiàn)的頻率與概率之差的絕對值不超過0.01的概率。七、設(shè)男孩出生率為0.515，求在10000個(gè)新生嬰兒中女孩不少于男孩的概率？院（系）班 姓名學(xué)號自測題（第四、五章）一、 填空1. 設(shè)在上服從均勻分布，其分布密度，2. 設(shè)服從參數(shù)為的指數(shù)分布，其分布密度，3. 設(shè),則4. 當(dāng)與相互獨(dú)立時(shí)，則與相關(guān)；當(dāng)與不相關(guān)時(shí)，則與獨(dú)立。5. 設(shè)與的方差為相關(guān)系數(shù)，則.二、設(shè)二維隨機(jī)變量具有概率密度,求數(shù)學(xué)期望,方差，協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)。三、已知隨機(jī)變量的概率分布密度為,求及。四、設(shè)隨機(jī)變量的概率分布密度為,求及。五、設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且都服從密度為的分布，求(1) 的分布密度；（2）.六、設(shè)隨機(jī)變量服

31、從泊松分布，且，證明.七、設(shè)為連續(xù)隨機(jī)變量，概率密度滿足：當(dāng)時(shí)，,求證：.院（系）班 姓名學(xué)號第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念練習(xí)6.1 隨機(jī)樣本一、 填空：1.設(shè)為總體，若滿足條件和,則稱為從總體得到的容量為的簡單隨機(jī)樣本，簡稱為樣本。2.樣本均值樣本方差二、在五塊條件基本上相同的田地上種某種家作物，畝產(chǎn)量分別為92，94，103，105，106（單位：斤），求樣本均值和樣本方差。三、設(shè)總體服從均值為的指數(shù)分布，為的一個(gè)樣本，求 ,.四、設(shè)為（01）分布的一個(gè)樣本，,求,.五、設(shè)總體,為的一個(gè)樣本,未知，求對每個(gè)應(yīng)取多大，才能保證.院（系）班 姓名學(xué)號練習(xí)6.2 抽樣分布一、 已知總體,其中已知而

32、未知，設(shè)為取自總體的一個(gè)樣本，試指出下面哪些是統(tǒng)計(jì)量，哪些不是統(tǒng)計(jì)量：1.; 2.; 3. ; 4.;5.;6.二、從總體隨機(jī)抽取一容量為36的樣本，求樣本均值落在50.8到53.8之間的概率。三、設(shè)為的一相樣本，求.提示：令,則.四、在總體中隨機(jī)抽取容量為100的樣本，問樣本均值與總體均值的差的絕對值大于3的概率是多少？五、求總體的容量分別為10，15的兩獨(dú)立樣本均值的絕對值大于0.3的概率。六、查表求出下列諸值：,七、設(shè)是總體的一個(gè)樣本，為未知，而,求.院（系）班 姓名學(xué)號練習(xí)7.17.2 點(diǎn)估計(jì)和估計(jì)量的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)一、 設(shè)為的一個(gè)樣本，求的極大似然估計(jì)。二、設(shè)為總體的一個(gè)樣本，的密度函數(shù)為

33、,參數(shù)的極大似然估計(jì)與矩法估計(jì)量。三、設(shè)為總體的一個(gè)樣本的密度函數(shù)為,參數(shù)的極大似然估計(jì)與矩法估計(jì)量。四、總體的概率分布為0123其中是未知參數(shù)，利用總體的如下樣本值 3， 1， 3， 0， 3， 1， 2， 3，求的矩估計(jì)值和極大似然估計(jì)值。五、設(shè)為泊松分布的一個(gè)樣本，試證樣本方差是的無偏估計(jì),并且，對于任意值也是的無偏估計(jì)。提示：六、設(shè)總體的一個(gè)樣本，試適當(dāng)選擇常數(shù),使為的無偏估計(jì)。提示：院（系）班 姓名學(xué)號練習(xí)7.3 區(qū)間估計(jì)一、 填空題1.設(shè)總體，的置信度為置信區(qū)間為。2.設(shè)，與均未知，則與的置信度為置信區(qū)間為和。二、隨機(jī)地從一批釘子中抽取16枚，測得其長度（以厘米計(jì)）為2.14 2.

34、10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.11 2.14設(shè)釘子長分布為正態(tài)的，試求總體均值的90%的置信區(qū)間：1. 若已知厘米；2. 若為未知。三、隨機(jī)地抽取某種炮彈9發(fā)做實(shí)驗(yàn)，得炮口速度的樣本標(biāo)準(zhǔn)差為11（米/秒）。設(shè)炮口速度服從正態(tài)分布，求這種炮彈的炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差的95%的置信區(qū)間。四、測量鉛的比重16次，得,試求鉛的比重的95%的置信區(qū)間。設(shè)測量結(jié)果服從正態(tài)分布，并知測量無系統(tǒng)誤差。五、對方差為已知的正態(tài)總體來說，問抽取容量為多大的樣本，方使總體均值的置信度為的置信區(qū)間長度不大于.院（系）班 姓名學(xué)

35、號自測題（第七章）一、 填空題（每空5分共40分）1.設(shè)總體的分布含有未知參數(shù)，對于給定的數(shù)依樣本確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量，滿足則 叫做置信度為的置信區(qū)間。2.設(shè)是來自泊松分布的樣本，為未知參數(shù)，則的概率分布為；設(shè)時(shí)，樣本的一組觀測值為（1，2，4，3，3，4，5，6，4，8），則樣本均值為；樣本方差為。3.設(shè)總體服從指數(shù)分布，,為未知參數(shù)，是來自的樣本，則未知參數(shù)的矩估計(jì)量是；極大似然估計(jì)量是。4.設(shè)總體，若均為未知參數(shù)，總體均值的置信水平為的置信區(qū)間為,則的值為。二、（10分）設(shè)總體分布，若使的置信水平為的置信區(qū)間長度為5，試問樣本容量最小應(yīng)為多少？三、（10分）設(shè)總體的分布密度為,為的樣本，求：

36、1.的矩法估計(jì)量; 2.,并判斷是否為的無偏估計(jì)量。四、（10分）設(shè)總體的樣本，試證統(tǒng)計(jì)量：; ;都是總體期望的無偏估計(jì)。五、（15分）設(shè)總體的分布函數(shù)為,其中未知參數(shù)設(shè)為來自總體的樣本。1.當(dāng)時(shí)，求的矩估計(jì)量；2.當(dāng)時(shí)，求的極大似然估計(jì)量；3.當(dāng)時(shí)，求的極大似然估計(jì)量。六、（15分）設(shè)總體的概率密度為,其中是未知參數(shù)，從總體中抽取簡單隨機(jī)樣本，記.1.求總體的分布函數(shù); 2.求統(tǒng)計(jì)量的分布函數(shù)；3.如果用作為的估計(jì)量，討論它是否具有無偏性。練習(xí)1.1一、1.2.二、1.; 2.; 3.三、1.=至多出現(xiàn)2次正面；2.=至少出現(xiàn)4次正面；3.=至多出現(xiàn)2次反面四、五、（1）該生是三年級男生 但

37、不是運(yùn)動員；（2）當(dāng)某系的運(yùn)動員全是三年級男生時(shí)；（3）當(dāng)某系除三年級外其它年級的學(xué)生都不是運(yùn)動員時(shí)；（4）當(dāng)某系三年級的學(xué)生都是女生，而其它年級都沒有女生時(shí)。練習(xí)1.2一、1. 0.9， 0.3， 0.6， 0.7， 0.2， 0.9；2. 0.6；3. ; 4. 0.7; 5. 7/12.二、當(dāng)時(shí)，取到最小值為0.3；當(dāng)時(shí)，取到最大值0.6。三、; .四、1.；2. ，但.五、.六、提示：利用.七、,而 故練習(xí)1.3一、1. . 2. 0.54; 3. 0.2, 0; 4. 1/18; 5. 0.829, 0.988二、。三、1.0.105；2.第一車間。四、0.010376，0.0376

38、， 90。 五、1.；2.0.4856。 六、0.988。七、61.98%。練習(xí)1.4一、1. 1/3, 1/15, 17/36; 2. 0.52; 3. 26/27, 4/9, 7/27; 4. 0.3, 3/7, 0.6.二、5次試驗(yàn)不是相互獨(dú)立的，不能用二項(xiàng)概率公式。三、1.；2.。四、; . 五、0.104。 六、0.09693七、設(shè)甲進(jìn)球，乙進(jìn)球，,則.八、略。自測題（第一章）一、1.等可能性，無窮的；2.不可能同時(shí)發(fā)生，必然至少有一個(gè)發(fā)生；3.互斥，;4.,獨(dú)立；5.; 6.至多3次，至少7次；7.數(shù)學(xué)書全是90年后出版的中文版的；有外文版90年或90年前出版的數(shù)學(xué)書。二、1.錯(cuò)

39、2. 對 3. 錯(cuò) 4. 對 5.對 6. 錯(cuò)。三、1.2.四、。五、。六、七、1. 0.9428；2. 0.9979。練習(xí)2.1一、1. ; 2. ; 3.二、（1）不是，因?yàn)? (2) 不是，因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)下降；（3）是，但在不連續(xù)，也不是階梯狀曲線，故既非連續(xù)型也非離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)。三、（2）=1， （1）=（3）=0. 四、（1） ; (2).練習(xí)2.20 1 2 1/45 16/45 28/45 一、1.2. 0.3; 3. 4.2；5. 二、0 1 2 22/35 12/35 1/35 三、0 1 2 30.729 0.243 0.027 0.001四、是。 五、1.0.07

40、29；2.0.4095。 六、. 七、1. 0.000069; 2. 0.986305,0.615961.練習(xí)2.3一、1. 2；2. 1.96；3. 0.4；4. 0.4931；5. ,; 6. 3/4, 0, 1/2, 1/2; 7. 0.5328, 0.9710, 3; 8. 二、錯(cuò)。三、;四、1. ; 2.; 3. .五、; 六、 20/27; 七、, 練習(xí)2.4 0 1 2 1/12 1/4 1/12 1/3 1/6 1/12一、1.2., ; 3. ；4. ；5. ; 6. 二、.三、。四、 1 3 5 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 五、1.0 1 4 1/5 7/30 17/30 2.六、七、.自測題（第二章）一、1. 1/2; 2. ;