多元函數(shù)積分學1_幾何形體上積分概念

1、 主主 要要 內內 容容幾何形體上積分的概念幾何形體上積分的概念二重積分的計算法二重積分的計算法三重積分的計算法三重積分的計算法對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分對面積的曲面積分對面積的曲面積分對坐標的曲線積分對坐標的曲線積分對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分1.1.各種積分的相互關系各種積分的相互關系多元函數(shù)積分學多元函數(shù)積分學1第一節(jié)第一節(jié) 幾何形體上積分的概念幾何形體上積分的概念2平面的有界閉區(qū)域平面的有界閉區(qū)域; 空間的有界閉區(qū)域空間的有界閉區(qū)域;平面和空間的有限光滑平面和空間的有限光滑(或分段光滑或分段光滑)曲線段曲線段;空間有限光滑空間有限光滑(或分片光滑或分片光滑)曲面片曲面片.幾何

2、形體幾何形體:假定都是可以度量的假定都是可以度量的, 也就是可以求出面積、體也就是可以求出面積、體積或弧長的積或弧長的, 它們稱為幾何形體的它們稱為幾何形體的度量度量.幾何形體上任何兩點間距離的最大值為這個幾何幾何形體上任何兩點間距離的最大值為這個幾何形體的形體的直徑直徑.定積分定義定積分定義abxo的若對,ba任一種任一種分法分法012,naxxxxbL,1iiixxx令任取任取1, ,iiixxi時只要0max1inixiniixf1)(總趨于確定的極限總趨于確定的極限 I , 則稱此極限則稱此極限 I 為函數(shù)為函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上的上的定積分定積分,1xix1ixbaxxfd

3、)(即即baxxfd)(iniixf10)(lim此時稱此時稱 f ( x ) 在在 a , b 上上可積可積 .記作記作設設函函數(shù)數(shù))(xf在在,ba上上有有界界，5幾何形體上積分的定義幾何形體上積分的定義設設f(p)是幾何形體是幾何形體G上的有界函數(shù)上的有界函數(shù). 將將G任意分成任意分成n個個部分，記為部分，記為 gi (i=1,2,n，gi 也代表該部分的幾何也代表該部分的幾何度量度量). 在每個部分上任取一點在每個部分上任取一點pi ，作和式，作和式1()niiif pg , 如果當各個部分的直徑的最大值如果當各個部分的直徑的最大值0時，時，和式的極限和式的極限01lim()niiif

4、 pg 存在，則稱這個極限為函數(shù)存在，則稱這個極限為函數(shù)f(p)在幾何形體在幾何形體G上的積上的積分，記為分，記為( ).Gf p dg6當當G為不同的幾何形體時，對應的積分都給出為不同的幾何形體時，對應的積分都給出固定的名稱和符號：固定的名稱和符號：當當G為平面有界閉區(qū)域（常記為為平面有界閉區(qū)域（常記為D）時，稱為）時，稱為二重積分二重積分，記為，記為( , )Df x y d 當當G為空間有界閉區(qū)域（常記為為空間有界閉區(qū)域（常記為）時，稱為）時，稱為三重積分三重積分，記為，記為( , , )f x y z dv7當當G為平面有限曲線段（常記為為平面有限曲線段（常記為L）或空間有）或空間有限

5、曲線段（常記為限曲線段（常記為）時，稱為）時，稱為對弧長的曲線對弧長的曲線積分積分，記為，記為( , )Lf x y ds當當G為空間有限曲面片（常記為為空間有限曲面片（常記為）時，稱為）時，稱為對面積的曲面積分對面積的曲面積分，記為，記為( , , )f x y z dS( , , )f x y z ds幾何形體上積分的存在定理幾何形體上積分的存在定理:若函數(shù)若函數(shù)( )f p定理定理.積分積分在幾何形體在幾何形體G上連續(xù)上連續(xù), 則則必定存在必定存在.( )Gf p dg幾何形體上積分的性質（以二重積分為例）幾何形體上積分的性質（以二重積分為例）Dyxfkd),(. 1( k 為常數(shù)為常數(shù)

6、)Dyxgyxfd),(),(. 221d),(d),(d),(. 3DDDyxfyxfyxf1212(,)DDDDDU無公共內點Dyxfkd),(DDyxgyxfd),(d),(特別, 由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(則Dyxfd),(Dyxd),(5. 若在D上),(yxf, ),(yxDyxfd),(6. 設),(min),(maxyxfmyxfMDDD 的面積為 ,MyxfmDd),(則有, 1),(. 4yxfD上若在DDdd1 為為D 的面積的面積, 則則 一般地有一般地有 （如面積，體積，弧長等）（如面積，體積，弧長等）GdgG 的的度度量量7.(二重積分

7、的中值定理二重積分的中值定理),(yxf設函數(shù),),(D),(),(fdyxfD證證: 由性質由性質6 可知可知,MyxfmDd),(1由連續(xù)函數(shù)介值定理由連續(xù)函數(shù)介值定理, 至少有一點至少有一點D),(Dyxffd),(1),(),(d),(fyxfD在閉區(qū)域在閉區(qū)域D上上 為為D 的面積的面積 ,則至少存在一點則至少存在一點使使使使連續(xù)連續(xù),因此因此例例1. 比較下列積分的大小比較下列積分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中其中2) 1()2( :22yxD解解: 積分域積分域 D 的邊界為圓周的邊界為圓周1 yx332)()(yxyx2) 1()2(22yx它與它與 x 軸交于點軸

8、交于點 (1,0) ,.1相切與直線 yx而域而域 D 位位, 1 yx從而從而d)(d)(32DDyxyx于直線的上方于直線的上方, 故在故在 D 上上 1y2xo1D例例2. 估計下列積分之值估計下列積分之值10:coscos100ddI22yxDyxyxD解解: D 的面積為的面積為200)210(2由于由于yx22coscos1001積分性質積分性質100200I102200即即: 1.96 I 210101010D10011021xyo幾何形體上積分的物理意義幾何形體上積分的物理意義如果一個非均勻物體，其形狀如上述幾何如果一個非均勻物體，其形狀如上述幾何形體形體G，其密度為，其密度為G上的函數(shù)上的函數(shù)(p)，則在，則在G上的元素上的元素dg上，其質量應是上，其質量應是