(完整版)初中數(shù)學(xué)因式分解的常用方法(精華例題詳解)

1、初中階段因式分解的常用方法(例題詳解)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式乘積的形式，它和整式乘法互為逆運(yùn)算，在初中代 數(shù)中占有重要的地位和作用，在其它學(xué)科中也有廣泛應(yīng)用，學(xué)習(xí)本章知識(shí)時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。1 . 因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式；2 .因式分解的結(jié)果一定是整式乘積的形式；3 .分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)因式都不能再分解為止；4 .公式中的字母可以表示單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng)式；5 .結(jié)果如有相同因式，應(yīng)寫成幕的形式；6 .題目中沒有指定數(shù)的范圍，一般指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解；7 .因式分解的一般步驟是：(1)通常采用一 “提”、二“公”、三“分”、四“變”的步驟。即首先看有無公因式可提, 其次

2、看能否直接利用乘法公式；如前兩個(gè)步驟都不能實(shí)施，可用分組分解法，分組的目的是使得 分組后有公因式可提或可利用公式法繼續(xù)分解；(2)若上述方法都行不通，可以嘗試用配方法、換元法、待定系數(shù)法、試除法、拆項(xiàng)(添項(xiàng)) 等方法.因式分解的方法多種多樣，現(xiàn)將初中階段因式分解的常用方法總結(jié)如下:、提公因式法.如多項(xiàng)式 am bm cm m(a b c),其中m叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式，m既可以是一個(gè)單項(xiàng)式，也可以是一個(gè)多項(xiàng)式.、運(yùn)用公式法. 運(yùn)用公式法，即用22a b (a b)(a b), a2 2ab b2(a b)2,a3 b3 (a b)(a2 ab b2) 寫出結(jié)果.三、分組分解法.(一)分組后

3、能直接提公因式例1、分解因式：am an bm bn分析：從“整體”看，這個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)既沒有公因式可提，也不能運(yùn)用公式分解，但從“局部”看，這個(gè)多項(xiàng)式前兩項(xiàng)都含有 a,后兩項(xiàng)都含有b,因此可以考慮將前兩項(xiàng)分為一組，后兩項(xiàng)分為一組先分解， 然后再考慮兩組之間的聯(lián)系。解：原式=(am an) (bm bn)=a(m n) b(m n)每組之間還有公因式！=(m n)(a b)思考：此題還可以怎樣分組？ 此類型分組的關(guān)鍵一分組后，每組內(nèi)可以提公因式，且各組分解后，組與組之間又有公因式可以提。例2、分解因式：2ax 10ay 5by bx第3頁共7頁解法一：第一、二項(xiàng)為一組；第三、四項(xiàng)為一組。解：原

4、式=(2ax 10ay) (5by bx) = 2a(x 5y) b(x 5y) =(x 5y)(2a b)解法二：第一、四項(xiàng)為一組；第二、三項(xiàng)為一組。原式= (2ax bx) ( 10ay 5by)= x(2a b) 5y(2a b)= (2a b)(x 5y)練習(xí)：分解因式 1、a2 ab ac bc2、xy x y 1(二)分組后能直接運(yùn)用公式22例3、分解因式：x y ax ay分析：若將第一、三項(xiàng)分為一組，第二、四項(xiàng)分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就能繼續(xù)分解，所以只 能另外分組。 ,22、，、解：原式=(xy )(ax ay)=(xy)(xy) a(xy)=(xy)(xy a)

5、例4、分解因式：a2 2ab b2 c2 , 一.2 一22解：原式=(a 2ab b ) c 22二(a b) c=(a b c)(a b c)注意這兩個(gè)例題的區(qū)別！4、2z 2yz練習(xí)：分解因式3、x2 x 9y2 3y綜合練習(xí)：(1) x3 x2y xy2 y32.2, ,(2) ax bx bx ax a b(3) x26xy9y216a28a(5) a42a3a29/ r 2-2x2xyxzyz y1(4) a2 6ab 12b 9b2 4a2,2,2,2(6) 4a x 4a y b x b y2_2_ a 2a b 2b 2ab 1(9) y(y 2) (m 1)(m 1)(10

6、) (a c)(a c)b(b 2a)(11) a2(b c)b2(a c) c2(a3. 33b) 2abc (12) a b c 3abc四、十字相乘法.(一)二次項(xiàng)系數(shù)為 1的二次三項(xiàng)式直接利用公式x2 (p q)x pq (x p)(x特點(diǎn)：(1)二次項(xiàng)系數(shù)是1;(2)常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的乘積；(3) 一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩因數(shù)的和。2例5、分解因式：x2 5x 6分析：將6分成兩個(gè)數(shù)相乘，且這兩個(gè)數(shù)的和要等于由于 6=2 X 3=(-2) X (-3)=1 X 6=(-1) X (-6), 12解：x2 5x 6=x2 (2 3)x 2 3q)進(jìn)行分解。5。從中可以發(fā)現(xiàn)只有2X3的分解適

7、合，即2+3=5。1 X 2+1 X 3=5=(x 2)(x 3) 用此方法進(jìn)行分解的關(guān)鍵：將常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)因數(shù)的積，且這兩個(gè)因數(shù)的代數(shù)和要等于一次項(xiàng)的系數(shù)。例6、分解因式：x2 7x 6解：原式=x2 ( 1) ( 6)x ( 1)( 6)1 _ -1=(x 1)(x 6)1-6(-1) + (-6) = -7練習(xí) 5、分解因式(1)x214x24 (2) a綜合練習(xí) 10、(1) 8x6 7x3 * 1 15a36 x2 4x 5練習(xí) 6、分解因式(1)x2x 2(2) y2 2y 15 x2 10x 24(二)二次項(xiàng)系數(shù)不為 條件：(1) a a1a2(2) c c1c2(3) b a

8、1c2分解結(jié)果：ax2 bx1的二次三項(xiàng)式 ax2 bx cazGc = (a1 xc1)(a2x c?)a£2azG4a 4b 3第5頁共7頁例7、分解因式：3x2 11x 10分析：1 , . -23-5(-6) + (-5) = -11解：3x2 11x 10 = (x 2)(3x 5)7x 211y 10練習(xí)7、分解因式：(1) 5x2 7 x 6 3x222 10x2 17x 3(4) 6y2(三)二次項(xiàng)系數(shù)為 1的齊次多項(xiàng)式例8、分解因式：a2 8ab 128b2分析：將b看成常數(shù)，把原多項(xiàng)式看成關(guān)于a的二次三項(xiàng)式，利用十字相乘法進(jìn)行分解。1 -8b1 -、-16b8b+

9、(-16b)= -8b解：a2 8ab 128b2=a2 8b ( 16b)a 8b ( 16b) =(a 8b)(a 16b)練習(xí) 8、分解因式(1) x2 3xy 2y2(2) m2 6mn 8n2(3)a2 ab 6b2(四)二次項(xiàng)系數(shù)不為 1的齊次多項(xiàng)式例 9、2x2 7xy 6y21 .-2y2 -3y(-3y)+(-4y尸 -7y解：原式=(x 2y)(2x 3y)練習(xí)9、分解因式：(1) 15x2.一.2 2_例 10、x y 3xy 2把xy看作一個(gè)整體 1-11><-2(-1)+(-2)= -3解：原式=(xy 1)( xy 2)2, 、2 2212x,、2(4)

10、 (a b)211xy 15y7xy 4y(2) a x 6ax 8(5) x2 y2 5x2y 6x222(6) m 4mn 4n 3m 6n 22x 4xy4y2 2x4y(9)24x 4xy6x 3y思考:分解因式:2abcx22223 (8) 5(a b) 23(a b ) 10(a b)10 (10) 12(xc2 )xabcy)222_211(x y ) 2(x y)五、主元法.例11、分解因式：x3xy10y2x 9y解法一:解:以x為主元原式=x2 x(3y2=x x(3y=x (5y=(x 5y1) (10y2 9y 2)1) (5y 2)(2y 1)2)x (2y 1)2)

11、(x2y1)解法二:y為主元解:2原式=10y=10 y=10 yy(3x(3x(3x9)9)y9)y(x2 lx!練習(xí)11、分解因式2y (x 1)5y (x 2) (2y x 1)(5y x 2) : x2y2 4x 6y 5 (2)x22-2(3) x xy 6yx 13y 6六、雙十字相乘法。定義：雙十字相乘法用于對(duì)Ax2BxyF2-2(-5)+(-4)= -91.-(5y-2)4 1(2y-1)-(5y-2)+(2y-1)= -(3y-1)xx(x 1)(x 22)2-1+2=1,、2,(4) a abCy2 Dx f/1-122(x-1)5-(x+2)5(x-1)-2(x+2)=(

12、3x-9)xy6b2Ey2y25ax 7y 635b 36F型多項(xiàng)式的分解因式。條件：（1）C1C2 ，Aa a?, C例12、分解因式（1） x2(2) x解：(1) x2 3xy 10 y3xy 10y2 x 9y 22xy 6y x 13y 6x 9y 2應(yīng)用雙十字相乘法:y J 5y、 1h 22y1第7頁共7頁2xy，原式=(x 5y2(2) x xy應(yīng)用雙十字相乘法:5xy 2)(x 6y2x3xy , 5y 4y 9y, x 2x x 2y 1)x 13y 6x 3xy 2xy，原式=(x 2y 3)(x練習(xí)12、分解因式(1) x22(2) 6x-Vxy,3y4y 9y2)xy

13、7xy2y23y213y, 2x 3x x7y 6r2 2xz 7 yz 2z七、換元法。例 13、分解因式(1) 2005x2 (20052 1)x 2005(2) (x 1)(x 2)(x 3)(x 6) x2解：(1)設(shè) 2005= a,則原式=ax2 (a2 1)x a=(ax 1)(x a)= (2005x 1)(x 2005)(2)型如abcd e的多項(xiàng)式，分解因式時(shí)可以把四個(gè)因式兩兩分組相乘。原式二 (x2 7x 6)(x2 5x 6) x2設(shè) x2 5x 6 A,則 x2 7x 6 A 2x.原式=(A 2x)A x2 = A2 2Ax x222_ 2=(A x) =(x 6x

14、 6)練習(xí) 13、分解因式(1) (x2 xy y2)2 4xy(x2 y2)(x2 3x 2)(4x2 8x 3) 90 (3)(a2 1)2 (a2 5)2 4(a2 3)2例14、分解因式(1) 2x4x3 6x2 x 21,并且系數(shù)成“軸對(duì)稱”。這種多項(xiàng)式觀察：此多項(xiàng)式的牛e點(diǎn)一一是關(guān)于x的降哥排列，每一項(xiàng)的次數(shù)依次少屬于“等距離多項(xiàng)式”。方法：提中間項(xiàng)的字母和它的次數(shù)，保留系數(shù)，然后再用換元法。,一,0011.9911斛：原式二x (2x x 62-) = x 2(x) (x ) 6x xx x設(shè) x 解：原式=x2 x2 4x 1 - -7 = x2 x2x x t ,則 x2 。

15、t2 2 xx.原式二x2 2(t2 2) t 6 =x2 2t2 t 10= x22t5t2=x22x-5x-2xx25x 2 x2 2x 1-21 c c 2=x 2x - 5 x , x 2 = 2xxx=(x 1)2(2x 1)(x 2) 4,32(2) x 4x x 4x 1設(shè) x 1 y,貝U x2 1 y2 2xx一 .22_2._.原式=* y 4y 3 =x y 1 y 32/1=x (x 一 x練習(xí) 14、(1) 6x4 7x31221)(x3)= x x 1 x 3x 1x36x2 7x 6 (2) x4 2x3 x2 12(x x2)八、添項(xiàng)、拆項(xiàng)、配方法。-. 32.

16、例15、分解因式(1) x 3x 4解法1拆項(xiàng)。原式二x3 1 3x2 3=(x 1)(x2 x 1) 3(x 1)(x 1)=(x 1)(x2 x 1 3x 3)=(x 1)(x2 4x 4)=(x 1)(x 2)2解法2添項(xiàng)。3_2原式=x 3x 4x 4x 4, 2=x(x 3x 4) (4x 4)=x(x 1)(x 4) 4( x 1)=(x 1)(x2 4x 4)=(x 1)(x 2)2解：原式=(x91) (x6 1) (x3 1)= (x31)(x6x31)(x3 1)(x31) (x3 1)=(x31)(x6x31x31 1)=(x 1)(x2 x 1)(x6 2x3 3)練習(xí)

17、 15、分解因式(1) x3 9x 8(2) (x 1)4 (x21)2 (x1)4 x4 7x2 142_2(4) x x2ax 1 a444(5) x y (x y)_22_22_22444(6) 2a2b22a2c22b2c2a4b4c4九、待定系數(shù)法。例16、分解因式x2 xy 6y2 x 13y 6分析：原式的前3項(xiàng)x22xy 6y可以分為(x 3y)(x 2y),則原多項(xiàng)式必定可分為(x 3y m)(x 2yn). 、一 2解：設(shè)x xy(x 3y m)(x22x xy 6y x6y2 x 13y 2y n) = x2 13y 6 = x26 = (x 3y m)(x 2y n)2

18、xy 6y (m n)x (3n 2m)yc 2xy 6y (m n)x (3n 2m)ymnmn對(duì)比左右兩邊相同項(xiàng)的系數(shù)可得m n 13n 2m 13,解得mn 6 .原式=(x 3y 2)(x 2y 3)例17、(1)當(dāng)m為何值時(shí)，多項(xiàng)式 x22y mx 5y 6能分解因式，并分解此多項(xiàng)式。32(2)如果x ax bx 8有兩個(gè)因式為x 1和x 2,求a b的值。(1)分析：前兩項(xiàng)可以分解為(x y)(x y),故此多項(xiàng)式分解的形式必為(xy a)(x yb)解：設(shè)x2則x2y2 mx 5y 6 = (x2LC2y mx 5y 6=xy a)(x y b) 2y (a b)x (b a) y ab(2) x9比較對(duì)應(yīng)的系數(shù)可得:abma2a2b a 5 ，解得：b 3 或 b 3ab 6m 1m1m 1 時(shí)，原多項(xiàng)式可以分解；當(dāng) m 1 時(shí)，原式 = (x y 2)(x y 3) ；當(dāng) m 1 時(shí)，原式 =(x y 2)(x y 3)( 2) 分析：x3 ax2的一次二項(xiàng)式。解：設(shè) x3 ax 2 bx 則 x3 a