(完整版)勾股定理經(jīng)典例題(含答案)

1、勾股定理經(jīng)典例題透析類型一：勾股定理的直接用法1、在 RtABC中，/ C=90°(1)已知 a=6, c=10 ,求 b, (2)已知 a=40, b=9,求 c； (3)已知 c=25, b=15,求 a. 思路點(diǎn)撥：寫解的過(guò)程中，一定要先寫上在哪個(gè)直角三角形中，注意勾股定理的變形使用。解析：(1)在4ABC中，/ C=90° , a=6, c=10,b=S(2) 在 ABC中，/ C=90° , a=40, b=9,c= 4= 41(3) 在4ABC中，/ C=90° , c=25, b=15,a=Vi =加舉一反三【變式】如圖/ B=Z ACD9

2、0 , AD=13, C*12, BG3,則AB的長(zhǎng)是多少？【答案】/ ACB90AD=13, CD=12AC2 =AD2- CD =132122二25AC=5/ ABC=90 且 BC=3由勾股定理可得AB 2=Ad- BC2 =5232=16. AB= 4AB的長(zhǎng)是4.類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用求BC的長(zhǎng).2、如圖，已知：在 型刀口中，2H=60。，ACO , AB=3013思路點(diǎn)撥：由條件Z5=60° ,想到構(gòu)造含3。0角的直角三角形，為此作 /O,we于D,則有 工工田=152加a =,2,再由勾股定理計(jì)算出 AD DC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出 BC的長(zhǎng).解析：作3C于d,則因二3二6

3、00.ABAD = 9O0- 60° = 30° (耘的兩個(gè)銳角互余)BD=-AB = 5.2(在血中，如果一個(gè)銳角等于30那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半)根據(jù)勾股定理，在及?？谥?AD = JAB2-BD2 =加，=15后 .根據(jù)勾股定理，在 皿K力中,8= 4AC2- AD2 = 703-153x3 = 65- BC = BD DC = 654-15 = 80舉一反三【變式1】如圖，已知：2c = 9。 AU CW , MP_L3日于p.求證：白產(chǎn)：工戶+EC°Bkc 做力解析：連結(jié)BM根據(jù)勾股定理，在 也&RMP中，二片.而在B1LAMF中，則根據(jù)

4、勾股定理有= AM2- AP2 .一 ,.一又 AM = CM （已知）， 二一匚二: I .在選/灰田中,根據(jù)勾股定理有sm2-cm2? 一 .1- -J.ABCM面積?！咀兪?】已知：如圖，/ B=Z D=90° , / A=60° , AB=4, CD=2求：四邊形分析：如何構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵，可以連結(jié)AC,或延長(zhǎng)AB DC交于F,或延長(zhǎng)AR BC交于點(diǎn)E,根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種，進(jìn)一步根據(jù)本題給定的邊選第三種較為簡(jiǎn)單。 解析：延長(zhǎng)AR BC交于E。 / A=Z 60° , / B=90° ,/ E=30°。AE=2AB=8

5、 CE=2CD=4bE"=aE-ab2=82-42=48, be=J58 =4、回。 DE= CE2-CD2=42-2 2=12,DE= =2n/J。二 S 四邊形 ABC=SaABE-S ACDET 2 AB- be-2 CD- DE= *類型三：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用（一）用勾股定理求兩點(diǎn)之間的距離問(wèn)題3、如圖所示，在一次夏令營(yíng)活動(dòng)中，小明從營(yíng)地 A點(diǎn)出發(fā)，沿北偏東 60。方 向走了 口行瓶到達(dá)B點(diǎn)，然后再沿北偏西30。方向走了 500m到達(dá)目的地Co（1）求A、C兩點(diǎn)之間的距離。（2）確定目的地 C在營(yíng)地A的什么方向。解析：（1）過(guò)B點(diǎn)作BE/AD / DABh ABE=60,30

6、° +/CBA吆 ABE=180/ CBA=90即 ABC為直角三角形由已知可得：BC=500m AB=-，-由勾股定理可得：AC 3 = BC 3 + AB3所以.1 一”:-（2）在 RtABC中，BC=500m AC=1000m/ CAB=30 / DAB=60/ DAC=30即點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東30°的方向舉一反三【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高 2.5米，寬1.6米，要開進(jìn)廠門形狀如圖的某工廠，問(wèn)這輛卡車 能否通過(guò)該工廠的廠門 ？r*蹴*1CH如圖所示，點(diǎn)【答案】由于廠門寬度足夠卡車通過(guò)，只要看當(dāng)卡車位于廠門正中間時(shí)其高度是否小于D在離廠門中線 0.8米處，且

7、 CDLAB, 與地面交于 H.解：。諼1米（大門寬度一半），0.8米（卡車寬度一半）RtAOCD,由勾股定理得：g 一如= ?。®=0 . 6 米，= 0.6 + 2. 3 = 2. 9 （米） 2 .5 （米）.高度上有0.4米的余量，所以卡車能通過(guò)廠門.（二）用勾股定理求最短問(wèn)題4、國(guó)家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過(guò)高的現(xiàn)狀，目前正在全國(guó)各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造，某地有四 個(gè)村莊A B、C、D,且正好位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃在四個(gè)村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們?cè)O(shè)計(jì)了四種架設(shè)方案，如圖實(shí)線部分.請(qǐng)你幫助計(jì)算一下，哪種架設(shè)方案最省電線.思路點(diǎn)撥：解答本題的思路是： 最省電線就是線

8、路長(zhǎng)最短，通過(guò)利用勾股定理計(jì)算線路長(zhǎng)，然后進(jìn)行比較,得出結(jié)論.解析：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1,則圖（1）、圖（2）中的總線路長(zhǎng)分別為AB+BC+CD =3, AB+BC+CD3圖（3）中，在RtABC中£2 = 口或 =也同理'：.】；圖（3）中的路線長(zhǎng)為2、泛對(duì)2£2圖（4）中，延長(zhǎng) EF交 BC于 H,貝U FHL BC, BH CH30。4笈=-由/ FBHh2及勾股定理得：EA = ED= FB= FC= 36忑 .EF= 12FH= 1 -3，此圖中總線路的長(zhǎng)為 4EA+EF= 1 1 3 >2.828>2.732圖（4）的連接線路最短，即圖（4）的

9、架設(shè)方案最省電線.舉一反三【變式】如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為20cm,高A B為4cm, B C是上底面的直徑.一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā),沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn) C,試求出爬行的最短路程.圖，在RtABC中，：6（2=底面周長(zhǎng)的一半=1 0cm,根據(jù)勾股定理得（提問(wèn)：勾股定理）AC= 口呼=4,+1臚 =2= 10. 77（ cm）（勾股定理）答：最短路程約為10.77cm.類型四：利用勾股定理作長(zhǎng)為赤的線段5、作長(zhǎng)為、臣、后、出的線段。思路點(diǎn)撥：由勾股定理得，直角邊為 1的等腰直角三角形，斜邊長(zhǎng)就等于 啦，直角邊為J5和1的直角 三角形斜邊長(zhǎng)就是后,類似地可作。作法：如圖所示（2）以AB為一條直角

10、邊，作另一直角邊為（3）順次這樣做下去，最后做到直角三角形（1）作直角邊為1 （單位長(zhǎng)）的等腰直角 ACB使AB為斜邊;1的直角耳胡。斜邊為與工；網(wǎng)尻這樣斜邊田田、犯、幽、颯的長(zhǎng)度就是血、右、，口、亞。舉一反三 【變式】在數(shù)軸上表示而的點(diǎn)。解析：可以把而看作是直角三角形的斜邊，-1。，為了有利于畫圖，讓其他兩邊的長(zhǎng)為整數(shù)，而10又是9和1這兩個(gè)完全平方數(shù)的和，得另外兩邊分別是3和1。作法：如圖所示在數(shù)軸上找到 A點(diǎn)，使OA=3 4AC± OAAC=1,以O(shè)C為半徑，O為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn) B即為J1。五：逆命題與勾股定理逆定理6、寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確1 .原命題

11、：貓有四只腳.（正確）2 .原命題：對(duì)頂角相等（正確）3 .原命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)，到這條線段兩端距離相等.4 .原命題：角平分線上的點(diǎn)，到這個(gè)角的兩邊距離相等.思路點(diǎn)撥：掌握原命題與逆命題的關(guān)系。解析：1.逆命題：有四只腳的是貓（不正確）2. 逆命題：相等的角是對(duì)頂角（不正確）3. 逆命題：到線段兩端距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.？（正確）4. 逆命題：到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上.（正確）總結(jié)升華：本題是為了學(xué)習(xí)勾股定理的逆命題做準(zhǔn)備。7、如果A ABC的三邊分別為 a、b、c,且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判斷A ABC的形狀。思路點(diǎn)撥：要

12、判斷A ABC的形狀，需要找到 a、b、c的關(guān)系，而題目中只有條件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有從該條件入手，解決問(wèn)題。解析：由 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得：a 2-6a+9+b 2-8b+16+c 2-10c+25=0,（a-3） 2+（b-4） 2+（c-5） 2=0。. （a-3） 2>0, （b-4） 2>0, （c-5） 2>0Oa=3 , b=4, c=5。3 2+42=52,a 2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得AABC是直角三角形?？偨Y(jié)升華：勾股定理的逆定理是通過(guò)數(shù)量關(guān)系來(lái)研究圖形的位置關(guān)系的，在證明中也常要用到。舉

13、一反三 【變式1】四邊形 ABCD4 / B=90° , AB=3 BC=4, CD=12, AD=13求四邊形 ABCM面積?！敬鸢浮浚哼B結(jié)AC/ B=90° , AB=3 BC=4. aC=aB+bC=25 （勾股定理） AC=5 AC2+C5=169, AD2=169 AC2+C6=AD/ ACD=90 （勾股定理逆定理）$西坦爪6 = £曲仁-S皿e=g . 時(shí)+:加酬=黏【變式2】已知： ABC勺三邊分別為m2- n2,2mn,m2+n2（m,n為正整數(shù)，且m>n）,判斷 ABC是否為直角三角形.分析：本題是利用勾股定理的的逆定理,222只要證明：

14、a +b =c即可證明:二加 44 我.-（班口 +即產(chǎn)所以 ABB直角三角形.【變式3】如圖正方形 ABCD E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，且BF=4 AR請(qǐng)問(wèn)FE與DE是否垂直？請(qǐng)說(shuō)明?！敬鸢浮看穑篋E! EF。明：設(shè) BF=a,則 BE=EC=2a, AF=3a, AB=4a, EF2=Bp+BE2=a2+4a2=5a2;DU=C+cD=4a2+16a2=20a2。連接DF （如圖）D島AF2+AD=9a2+16a2=25a2。DF2=EF2+DE, FE IDE經(jīng)典例題精析類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形兩直角邊的比是3: 4,斜邊長(zhǎng)是20,求此直角三角形的面積。思

15、路點(diǎn)撥：在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長(zhǎng)度，求面積，可以先通過(guò)比值設(shè)未知數(shù)，再根據(jù) 勾股定理列出方程，求出未知數(shù)的值進(jìn)而求面積。解析：設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是3x, 4x,根據(jù)題意得：(3x) 2+ (4x) 2=202化簡(jiǎn)得x2=16;1，直角三角形的面積=2 X 3xX4x=6x2=96總結(jié)升華：直角三角形邊的有關(guān)計(jì)算中，常常要設(shè)未知數(shù)，然后用勾股定理列方程(組)求解。舉一反三【變式1】等邊三角形的邊長(zhǎng)為2,求它的面積?！敬鸢浮咳鐖D，等邊 ABC彳ADL BC于D2則：BD=BC (等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合) AB= AC= BC= 2 （等邊三角形各邊都相等

16、）BD= 1在直角三角形 ABD中，aB"=aD+bD,即：AD= .2S ABC= 二 BC- AD= 'Aj=Ad BD2=4-1 = 3注：等邊三角形面積公式：若等邊三角形邊長(zhǎng)為75a,則其面積為 a?！咀兪?】直角三角形周長(zhǎng)為 12cm,斜邊長(zhǎng)為5cm,求直角三角形的面積?！敬鸢浮吭O(shè)此直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別是x, v,根據(jù)題意得：>+> + 5 = 12* +/ = 5。由(1)得：x+y = 7,(x+y) 2=49, x2+2xy+y 2= 49 (3) 一(2),得：xy=12，直角三角形的面積是 2xy=2 X 12=6 (cm2)【變式3】若直

17、角三角形的三邊長(zhǎng)分別是n+1, n+2, n+3,求n。思路點(diǎn)撥：首先要確定斜邊(最長(zhǎng)的邊)長(zhǎng) n+3,然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜邊長(zhǎng)為n+3,由勾股定理可得：(n+1) 2+ (n+2) 2= ( n+3) 2化簡(jiǎn)彳導(dǎo):n2=4. . n= ± 2,但當(dāng) n= 2 時(shí)，n+1= 1<0, 1. n=2總結(jié)升華：注意直角三角形中兩“直角邊”的平方和等于“斜邊”的平方，在題目沒有給出哪條是直角邊 哪條是斜邊的情況下，首先要先確定斜邊，直角邊?！咀兪?】以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，能組成直角三角形的是()A、8, 15, 17 B 、4, 5, 6 C 、5, 8,

18、10 D 、8, 39, 40解析：此題可直接用勾股定理的逆定理來(lái)進(jìn)行判斷，對(duì)數(shù)據(jù)較大的可以用 c2=a2+b2的變形：b2=c2 a2= ( ca) (c+a)來(lái)判斷。例如：對(duì)于選擇 D,82w ( 40+39) X ( 4039),.以8, 39, 40為邊長(zhǎng)不能組成直角三角形。同理可以判斷其它選項(xiàng)?！敬鸢浮浚篈【變式5】四邊形 ABCD43, / B=90° , AB=3 BC=4, CD=12, AD=13求四邊形 ABCD勺面積。解：連結(jié)AC/ B=90° , AB=3 BC=4. AC2=AB+BC=25 （勾股定理）AC=5. , AC2+CDM69, AE2

19、=169 AC2+C6=AD/ ACD=90 （勾股定理逆定理）1 1S四邊形ABC=SaABC+SaACE= J AB BC+2 AC- CD=36類型二：勾股定理的應(yīng)用2、如圖，公路 M明口公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且/ QPNk 30° ,點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP= 160ml假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100m以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響？請(qǐng)說(shuō)明理由，如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h,那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？AQ 思路點(diǎn)撥：(1)要判斷拖拉機(jī)的噪音是否影響學(xué)校A,實(shí)質(zhì)上是看A到公路的距離是否小于 100m,小于100

20、m則受影響，大于100m則不受影響，故作垂線段 AB并計(jì)算其長(zhǎng)度。(2)要求出學(xué)校受影響的時(shí)間，實(shí)質(zhì)是要 求拖拉機(jī)對(duì)學(xué)校A的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機(jī)行至哪一點(diǎn)開始影響學(xué)校，行至哪一點(diǎn)后結(jié)束 影響學(xué)校。解析：作ABX MN垂足為Bo在 Rt AABP中，. / ABP= 90° , / APB= 30° , AP = 160,1AB= AP= 80。(在直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半)點(diǎn)A到直線MN的距離小于100m,這所中學(xué)會(huì)受到噪聲的影響。如圖，假設(shè)拖拉機(jī)在公路MN±?gPN方向行駛到點(diǎn) C處學(xué)校開始受到影響，那么AC= 1

21、00(m),由勾股定理得：BC2= 1002-80 2=3600,BC=60。DJAD- 100(m), BD- 60(m),同理，拖拉機(jī)行駛到點(diǎn)D處學(xué)校開始脫離影響，那么,CD- 120(m)。拖拉機(jī)行駛的速度為 ：18km/h = 5m/st = 120m 5m/s = 24s。答：拖拉機(jī)在公路 MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校會(huì)受到噪聲影響，學(xué)校受影響的時(shí)間為24秒。總結(jié)升華：勾股定理是求線段的長(zhǎng)度的很重要的方法，若圖形缺少直角條件，則可以通過(guò)作輔助垂線的方法構(gòu)造直角三角形以便利用勾股定理。舉一反三 【變式1】如圖學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角而走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了一條“

22、路”。他們僅僅少走了 步路(假設(shè)2步為1巾，卻踩傷了花草。解析：他們?cè)瓉?lái)走的路為 3+4= 7(m)設(shè)走“捷徑”的路長(zhǎng)為 xm,則. 一 ''故少走的路長(zhǎng)為 75=2(m)又因?yàn)?步為1m,所以他們僅僅少走了 4步路?！敬鸢浮?【變式2】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個(gè)小三角形都是邊長(zhǎng)為1的正三角形,這樣的三角形稱為單位正三角形。(1)直接寫出單位正三角形的高與面積。(2)圖中的平行四邊形 ABCDt有多少個(gè)單位正三角形？平行四邊形ABCM面積是多少?(3)求出圖中線段 AC的長(zhǎng)(可作輔助線)24x =(2)如圖可直接得出平行四邊形 ABCDt有24個(gè)單位正三

23、角形，因此其面積4(3)過(guò)A作AK BC于點(diǎn)K (如圖所示)，則在RtACK中,類型三：數(shù)學(xué)思想方法(一)轉(zhuǎn)化的思想方法我們?cè)谇笕切蔚倪吇蚪?，或進(jìn)行推理論證時(shí)，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題來(lái)解決.3、如圖所示， ABC是等腰直角三角形， AB=AC D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AR AC邊上的點(diǎn)，且DH DF,若 BE=12, CF=5.求線段 EF 的長(zhǎng)。思路點(diǎn)撥:現(xiàn)已知BE CF,要求EF,但這三條線段不在同一三角形中，所以關(guān)鍵是線段的轉(zhuǎn)化，根據(jù)直角三角形的特征，三角形的中線有特殊的性質(zhì)，不妨先連接AD.解：連接AD.因?yàn)? BAC=90 , AB=AC 又因?yàn)?AD為 ABC的中線，所以 AD=DC=DB ADL BC.且/ BAD=/ C=45