第4章 離散時間系統結構及濾波器設計4(FIR濾波器設計2)

1、n1、四大類FIR線性相位濾波器長度，對稱特性，群延遲及特殊零點n2、求n3、求h(n)1jw)e(Hjdxxx)sin()2/Mn()2/Mn(sin)2/Mn()2/Mn(sinnhcccclp2n具有廣義線性相位的理想高通濾波器的頻率響應為：n其單位沖激響應為：高通濾波器cM/2j -cjhpe0)e (H)2/Mn()2/Mn(sin)2/Mn()2/Mn(sinnhchp34n所要求設計的高通濾波器的技術指標：n根據凱澤窗設計公式可得到：n由窗函數設計法的對稱性可得：425. 0)/2(24M2.6,021. 0,5 . 0,35. 0,1)e (H1,)e (Hpsc21psp1j

2、hp1s2jhp5第I類線性相位高通濾波器67n通過驗證計算可得此時的通帶逼近誤差為0.0213，高于預定指標0.021，n可以通過增大的方法而達到預定指標；n也可以保持不變,改變Mn將M增大至25，調整過渡帶變窄而滿足指標，但是此時為II類線性相位系統，在=處為零，不適合高通系統，n因此可以將M增大至26就會解決此問題。89n多通帶濾波器1G2G3G4w1w2w3G1wcmbN1kk1kkmb2/M-jM/2)-(nM/2)-(nsin)GG()n(he)(逼近誤差與跳變幅度成正比，在設計時需要進行指標的歸一化，利用最苛刻的指標進行凱澤窗設計帶通,帶阻濾波器1011離散時間微分器n理想的連續(xù)

3、時間微分器的頻率響應為：n其理想沖激響應為：2diffM/2)-(nM/2)-(nsinM/2)-(nM/2)-(nc)n(hos2/M-je )()(jwHdiff12n零相微分器000!1)1()sin(21)sin(21)sin(21)cos(221)n(h2dnnndxxxndwwnwdwwnwdwwnwjdwjwennnjwnjwHdiff)(13M=5,b=2.4M=10,b=2.414n頻率抽樣法從頻域出發(fā)，把給定的理想頻率抽樣法從頻域出發(fā)，把給定的理想頻率響應頻率響應Hd(ejw)加以等間隔抽樣，即：加以等間隔抽樣，即：n以此作為實際以此作為實際FIR數字濾波器的頻率特數字濾波

4、器的頻率特性的抽樣值性的抽樣值H(k)，即令：，即令： kHeHdkNwjwd2)( 1, 1 , 0,)()(2 NkeHkHkHkNwjwdd三、三、 頻率抽樣法頻率抽樣法15有限長序列的頻域重構1,.2 ,1 ,0)(|)()(22NkenhzHkHnknNjezkNj)()(1)(102nRekHNnhNNkknNj101210121)(111)(1NkkNjNNkkNjNzekHNzzezkHN1010211010210)(1)(1)()(NkNnnkNjNnnNkknNjNnnezkHNzekHNznhzH161011)(1)(NkkNNzWkHNzzH kNwkHeHNkjw21

5、0212sin2sin1)(NjwewwNNw1021)2()1(211021102110102210)2(22sin2)2(sin1)(2sin2sin1)(2sin2sin1)(2sin2sin1)(2sin2sin1)(1)(1NkNkNwjNkNjNjwNkNkjNjwkjNkNkjNjwNkNkNkwjwNjNkNkwjjwNjwekNwNkNwNkHeeNkwkwNNkHeeNkwekwNNkHeeNkwwNNkHNkwwNeeNkHekHNeeH10)(12)(10)(12)(1)()1 (11)()1 (1)(NkzHkNjzHcNNNkzHkNjrzHcNNKKzrekHzr

6、NzrekHzrNzH 頻率抽樣法需要注意的問題n1、實現結構穩(wěn)定性的考慮實現結構穩(wěn)定性的考慮n極點在單位圓上，存在極點在單位圓上，存在系數量化誤差系數量化誤差時，時，極點會極點會移動移動,若若不能被梳狀濾波器的零點所抵消，系統不能被梳狀濾波器的零點所抵消，系統就就不能保持穩(wěn)定不能保持穩(wěn)定n為克服此缺點，可以將為克服此缺點，可以將所有零、極點都移到單位所有零、極點都移到單位圓內圓內某一靠近單位圓、半徑為某一靠近單位圓、半徑為r(小于或近似等于小于或近似等于1)的圓上（的圓上（r為正實數）。為正實數）。18n頻率抽樣點上濾波器實際頻率響應嚴格地和理想頻率響應數值相頻率抽樣點上濾波器實際頻率響應嚴

7、格地和理想頻率響應數值相等。等。n抽樣點之間的頻率響應則是由各抽樣點的加權內插函數的延伸疊抽樣點之間的頻率響應則是由各抽樣點的加權內插函數的延伸疊加而形成的，有一定的逼近誤差。加而形成的，有一定的逼近誤差。n逼近誤差取決于理想頻率響應曲線形狀，采樣點數等逼近誤差取決于理想頻率響應曲線形狀，采樣點數等.2、過渡帶抽樣優(yōu)化設計、過渡帶抽樣優(yōu)化設計19n一般過渡帶取二、三點抽樣值即可得到滿意結果。一般過渡帶取二、三點抽樣值即可得到滿意結果。n在低通設計中，不加過渡抽樣點時，阻帶最小衰在低通設計中，不加過渡抽樣點時，阻帶最小衰減為減為-2OdB，n一點過渡抽樣的一點過渡抽樣的最優(yōu)最優(yōu)設計，阻帶最小衰減

8、可提高到設計，阻帶最小衰減可提高到-4O到到-54dB左右，左右，n二點二點過渡抽樣的最優(yōu)設計可達過渡抽樣的最優(yōu)設計可達-6OdB到到-75dB左右，左右，n三點過渡抽樣的最優(yōu)設計則可達三點過渡抽樣的最優(yōu)設計則可達-80dB到到-95dB左右。左右。n頻率抽樣法的頻率抽樣法的優(yōu)點優(yōu)點是可以在是可以在頻域直接設計頻域直接設計，并且，并且適合于最優(yōu)化設計適合于最優(yōu)化設計 20n如果設計的是線性相位的如果設計的是線性相位的FIR數字濾波數字濾波器，則其抽樣值的幅度和相位一定要滿器，則其抽樣值的幅度和相位一定要滿足對稱的約束條件。足對稱的約束條件。n第第I類線性相位類線性相位FIR濾波器：濾波器： n

9、幅度函數應為偶對稱的：幅度函數應為偶對稱的：n如果抽樣值也用幅值與相角表示，則：如果抽樣值也用幅值與相角表示，則：n必須滿足：必須滿足：wNjjwewHeH)21()()()2()(wHwHkkjkjkNjeHekNHeHkH)2()()(2NkkNNk11221kNkHH3、線性相位的約束、線性相位的約束21n對對 進行頻率抽樣，就是在進行頻率抽樣，就是在z平面單位平面單位圓上的圓上的N個等間隔點上抽取出頻率響應值。個等間隔點上抽取出頻率響應值。n為保證線性相位特性，在單位圓上可以有為保證線性相位特性，在單位圓上可以有兩種抽樣方式：兩種抽樣方式：n第一種是第一個抽樣點在第一種是第一個抽樣點在

10、 處處(或或 )n第二種是第一個抽樣點在第二種是第一個抽樣點在 處處(或或 )n每種方式可分為每種方式可分為N是偶數、奇數兩種是偶數、奇數兩種)(jwdeH0w10jezNw/Njez4、頻率抽樣的兩種方法、頻率抽樣的兩種方法2223n第一種頻率抽樣第一種頻率抽樣(I型型)為：為：n其內插公式保持不變。其內插公式保持不變。10 ,)()()(2NkeHkHkHkNwjwdd1011)(1)(NkkNNzWkHNzzH24n第二種頻率抽樣第二種頻率抽樣(型型)為：為：nH(z)? 10 ,)()()()()(21010)21(2)21(22NkeenhenheHkHkHnkNjNnnNjNnnk

11、NjkNkNNwjwdd1,.2 , 1 , 0)(| )()(22NkenxzXkXnknNjezkNj)()(1)(102nRekXNnxNNkknNjnkNjNnnNjNnnkNjkNkNNwjweenxenxeXkX21010)21(2)21(22)()()()(102)(1NknkNjekXN10)21(2)(1)(NknkNjekHNnhnNjenx)(26n求求z變換，可得：變換，可得：101)21(21010)21(21)(1)(1)(NkkNjNNnnNknkNjzekHNzzekHNzHNje)0(HNje3) 1(NHNNje)12() 1 (HNzN1)(nx)(ny1

12、z1z1z27低通濾波器設計為例：設采樣點數為N,截止頻率為c , c 對應的樣本點序號為kc ，N為偶數時 (1)/(1)/ 0,1,.,( )0 +1, 1 ,.,1j NkNcdccj NkNceekkHkkkNkkNkNN為奇數時 (1)/ 0,1,.,; ,1( )0 j NkNccdekkkNkNHkk為其他值頻率抽樣法設計任意濾波器n濾波器幅度取樣值要求為n1）可以直接由頻率內插公式求得頻率響應，并由頻率內插結構實現濾波器n2）也可以由H(K)求得h(n)，從而求取頻率響應，并實現濾波器28elsekkkkH13,315,14,2 ,1 ,005.01)(頻率抽樣法設計低通濾波器

13、29按第一種頻率抽樣設計，N=303010Int42( )0Int151522ccNkH kNNk 515130sin 30sin 30sin230230230sin30sin30sin2230230jjkkkH eekk3421.6 10220.21321.5 10pppsswf3423.1 10220.41321.5 10stststsswf250dB過渡點優(yōu)化n為改善頻率特性，以滿足指標要求，可在通帶和阻帶交界處安排一個或者幾個不等于1的抽樣值。n此處令：n優(yōu)化后最小阻帶衰減約為60dB左右31(6)0.1065H(5)0.5886H324.5 IIR與與FIR濾波器特性比較濾波器特性比

14、較n1、在相同的技術指標下，、在相同的技術指標下，IIR濾波器可用比濾波器可用比FIR濾波器較少的階數來滿足指標的要求，所濾波器較少的階數來滿足指標的要求，所用的存儲單元少，運算次數少，較為經濟。用的存儲單元少，運算次數少，較為經濟。n例如，用頻率抽樣法設計阻帶衰減為例如，用頻率抽樣法設計阻帶衰減為-20dB的的FIR濾波器，其階數要濾波器，其階數要33階階才能達到，而才能達到，而雙線性變換法雙線性變換法設計只需設計只需45階階的切貝雪夫的切貝雪夫IIR濾波器即可達到指濾波器即可達到指標要求，所以階數要高標要求，所以階數要高510倍左右。倍左右。n2、FIR濾波器可得到嚴格的線性濾波器可得到嚴

15、格的線性相位相位，IIR濾濾波器的頻率選擇性愈好，其相位的波器的頻率選擇性愈好，其相位的非線性失真非線性失真愈嚴重愈嚴重。33n 3、FIR濾波器主要采用非遞歸結構，因而無濾波器主要采用非遞歸結構，因而無論是從理論上還是從實際的有限精度的運算中論是從理論上還是從實際的有限精度的運算中它都是穩(wěn)定的，有限精度運算的誤差也較小。它都是穩(wěn)定的，有限精度運算的誤差也較小。nIIR濾波器必須采用遞歸結構，極點必須在濾波器必須采用遞歸結構，極點必須在z平面單平面單位圓內才能穩(wěn)定，對于這種結構，有限精度處理有位圓內才能穩(wěn)定，對于這種結構，有限精度處理有時會引起寄生振蕩（零極限環(huán)）。時會引起寄生振蕩（零極限環(huán)）

16、。n 4、對于、對于FIR濾波器，由于沖激響應是有限長濾波器，由于沖激響應是有限長的，因而可以用快速傅里葉變換算法，運算速的，因而可以用快速傅里葉變換算法，運算速度可以快得多。度可以快得多。IIR濾波器則不能這樣運算。濾波器則不能這樣運算。34n5、IIR濾波器可以利用模擬濾波器設計的現濾波器可以利用模擬濾波器設計的現成公式、數據和表格，因而計算工作量較小，成公式、數據和表格，因而計算工作量較小，對計算工具要求不高。對計算工具要求不高。nFIR窗函數法只給出窗函數的計算公式，但計算通窗函數法只給出窗函數的計算公式，但計算通帶、阻帶衰減仍無顯式表達。帶、阻帶衰減仍無顯式表達。nFIR濾波器優(yōu)化設計，需要借助于計算機濾波器優(yōu)化設計，需要借助于計算機 。n6、IIR濾波器主要是設計規(guī)