平面與平面垂直的判定與性質(zhì)(共7頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上平面與平面垂直的判定與性質(zhì)教學(xué)重、難點：1.重點：平面與平面垂直的判定及應(yīng)用。2.難點：二面角的度量及判定定理的應(yīng)用。教學(xué)內(nèi)容：要點一、二面角1二面角定義 從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角（dihedral angle）.這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面.2 二面角的求法與畫法棱為AB、面分別為、的二面角記作二面角. 有時為了方便，也可在內(nèi)(棱以外的半平面部分)分別取點P、Q，將這個二面角記作二面角P AB Q.如果棱記作l，那么這個二面角記作二面角或P l Q.3計算二面角大小的方法    （1）作二面

2、角的平面角，并將其放在一個三角形中，解三角形求出二面角的平面角大小，它就是二面角的大小。    作二面角的平面角常用下列三種方法：    用定義作二面角的平面角在棱上取一點，分別在兩個面內(nèi)作棱的垂線，這兩條射線組成二面角的平面角。利用定義作二面角的平面角，關(guān)鍵在于找棱及棱上的特殊點。學(xué)習(xí)時要特別注意平移和補形方法的靈活運用。        用三垂線定理作二面角的平面角從二面角的一個面內(nèi)選一個特殊點A，由A向另一個平面作垂線垂足為B，再由B向棱作垂線交棱于C，連結(jié)AC

3、，則ACB就是二面角的平面角。利用三垂線定理（逆定理）作二面角的平面角是最常用的方法，它是通過二面角一個面上的點向另一個面（基面）作垂線（主垂線）的辦法來實現(xiàn)的，因此選好基面，再作主垂線，主垂線是解題的關(guān)鍵。    用垂面法作二面角的平面角作垂直于二面角的棱或二面角兩個半平面的垂面，則該垂面與二面角兩個半平面交線所成的角就是二面角的平面角。    （2）面積法如果一個多邊形在一個平面內(nèi)的射影是一個多邊形，且這兩個多邊形所在平面所成的二面角為，則。3 二面角的平面角如圖（1）在二面角的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面和內(nèi)分別作垂

4、直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的AOB叫做二面角的平面角.（2）二面角的平面角的大小與O點位置無關(guān).（3）二面角的平面角的范圍是0，180°（4）平面角為直角的二面角叫做直二面角.例1如圖，PC平面ABC，ABBC=CAPC，求二面角BPAC的平面角的正切值         分析 由PC平面ABC，知平面ABC平面PAC，從而B在平面PAC上的射影在AC上，由此可用三垂線定理作出二面角的平面角    解   PC平面ABC   

5、平面PAC平面ABC，交線為AC作BDAC于D點，據(jù)面面垂直性質(zhì)定理，BD平面PAC，作DEPA于E，連BE，據(jù)三垂線定理，則BEPA，從而BED是二面角BPAC的平面角    設(shè)PCa，依題意知三角形ABC是邊長為a的正三角形，    例1如圖過正方形ABCD的頂點A作PA平面ABCD，設(shè)PA=ABa 求(1)二面角BPCD的大??；(2)平面PAB和平面PCD所成二面角的大小     分析二面角BPCD的棱為PC，所以找平面角作棱的垂線，而平面PAB和平面PCD所成二面角“無棱”須找

6、二面角的棱    解  (1) PA平面ABCD，BDAC    BDPC(三垂線定理)    在平面PBC內(nèi)，作BEPC，E為垂足，連結(jié)DE，得PC平面BED，從而DEPC，即BED是二面角BPCD的平面角    在RtPAB中，由PAAB=a     (2)過P作PQ AB，則PQ平面PAB，    ABCD PQCD，PQ平面PCD    平面PAB平面PCD于

7、PQ    PAAB，ABPQ PAPQ    PA平面ABCD，CDAD    CDPD(三垂線定理的逆定理)    PQCD PDPQ    所以APD是平面PAB和平面PCD所成的二面角的平面角    PAAB=AD，APD=45°    即平面PAB和平面PCD所成的二面角為45°.    評注 在求無棱二面角的大小時有時須作出棱

8、線后再找平面角要點二、平面與平面垂直的判定1平面與平面垂直的定義，記法與畫法.一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.兩個互相垂直的平面通常畫成此圖的樣子，此時，把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直.平面與垂直，記作.2兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.例3過S引三條長度相等但不共面的線段SA、SB、SC，且ASB=ASC=60°，BSC=90°。    求證：平面ABC平面BSC。     證法一：   作AD平

9、面BSC，D為垂足。        ASB=ASC=60°，SA=SB=SC，則AS=AB=AC，        D為BSC的外心。又BSC=90°，        D為BC的中點，即AD在平面ABC內(nèi)。        平面ABC平面BSC。    證法二： 

10、 取BC的中點D，連接AD、SD，易證ADBC，又ABS是正三角形，BSC為等腰直角三角形，    BD=SD AD2+SD2= AD2+BD2=AB2=AS2，由勾股定理的逆定理，知ADSD，    AD平面BSC。又AD 平面ABC，   平面ABC平面BSC。    評注 本題是證明面面垂直的典型例題，關(guān)鍵是將證明“面面垂直”問題轉(zhuǎn)化為證明“線面垂直”。方法一是作平面的垂線而后證明它在另一個平面內(nèi)；方法二則是在一個平面內(nèi)找一條線段，證明它與另一個平面垂直。例3已知：如圖

11、，在矩形ABCD中，已知，E是AD的中點，沿BE將ABE折起至A´BE的位置，使A´C=A´D。    （1）求證：平面A´BE平面BCDE；    （2）求A´C和平面BCD所成角的大小。                    要點三. 兩個平面垂直的性質(zhì)兩個平面互相垂直時有下面兩個性質(zhì)：1 如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)

12、垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。簡述為：“若面面垂直，則線面垂直”。2 那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點垂直于第二個平面的直線，在第一個平面內(nèi)。此性質(zhì)可以作為面面垂直的性質(zhì)定理直接應(yīng)用例3 如圖，AB是O的直徑，PA垂直于O所在的平面，C是圓周上不同于A、B的任意一點，求證：平面PAC平面PBC.證明：設(shè)O所在平面為，由已知條件，PA，BC在內(nèi)，所以PABC.因為點C是圓周上不同于A、B的任意一點，AB是O的直徑，所以，BCA是直角，即BCAC.又因為PA與AC是PAC所在平面內(nèi)的兩條直線.所以BC平面PAC.又因為BC在平面PBC內(nèi)，所以，平面PAC平面PBC.1. 正方體ABCD-A1B1C1D1 中，平面ABC1D1與正方體的其他各個面所成的二面角的大小分別為多少？（）2如圖，已知AB平面BCD，BCCD，你能發(fā)現(xiàn)哪些平面互相垂直，為什么？答：面ABC面BCD面ABD面BCD面ACD面A1下列命題中正確的是 。如果直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則；如果直線不垂直于，則內(nèi)沒有與垂直的直線；如果直線不垂直于，則內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與垂直；兩直線a,b平行，由a可得出b。2如右圖，PA平面ABC，BCAC，求證：。  A