固體物理_倒格子及布里淵區(qū)_2013

1、面間距：面間距：晶面晶面:(101)22a11222aaaaHa2aa求簡立方布拉菲格子（求簡立方布拉菲格子（101101）晶面的面間距）晶面的面間距面間距：面間距：晶面晶面:(111)33a111132232322aaaHaaa2a求簡立方布拉菲格子（求簡立方布拉菲格子（111111）晶面的面間距）晶面的面間距6-1 6-1 倒格子倒格子一、引入倒格子的目的一、引入倒格子的目的晶面族晶面族= =面間距面間距+ +法線方向矢量法線方向矢量倒格矢倒格矢矢量點矢量點= = 模量模量 + + 方向方向 hkdn2hkdhhknk 引入這樣一個引入這樣一個矢量來表征晶格中矢量來表征晶格中某一晶面族的特

2、征某一晶面族的特征，該矢量的方向代，該矢量的方向代表了晶面族的法線方向表了晶面族的法線方向, ,該矢量的模該矢量的模量正比于晶面族面間距的倒數(shù)。量正比于晶面族面間距的倒數(shù)。 二、倒格子二、倒格子 設(shè)布喇菲格子的基矢設(shè)布喇菲格子的基矢 為正格子基矢，稱由為正格子基矢，稱由 決定的空間為正格子，若定義決定的空間為正格子，若定義231312123222aabaabaab其中，其中， 。以。以 為基矢進(jìn)行平移便可得到一個為基矢進(jìn)行平移便可得到一個周期性的空間格子，稱為周期性的空間格子，稱為倒格子空間倒格子空間。1、定義：、定義：123,a a a 123,a a a 123()aaa 123,b b

3、b 矢量的運算：矢量的運算：121212o,c sa aaaa a 121212,sina aaaa a 點乘：點乘：內(nèi)積內(nèi)積 標(biāo)量標(biāo)量外積外積 矢量矢量叉乘：叉乘：0,i iijk ikj 1,0,0i ii ji k右手定律右手定律2、驗證：倒格矢能代表一族晶面嗎？、驗證：倒格矢能代表一族晶面嗎？晶面族晶面族(h1h2h3) 中中最最靠近靠近坐標(biāo)原點的晶面坐標(biāo)原點的晶面ABC在基矢在基矢 上的上的截距截距為為 123,a a a 312123,aaahhh2hkdhhknk(1)(1)倒格矢倒格矢K Kh垂直與晶面族垂直與晶面族(2)(2)倒格矢的模量等于面間距的倒數(shù)成正比。倒格矢的模量等

4、于面間距的倒數(shù)成正比。3133223aaCAOAOChhaaCBOBOChh 由圖可知，矢量由圖可知，矢量: : 和和 兩個矢量都在兩個矢量都在ABCABC平面上。平面上。CA CB (1)方向方向要證明要證明 與晶面族與晶面族(h(h1 1h h2 2h h3 3) )垂直，垂直，只需證明只需證明 與與ABCABC面內(nèi)兩條不互相面內(nèi)兩條不互相平行的直線垂直就可以了，即：平行的直線垂直就可以了，即：hkhk0,0hKCAKCB311 1223 311133() ()0hKCAaahbh bh bhhbaba321223232233() ()0hKCBaah bh bh bhhbaba 所代表的

5、方向就是所代表的方向就是晶面族晶面族(h1h2h3)法線方向。法線方向。hK(2)模量模量圖中圖中ABC面是晶面族面是晶面族(h1h2h3)中距離原點最近中距離原點最近的一個晶面，因此，這的一個晶面，因此，這一族晶面的一族晶面的面間距面間距d h1h2h3 就等于原點到就等于原點到ABC面的面的垂直距離。垂直距離。由于晶面族由于晶面族 (h(h1 1h h2 2h h3 3) ) 法線法線方向可用倒格矢方向可用倒格矢 1 1223 3hKhbh bh b1 2 311hh h hhadhKK1 1223 311()2hhhbh bh baKKh表示，所以表示，所以: :123,a a a ()

6、hkl2311233121231231232()2()2()aabaaaaabaaaaabaaa123hhkbKb lb3.怎么計算倒格子矢量？怎么計算倒格子矢量？正格子空間中的一族晶面可以用倒格子空間中的一個倒格矢表示。面間距：面間距：法線方向：法線方向：22hkikaa 晶面晶面:(101)倒格矢：倒格矢：面間距：面間距：法線方向：法線方向：22an222hhkak hhkijk 面間距：面間距：法線方向：法線方向：222hkijkaaa 晶面晶面:(111)倒格矢：倒格矢：面間距：面間距：法線方向：法線方向：33an233hhkak hhkijkk 正格子正格子基矢基矢格矢格矢元胞體積元

7、胞體積倒格子倒格子倒格子基矢倒格子基矢倒格矢倒格矢倒格子元胞體積倒格子元胞體積三、正格子和倒格子的相互關(guān)系三、正格子和倒格子的相互關(guān)系123aaiaajaak什么是倒格子（空間）？什么是倒格子（空間）？基矢基矢變換變換2311233121231231232()2()2()aabaaaaabaaaaabaaa123222biabjabka（1）正格子基矢與倒格子基矢）正格子基矢與倒格子基矢220ijijab()()ijij 以以 所組成的平行六面體（即原胞）所組成的平行六面體（即原胞）的體積為：的體積為：其中，其中， 為平行六面體的底面積，為平行六面體的底面積，h h為平行六面為平行六面體的高，

8、而體的高，而h h又正好等于晶面族又正好等于晶面族a a1 1a a2 2的面間距的面間距d d3 3。 123,a a a 2aa aSh 1 2a aS即：即：1 212a aSaa312d aa 因為，因為， 的方向與的方向與 的方向相一致，因的方向相一致，因此：此：3b12aa1232 ()aab332ab31/20ab所以：所以：312()aaa 采用同樣的方法，我們可以得出：采用同樣的方法，我們可以得出：3221132 ()2 ()abaaab220ijijab()()ijij222ab21/30ab112ab12/30abP63P63習(xí)題習(xí)題6 6：1(3 )2aaij2(3 )

9、2aaij 3ack 對于六方密堆積結(jié)構(gòu)，初基元胞基矢為：求其倒格子基矢，并判斷倒格子也是六方結(jié)構(gòu)。 11222(3 )(3 )2bijaaaij22222(3 )(3 )2bijaaaij 33222bkckca 312bb b 、12bb =12b b /解：可知：，并且之間的夾角為60，作圖可知倒格子也是六方結(jié)構(gòu)。（2）正格矢與倒格矢）正格矢與倒格矢正格矢正格矢112233lRl al al a 倒格矢倒格矢1 12233hkh bh bh b 正格子空間中的一個格點正格子空間中的一個格點倒格子空間中的一個倒格點倒格子空間中的一個倒格點正格子空間中的一族晶面正格子空間中的一族晶面不同的倒

10、格矢代表正格子空間中的不同的晶面族。不同的倒格矢代表正格子空間中的不同的晶面族。2lhRk （ 為正整數(shù)）為正整數(shù)）正格子空間的點和倒格子空間的點有什么關(guān)系呢？正格子空間的點和倒格子空間的點有什么關(guān)系呢？ 如果兩個矢量點積為如果兩個矢量點積為 的整數(shù)倍，那么它們互為倒格矢，即：其中一的整數(shù)倍，那么它們互為倒格矢，即：其中一個為正格矢，另一個必為倒格矢。個為正格矢，另一個必為倒格矢。1 1、代表意義、代表意義2 2、相互關(guān)系、相互關(guān)系2（3）正格子元胞與倒格子元胞）正格子元胞與倒格子元胞倒格子元胞體積：倒格子元胞體積：123()bbb 32331123(2 )() () ()aaaaaa()()

11、()ABCA CBA BC31123121311211() ()()()0aaaaaaaaaaaaaa 323133(2 )()(2 )aaa正格子元胞與倒格正格子元胞與倒格子元胞體子元胞體積成反比積成反比課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：試證體心立方格子和面心立方格子互為正、倒格子。 1()2aajk2()2aaki 3()2aaij 面心立方晶格的初基原胞基矢為：面心立方晶格的初基原胞基矢為：P1012()bijka 22()bijka 32()bijka面心立方晶格的倒格子基矢如下：面心立方晶格的倒格子基矢如下：給出的面心立方晶格的倒格子矢量與給出的面心立方晶格的倒格子矢量與體心立方晶格的初基原胞基矢

12、體心立方晶格的初基原胞基矢方向相方向相同，模量不同，反映了相同的格點排同，模量不同，反映了相同的格點排列的周期性列的周期性。 123()2()2()2aaijkaaijkaaijk 體心立方晶格的初基原胞基矢為：體心立方晶格的初基原胞基矢為：P10面心立方晶格的初基原胞體積為：面心立方晶格的初基原胞體積為：123333()() ()()2221() ()81(1 0000 1)814aaaaaajkkiijajkjikaa 123333333333333()222() ()()(2 )() () ()(2 )() (000)2(2 )() ()2(2 )( 000 1 1 0)4(2 )(2

13、)14bbbijkijkijkaaaijkijkijkaijkkjkijiaijkkjaaaa 因此，面心立方晶格與體心立方互為倒格子。因此，面心立方晶格與體心立方互為倒格子。倒格子基矢原胞體積為：倒格子基矢原胞體積為：作業(yè)：課后習(xí)題：課后習(xí)題：P63P63習(xí)題習(xí)題7 7、8 8 對于給定的晶格，首先選定其布喇菲格子的原對于給定的晶格，首先選定其布喇菲格子的原點與基矢點與基矢 ；求出對應(yīng)的倒格子基矢；求出對應(yīng)的倒格子基矢 并由倒格矢并由倒格矢 （ 取一切整數(shù)）取一切整數(shù)）確定出該晶格的倒格子；作所有確定出該晶格的倒格子；作所有倒格矢倒格矢 的垂直的垂直平分面平分面，這些平面將倒格子空間分割為許

14、多區(qū)域，這些平面將倒格子空間分割為許多區(qū)域，這些區(qū)域稱為布里淵區(qū)。這些區(qū)域稱為布里淵區(qū)。6-2 布里淵區(qū)布里淵區(qū)一、定義：一、定義：123,a a a 123,b b b 1 1223 3hKhbh bh b123,h h hhK1、第一布里淵區(qū)：、第一布里淵區(qū)： 在倒格子點陣中，做某一倒格點到其在倒格子點陣中，做某一倒格點到其最近鄰最近鄰倒格點連線的垂直平分面，由這些垂直平分面所倒格點連線的垂直平分面，由這些垂直平分面所圍成的多面體就是第一布里淵區(qū)。圍成的多面體就是第一布里淵區(qū)。二、特性：二、特性： 除第一布里淵區(qū)之外除第一布里淵區(qū)之外,還有第二布里淵區(qū)、第還有第二布里淵區(qū)、第三布里淵區(qū)以及

15、更高階的布里淵區(qū)。三布里淵區(qū)以及更高階的布里淵區(qū)。2、第二、第三布里淵區(qū)可以由平移倒格矢的、第二、第三布里淵區(qū)可以由平移倒格矢的 整數(shù)倍至第一布里淵區(qū)。整數(shù)倍至第一布里淵區(qū)。3、每個布里淵區(qū)的體積都等于倒格子原胞的、每個布里淵區(qū)的體積都等于倒格子原胞的 體積。體積。4、布里淵區(qū)應(yīng)選盡可能高的對稱性。、布里淵區(qū)應(yīng)選盡可能高的對稱性。三、典型晶格的倒格子與布里淵區(qū)三、典型晶格的倒格子與布里淵區(qū)1、一維格子的布里淵區(qū)、一維格子的布里淵區(qū)aai2bia 二維正方格子的原胞基矢為：二維正方格子的原胞基矢為： 則其相應(yīng)的倒格子原胞基矢為：則其相應(yīng)的倒格子原胞基矢為：12,aai aaj1222,bi bj

16、aa2 2、二維正方格子的布里淵區(qū)、二維正方格子的布里淵區(qū)在倒格子空間中，距離原點最近的倒格點在倒格子空間中，距離原點最近的倒格點有四個，其相應(yīng)的倒格矢為：有四個，其相應(yīng)的倒格矢為： 這四個倒格矢的垂直平分線的方程為：這四個倒格矢的垂直平分線的方程為：1122,bb bb ,xykkaa 由這四個垂直平分線所圍成的區(qū)域就是第一布由這四個垂直平分線所圍成的區(qū)域就是第一布里淵區(qū)。里淵區(qū)。第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)原點的次近鄰四個到格點相應(yīng)的倒格矢為：原點的次近鄰四個到格點相應(yīng)的倒格矢為：它們的垂直平分線以及第一布里淵區(qū)邊界它們的垂直平分線以及第一布里淵區(qū)邊界所共同圍成的區(qū)域稱為第二布里淵區(qū)。所共同圍

17、成的區(qū)域稱為第二布里淵區(qū)。12121212, (), ()bbbbbbbb第二布里淵區(qū)第二布里淵區(qū)3、體心立方格子的布里淵區(qū)、體心立方格子的布里淵區(qū)正格子正格子原胞基矢：原胞基矢：123()2()2()2aaijkaaijkaaijk 倒格子倒格子原胞基矢為：原胞基矢為：1232()2()2()ajkaaikaaija體心立方正格子的倒格子原胞為體心立方正格子的倒格子原胞為面心立方面心立方，離原點最近的有離原點最近的有12個倒格點，它們分別為：個倒格點，它們分別為：222(1,1,0),(1, 1,0),( 1,1,0)222( 1, 1,0),(1,0,1),(1,0, 1)222( 1,0,1),( 1,0, 1),(0,1,1)aaaaaaaaa 由這由這12個倒格矢的中垂面圍成個倒格矢的中垂面圍成菱形菱形12面面體體，該菱形，該菱形12面體就是體心立方正格子的第面體就是體心立方正格子的第一布里淵區(qū)。一布里淵區(qū)。（P43 圖圖1-53）4、面心立方格子的布里淵區(qū)、面心立方格子的布里淵區(qū)正格子正格子原胞基矢：原胞基矢：123()2()2()2aaijkaaijkaaijk 倒格子倒格子原胞基矢為：原胞基矢為：1232()2()2()aj