概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用課后答案浙江大學盛驟版

1、第 1 章 隨機變量及其概率1，寫出下列試驗的樣本空間：（1）連續(xù)投擲一顆骰子直至 6 個結(jié)果中有一個結(jié)果出現(xiàn)兩次，記錄投擲的次數(shù)。（2）連續(xù)投擲一顆骰子直至 6 個結(jié)果中有一個結(jié)果接連出現(xiàn)兩次，記錄投擲的次數(shù)。（3）連續(xù)投擲一枚硬幣直至正面出現(xiàn)，觀察正反面出現(xiàn)的情況。（4）拋一枚硬幣，若出現(xiàn) H 則再拋一次；若出現(xiàn) T，則再拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的各種結(jié)果。解解 ：（ 1 ）7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2S；（ 2 ）, 4 , 3 , 2S；（ 3 ）,TTTHTTHTHHS ； （4）6, 5, 4, 3, 2, 1,TTTTTTHTHHS 。2，設BA,是兩個事件，已知,12

2、5. 0)(, 5 . 0)(,25. 0)(ABPBPAP，求)(),(),(),(_ABBAPABPBAPBAP。解解：625. 0)()()()(ABPBPAPBAP，375. 0)()()()(ABPBPBASPBAP，875. 0)(1)(_ABPABP，5 . 0)(625. 0)()()()(_ABPABBAPBAPABSBAPABBAP3，在 100，101，999 這 900 個 3 位數(shù)中，任取一個 3 位數(shù)，求不包含數(shù)字 1 個概率。解解：在 100，101，999 這 900 個 3 位數(shù)中不包含數(shù)字 1 的 3 位數(shù)的個數(shù)為648998，所以所求得概率為72. 090

3、06484，在僅由數(shù)字 0，1，2，3，4，5 組成且每個數(shù)字之多出現(xiàn)一次的全體三位數(shù)中，任取一個三位數(shù)。 （1）求該數(shù)是奇數(shù)的概率； （2）求該數(shù)大于 330 的概率。解解：僅由數(shù)字 0，1，2，3，4，5 組成且每個數(shù)字之多出現(xiàn)一次的全體三位數(shù)的個數(shù)有100455個。 （1）該數(shù)是奇數(shù)的可能個數(shù)為48344個，所以出現(xiàn)奇數(shù)的概率為48. 010048（2）該數(shù)大于 330 的可能個數(shù)為48454542，所以該數(shù)大于 330 的概率為48. 0100485，袋中有 5 只白球，4 只紅球，3 只黑球，在其中任取 4 只，求下列事件的概率。（1）4 只中恰有 2 只白球，1 只紅球，1 只黑球

4、。（2）4 只中至少有 2 只紅球。（3）4 只中沒有白球。解解: （1）所求概率為338412131425CCCC；（2） 所求概率為165674952014124418342824CCCCCC；（3）所求概率為16574953541247CC。6，一公司向M個銷售點分發(fā))(Mnn張?zhí)嶝泦?，設每張?zhí)嶝泦畏职l(fā)給每一銷售點是等可能的，每一銷售點得到的提貨單不限，求其中某一特定的銷售點得到)(nkk張?zhí)嶝泦蔚母怕?。解解：根?jù)題意，)(Mnn張?zhí)嶝泦畏职l(fā)給M個銷售點的總的可能分法有nM種，某一特定的銷售點得到)(nkk張?zhí)嶝泦蔚目赡芊址ㄓ衚nknMC ) 1(種，所以某一特定的銷售點得到)(nkk張

5、提貨單的概率為nknknMMC ) 1(。7，將 3 只球（13 號）隨機地放入 3 只盒子（13 號）中，一只盒子裝一只球。若一只球裝入與球同號的盒子，稱為一個配對。（1）求 3 只球至少有 1 只配對的概率。（2）求沒有配對的概率。解解：根據(jù)題意，將 3 只球隨機地放入 3 只盒子的總的放法有 3！=6種：123，132，213，231，312，321；沒有 1 只配對的放法有 2 種：312，231。至少有 1 只配對的放法當然就有 6-2=4 種。所以（2）沒有配對的概率為3162；（1）至少有 1 只配對的概率為32311。8，（1）設, 1 . 0)(, 3 . 0)(, 5 .

6、0)(ABPBPAP，求)|(),|(),|(BAAPABPBAP,)|(),|(ABAPBAABP.（2）袋中有 6 只白球，5 只紅球，每次在袋中任取 1 只球，若取到白球，放回，并放入 1 只白球；若取到紅球不放回也不放入另外的球。連續(xù)取球 4 次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率。解解： （1）由題意可得7 . 0)()()()(ABPBPAPBAP，所以313 . 01 . 0)()()|(BPABPBAP，515 . 01 . 0)()()|(APABPABP，75)()()()()|(BAPAPBAPBAAPBAAP，71)()()()()|(BAPABPBAPBA

7、ABPBAABP，1)()()()()|(ABPABPABPABAPABAP。（2）設)4 , 3 , 2 , 1( iAi表示“第i次取到白球”這一事件，而取到紅球可以用它的補來表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球可以表示為4321AAAA，它的概率為（根據(jù)乘法公式）)|()|()|()()(32142131214321AAAAPAAAPAAPAPAAAAP0408. 020592840124135127116。9，一只盒子裝有 2 只白球，2 只紅球，在盒中取球兩次，每次任取一只，做不放回抽樣，已知得到的兩只球中至少有一只是紅球，求另一只也是紅球的概率。解解：設“得到的兩只球中

8、至少有一只是紅球”記為事件A，“另一只也是紅球”記為事件B。則事件A的概率為65314232422)(AP（先紅后白，先白后紅，先紅后紅）所求概率為51653142)()()|(APABPABP10，一醫(yī)生根據(jù)以往的資料得到下面的訊息，他的病人中有 5%的人以為自己患癌癥，且確實患癌癥；有 45%的人以為自己患癌癥，但實際上未患癌癥；有 10%的人以為自己未患癌癥，但確實患了癌癥；最后 40%的人以為自己未患癌癥，且確實未患癌癥。以A表示事件“一病人以為自己患癌癥”，以B表示事件“病人確實患了癌癥”，求下列概率。（1）)(),(BPAP； （2）)|(ABP； （3）)|(ABP；（4）)|(

9、BAP； （5）)|(BAP。解解： （1）根據(jù)題意可得%50%45%5)()()(BAPABPAP；%15%10%5)()()(ABPBAPBP；（2）根據(jù)條件概率公式：1 . 0%50%5)()()|(APABPABP；（3）2 . 0%501%10)()()|(APABPABP；（4）179%151%45)()()|(BPBAPBAP；（5）31%15%5)()()|(BPABPBAP。11，在 11 張卡片上分別寫上 engineering 這 11 個字母，從中任意連抽 6 張，求依次排列結(jié)果為 ginger 的概率。解解：根據(jù)題意，這 11 個字母中共有 2 個 g，2 個 i，3

10、 個 n，3 個 e，1 個 r。從中任意連抽 6 張，由獨立性，第一次必須從這 11 張中抽出 2 個 g 中的任意一張來，概率為 2/11；第二次必須從剩余的 10 張中抽出 2 個 i 中的任意一張來，概率為 2/10；類似地，可以得到 6次抽取的概率。最后要求的概率為924013326403661738193102112；或者92401611111311131212ACCCCCC。12，據(jù)統(tǒng)計，對于某一種疾病的兩種癥狀：癥狀 A、癥狀 B，有20%的人只有癥狀 A，有 30%的人只有癥狀 B，有 10%的人兩種癥狀都有，其他的人兩種癥狀都沒有。在患這種病的人群中隨機地選一人，求（1）該

11、人兩種癥狀都沒有的概率；（2）該人至少有一種癥狀的概率；（3）已知該人有癥狀 B，求該人有兩種癥狀的概率。解解： （1）根據(jù)題意，有 40%的人兩種癥狀都沒有，所以該人兩種癥狀都沒有的概率為%40%10%30%201；（2）至少有一種癥狀的概率為%60%401；（3）已知該人有癥狀 B，表明該人屬于由只有癥狀 B 的 30%人群或者兩種癥狀都有的 10%的人群，總的概率為 30%+10%=40%，所以在已知該人有癥狀 B 的條件下該人有兩種癥狀的概率為41%10%30%10。13，一在線計算機系統(tǒng)，有 4 條輸入通訊線，其性質(zhì)如下表，求一隨機選擇的進入訊號無誤差地被接受的概率。通訊線通訊量的份

12、額無誤差的訊息的份額10.40.999820.30.999930.10.999740.20.9996解解：設“訊號通過通訊線i進入計算機系統(tǒng)”記為事件)4 , 3 , 2 , 1( iAi，“進入訊號被無誤差地接受”記為事件B。則根據(jù)全概率公式有9996. 02 . 09997. 01 . 09999. 03 . 09998. 04 . 0)|()()(41iiiABPAPBP=0.9997814，一種用來檢驗 50 歲以上的人是否患有關節(jié)炎的檢驗法，對于確實患關節(jié)炎的病人有 85%的給出了正確的結(jié)果；而對于已知未患關節(jié)炎的人有 4%會認為他患關節(jié)炎。已知人群中有 10%的人患有關節(jié)炎，問一名

13、被檢驗者經(jīng)檢驗，認為他沒有關節(jié)炎，而他卻有關節(jié)炎的概率。解解：設“一名被檢驗者經(jīng)檢驗認為患有關節(jié)炎”記為事件A，“一名被檢驗者確實患有關節(jié)炎”記為事件B。根據(jù)全概率公式有%1 .12%4%90%85%10)|()()|()()(BAPBPBAPBPAP，所以，根據(jù)條件概率得到所要求的概率為%06.17%1 .121%)851%(10)(1)|()()()()|(APBAPBPAPABPABP即一名被檢驗者經(jīng)檢驗認為沒有關節(jié)炎而實際卻有關節(jié)炎的概率為17.06%.15，計算機中心有三臺打字機 A,B,C，程序交與各打字機打字的概率依次為 0.6, 0.3, 0.1，打字機發(fā)生故障的概率依次為 0

14、.01, 0.05, 0.04。已知一程序因打字機發(fā)生故障而被破壞了，求該程序是在 A,B,C 上打字的概率分別為多少？解解：設“程序因打字機發(fā)生故障而被破壞”記為事件M，“程序在A,B,C 三臺打字機上打字”分別記為事件321,NNN。則根據(jù)全概率公式有025. 004. 01 . 005. 03 . 001. 06 . 0)|()()(31iiiNMPNPMP，根據(jù) Bayes 公式，該程序是在 A,B,C 上打字的概率分別為24. 0025. 001. 06 . 0)()|()()|(111MPNMPNPMNP，60. 0025. 005. 03 . 0)()|()()|(222MPNM

15、PNPMNP，16. 0025. 004. 01 . 0)()|()()|(333MPNMPNPMNP。16，在通訊網(wǎng)絡中裝有密碼鑰匙，設全部收到的訊息中有 95%是可信的。又設全部不可信的訊息中只有 0.1%是使用密碼鑰匙傳送的，而全部可信訊息是使用密碼鑰匙傳送的。求由密碼鑰匙傳送的一訊息是可信訊息的概率。解解：設“一訊息是由密碼鑰匙傳送的”記為事件A，“一訊息是可信的”記為事件B。根據(jù) Bayes 公式，所要求的概率為%9947.99%1 . 0%51%951%95)|()()|()()|()()()()|(BAPBPBAPBPBAPBPAPABPABP17，將一枚硬幣拋兩次，以 A,B,

16、C 分別記事件“第一次得 H”，“第二次得 H”，“兩次得同一面”。試驗證 A 和 B，B 和 C，C和 A 分別相互獨立（兩兩獨立） ，但 A,B,C 不是相互獨立。解解：根據(jù)題意，求出以下概率為21)()(BPAP，2121212121)(CP；412121)(ABP，412121)()(CAPBCP，412121)(ABCP。所以有)()()(BPAPABP，)()()(CPAPACP，)()()(CPBPBCP。即表明 A 和 B，B 和 C，C 和 A 兩兩獨立。但是)()()()(CPBPAPABCP所以 A,B,C 不是相互獨立。18，設 A,B,C 三個運動員自離球門 25 碼

17、處踢進球的概率依次為 0.5,0.7, 0.6，設 A,B,C 各在離球門 25 碼處踢一球，設各人進球與否相互獨立，求（1）恰有一人進球的概率； （2）恰有二人進球的概率； （3）至少有一人進球的概率。解解：設“A,B,C 進球”分別記為事件)3 , 2 , 1( iNi。（1）設恰有一人進球的概率為1p，則3213213211NNNPNNNPNNNPp)()()()()()()()()(321321321NPNPNPNPNPNPNPNPNP（由獨立性）6 . 03 . 05 . 04 . 07 . 05 . 04 . 03 . 05 . 029. 0（2）設恰有二人進球的概率為2p，則32

18、13213212NNNPNNNPNNNPp)()()()()()()()()(321321321NPNPNPNPNPNPNPNPNP（由獨立性）6 . 03 . 05 . 06 . 07 . 05 . 04 . 07 . 05 . 044. 0（3）設至少有一人進球的概率為3p，則13213NNNPpEMBEDEquation.3)()()(1321NPNPNP4 . 03 . 05 . 01EMBED Equation.394. 0。19，有一危重病人，僅當在 10 分鐘之內(nèi)能有一供血者供給足量的A-RH+血才能得救。設化驗一位供血者的血型需要 2 分鐘，將所需的血全部輸入病人體內(nèi)需要 2

19、分鐘，醫(yī)院只有一套驗血型的設備，且供血者僅有 40%的人具有該型血，各人具有什么血型相互獨立。求病人能得救的概率。解解：根據(jù)題意，醫(yī)院最多可以驗血型 4 次，也就是說最遲可以第 4個人才驗出是 A-RH+型血。問題轉(zhuǎn)化為最遲第 4 個人才驗出是 A-RH+型血的概率是多少？因為第一次就檢驗出該型血的概率為 0.4；第二次才檢驗出該型血的概率為 0.60.4=0.24；第三次才檢驗出該型血的概率為 0.620.4=0.144；第四次才檢驗出該型血的概率為 0.630.4=0.0864；所以病人得救的概率為 0.4+0.24+0.144+0.0864=0.870420，一元件（或系統(tǒng)）能正常工作的

20、概率稱為元件（或系統(tǒng)）的可靠性。如圖設有 5 個獨立工作的元件 1，2，3，4，5 按先串聯(lián)再并聯(lián)的方式連接，設元件的可靠性均為p，試求系統(tǒng)的可靠性。解解：設“元件i能夠正常工 作 ” 記 為 事 件)5 , 4 , 3 , 2 , 1( iAi。21第 20 題543那么系統(tǒng)的可靠性為)()()()()()(5432154321AAPAPAAPAAAAAP)()()()(543215435421321AAAAAPAAAPAAAAPAAAP)()()()()()()()()()()()(542132154321APAPAPAPAPAPAPAPAPAPAPAP)()()()()()()()(54

21、321543APAPAPAPAPAPAPAP534322ppppppp543222ppppp21，用一種檢驗法檢測產(chǎn)品中是否含有某種雜質(zhì)的效果如下。若真含有雜質(zhì)檢驗結(jié)果為含有的概率為 0.8；若真不含有雜質(zhì)檢驗結(jié)果為不含有的概率為 0.9，據(jù)以往的資料知一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)或真不含有雜質(zhì)的概率分別為 0.4，0.6。今獨立地對一產(chǎn)品進行了 3 次檢驗，結(jié)果是 2 次檢驗認為含有雜質(zhì)，而一次檢驗認為不含有雜質(zhì)，求此產(chǎn)品真含有雜質(zhì)的概率。（注：本題較難，靈活應用全概率公式和 Bayes 公式）解解：設“一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)”記為事件A，“對一產(chǎn)品進行 3 次檢驗，結(jié)果是 2 次檢驗認為含有雜質(zhì)，而 1 次

22、檢驗認為不含有雜質(zhì)”記為事件B。則要求的概率為)|(BAP，根據(jù) Bayes 公式可得)|()()|()()|()()|(ABPAPABPAPABPAPBAP又設“產(chǎn)品被檢出含有雜質(zhì)”記為事件C，根據(jù)題意有4 . 0)(AP，而且8 . 0)|(ACP，9 . 0)|(ACP，所以384. 0)8 . 01 (8 . 0)|(223 CABP；027. 09 . 0)9 . 01 ()|(223 CABP故，9046. 01698. 01536. 0027. 06 . 0384. 04 . 0384. 04 . 0)|()()|()()|()()|(ABPAPABPAPABPAPBAP第 2 章隨機變量及其分布1，設在某一人群中有 40%的人血型是 A 型，現(xiàn)在在人群中隨機地選人來驗血，直至發(fā)現(xiàn)血型是 A 型的人為止，以 Y 記進行驗血的次數(shù)，求 Y 的分布律。解解：顯然，Y 是一個離散型的隨機變量，Y 取k表明第k個人是 A 型血而前1k個人都不是