高考熱點專題空間中的平行關(guān)系

1、空間中的平行關(guān)系一【課標要求】1平面的基本性質(zhì)與推論借助長方體模型，在直觀認識和理解空間點、線、面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間線、面位置關(guān)系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理：公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)；公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面；公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線；公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行；定理：空間中如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補2空間中的平行關(guān)系以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點，通過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空間

2、中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定。通過直觀感知、操作確認，歸納出以下判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行；通過直觀感知、操作確認，歸納出以下性質(zhì)定理，并加以證明：一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一個平面與此平面的交線與該直線平行；兩個平面平行，則任意一個平面與這兩個平面相交所得的交線相互平行；垂直于同一個平面的兩條直線平行能運用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題二【命題走向】立體幾何在高考中占據(jù)重要的地位，通過近幾年的高考情況分析，考察的重點及難點穩(wěn)定，高考始終把直線與直線、直線與平面、

3、平面與平面平行的性質(zhì)和判定作為考察重點。在難度上也始終以中等偏難為主，在新課標教材中將立體幾何要求進行了降低，重點在對圖形及幾何體的認識上，實現(xiàn)平面到空間的轉(zhuǎn)化，示知識深化和拓展的重點，因而在這部分知識點上命題，將是重中之重。預測2019年高考將以多面體為載體直接考察線面位置關(guān)系：（1）考題將會出現(xiàn)一個選擇題、一個填空題和一個解答題；（2）在考題上的特點為：熱點問題為平面的基本性質(zhì)，考察線線、線面和面面關(guān)系的論證，此類題目將以客觀題和解答題的第一步為主三【要點精講】1平面概述（1）平面的兩個特征：無限延展 平的（沒有厚度）（2）平面的畫法：通常畫平行四邊形來表示平面（3）平面的表示：用一個小寫

4、的希臘字母、等表示，如平面、平面；用表示平行四邊形的兩個相對頂點的字母表示，如平面AC。2三公理三推論:公理1：若一條直線上有兩個點在一個平面內(nèi)，則該直線上所有的點都在這個平面內(nèi)：A,B,A,B公理2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線。公理3：經(jīng)過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面。推論一：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點,有且只有一個平面。推論二：經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面。推論三：經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面3空間直線:（1）空間兩條直線的位置關(guān)系：相交直線有且僅有一個公共點；平行直線在同一平面內(nèi)，沒有公共點；

5、 異面直線不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。相交直線和平行直線也稱為共面直線。異面直線的畫法常用的有下列三種：（2）平行直線：在平面幾何中，平行于同一條直線的兩條直線互相平行，這個結(jié)論在空間也是成立的。即公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。（3）異面直線定理：連結(jié)平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點的直線是異面直線。推理模式：與a是異面直線。4直線和平面的位置關(guān)系（1）直線在平面內(nèi)（無數(shù)個公共點）；（2）直線和平面相交（有且只有一個公共點）；（3）直線和平面平行（沒有公共點）用兩分法進行兩次分類。它們的圖形分別可表示為如下，符號分別可表示為，。線面平行的判定定理：如果不

6、在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。推理模式：線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行推理模式：5兩個平面的位置關(guān)系有兩種：兩平面相交（有一條公共直線）、兩平面平行（沒有公共點）（1）兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于一個平面，那么這兩個平面平行。定理的模式：推論：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個平面互相平行。推論模式：（2）兩個平面平行的性質(zhì)（1）如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面；（2）如果兩個平

7、行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。四【典例解析】題型1：共線、共點和共面問題例1（1）如圖所示，平面ABD平面BCD 直線BD ，M 、N 、P 、Q 分別為線段AB 、BC 、CD 、DA 上的點，四邊形MNPQ 是以PN 、QM 為腰的梯形。試證明三直線BD 、MQ 、NP 共點。證明：四邊形MNPQ 是梯形，且MQ 、NP 是腰，直線MQ 、NP 必相交于某一點O 。O 直線MQ ；直線MQ 平面ABD ，O 平面ABD。同理，O 平面BCD ，又兩平面ABD 、BCD 的交線為BD ，故由公理二知，O 直線BD ，從而三直線BD 、MQ 、NP 共點。點評：由已知條件，直

8、線MQ 、NP 必相交于一點O ，因此，問題轉(zhuǎn)化為求證點O 在直線BD 上，由公理二，就是要尋找兩個平面，使直線BD 是這兩個平面的交線，同時點O 是這兩個平面的公共點即可“三點共線”及“三線共點”的問題都可以轉(zhuǎn)化為證明“點在直線上”的問題。DCBAEFHG（2）如圖所示，在四邊形ABCD中，已知ABCD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面相交于點E，G，H，F(xiàn)求證：E，F(xiàn)，G，H四點必定共線證明：ABCD，AB，CD確定一個平面又ABE，AB，E，E，即E為平面與的一個公共點。同理可證F，G，H均為平面與的公共點兩個平面有公共點，它們有且只有一條通過公共點的公共直線，E，F(xiàn)，G，H四點必定

9、共線。點評：在立體幾何的問題中，證明若干點共線時，常運用公理2，即先證明這些點都是某二平面的公共點，而后得出這些點都在二平面的交線上的結(jié)論。例2已知：a，b，c，d是不共點且兩兩相交的四條直線，求證：a，b，c，d共面。證明：1o若當四條直線中有三條相交于一點，不妨設(shè)a，b，c相交于一點A，但AÏd，如圖1所示：直線d和A確定一個平面。badcGFEAabcdHK圖1圖2又設(shè)直線d與a，b，c分別相交于E，F(xiàn)，G，則A，E，F(xiàn)，G。A，E，A，Ea，a。同理可證b，c。a，b，c，d在同一平面內(nèi)。2o當四條直線中任何三條都不共點時，如圖2所示：這四條直線兩兩相交，則設(shè)相交直線a，b確

10、定一個平面。設(shè)直線c與a，b分別交于點H，K，則H，K。又 H，Kc，c,則c。同理可證d。a，b，c，d四條直線在同一平面內(nèi)點評：證明若干條線(或若干個點)共面的一般步驟是：首先根據(jù)公理3或推論，由題給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再根據(jù)公理1證明其余的線(或點)均在這個平面內(nèi)。本題最容易忽視“三線共點”這一種情況。因此，在分析題意時，應仔細推敲問題中每一句話的含義。題型2：異面直線的判定與應用例3已知：如圖所示，a b a ，b b ，a b A ，c a ，c a 。求證直線b 、c 為異面直線證法一：假設(shè)b 、c 共面于g 由A a ，a c 知，A c ，而a b A，a

11、b a ， A g ，A a。又c a ， g 、a 都經(jīng)過直線c 及其外的一點A， g 與a 重合，于是a g ，又b b。又g 、b 都經(jīng)過兩相交直線a 、b ，從而g 、b 重合。 a 、b 、g 為同一平面，這與a b a 矛盾 b 、c 為異面直線證法二：假設(shè)b 、c 共面，則b ，c 相交或平行。（1）若b c ，又a c ，則由公理4知a b ，這與a b A 矛盾。（2）若b c P ，已知b b ，c a ，則P 是a 、b 的公共點，由公理2，P a ，又b c P ，即P c ，故a c P ，這與a c 矛盾綜合（1）、（2）可知，b 、c 為異面直線。證法三： a b

12、 a ，a b A ， A a 。 a c ， A c ，在直線b 上任取一點P（P 異于A），則P a（否則b a ，又a a ，則a 、b 都經(jīng)過兩相交直線a 、b ，則a 、b 重合，與a b a 矛盾）。又c a ，于是根據(jù)“過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線”知，b 、c 為異面直線。點評：證明兩直線為異面直線的思路主要有兩條：一是利用反證法；二是利用結(jié)論“過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線。異面直線又有兩條途徑：其一是直接假設(shè)b 、c 共面而產(chǎn)生矛盾；其二是假設(shè)b 、c 平行與相交；分別產(chǎn)生矛盾。判定直線異面，若為解答

13、題，則用得最多的是證法一、二的思路；若為選擇或填空題，則往往都是用證法三的思路。用反證法證題，一般可歸納為四個步驟：（1）否定結(jié)論；（2）進行推理；（3）導出矛盾；（4）肯定結(jié)論宜用反證法證明的命題往往是（1）基本定理或某一知識系統(tǒng)的初始階段的命題（如立體幾何中的線面、面面平行的判定定量的證明等）；（2）肯定或否定型的命題（如結(jié)論中出現(xiàn)“必有”、“必不存在”等一類命題）；（3）唯一型的命題（如“圖形唯一”、“方程解唯一”等一類命題）；（4）正面情況較為繁多，而結(jié)論的反面卻只有一兩種情況的一類命題；（5）結(jié)論中出現(xiàn)“至多”、“不多于”等一類命題。例4（1）已知異面直線a,b所成的角為70，則過空

14、間一定點O，與兩條異面直線a,b都成60角的直線有( )條A1 B2 C3 D4（2）異面直線a,b所成的角為,空間中有一定點O，過點O有3條直線與a,b所成角都是60，則的取值可能是（ ）A30 B50 C60 D90解析：（1）過空間一點O分別作a,b。將兩對對頂角的平分線繞O點分別在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，總能得到與 都成60角的直線。故過點 O與a,b都成60角的直線有4條，從而選D。（2）過點O分別作a、b，則過點O有三條直線與a,b所成角都為60，等價于過點O有三條直線與所成角都為60，其中一條正是角的平分線。從而可得選項為C。點評：該題以學生對異面直線所成的角會適當轉(zhuǎn)化，較好的考察了空間

15、想象能力題型3：線線平行的判定與性質(zhì)例5（2009江蘇卷）設(shè)和為不重合的兩個平面，給出下列命題： （1）若內(nèi)的兩條相交直線分別平行于內(nèi)的兩條直線，則平行于；（2）若外一條直線與內(nèi)的一條直線平行，則和平行；（3）設(shè)和相交于直線，若內(nèi)有一條直線垂直于，則和垂直；（4）直線與垂直的充分必要條件是與內(nèi)的兩條直線垂直。上面命題中，真命題的序號 （寫出所有真命題的序號）.【解析】 考查立體幾何中的直線、平面的垂直與平行判定的相關(guān)定理。真命題的序號是(1)(2)例6兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB，且AM=FN，求證：MN平面BCE。證法一：作MPBC，NQBE，P、Q為

16、垂足，則MPAB，NQAB。MPNQ，又AM=NF，AC=BF，MC=NB，MCP=NBQ=45°RtMCPRtNBQMP=NQ，故四邊形MPQN為平行四邊形MNPQPQ平面BCE，MN在平面BCE外，MN平面BCE。證法二：如圖過M作MHAB于H，則MHBC，連結(jié)NH，由BF=AC，F(xiàn)N=AM，得 NH/AF/BE由MH/BC, NH/BE得:平面MNH/平面BCEMN平面BCE。題型4：線面平行的判定與性質(zhì)例7(2009山東卷理)（本小題滿分12分）E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB/CD，AB

17、=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點。（1） 證明：直線EE/平面FCC；（2） 求二面角B-FC-C的余弦值E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P 解法一：（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中點F1，連接A1D，C1F1，CF1，因為AB=4, CD=2,且AB/CD，所以CDA1F1，A1F1CD為平行四邊形，所以CF1/A1D，又因為E、E分別是棱AD、AA的中點，所以EE1/A1D，所以CF1/EE1，又因為平面FCC，平面FCC，所以直線EE/平面FCC.（2）因為AB=4, BC=CD=2, 、F

18、是棱AB的中點,所以BF=BC=CF,BCF為正三角形,取CF的中點O,則OBCF,又因為直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1平面ABCD,所以CC1BO,所以O(shè)B平面CC1F,過O在平面CC1F內(nèi)作OPC1F,垂足為P,連接BP,則OPB為二面角B-FC-C的一個平面角, 在BCF為正三角形中,在RtCC1F中, OPFCC1F, 在RtOPF中,所以二面角B-FC-C的余弦值為.E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y z M 解法二:（1）因為AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中點,所以BF=BC=CF,BCF為正三角形, 因為ABCD為等腰梯形,所以BAC=

19、ABC=60°,取AF的中點M,連接DM,則DMAB,所以DMCD,以DM為x軸,DC為y軸,DD1為z軸建立空間直角坐標系,則D（0,0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,C1（0,2,2）,E（,0）,E1（,-1,1）,所以,設(shè)平面CC1F的法向量為則所以取,則,所以,所以直線EE/平面FCC. （2）,設(shè)平面BFC1的法向量為,則所以,取,則, 所以,由圖可知二面角B-FC-C為銳角,所以二面角B-FC-C的余弦值為. 【命題立意】:本題主要考查直棱柱的概念、線面位置關(guān)系的判定和二面角的計算.考查空間想象能力和推理運算能力,以及應用向量知識解答問題的能

20、力.例8（2008四川 19，理21）（本小題滿分12分）如圖，平面平面，四邊形與都是直角梯形，（）證明：、四點共面；（）設(shè)，求二面角的大小BACDEF解析：不是會不會的問題，而是熟不熟的問題，答題時間是最大問題（）面面，面以為原點，以，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系不妨設(shè)，則，C、D、E、F四點共面（）設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，由，得，設(shè)平面的法向量為由，得，由圖知，二面角為銳角，其大小為點評：證共面就是證平行，求二面角轉(zhuǎn)為求法向量夾角，時間問題是本題的困惑處心浮氣燥會在計算、書寫、時間上丟分因建系容易，提倡用向量法本時耗時要超過17題與18題用時之和題型5：面面平行的判

21、定與性質(zhì)例9如圖，正方體ABCDA1B1C1D1 的棱長為a。證明：平面ACD1 平面A1C1B 。證明：如圖， A1BCD1 是矩形，A1B D1C 。又D1C 平面D1CA ，A1B 平面D1CA ， A1B 平面D1CA。同理A1C1 平面D1CA ，又A1C1 A1B A1 ， 平面D1CA 平面BA1C1 點評：證明面面平行，關(guān)鍵在于證明A1C1 與A1B 兩相交直線分別與平面ACD1 平行。例10P是ABC所在平面外一點，A、B、C分別是PBC、PCA、PAB的重心。（1）求證：平面ABC平面ABC；（2）SABCSABC的值。解析：(1)取AB、BC的中點M、N，則ACMNAC平面ABC。同理AB面ABC，ABC面ABC.(2)AC=MN=·AC=AC，同理五【思維總結(jié)】在掌握直線與平面的位置關(guān)系(包括直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位置關(guān)系)的基礎(chǔ)上，研究有關(guān)平